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湛江市2014-2015学年度第一学期期末高中调研考试试题数学必修⑤、选修2-1答案

湛江市 2014—2015 学年度第一学期期末调研考试 高中数学(必修⑤、选修 2-1)参考答案及评分意见 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。 题号 选项 1 D 2 A 3 C 4 C 5 D 6 D 7 A 8 B 得分 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 9. ?x ? R, x 2 ? x ? 2 ? 0 ; 10. x 1 ? x ? 2 ? ? 11. 10 3 12. 5 13. 5, 6 14. 3 8 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分 12 分) 解: (1)设所求抛物线方程为: x 2 ? ?2 py , x 2 ? 2 py ( p ? 0 ).?????????????2 分 由顶点到准线的距离为 4 知 p ? 8 , ??????????????????????4 分 故所求抛物线方程为 x 2 ? ?16 y , x 2 ? 16y .??????????????????6 分 0 )知双曲线焦点在 x 轴上, (2) 由双曲线过点 P( ? 2, 设双曲线方程为 x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,??????????????????????7 分 a2 b2 2 ?5? ? ? 2 3 2 则 a ? 2 ,且 ? ? 2? ? 1,????????????????????????????9 分 4 b 解得 b ? 5 .???????????????????????????????????11 分 2 ∴ 所求双曲线的方程为 16.(本小题满分 12 分) x2 y2 ? ? 1 .????????????????????????12 分 4 5 解:(1)∵ c ? a ? b ? ab , 2 2 2 ∴ cosC ? a2 ? b2 ? c2 ab 1 ? ? ,??????????????????????4 分 2ab 2ab 2 ∴ C ? 60? .????????????????????????????????6 分 (2)由 S ? 1 3 3 absin C ? 及 b ? 2 , C ? 60? 得 2 2 1 3 3 ? 2a sin 60? ? ,??????????????????????????10 分 2 2 解得 a ? 3 . ??????????????????????????????12 分 17.(本小题满分 14 分) 解: ∵ x ? x ? 1 ? ( x ? 2 1 2 3 ) ? ? 0 恒成立, 2 4 第 1 页 (共 4 页) 高中数学(必修⑤、选修 2-1)试题 参考答案及评分意见 ∴ 命题 p : “函数 f ( x) ? log(x 2 ? x ? 1) 的定义域为 R ”为真命题, ???????????3 分 ∴ 命题 ? p 为假命题, ????????????????????????????????4 分 又命题“ ? p ? q ”为真命题, ∴ 命题 q :“ S n ? 3n ? t 为等比数列 {an } 的前 n 项和”为真命题,????????????6 分 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 3 ? t , ???????????????????????????8 分 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 3n ? 3n?1 ? 2 ? 3n?1 , ??????????????????12 分 0 依题意知上式对 n ? 1 均成立,即 3 ? t ? 2 ? 3 ,故 t ? ?1 . ∴ 当“ ? p ? q ”为真命题时,实数 t 的值为 ?1 . 18.(本小题满分 14 分) 证明:(1)连接 BE , ???????????????????14 分 A G 由 AE ? 平面 BCD 得 AE ? CD ,?????????1 分 又 AD ? CD ,且 AD ? AE ? A , ∴ CD ? 平面 AED ,∴ CD ? DE ,????????3 分 同理可得 CB ? BE ,又 ?BCD ? 90? , 所以四边形 BCDE 为矩形, ????????????4 分 又 BC ? CD ,所以四边形 BCDE 为正方形, ∴ CE ? BD .??????????????????6 分 B E D C (2)方法一:由(1)的证明过程知四边形 BCDE 为正方形,以点 E 为原点,建立如图所示的空间 直角坐标系,??????7 分 则 E (0, 0, 0) , D(0, 6, 0) , A(0, 0, 6) , B(6, 0, 0) , C (6, 6, 0) .????????????8 分 ∴ CA ? (?6 , ? 6 , 6) ,由 CG ? 2GA 得 CG ? 2 CA ? (?4 , ? 4 , 4) , 3 可求得 G(2, 2, 4) , ????????????????9 分 ∴ ED ? (0 , 6 , 0) , EG ? (2 , 2 , 4) , ????????10 分 易知平面 CEG 的一个法向量为 BD ? (?6 , 6 , 0) . ???11 分 设平面 DEG 的一个法向量为 n ? ( x , y ,1) , ?? ? ? n? ED ? 0 则由 ? ? ? ? ? n? EG ? 0 ∴ cos ? BD ? n ?? , 得 n ? (?2 , 0 ,1) , ??????12 分 BD ? n BD ? n ? 10 10 ,即二面角 C ? EG ? D 的余弦值为 .?????14 分 5 5 方法二:设 BD 与 CE 相交于点 O ,由(1)的证明过程知 O

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