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4函数的奇偶性与周期性学案 及作业(教师版)


函数的奇偶性与周期性
考纲要求 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性. 3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应 用简单函数的周期性.

1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都 偶函数 关于____对称 有________,那么函数 f(x)是偶函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都 奇函数 关于______对称 有________,那么函数 f(x)是奇函数 2.周期性 (1)周期函数:对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任何 值时,都有 f(x+T)=______,那么就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数 f(x)的所有周期中____________的正数,那么这个____ 正数就叫做 f(x)的最小正周期. 3.对称性 若函数 f(x)满足 f(a-x)=f(a+x)或 f(x)=f(2a-x), 则函数 f(x)关于直线__________对称.

一、 函数奇偶性的判定 1.判断下列函数是否具有奇偶性。 (1) f ( x) ? x ? 4x
3

(2) f ( x) ? x ? 2 x
2

(3) f ( x) ? 1 (5) f ( x ) ?

(4)

f ( x) ? 1 ? x ? x ? 1
x ?1 1? x

1 ? x2 x?2 ?2

(6) f ( x) ? ( x ? 1)

?2 x ? 3, x ? 0 ? ⑺ f ( x ) ? ?0, x ? 0 的奇偶性 ?2 x ? 3, x ? 0 ?
方法提炼 判定函数奇偶性的常用方法及思路: 首先确定函数的定义域, 并判断其定义域是否 关于原点对称; 1.定义法

2.图象法

[来源:学科网 ZXXK]

3.性质法:(1)“奇+奇”是奇,“奇-奇”是奇,“奇· 奇”是偶,“奇÷ 奇”是 偶; (2)“偶+偶”是偶,“偶-偶”是偶,“偶· 偶”是偶,“偶÷ 偶”是偶; (3)“奇· 偶”是奇,“奇÷ 偶”是奇. 提醒:(1)分段函数奇偶性的判断,要注意定义域内 x 取值的任意性,应分段讨论,讨 论时可依据 x 的范围取相应地化简解析式,判断 f(x)与 f(-x)的关系,得出结论,也可以利 用图象作判断. (2)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的. (3)性质法在选择题和填空题中可直接运用,但在解答题中应给出性质推导的过程. 同步练习 2.判断下列函数是否具有奇偶性? (1) f ( x ) ? 1 ; 偶 (3) f ( x ) ? x ? 1 ;非奇非偶 奇非偶 (5) f ( x) ? (2) f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1 ;偶 (4) f ( x) ? x 2 , x ? (?1,1] 非 (6) f ( x ) ?

x ? 1 ? 1 ? x ;非奇非偶

x2 ? 4 ? 4 ? x2

3.判断下列函数的奇偶性
2 ? ?x +x?x>0?, 1-x (1)f(x)=lg ;(2)f(x)=? 2 1+x ?x -x?x<0?; ?

(3)f(x)=

lg?1-x2? . |x2-2|-2

1- x 解:(1)由 >0?-1<x<1, 1+ x 定义域关于原点对称. 又 f(-x)=lg 1+x ?1-x?-1=-lg1-x=-f(x), =lg? ? 1-x 1+x ?1+x?

故原函数是奇函数. (2)函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称, 又当 x>0 时,f(x)=x2+x,则当 x<0 时, -x>0,故 f(-x)=x2-x=f(x); 当 x<0 时,f(x)=x2-x,则当 x>0 时,-x<0,故 f(-x)=x2+x=f(x),故原函数是偶函 数.
?1-x2>0, ? (3)由? 2 得定义域为(-1,0)∪(0,1),关于原点对称, ? ?|x -2|-2≠0,

lg?1-x2? lg?1-x2? ∴f(x)= =- . 2 x2 -?x -2?-2

lg[1-?-x?2] lg?1-x2? ∵f(-x)=- =- =f(x), 2 x2 ?-x? ∴f(x)为偶函数. 4.在函数 y ? sin x , y ? x2 , y ? 3x , y ? log3 x 中为偶函数的是 A. y ? sin x C. y ? 3x 答案:B B. y ? x 2 D. y ? log3 x

(0 , +?) 5.下列函数中,既是偶函数又在区间 上单调递减的是( *

).

y?
A. 答案:C

1 x

B. y ? e

?x

C. y ? ? x ? 1
2

D. y ? lg | x |

6.下列函数中既是偶函数又在 (0,??) 上是增函数的是(


2

y?
A.

1 x

B. y ?| x | ?1

f ( x) ?
C.

ln x x

D. y ? ? x ? 1

答案:B 7.下列函数中,是奇函数的为( A. 答案:B 8.下列函数是奇函数的有( ) B. ) C. D.

①f(x)=2x4+3x2; ②f(x)=x3-2x; x2+1 ③f(x)= ;④f(x)=x3+1. x A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

解析:选 B 首先确定这四个函数的定义域都关于原点对称,然后由奇函数的定义逐个 判断可知,②③为奇函数. 9.设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( A.f(x)+|g(x)|是偶函数 B.f(x)-|g(x)|是奇函数 C.|f(x)|+g(x)是偶函数 D.|f(x)|-g(x)是奇函数 解析:选 A ∵函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,∴f(-x)=f(x),g(-x) =-g(x). )

令 F(x)=f(x)+|g(x)|, F(-x)=f(-x)+|g(-x)| =f(x)+|-g(x)|=f(x)+|g(x)|=F(x). 故 F(x)为偶函数.即 f(x)+|g(x)|是偶函数. 偶 10.设 f ( x ) 是 R 上的任意函数,则下列叙述正确的是 (A) f ( x) f (? x) 是奇函数 ( ) (B) f ( x) f (? x) 是奇函数

(C) f ( x) ? f (? x) 是偶函数 (D) f ( x) ? f (? x) 是偶函数 11.下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是( ) A. y ? 2| x| 答案:D 12.函 f ( x) ? 2 ? 2 在定义域上是
x ?x

B. y ? lg( x ?

x 2 ? 1)

C. y ? 2x ? 2? x

D. y ? lg

1 x ?1

A.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 答案:B 13.函数 f ? x ? ? ?

