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2018届高考数学二轮复习三角函数一题多解举例学案含答案(全国通用)


三角函数一题多解举例 例 1:求函数 y ? cos ? ( ? ? R )的值域。 2 ? sin ? 解法一:利用合一公式 y? cos ? ? 2 y ? ? y sin ? ? cos ? ? 1 ? y 2 sin(? ? ? ) , 2 ? sin ? ?2 y 1? y2 ,又 | sin(? ? ? ) |? 1 , 所以 sin(? ? ? ) ? 所以 | 2y | 1? y 2 ? 1 ,解得 ? 3 3 ? y? , 3 3 所以函数 y ? cos ? 3 3 , ]。 ( ? ? R )的值域为 [? 2 ? sin ? 3 3 解法二:斜率法 y? cos ? ? 0 , 可 看 成 点 A(sin ? , cos ? ) 与 B (?2, 0) 连 线 的 斜 率 , 而 sin ? ? (?2) (sin ? , cos ? ) 在圆 x 2 ? y 2 ? 1 上, 当 AB 与圆相切时分别取到最值,结合图形易得 函数 y ? 值域为 [? cos ? ( ? ? R )的 2 ? sin ? 3 3 , ]. 3 3 解法三:导数法 y? ? 1 3 3 3 ?1 ? 2sin ? , ]. ,令 y? ? 0 得 sin ? ? ? , cos ? ? ? ,从而 y ? [? 2 2 2 3 3 (2 ? sin ? ) 例 2:对任意 x ? R, a cos x ? b cos 2 x ? ?1 恒成立,求 a ? b 的最大值. 解法一:特值法,特别快 2? 1 1 得 a (? ) ? b(? ) ? ?1 ,∴ a ? b ? 2 , 3 2 2 4 2 4 2 4 2 2 当 a ? , b ? 时, a cos x ? b cos 2 x ? cos x ? cos 2 x ? cos x ? (2 cos x ? 1) 3 3 3 3 3 3 4 1 2 ? (cos x ? ) ? 1 ? ?1 ,所以 a ? b 的最大值为 2. 3 2 在 a cos x ? b cos 2 x ? ?1 中取 x ? 解法二:构造二次函数 原不等式即 a cos x ? b(2 cos x ? 1) ? ?1 即 2b cos x ? a cos x ? b ? 1 ? 0 , 2 2 令 f (t ) ? 2bt ? at ? b ? 1, t ? cos x ? [?1,1] , 2 (1)当 b ? 0 时, f (t ) 的图象是开口向下的抛物线或者直线, 所以只要 ? ? f (?1) ? 2b ? a ? b ? 1 ? 0 ? a ? b ? 2b ? 1 ? 1 ? 2 ? f (1) ? 2b ? a ? b ? 1 ? 0 ? b?0 ? a ? ? ? [?1,1] ? (2)由 ? 4b ?b ? a ? 1 ? 0 ? ? ?b ? a ? 1 ? 0 得 a ? ?4b或a ? 4b 若 a ? ?4b, 则 a ? b ? ?3b ? 0 ? 2 ; 若 a ? 4b, 则由 b ? a ? 1 ? 0 得 4b ? a ? 1 ? b ? b ? 1 5 ,故 a ? b ? 1 ? 2b ? ? 2 . 3 3 b?0 ? ? 1 2 a ? 2 ? ? [?1,1] (3)由 ? 得 a ? 8(b ? ) ? 2 , 4b 2 ? 2 ? ?? ? a ? 4 ? 2b(?b ? 1) ? 0 2

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