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高中数学知识点总结(最全版)

引言 1.课程内容: 必修课程由 5 个模块组成: 必修 1:集合、函数概念与基本初等函数(指、对、幂函数) 必修 2:立体几何初步、平面解析几何初步。 必修 3:算法初步、统计、概率。 必修 4:基本初等函数(三角函数) 、平面向量、三角恒等变换。 必修 5:解三角形、数列、不等式。 2.重难点及考点: 高考相关考点: ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件 ⑵函数:映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与 指数函数、对数与对数函数、函数的应用 ⑶数列:数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数:有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函 数的图象与性质、三角函数的应用 ⑸平面向量:有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用 ⑹不等式:概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应 用 ⑺直线和圆的方程:直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程:椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应 用 ⑼直线、平面、简单几何体:空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量 ⑽排列、组合和概率:排列、组合应用题、二项式定理及其应用 ⑾概率与统计:概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布 ⑿导数:导数的概念、求导、导数的应用 ⒀复数:复数的概念与运算

高中数学 必修 1 知识点

第一章 集合与函数概念 〖1.1〗集合 【1.1.1】集合的含义与表示 (5)集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元 素的集合叫做空集( ? ). 【1.1.2】集合间的基本关系 (6)子集、真子集、集合相等 名称 记号 意义 性质 示意图 (1)A ? A A? B (2) ? ? A (或 A 中的任一元素 A(B) B A (3)若 A ? B 且 B ? C ,则 A ? C 子集 都属于 B B ? A) 或 (4)若 A ? B 且 B ? A ,则 A ? B A?B 真子 集
?

A ? B ,且 B 中

(1) ?? A (A 为非空子集)
?
B A

(或 B ? A)
?

B 且 B ? C ,则 A ? C 至少有一元素不 (2)若 A ? ? ? ? 属于 A
A 中的任一元素 都属于 B,B 中 (1)A ? B 的任一元素都属 (2)B ? A 于A

集合 相等

A? B

A(B)

(7)已知集合 A 有 n(n ? 1) 个元素,则它有 2 n 个子集,它有 2 n ? 1 个真子集,它有 2 n ? 1 个非空子集, 它有 2 n ? 2 非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 (8)交集、并集、补集 名 记 意义 称 号 (1) A 交 集
A B
{x | x ? A, 且
x ? B}

性质
A? A

示意图

(2) A ? ? ?
A B

(3) A B ? A
A B?B A? A

(1) A 并 集
A B
{x | x ? A, 或
x ? B}

(2) A ? ? A
A B

(3) A B ? A
A B?B
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补 集

?U A

{x | x ?U , 且x ? A}

痧 B) ? ( U A) (? U (A U B) 痧 B) ? ( U A) (? U (A U B)

1

A (? U A) ? ?

2 A (?U A) ? U

【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 (1)含绝对值的不等式的解法 不等式 解集
| x |? a(a ? 0) {x | ?a ? x ? a}
x | x ? ?a 或 x ? a}

| x |? a(a ? 0)

把 ax ? b 看成一个整体,化成 | x |? a ,
| ax ? b |? c,| ax ? b |? c(c ? 0)
| x |? a(a ? 0) 型不等式来求解

(2)一元二次不等式的解法 判别式
? ? b 2 ? 4ac

??0

??0

??0

二次函数

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0)
的图象 一元二次方程
ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
O

x1,2 ?

?b ? b2 ? 4ac 2a

x1 ? x2 ? ?

的根
ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)

(其中 x1 ? x2 )

b 2a

无实根

{x | x ? x1 或 x ? x2 }

{x | x ? ?

的解集
ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)

b } 2a

R

{x | x1 ? x ? x2}
〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念

?

?