B.奇函数 D. 既不是奇函数也不是偶函数

? ?x ?1 ? ?x ?1

? x ? 0? ? x ? 0?



(

)

A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 答案:C 二.利用函数的奇偶性求解析式和参数的值 若 f(x)为奇函数,且在 x=0 处有定义,则 f(0)=0.这一结 论在解决问题中十分便捷,但 若 f(x)是偶函数且在 x=0 处有定义,就不一定有 f(0)=0,如 f(x)=x2+1 是偶函数,而 f(0) =1.
[来源:学&科&网]

14.若 f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数 a=________. a-4 解析:f(x)=x2+(a-4)x-4a 为二次函数,其图象的对称轴为 x=- ,因为偶函数 2 a-4 的图象关于 y 轴对称,所以- =0,解得 a=4. 2 答案:4 15.已知 f ( x) 函数为偶函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 1 ,则 x ? 0 , f ( x) 的解析式。 16.已知 f ( x ) 是偶函数, g ( x) 是奇函数,若 f ( x) ? g ( x) ? 答案: f ( x )=

1 ,则 f ( x ) = x ?1



1 x ?1
2

17. 设 f(x)为定义在 R 上的奇函数. 当 x≥0 时, f(x)=2x+2x+b(b 为常数), 则 f(-1)=( A.-3 C.1 B.-1 D.3

)

解析:(1)选 A 因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数,所以 f(0)=20+2×0+b=0,解得 b =-1.所以当 x≥0 时,f(x)=2x+2x-1,所以 f(-1)=-f(1)=-(21+2×1-1)=-3. 18.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2-2x,则 f(x)在 R 上的表 达式是( ) B.y =x(|x|-1) D.y=x(|x|-2)

A.y=x(x-2) C.y =|x|(x-2)

答案:D 19.设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2x2 ? x ,则 f (??) ? ( A. ?3 答案: 20.已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,当 x ? 0时,f ( x) ? x ? x ,
3



B. ??

C. 1

D. 3

则当 x ? 0时,f ( x) ? A. f ( x) ? x 3 ? x C. f ( x) ? ? x 3 ? x 答案:B



) B. f ( x) ? ? x 3 ? x D. f ( x) ? x 3 ? x

21. 已知函数 f ( x) 的定义域为 (3 ? 2a, a ? 1) ,且 f ( x ? 1) 为偶函数,则实数 a 的值可以是 ( ) A. 2 B. 4 C. 6 D.

2 3

答案:A 22.若函数 y=(x+1)(x-a)为偶函数,则 a 的值是 答案:1 23.设 f ( x) ? lg( 答案: -1 24.若 f ( x ) 为奇函数,当 x ? 0 时 f ( x) ? x 答案: 5
2

.

2 1 1 ? a ), x ? [? , ] 是奇函数,则实数 a=__ ▲___ 1? x 2 2

? ax ,且 f (3) ? 6 ,则实数 a 的值为

2 25.若函数 f ? x ? ? ln x ? ax ? 1 是偶函数,则实数 a 的值为

?

?



答案:0 x 2 26.已知 y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 ? x ? 1 ,

则 f (?1) ? 答案:-2

.

三、函数的奇偶性与单调性的关系 偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反; 奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致. 27. 已知函数 f ? x ? 是奇函数, 且在区间 ?1, 2? 上单调递减, 则 f ? x ? 在区间? ?2, ?1? 上是 ( A. 单调递减函数,且有最小值 ? f ? 2? C. 单调递增函数,且有最小值 f ? 2 ? 答案:B B. 单调递减函数,且有最大值 ? f ? 2? D. 单调递增函数,且有最大值 f ? 2 ?



28.已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数,且在 ? ??,0? 上时增函数,若 f ? ?3? ? 0 ,则

f ? x? ? 0 的解集为 x
答案: ? ?3,0? ? ?3, ???

.

29. 已知函数 f(x)在区间[-5,5]上是奇函数, 在区间[0,5]上是单调函数, 且 f(3)<f(1), 则( A.f(-1)<f(-3) C.f(-1)<f(1) B.f(0)>f(-1) D.f(-3)>f(-5)

)

选 A 函数 f(x)在区间[0,5]上是单调函数,又 3>1,且 f(3)<f(1),故此函数在区间[0,5] 上是减函数. 由已知条件及奇函数性质,知函数 f(x)在区间[-5,5]上是减函数. 选项 A 中,-3<-1,故 f(-3)>f(-1). 选项 B 中,0>-1,故 f(0)<f(-1). 同理选项 C 中 f(-1)>f(1),选项 D 中 f(-3)<f(-5). 30.知 f(x)是实数集上的偶函数,且在区间 [0,+?) 上是增函数,则 f(-2),f(-? ),f(3) 的大小 关系是( D ) f(-? )>f(-2)>f(3) B. f(3)>f(-? )>f(-2) C. f(-2)>f(3)>f(-? ) D. f(-? )>f(3)>f(-2) A. 31.已知 f(x)是奇函数,定义域为{x|x ? R 且 x ? 0},又 f(x)在(0,+ ? )上是增函数,且 f(-1)=0,则满足 f(x)>0 的 x 取值范围是(-1,0) (1,+ ? ) .

