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【一模】苏州市2011届高三调研测试(一)-数学


苏州市 2011 届高三调研测试(一) 届高三调研测试( 数学Ⅰ 数学Ⅰ试题
2011.3

11.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 1 ≤ a5 ≤ 4 , 2 ≤ a6 ≤ 3 ,则 S6 的取值范围是



.

12. 已知过原点 O 的直线与函数 y = 3x 的图像交于 A、B 两点,点 A 在线段 OB 上,过 A 作 y 轴的平行线 交函数 y = 9 x 的图像于 C 点,当 BC // x 轴时,点 A 的横坐标是 ▲ .

小题, 不需要写出解答过程,请把答案直接填在答 .. 一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,不需要写出解答过程,请把答案直接填在答题卡 填空题: 相应位置上. ..... 1.若集合 U =R, A = {x | x + 2 > 0} , B = {x | x ≥ 1} ,则 A I ?U B = 2.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 8kx 2 ? ky 2 = 8 的渐近线方程为 3.函数 f ( x ) = ( sin x ? cos x ) 的最小正周期为
2

13.如图,在正方形 ABCD 中,E 为 AB 中点,P 为以 A 为圆心、AB 为半径的圆弧 上 的 任 意 一 点 , 设 向 量 AC = λ DE + ? AP , 则 ▲ .

uuur

uuur

uuu r

λ+?

的最小值为

▲ ▲

. .

则 14.设 m ∈ N , 若函数 f ( x ) = 2 x ? m 10 ? x ? m + 10 存在整数零点, m 的取值 范围为 ▲ . (第 13 题图)



. 请在答题卡指定位置区域内作答, 二.解答题:填空题:本大题共六小题,共 90 分.请在答题卡指定位置区域内作答,解答时应写出文字说 解答题:填空题:本大题共六小题, 请在答题卡指定位置区域内作答 证明过程或演算步骤. 明、证明过程或演算步骤 15. (本小题满分 14 分) 设平面向量 α = (cos x,sin x ) , b = cos x + 2 3,sin x , c = ( sin α , cos α ) , x ∈ R, (1)若 α ⊥ c ,求 cos ( 2 x + 2α ) 的值;

4.已知 i 是虚数单位,计算

(2 + i)
3 ? 4i

2

的结果为



.

5. 已 知 奇 函 数 f ( x ) 的 图 像 关 于 直 线 x = ?2 对 称 , 当 x ∈ [ 0, 2 ] 时 ,

f ( x ) = 2 x ,则 f ( ?9 ) =

(

)



.
2 2

6. 已 知 常 数 t 是 负 实 数 , 则 函 数 f ( x ) = 12t ? tx ? x 的 定 义 域 为 ▲ . 7.某所学校有小学部、初中部和高中部,在校小学生、初中生和高中生人数 之比为 5:2:3,且已知初中生有 800 人,现采用分层抽样的方法从这所 学校抽取一个容量为 80 的学生样本以了解学生对学校文体活动方面的 . 评价,则每个高中生被抽到的概率是 ▲ 8.右图给出的是计算 1 + 应填的条件是 i >

(2)若 x ∈ ? 0,

? π? ? ,证明 α 和 b 不可能平行; ? 2?

(3)若 α = 0 ,求函数 f ( x ) = α ? ( b ? 2c ) 的最大值,并求出相应的 x 的值.

1 1 1 + + ... + 的值的一个程序框图, 其中判断框内 3 5 19
▲ .
2 2

(第 8 题图)

9.已知圆 O 的方程为 x 2 + y 2 = 2 , M 的为方程为 ( x ? 1) + ( y ? 3) = 1 , 圆 过圆 M 上的任意一点 P 作圆 O 的切线 PA 与圆 M 的另一个交点为 Q,则当弦 PQ 的长度最大时,直线 PA 的斜率是 ▲ .

16. (本小题满分 14 分) 在菱形 ABCD 中,∠A = 60° ,线段 AB 的中点是 E,现将 ADE 沿 DE 折起到 和平面 EBCD 垂直,线段 FC 的中点是 G. (1)证明:直线 BG//平面 FDE; (2)判断平面 FEC 和平面 EBCD 是否垂直,并证明你的结论.

FDE 的位置,使平面 FDE

10.已知结论: “在三边长都相等的

ABC 中, D 是 BC 的中点, 是 若 G

ABC 外接圆的圆心, 则

AG = 2” . GD

若把该结论推广到空间,则有结论: “在六条棱长都相等的四面体 ABCD 中若 M 是 的交点,O 是四面体 ABCD 外接球的球心,则

BCD 的三边中线

AO = OM



. (第 16 题图) 高三数学Ⅰ 第 1 页 (共 3 页)

17. (本小题满分 15 分) 如图, ABC 为一个等腰三角形形状的空地,腰 CA 的长为 3(百米) ,底 AB 的长为 4(百米).现决定在 该空地内筑一条笔直的小路 EF(宽度不计) ,将空地分割成一个四边形和一个三角形,设分成的四边 形和三角形的周长相等,面积分别为 S1 和 S2 . (1)若路的一端 E 为 AC 的中点,求此时小路的长度;