的解集

(1)函数的概念 ①设 A 、 B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则 f ,对于集合 A 中任何一个数 x ,在集 合 B 中都有唯一确定的数 f ( x) 和它对应,那么这样的对应(包括集合 A , B 以及 A 到 B 的对应
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法则 f )叫做集合 A 到 B 的一个函数,记作 f : A ? B . ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则. ③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. (2)区间的概念及表示法 ①设 a , b 是两个实数,且 a ? b ,满足 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做闭区间,记做 [a, b] ;满足
a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做开区间,记做 ( a, b) ;满足 a ? x ? b ,或 a ? x ? b 的实数 x 的集合

叫做半开半闭区间,分别记做 [a, b) , (a, b] ;满足 x ? a, x ? a, x ? b, x ? b 的实数 x 的集合分别记 做 [a, ??),(a, ??),(??, b],(??, b) . 注意:对于集合 {x | a ? x ? b} 与区间 (a, b) ,前者 a 可以大于或等于 b ,而后者必须 a ? b . (3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则: ① f ( x) 是整式时,定义域是全体实数. ② f ( x) 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数. ③ f ( x) 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合. ④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于 1. ? ⑤ y ? tan x 中, x ? k? ? (k ? Z ) . 2 ⑥零(负)指数幂的底数不能为零. ⑦若 f ( x) 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等 函数的定义域的交集. ⑧对于求复合函数定义域问题, 一般步骤是: 若已知 f ( x) 的定义域为 [a, b] , 其复合函数 f [ g ( x)] 的定义域应由不等式 a ? g ( x) ? b 解出. ⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论. ⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义. (4)求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存 在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是 相同的,只是提问的角度不同.求函数值域与最值的常用方法: ①观察法:对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值. ②配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定 函数的值域或最值. ③判别式法:若函数 y ? f ( x) 可以化成一个系数含有 y 的关于 x 的二次方程 则在 a( y) ? 0 时, 由于 x, y 为实数, 故必须有 ? ? b2 ( y) ? 4a( y) ? c( y) ? 0 , a( y) x2 ? b( y) x ? c( y) ? 0 , 从而确定函数的值域或最值. ④不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值. ⑤换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题 转化为三角函数的最值问题. ⑥反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值. ⑦数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值. ⑧函数的单调性法. 【1.2.2】函数的表示法
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(5)函数的表示方法 表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种. 解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法:就是列出表格来表示两个 变量之间的对应关系.图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系. (6)映射的概念 ①设 A 、 B 是两个集合,如果按照某种对应法则 f ,对于集合 A 中任何一个元素,在集合 B 中 都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合 A , B 以及 A 到 B 的对应法则 f )叫做 集合 A 到 B 的映射,记作 f : A ? B . ②给定一个集合 A 到集合 B 的映射,且 a ? A, b ? B .如果元素 a 和元素 b 对应,那么我们把元 素 b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象. 〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大(小)值 (1)函数的单调性 ①定义及判定方法 函数的 定义 图象 性 质 如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任 y y=f(X) 意两个自变量的值 x1、 f(x2) x2,当 x < x 时,都有 1 2 . . . .. f(x1 ) f(x )<f(x ) ,那么就 1 2 . . . . . . . . . . . x x x 说 f(x)在这个区间上 o 是增函数 . 函数的 ...
1 2

判定方法 (1)利用定义 ( 2 )利用已知函数的 单调性 (3) 利用函数图象 (在 某个区间图 象上升为增) (4)利用复合函数 (1)利用定义 ( 2 )利用已知函数的 单调性 (3) 利用函数图象 (在 某个区间图 象下降为减) (4)利用复合函数

单调性

如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任 意两个自变量的值 x1、 x2,当 x < x 时,都有 1 2 . . . . . f(x )>f(x ) ,那么就 1 2 . . . . . . . . . . . 说 f(x)在这个区间上 是减函数 . ...

y
f(x )
1

y=f(X)
f(x )
2

o

x1

x2

x

②在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减 函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数. ③对于复合函数 y ? f [ g ( x)] ,令 u ? g ( x) ,若 y ? f (u ) 为增,u ? g ( x) 为增,则 y ? f [ g ( x)] 为增; 若 y ? f (u ) 为减, u ? g ( x) 为减,则 y ? f [ g ( x)] 为增;若 y ? f (u ) 为增, u ? g ( x) 为减,则
y ? f [ g ( x)] 为减;若 y ? f (u ) 为减, u ? g ( x) 为增,则 y ? f [ g ( x)] 为减.