32.设函数 D ? x ? ? ?

?1, x是有理数 ,则下列结论错误 的是( .. ?0, x是无理数



A

D( x)的值域是{0,1}

B

D( x)是偶函数

C
答案:C

D( x)不是周期函数

D

D( x)不是单调函数

33.定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足:对任意的 x1 , x2 ?[0, ??)( x1 ? x2 ) ,有

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 .则 x2 ? x1
A. f (1) ? f (?2) ? f (3) C. f (?2) ? f (1) ? f (3) 答案:B 34. 已知 f ?x ? 是定义域为 ?? ?,0? ? ?0,??? 的奇函数, 在区间 ?0,??? 上单调递增, 当x ? 0 时, f ?x ? 的图像如右图所示:若: x ? ? f ?x ? ? f ?? x ?? ? 0 ,则 x 的取值范围是 B. f (3) ? f (?2) ? f (1) D. f (3) ? f (1) ? f ( ?2)

答案: (?3,0)

(0,3)

35.奇函数 f ( x ) 在区间 [3, 7] 上是增函数,在区间 [3, 6] 上的最大值为 8 ,最小值为 ?1 ,则 2 f ( ?6) ? f( ? 3) ? ________ 答案: -15 四、函数奇 偶性的应用 36 .对于定义域 R 上的任何奇函数 f(x)都有 ( ) (A) f (x)- f (-x)<0(x ? R ); (B) f (x)- f (-x) ? 0 (x ? R ); (C) f (x)· f (-x) ? 0(x ? R ); (D)f (x)·f (-x)>0(x ? R )。 37.已知 y=f(x)+x2 是奇函数,且 f(1)=1.若 g(x)=f(x)+2,则 g(-1)=________. 令 H(x)=f(x)+x2,则 H(1)+H(-1)=f(-1)+1+f(1)+1=0,则 f(-1)=-3, 故 g(-1)=f(-1)+2=-1. 38.设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若当 x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x,则满足 f(x)>0 的 x 的取值范围是________. 解析:∵当 x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x, ∴当 x∈(0,1)时,f(x)<0, 当 x∈(1,+∞)时,f(x)>0.

又∵函数 f(x)为奇函数, ∴当 x∈(-1,0)时,f(x)>0;当 x∈(-∞,-1)时, f(x)<0. ∴满足 f(x)>0 的 x 的取值范围是(-1,0)∪(1,+∞). 答案:(-1,0)∪(1,+∞)

? 39.设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, f (2) ? 2 ,当 x ? 0 时,有 f ( x) ? xf ( x) 恒成立,则
不等式 f ( x) ? x 的解集是 (A) ( ? 2 , 0 )∪( 2 , ? ? ) (B) ( ? 2 , 0 )∪( 0 , 2 )

(C) ( ? ? , ? 2 )∪( 2 , ? ? ) (D) ( ? ? , ? 2 )∪( 0 , 2 ) 答案:D 40.设 f ? x ?,g ? x ? 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数.当 x ? 0 时, 且 g (-3)=0 ,则不等式 f ? x ? g ? x ? ? 0 的解集是( f ? ? x ? g ? x ?+f ? x ? g? ? x ? ? 0, A. (-3, 0) ? (3,+?) C. (-?,-3) ? (3,+?) 答案:D ?x+1?2+sin x 41.设函数 f(x)= 的最大值为 M,最小值为 m,则 M+m=________. x2+1 将函数化简,利用函数的奇偶性求解. f(x)= ?x+1?2+sin x 2x+sin x =1+ 2 , 2 x +1 x +1 B. (- 3,0) ? ? 0,3? D. (-?,-3) ? ? 0,3? )

2x+sin x 设 g(x)= 2 ,则 g(-x)=-g(x), x +1 因此 g(x)是奇函数,由奇函数图象的对称性知 g(x)max+g(x)min=0, 则 M+m=[g(x)+1]max+[g(x)+1]min =2+g(x)max+g(x)min=2. 42.设偶函数 f(x)满足 f(x)=x3-8(x≥0),则{x|f(x-2)>0}=( ). A.{x|x<-2,或 x>0} B.{x|x<0,或 x>4} C.{x|x<0,或 x>6} D.{x|x<-2,或 x>2} B 解析:当 x<0 时,-x>0, ∴f(-x)=(-x)3-8=-x3-8. 又 f(x)是偶函数, ∴f(x)=f(-x)=-x3-8. 3 ? ?x -8,x≥0, ? ∴f(x)= 3 ?-x -8,x<0. ?

3 ? ?(x-2) -8,x≥2, ∴f(x-2)=? 3 ?-(x-2) -8,x<2. ?

? ?x≥2, 由 f(x-2)>0 得:? 3 ?(x-2) -8>0 ? ?x<2, ? 或? 3 ?-(x-2) -8>0. ? 解得 x>4 或 x<0,故选 B.