19. (本小题满分 16 分) 设函数 f ( x ) = x ( x ? 1) , x > 1 .
2

(1)求 f ( x ) 的极值; (2)设 0 < a ≤ 1 ,记 f ( x ) 在 0, a ] 上的最大值为 F ( a ) ,求函数 G ( a ) =
2

S (2)求 1 的最小值. S2

(

F (a) a

的最小值;

(3)设函数 g ( x ) = ln x ? 2 x + 4 x + t ( t 为常数) ,若使 g ( x ) ≤ x + m ≤ f ( x ) 在 ( 0, +∞ ) 上恒成立的实 数 m 有且仅有一个,求实数 m 和 t 的值.

(第 17 题图)

18. (本小题满分 15 分) 已知椭圆 E:

20. (本小题满分 16 分)

x2 y2 2 + 2 = 1 ( a > b > 0 ) 的离心率为 ,且过点 P 2, 2 ,设椭圆 E 的右准线 l 与 x 轴的 2 a b 2
4 5. 5

(

)

设数列 {an } 是一个无穷数列,记 Tn =

∑2
i =1

n+2

i ?1

ai + 2a1 ? a3 ? 2n + 2 an +1 , n ∈ N * .
*

交点为 A,椭圆的上顶点为 B,直线 AB 被以原点为圆心的圆 O 所截得的弦长为 (1)求椭圆 E 的方程及圆 O 的方程;

(1)若 {an } 是等差数列,证明:对任意的 n ∈ N , Tn = 0 ; (2)对任意的 n ∈ N ,若 Tn = 0 ,证明: {an } 是等差数列;
*

(2)若 M 是准线 l 上纵坐标为 t 的点,求证:存在一个异于 M 的点 Q,对于圆 O 上任意一点 N,有 定值;且当 M 在直线 l 运动时,点 Q 在一个定圆上.

MN 为 NQ

(3)若 Tn = 0 ,且 a1 = 0 , a2 = 1 ,数列 {bn } 满足 bn = 2 n ,由数列 {bn } 构造一个新数列 3, b2 , b3 ,…,
a

设这个新数列的前 n 项和为 Sn ,若 Sn 可以写成 a , ( a, b ∈ N , a > 1, b > 1) 则称 Sn 为“好和”.问 S1 , S2 ,
b

S3 ,…中是否存在“好和” ,若存在,求出所有“好和” ;若不存在,说明理由.

(第 18 题图)

高三数学Ⅰ 第 2 页 (共 3 页)

数学Ⅱ试题(附加题) 数学Ⅱ试题(附加题)
21.【选做题 在 A、B、C、D 四小题中只能选作两题,每小题 10 分,共 20 分. 请在答题卡指定位置区域 选做题】在 、 、 、 四小题中只能选作两题 请在答题卡指定位置区域 选做题 ...... ...... 内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A.选修 4-1:几何证明选讲 过圆 O 外一点 A 作圆 O 的两条切线 AT、AS,切点分别为 T、S,过 A 作圆 O 的割线 APN,证明:

【必做题 第 22 题、第 23 题,每小题 10 分,共 20 分. 请在答题卡指定位置区域内作答,解答时应写出 必做题】第 请在答题卡指定位置区域内作答, 必做题 ......... 文字说明、证明过程或演算步骤. 文字说明、证明过程或演算步骤 22.(本小题满分 10 分) 如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1,E、F 分别在棱 AA1 和 CC1 上(含线段端点). (1)如果 AE = C1 F ,试证明 B, E , D1 , F 四点共面; (2)在(1)的条件下,是否存在一点 E,使得直线 A1 B 和平面 BFE 的所成角等于 E 的位置;如果不存在,试说明理由.

π
6

?如果存在,确定点

AT PT ? PS = . 2 AN NT ? NS
2

B.选修 4-2:矩阵变换 已知直角坐标平面 xOy 上的一个变换是先绕着原点逆时针旋转 45° ,再作 关于 x 轴的反射变换,求这个变换的逆变换矩阵. (第 21A 题图) (第 22 题图)

23. (本小题满分 10 分) (1)当 k ∈ N 时,求证: 1 + 3
*

(

) + (1 ? 3 ) 是正整数;
k k n+1

C.选修 4-4:坐标系与参数方程 已知 A 是曲线 ρ = 12 sin θ 上的动点,B 是曲线 ρ = 12 cos(θ ?

(2)试证明大于 1 + 3

(

)

2n

的最小整数能被 2

整除 ( n ∈ N ) .
*

π
6

) 上的动点,试求线段 AB 长的最大值.

D.选修 4-5:不等式选讲 已知 m,n 是正数,证明:

m3 n3 + ≥ m2 + n2 . n m

高三数学Ⅰ 第 3 页 (共 3 页)


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