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求含参不等式恒成立问题中参数范围的基本方法与策略--唐春晖


求含参不等式恒成立问题中参数范围的基本方法与策略 唐春晖/湖南省新田县第一中学 【摘 要】本文通过一些实例谈谈含参不等式恒成立问题中求参数范围的四个基本方法与策 略. 【关键词】函数与导数;不等式恒成立;参数范围 函数与导数题型中求参数的值或范围的问题, 是高考中的重点、 难点、 与热点内容之一, 若出现在压轴题中则一定是具有挑战性的内容, 其中求参数的值或范围时可能遇到下列条件: 已知函数在某区间上具有或不具有单调性; 与极值最值有关; 已知函数的零点或方程的根的 个数;已知存在 x 使不等式恒成立;已知任意 x 使不等式恒成立等,本文通过一些实例仅谈 谈含参不等式恒成立问题中求参数范围的四个基本方法与策略. 一、参变分离法 通过对不等式的恒等变形将不等式中的参数与变量分离开来,转化成 g (a) ? f ( x) 或 g (a) ? f ( x) 的形式,再求 f ( x)的最值, 最后解不等式 g (a) ? f ( x) max 或 g (a) ? f ( x) min 即可. 例 1 已知 x 2 ? ax ? ln x ? 0 恒成立,求 a 的取值范围. 2 解:由已知对任意 x ? (0,??) 时, x ? ax ? ln x ? 0 恒成立,即不等式 a ? x ? ln x x 在 x ? (0,??) 恒成立,令 f ( x ) ? x ? x 2 ? ln x ? 1 ln x 2 ,则 f ' ( x ) ? ,令 g ( x) ? x ? ln x ? 1 2 x x 易知 g ( x)在( 0, ? ?)上为增函数,且注意 g(1) ? 0,于是当x ? (0,1) 时, f ' ( x) ? 0, 所以函数 f ( x ) 在区间 (0,1)上为减函数,在区间( 上 当x ? (1,??)时, f ' ( x) ? 0 , 1 , ? ?) 为增函数,故 f ( x)min ? f (1) ? 1,所以 a ? 1 . 评注:此类题的解法一般按以下步骤进行:①参变分离;②构造函数并求导数;③由导 数符号判断原函数的单调性; ④由单调性求出函数最值; ⑤从而得到参数的范围 .本题参变 分离与函数最值取得都比较容易,再看下一题. 例 2 (2010 新课标理第 2 问)设函数 f ( x) ? e ?1 ? x ? ax .当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 , x 2 求 a 的取值范围. x x 解: 当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 , 即 e ? 1? x? a 2 .①当 x ? 0 时,a ? R ; ②当 x ? 0 时, ex ?1 ? x ( x ? 2)e x ? x ? 2 e ? 1 ? x ? ax 等价于.记 g ( x) ? . x ? (0, +?) ,则 g '( x) ? x2 x3 x 2 e ? , 1 当 x?( 0 记 h( x) ? ( x ? 2)e ? x ? 2 , x ? (0, +?) , 则 h '( x )? (x? 1) , + ? )时 , x x x x h ''(x ) ? xe ? 0 ,所以 h '( x) ? ( x ?1)e ? 1 在 (0, +?) 上为增函数,且 h '( x) ? h '(0) ? 0 , 所以 h( x) ? ( x ? 2)e ? x ? 2 在 (0, 且 hx +?) 上为增函数, () ? h0 ( ) 0 ? x , 因此当 x ? (0, +?) 时, g '(

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