1+ax 43. 设 a,b∈R,且 a≠2,若定义在区间(-b,b)内的函数 f(x)=lg 是奇函数,则 a 1+2x +b 的取值范围为__________. ?-2,-3? 解析:∵f(x)在(-b,b)上是奇函数, 2? ? 1-ax 1+ax 1+2x ∴f(-x)=lg =-f(x)=-lg =lg , 1-2x 1+2x 1+ax 1+2x 1-ax ∴ = 对 x∈(-b,b)成立,可得 a=-2(a=2 舍去). 1+ax 1-2x 1-2x ∴f(x)=lg . 1+2x 1-2x 1 1 由 >0,得- <x< . 2 2 1+2x 又 f(x)定义区间为(-b,b), 1 3 ∴0<b≤ ,-2<a+b≤- . 2 2 44.已知 f(x)=x7+ax5+bx-5,且 f(-3)=5,则 f(3)=( ) A.-15 C.10 B.15 D.-10

答案:A R上的偶函数 , 当x ? 0时, f ( x) ? x ? f ?( x) ? 0, 且f (?4) ? 0 ,则不等 45. f ( x)是定义在 式 xf ( x) ? 0 的解集为 A. (?4,0) ? (4,??) 答案:D 46.已知 y ? f ( x) 是偶函数,而 y ? f ( x ? 1) 是奇函数,且对任意 0 ? x ? 1 , f ( x ) 递减, 都有 f ( x) ? 0, 则a ? f (2010), b ? f ( ), c ? ? f ( ) 的大小关系是 A. b ? c ? a B. c ? b ? a C. a ? c ? b D. a ? b ? c B. (?4,0) ? (0,4) C. (??,?4) ? (4,??) ( D. (??,?4) ? (0,4) )

5 4

1 2

答案:C ' 47.如果 f ( x ) 为偶函数,且 f ( x ) 导数存在,则 f (0) 的值为 A.2 答案:C B.1 C.0 D. ?1





48.设 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? xf ?( x) ? 0 ,且 f (1) ? 0 ,则不 等式 xf ( x) ? 0 的解集为( A. (-1,0)∪(1,+ ? ) C. (- ? ,-1)∪(1,+ ? ) 答案:C 49.函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(1)=0,当 x>0 时,有 不等式 f(x)>0 的解集为 A.(-1,0) C.(-∞,-1) 答案:D 50.设函数 f ( x) ? ? A.6 答案:A (1,+∞) (1,+∞) B.(-1,0) (0,1) (0,1) ) B. (-1,0)∪(0,1) D. (- ? ,-1)∪(0,1)

xf'(x )-f (x ) <0 恒成立,则 x2

D.(-∞,-1)

? x 2 ? x ( x ? 0) ? g ( x) ( x ? 0)
B.—6

,且函数 f ( x ) 为偶函数,则 g (?2) = C.2 D.—2

51.已知函数 y=f(x)是偶函数,当 x>0 时,f(x)=x+ 的最大值为 m,最小值为 n,则 m-n=______________. 答案:1

4 .当 x∈[-3,-1]时,记 f(x) x

52.已知 y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,x∈[0,? ]上的图象如图,则在[- ? ,? ] 上不等式

f ( x) ? 0 的解集是__________. g ( x)

答案: ( ?? , ?

?

53.设函数 f(x)=x3+bx2+cx(x∈R),已知 g(x)=f(x)-f′(x)是奇函数. (1)求 b,c 的值; (2)求 g(x)的单调 区间与极值.

] ? (0, ] 3 3

?

解:(1)∵f(x)=x3+bx2+cx, ∴f′(x)=3x2+2bx+c, ∴g(x)=f(x)-f′(x) =x3+(b-3)x2+(c-2b)x-c. ∵g(x)是一个奇函数, ∴g(0)=0,得 c=0, 由奇函数定义 g(-x)=-g(x)得 b=3. (2)由(1)知 g(x) =x3-6x, 从而 g′(x)=3x2-6, 由此可知,(-∞,- 2)和( 2,+∞)是函数 g(x)的单调递增区间;(- 2, 2)是函数 g(x)的单调递减区间. g(x)在 x=- 2时,取得极大值,极大值为 4 2; g(x)在 x= 2时,取得极小值,极小值为-4 2. 五、函数的周期性及其应用 抽象函数的周期需要根据给出的函数式子求出,常见的有以下几种情形: (1)若函数满足 f(x+T)=f(x),由函数周期性的定义可知 T 是函数的一个周期; (2)若满足 f(x+a)=-f(x),则 f(x+2a)=f[(x+a)+a]=-f(x+a)=f(x),所以 2a 是函数 的一个周期; 1 1 (3)若满足 f(x+a)= ,则 f(x+2a)=f[(x+a)+a]= =f(x),所以 2a 是函数的一 f?x? f?x+a? 个周期; 1 (4 )若函数满足 f(x+a)=- ,同理可得 2a 是函数的一个周期; f?x? (5)如果 T 是函数 y=f(x)的周期,则①kT(k∈Z 且 k≠0)也是 y=f(x)的周期,即 f(x+kT) =f(x);②若已知区间[m,n](m<n)的图象,则可画出区间[m+kT,n+kT](k∈Z 且 k≠0)上 的图象. 54.已知函数 f(x)是定义域为 R 的偶函数,且 f(x+1)=-f(x),若 f(x)在[-1,0]上是减函数, 那么 f(x)在[1,3]上是( A.增函数 C.先增后减的函数 ) B.减函数 D.先减后增的函数

(2)选 D 由 f(x)在[-1,0]上是减函数,又 f(x)是 R 上的偶函数,所以 f(x)在[0,1]上是增 函数. 由 f(x+1)=-f(x),得 f(x+2)=f[(x+1)+1]=-f(x+1)=f(x), 故 2 是函数 f(x)的一个周期. 结合以上性质,模拟画出 f(x)部分图象的变化趋势,如下图.

由图象可以观察出,f(x)在[1,2]上为减函数,在[2,3]上为增函数. 55.已知 f ( x) 在 R 上是奇函数,且满足 f ( x ? 4) ? f ( x) ,当 x ? (0,2) 时, f ( x) ? 3x ,
2

则 f (7) 等于



答案: ? 3 56.定义在 (??, ??) 上的偶函数 f ( x) 满足: f ( x ? 1) ? ? f ( x) ,且在 [?1,0] 上是增函数,下 面关于 f ( x) 的判断: ① f ( x ) 是周期函数; ② f ( x ) 的图象关于直线 x ? 1 对称; ③ f ( x) 在 [0,1] 上是增函数; ④ f ( x ) 在 [1, 2] 上是减函数; ⑤ f (2) ? f (0) . 其中正确的判断是__________________ (把你认为正确的判断的序号都填上). 答案: ① ②⑤ 57.已知函数 f ( x) 是 (??, ??) 上的偶函数,若对于 x ? 0 ,都有 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且当 ,则 f (?2011) ? f (2012) 的值为( x ? [0, 2) 时, f ( x) ? log 2 ( x ? 1 ) )

A . ?2
答案:C

B . ?1

C .1

D.2

58.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=-f(x+ f(1)+f(2)+…+f(2005)+f(2006)=( A.-2 答案:A B.-1 ) C.0

3 ) ,且 f(-2)=f(-1)=-1,f(0)=2,则 2

D.1
2

59.f ( x ) 是 R 上周期为 3 的奇函数,若 f (1) ? 1 , f (2) ? a ? a ? 1 ,则 a 的取值范围是 ( ) A、a<0.5 且 a≠1 答案:C 60. f (x) 是周期为 2 的奇函数,当 0?x?1 时, f (x) ? 2 x(1 ? x) A. ? 则 f (B、-1<a<0 C、a<-1 或 a>0 D、-1<a<2

5 )? 2

1 2

B. ?

1 4

C.

1 4

D.

1 2

答案:A 61.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x).当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤ x<3 时,f(x)=x.则 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2 012)=( A.335 C.1 678 B.338 D.2 012 )

[自主解答] (1)由 f(x+6)=f(x)可知,函数 f(x)的周期为 6,所以 f(-3)=f(3)=-1,f(- 2)=f(4)=0,f(-1)=f(5)=-1,f(0)=f(6)=0,f(1)=1,f(2)=2,所以在一个周期内有 f(1) +f(2)+?+f(6)=1+2-1+0-1+0=1,所以 f(1)+f(2)+?+f(2 012)=f(1)+f(2)+335×1 =1+2+335=338.

62.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且是以 2 为周期的周期函数.若当 x∈[0,1)时,

f(x)=2x-1,则 f?

?

log 1 6?
2

?

的值为(

) B.-5 D.-6

5 A.- 2 1 C.- 2

3 解析:(1)选 C ∵-3<log 1 6<-2,∴-1<log 1 6+2<0,即-1<log 1 <0.∵f(x)是周期 2
2 2 2

为 2 的奇函数, 3? 3? 3 ? ? 3 1 log2 ?=-?2 log 2 2 -1?=- . ∴f(log 1 6)=f?log 1 2?=-f?-log 1 2?=-f? 2 ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ?
2

3? 63.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=-f? ?x+2?,且 f(1)=3,则 f(2 014)=__________. 3? 3 解析:∵f(x)=-f? ?x+2?, 3? 3? ∴f(x+3)=f?? ?x+2?+2

?

?

3? =-f? ?x+2?=f(x). ∴f(x)是以 3 为周期的周期函数. 则 f(2 014)=f(671×3+1)=f(1)=3. 1+f(x) 1 【例 3-2】 - 解析:∵f(x+1)= , 2 014 1-f(x) 1+f(x) 1+ 1-f(x) 1+f(x+1) 1 ∴f(x+2)= = =- . f(x) 1-f(x+1) 1+f(x) 1- 1-f(x) ∴f(x+4)=f(x),即函数 f(x)的周期为 4. ∵f(1)=2 014, 1 1 ∴f(103)=f(25×4+3)=f(3)=- =- . f(1) 2 014

课外作业 1 1 64.函数 f(x)= -x 的图象关于( ). x A.y 轴对称 B.直线 y=-x 对称 C.坐标原点对称 D.直线 y=x 对称 C 解析:判断 f(x)为奇函数,图象关于原点对称,故选 C. x 65.若函数 f(x)= 为奇函数,则 a=( ?2x+1??x-a? 1 2 3 A. B. C. D.1 2 3 4 A 解析:∵f(x)为奇函数, ∴f (x)=-f(-x),
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).

x x 1 即: = 恒成立,整理得:a= .故选 A. 2 (2x+1)(x-a) (-2x+1)(-x-a) 66.函数 f(x)=(m-1)x2+2mx+3 为偶函数,则 f(x)在区间(-5,-3)上( ). A.先减后增 B.先增后减 C.单调递减 D.单调递增 D 解析:当 m=1 时,f(x)=2x+3 不是偶函数,当 m≠1 时,f(x)为二次函数,要使其 为偶函数,则其对称轴应为 y 轴,故需 m=0,此时 f(x)=-x2+3,其图象的开口向下,所 以函数 f(x)在(-5,-3)上单调递增. 67.若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数,且满足 f(1)=1,f(2)=2,则 f(3)-f(4)=( ). A.-1B.1C.-2D.2 A 解析:∵f(3)=f(5-2)=f(-2)=-f(2)=-2,f(4)=f(5-1)=f(-1)=-f(1)=-1, ∴f(3)-f(4)=-1,故选 A. 68.若偶函数 f(x)是以 4 为周期的函数,f(x)在区间[-6,-4]上是减函数,则 f(x)在[0,2]上 的单调性是__________. 单调递增 解析:∵T=4,且在[-6,-4]上单调递减, ∴函数在[-2,0]上也单调递减.又 f(x)为偶函数,故 f(x)的图象关于 y 轴对称, 由对称性知 f(x)在[0,2]上单调递增. 69.已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于 x≥0,都有 f(x+2)=-f(x),且当 x∈ [0,2)时,f(x)=log2(x+1),则 f(-2 011)+f(2 012)=( A.1+log23 C.-1 )

B.-1+log23 D.1

解析:选 C ∵f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数, ∴f(-2 011)=f(2 011). 当 x≥0 时,f(x+4)=-f(x+2)=f(x),则 f(x)是以 4 为周期的函数.注意到 2 011=4× 502+3,2 012=4×503, ∴f(2 011)=f(3)=f(1+2)=-f(1)=-log2(1+1)=-1,f(2 012)=f(0)=log21=0. ∴f(-2 011)+f(2 012)=-1. 70.下列函数中既不 是奇函数,又不是偶函数的是( ). |x| 2 A.y=2 B.y=lg(x+ x +1) 1 -x x C.y=2 +2 D.y=lg x+1 1 D 解析:对于 D,y=lg 的定义域为{x|x>-1},不关于原点对称,是非奇非偶函 x+1 数. 71.已知函数 f(x)对一切 x,y∈R,都有 f(x+y)=f(x)+f(y),则 f(x)为( ). A.偶函数 B.奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 B 解析:显然 f(x)的定义域是 R,它关于原点对称. 令 y=-x,得 f(0)=f(x)+f(-x), 又∵f(0)=0,∴f(x)+f(-x)=0, 即 f(-x)=-f(x). ∴f(x)是奇函数,故选 B. 72.函数 f(x)的定义域为 R,且满足:f(x)是偶函数,f(x-1)是奇函数,若 f(0.5)=9,则 f(8.5)

等于( ). A.-9 B.9 C.-3 D.0 B 解析:由题可知,f(x)是偶函数,所以 f(x)=f(-x). 又 f(x-1)是奇函数, 所以 f(-x-1)=-f(x-1). 令 t=x+1,可得 f(t)=- f(t-2), 所以 f(t-2)=-f(t-4). 所以可得 f(x)=f(x-4), 所以 f(8.5)=f(4.5)=f(0.5)=9,故选 B. 73.设偶函数 f(x)满足 f(x)=2x-4(x≥0),则不等式 f(x-2)>0 的解集为( ). A.{x|x<-2,或 x>4} B.{x|x<0,或 x>4} C.{x| x<0,或 x>6} D.{x|x<-2,或 x>2} B 解析:当 x≥0 时,令 f(x)=2x-4>0,所以 x>2.又因为函数 f(x)为偶函数,所以函 数 f(x)>0 的解集为{x|x<-2,或 x>2}.将函数 y=f(x)的图象向右平移 2 个单位即得函数 y =f(x-2)的图象,故 f(x-2)>0 的解集为{x|x<0,或 x>4}. 74. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称, f(-1)=1, 则 f(2 008)+f(2 009) +f(2 010)+f(2 011)+f(2 012)+f(2 013)=__________. -1 解析:由已知得 f(0)=0,f(1)=-1. 又 f(x)关于 x=1 对称, ∴f(x)=f(2-x)且 T=4, ∴f(2)=f(0)=0,f(3)=f(3-4)=f(-1)=1, f(2 008)=f(0)=0,f(2 009)=f(1)=-1, f(2 010)=f(2)=0,f(2 011)=f(3)=1, f(2 012)=f(0)=0, f(2 013)=f(1)=-1. ∴f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)+f(2 012)+f(2 013)=-1. 75. 定义在(-1,1)上的函数 f(x)是奇函数,并且在(-1,1)上 f(x)是减函数,求满足条件 2 f(1-a)+f(1-a )<0的a取值范围. ( A ) A.(0,1) B.(-2,1) C.[0,1] D.[-2,1] 76.已知函数 f(x)是定义在区间[-2,2]上的偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)是减函数,如果 不等式 f(1-m)<f(m)成立,求实数m的取值范围.( A ) A. [ ?1, )

77.设 f(x)是定义在(0,+ ? )上的单调递增函数,且对定义域内任意 x,y,都有 f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1,求使不等式 f(x)+f(x-3) ? 2 成立的取值范围.

1 2

B.[1,2]

C.[-1,0] D.( ?1,

1 ) 2

? 3, 4?

78.已知 y ? f ( x) 是偶函数,其图象与 x 轴共有四个交点,则方程 f ( x) ? 0 的所有实数解 的和是 ( C ) ( A) 4 (B) 2 (C ) 0 ( D) 不能确定
5 3 79.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? 8 ,且 f (?2) ? 10 ,则 f (2) ? -26



80.已知偶函数 f ( x ) 在 [0, ??) 上是增函数,若 f (a) ? f (b) ,则必有( C )

( A) a ? b
在 ? ??,0? 上有 ( )

(B) a ? b

(C ) | a |?| b |

( D) a ?| b |

81.若 ? ( x), g ( x) 都是奇函数, f ( x) ? a? ( x) ? bg ( x) ? 2 在 ? 0, ??? 上有最大值 5,则 f(x)

A 最小值-5 B.最大值-5 C.最小值-1 D.最大值-3 82.已知函数 y=f(x)是偶函数,y=f(x-2)在[0,2]上是单调减函数,则( A.f(0)<f(-1)<f(2) B.f(-1)<f(0)<f(2)



C.f(-1)<f(2)<f(0) D.f(2)<f(-1)<f(0) 83.已知定义域为 R 的函数 f ( x ) 在 (8, ? ?) 上为减函数,且函数 y ? f ( x ? 8) 为偶函数, 则(D ) A. f (6) ? f (7) B. f (6) ? f (9) C. f (7) ? f (9)

D. f (7) ? f (10) - - 84.若函数 f(x)=3x+3 x 与 g(x)=3x-3 x 的定义域均为 R,则 A.f(x)与 g(x)均为偶函数 B.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数 C.f(x)与 g(x)均为奇函数 D.f(x)为偶函数,g(x)为奇函数 解析:选 D ∵f(x)=3x+3 x,g(x)=3x-3 x,
- -

∴f(-x)=3 x+3x=f(x),g(-x)=3 x-3x=-g(x).
- -

∴f(x)为偶函数,g(x)为奇函数. 85.若定义在 R 上的偶函数 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=ex,则 g(x)等于( A.ex-e
-x

)

1 - B. (ex+e x) 2 1 - D. (ex-e x) 2

1 - C. (e x-ex) 2

解析:选 D ∵f(x)为偶函数,g(x)为奇函数, ∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x). ∴f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)=e x.


又∵f(x)+g(x)=ex, ex-e x ∴g(x)= . 2


86. 已知函数 f ( x) 是奇函数, 当 x ? 0 时,f ( x) ? x(1 ? x) , 当 x ? 0 时,f ( x) 等于 x(1 ? x)

( x ? 1)( x ? a ) 为奇函数,则 a ? -1 。 x 2 88.已知函数 f ( x) ? (m ? 2) x ? (m ?1) x ? 3 是偶函数,求 f ( x ) 的单调增区间及最大值. (? ?, 0] 单调增区间 最大值是 3
87.设函数 f ( x) ? 89.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 x∈R,都有 f(x+2)=f(x).当 0≤x ≤1 时,f(x)=x2.若直线 y=x+a 与函数 y=f(x)的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点, 则实数 a 的值是( A.0 1 1 C.- 或- 4 2 解析:选 D ∵f(x+2)=f(x),∴T=2. 又 0≤x≤1 时,f(x)=x2,可画出函数 y=f(x)在一个周期内的图象如图. ) 1 B.0 或- 2 1 D.0 或- 4

显然 a=0 时,y=x 与 y=x2 在[0,2]内恰有两个不同的公共点. 另当直线 y=x+a 与 y=x2(0≤x≤1)相切时也恰有两个不同公共点,由题意知 y′= 1 (x2)′=2x=1,∴x= . 2 1 1? 1 ∴A? ?2,4?,又 A 点在 y=x+a 上,∴a=-4, 1 综上可知 a=0 或- . 4

90. 函数 f(x)的定义域 D={x|x≠0},且满足对于任意 x1,x2∈D,有 f(x1· x2)=f(x1)+f(x2). (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性,并证明; (3)如果 f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且 f(x)在(0,+ ∞)上是增函数,求 x 的取值范 围. 正解:(1)令 x1=x2=1, 有 f(1×1)=f(1)+f(1),解得 f(1)=0. (2)f (x)为偶函数,证明如下: 令 x1=x2=-1, 有 f[(-1)×(-1)]=f(-1)+f(-1), 解得 f(-1)=0. 令 x1=-1,x2=x,有 f(-x)=f(-1)+f(x), ∴f(-x)=f(x).∴f(x)为偶函数. (3)f(4×4)=f(4)+f(4)=2, f(16×4)=f(16)+f(4)=3. 由 f(3x+1)+f(2x-6)≤3, 变形为 f[(3x+1)(2x-6)]≤f(64).(*) ∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x)=f(|x|). ∴不等式(*)等价于 f[|(3x+1)(2x-6)|]≤f(64). 又∵f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴|(3x+1)(2x-6)|≤64,且(3x+1)(2x-6)≠0. 7 1 1 解得- ≤x<- 或- <x<3 或 3<x≤5. 3 3 3 ∴x 的取值范围是 1 1 ? ? 7 ? ?x - ≤x<- ,或- <x<3,或3<x≤5? . 3 3 3 ? ? ? 答题指导: 等价转化要做到规范,应注意以下几点: (1)要有明确的语言表示.如“M”等价于“N”、“M”变形为“N”. (2)要写明转化的条件.如本例中:∵f(x)为偶函数,∴不等式(*)等价 于 f[|(3x+1)(2x- 6)|]≤f(64). (3)转化的结果要等价. 如本例: 由于 f[|(3x+1)(2x-6)|]≤f(64) ? |(3x+1)(2x-6)|≤64, 且(3x+1)(2x-6)≠0.若漏掉(3x+1)(2x-6)≠0,则这个转化就不等价了.
[来源:Z§ xx§ k.Com]

课后作业 2
一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1.(2012· 陕西高考)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( A.y=x+1 1 C.y= x B.y=-x3 D.y=x|x| )

解析:选 D 由函数的奇偶性排除 A,由函数的单调性排除 B、C,由 y=x|x|的图象可 知当 x≥0 时此函数为增函数,又该函数为奇函数. 2.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且满足 f(x+4)=f(x),则 f(8)=( A.0 C.2 B.1 D.3 )

解析:选 A 由题意,f(x)是以 4 为周期的奇函数, 则 f(4)=f(4+0)=f(0)=0,f(8)=f(4+4)=f(4)=0. f?x?+f?-x? 3.设偶函数 f(x)在(0,+∞)上为减函数,且 f(2)=0,则不等式 >0 的解集为 x ( ) A.(-2,0)∪(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(0,2) D.(-2,0)∪(0,2)

f?x?+f?-x? 2f?x? 解析:选 B ∵f(x)为偶函数,∴ = >0, x x ∴xf(x)>0,
?x>0, ?x<0, ? ? ∴? 或? 又 f(-2)=f(2)=0,f(x)在(0,+∞)上为减函数,∴x∈(0,2)或 x ?f?x?<0. ?f?x?>0, ? ?

∈(-∞,-2).
x ? ?1-2 ,x≥0, ? 4.已知函数 f(x)= x 则该函数是( ?2 -1,x<0, ?


)

A.偶函数,且单调递增 C.奇函数,且单调递增

B.偶函数,且单调递减 D.奇函数,且单调递减
- -

解析: 选 C 当 x>0 时, -x<0, f(-x)+f(x)=(2 x-1)+(1-2 x)=0; 当 x<0 时, -x>0, f(-x)+f(x)=(1-2x)+(2x-1)=0,易知 f(0)=0.因此,对任意 x∈R,均有f?-x?+f(x)=0, 即函数 f(x)是奇函数.当 x>0 时,函数 f(x)是增函数,因此函数 f(x)单调递增. 5.(2013· 广州模拟)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上 是增函数,则( ) B.f(80)<f(11)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11)

A.f(-25)<f(11)<f(80) C.f(11)<f(80)<f(-25)

解析: 选 D 由函数 f(x)是奇函数且 f(x)在[0,2]上是增函数可以推知 f(x)在[-2,2]上递增, 又 f(x-4)=-f(x)?f(x-8)=-f(x-4)=f(x),故函数 f(x)以 8 为周期,f(-25)=f(-1),f(11) =f(3)=-f(3-4)=f(1),f(80)=f(0),故 f(-25)<f(80)<f(11). 6. 函数 f(x)是周期为 4 的偶函数, 当 x∈[0,2]时, f(x)=x-1, 则不等式 xf(x)>0 在[-1,3] 上的解集为( A.(1,3) C.(-1,0)∪(1,3) 解析:选 C f(x)的图象如图. ) B.(-1,1) D.(-1,0)∪(0,1)

当 x∈(-1,0)时,由 xf(x)>0 得 x∈(-1,0); 当 x∈(0,1)时,由 xf(x)<0 得 x∈?; 当 x∈(1,3)时,由 xf(x)>0 得 x∈(1,3). 故 x∈(-1,0)∪(1,3). 二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 7.若函数 f(x)=ax2+bx+3a+b 是偶函数,定义域为[a-1,2a],则 a=________,b= ________. 1 解析:因为偶函数的定义域关于原点对称,所以 a-1=-2a,解得 a= . 3 1 又函数 f(x)= x2+bx+b+1 为二次函数,结合偶函数图象的特点,易得 b=0. 3 1 答案: 0 3 8.若偶函数 y=f(x)为 R 上的周期为 6 的周期函数,且满足 f(x)=(x+1)(x-a)(-3≤x ≤3),则 f(-6)等于________. 解析:∵y=f(x)为偶函数,且 f(x)=(x+1)(x-a)(-3≤x≤3), ∴f(x)=x2+(1-a)x-a,1-a=0. ∴a=1.f(x)=(x+1)(x-1)(-3≤x≤3). f(-6)=f(-6+6)=f(0)=-1. 答案:-1 2a-1 9. (2013· 徐州模拟)设函数 f(x)是定义在 R 上周期为 3 的奇函数, 若 f(1)<1, f(2)= , a+1 则 a 的取值范围是________. 解析:∵f(x)是奇函数,∴f(1)=-f(-1)<1.

2a-1 3a ∴f(-1)>-1.又∵f(x)的周期为 3, ∴f(-1)=f(2)= >-1.即 >0, 解得 a>0 或 a< a+1 a+1 -1. 答案:(-∞,-1)∪(0,+∞) 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 12 分,共 36 分) 10.函数 y=f(x)(x≠0)是奇函数,且当 x∈(0,+∞)时是增函数,若 f(1)=0,求不等式 1? f(x? ?x-2?<0 的解集. 解:∵y=f(x)是奇函数,∴f(-1)=-f(1)=0. 又∵y=f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴y=f(x)在(-∞,0)上是增函数, x- ?>0, x? ? 2? ? 1 x- ?<0=f(1),∴? 若 f(x? ? 2? 1? ?x? ?x-2?<1, 1? 1+ 17 1- 17 1 即 0<x? ?x-2?<1,解得2<x< 4 或 4 <x<0. 1 x- ?<0=f(-1),∴ f(x? ? 2? 1

? ?x? ?x-2?<0, ? ? 1? ?x?x-2?<-1.

1

1? ∴x? ?x-2?<-1,解得 x∈?. 1+ 17 1- 17 1 ∴原不等式的解集是 x <x< 或 <x<0. 2 4 4 a 11.已知函数 f(x)=x2+ (x≠0,常数 a∈R). x (1)讨论函数 f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若函数 f(x)在 x∈[2,+∞)上为增函数,求实数 a 的取值范围. 解:(1)当 a=0 时,f(x)=x2 对任意 x∈(-∞,0)∪(0,+∞),f(-x)=(-x)2=x2=f(x). 故 f(x)为偶函数; a 当 a≠0 时,f(x)=x2+ (x≠0,常数 a∈R), x 取 x=± 1,得 f(-1)+f(1)=2≠0; f(-1)-f(1)=-2a≠0, 即 f(-1)≠-f(1),f(-1)≠f(1). 故函数 f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. (2)设 2≤x1<x2,

a a 2 f(x1)-f(x2)=x2 1+ -x2- x1 x2 = ?x1-x2? [x1x2(x1+x2)-a], x1x2

要使函数 f(x)在 x∈[2,+∞)上为增函数,必须 f(x1)-f(x2)<0 恒成立, ∵x1-x2<0,∴x1x2(x1+x2)-a>0, 即 x1x2(x1+x2)>a 恒成立. 又∵x1+x2>4,x1x2>4,∴x1x2(x1+x2)>16. ∴a 的取值范围是(-∞,16].


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