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a (2)打“√”函数 f ( x ) ? x ? (a ? 0) 的图象与性质 x
f ( x) 分别在 (??, ? a ] 、 [ a , ??) 上为增函数,分别

y

在 [? a ,0) 、 (0, a ] 上为减函数. (3)最大(小)值定义 ①一般地,设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I ,如果存在 实数 M 满足: (1) 对于任意的 x ? I , 都有 f ( x) ? M ; (2)存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? M .那么,我们称 M 是函数 f ( x) 的最大值,记作 f max ( x) ? M . ②一般地,设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I ,如果存在实数 m 满足: (1)对于任意的 x ? I ,都有 ( 2 )存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? m .那么,我们称 m 是函数 f ( x) 的最小值,记作 f ( x) ? m ;
o
x

f max ( x) ? m .
【1.3.2】奇偶性 (4)函数的奇偶性 ①定义及判定方法 函数的 性 质

定义 如果对于函数 f(x)定 义域内任意一个 x, 都 有 . f( - - f(x) ,那 . .x)= . . . . . . . . 么函数 f(x)叫做奇函 .. 数 . .

图象

判定方法 (1)利用定义 (要先判断定义 域是否关于原点 对称) (2)利用图象 (图象关于原点 对称) (1)利用定义 (要先判断定义 域是否关于原点 对称) (2)利用图象 (图象关于 y 轴 对称)

函数的 奇偶性

如果对于函数 f(x)定 义域内任意一个 x, 都 有 . f( - f(x) ,那么 . .x)= . . . . . . . 函 数 f(x) 叫 做 偶 .函 . 数 . .

②若函数 f ( x) 为奇函数,且在 x ? 0 处有定义,则 f (0) ? 0 . ③奇函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相反. ④在公共定义域内,两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数) ,两个偶函 数(或奇函数)的积(或商)是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数.
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〖补充知识〗函数的图象 (1)作图 利用描点法作图: ①确定函数的定义域; ②化解函数解析式; ③讨论函数的性质(奇偶性、单调性) ; ④画出函数的图象. 利用基本函数图象的变换作图: 要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各 种基本初等函数的图象. ①平移变换
h?0,左移h个单位 k ?0,上移k个单位 y ? f ( x) ??????? ? y ? f ( x ? h) y ? f ( x) ??????? ? y ? f ( x) ? k h?0,右移|h|个单位 k ?0,下移|k|个单位

②伸缩变换
0?? ?1,伸 y ? f ( x) ???? ? y ? f (? x) ? ?1,缩 0? A?1,缩 y ? f ( x) ???? ? y ? Af ( x) A?1,伸

③对称变换
x轴 y ? f ( x) ?? ? ? y ? ? f ( x) 原点 y ? f ( x) ??? ? y ? ? f (?x)
y轴 y ? f ( x) ??? ? y ? f (? x)

直线y?x y ? f ( x) ???? ? y ? f ?1 ( x)

去掉y轴左边图象 y ? f ( x) ??????????????? ? y ? f (| x |) 保留y轴右边图象,并作其关于y轴对称图象
保留x轴上方图象 y ? f ( x) ????????? ? y ?| f ( x) | 将x轴下方图象翻折上去

(2)识图 对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数 的定义域、值域、单调性、奇偶性,注意图象与函数解析式中参数的关系. (3)用图 函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是探求解 题途径,获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法. 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 〖2.1〗指数函数 【2.1.1】指数与指数幂的运算 (1)根式的概念 ①如果 xn ? a, a ? R, x ? R, n ? 1 ,且 n ? N? ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根.当 n 是奇数时, a 的 n 次方根用符号 n a 表示;当 n 是偶数时,正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示,负的 n 次方根用 符号 ? n a 表示;0 的 n 次方根是 0;负数 a 没有 n 次方根. ②式子 n a 叫做根式,这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方数.当 n 为奇数时, a 为任意实数; 当 n 为偶数时, a ? 0 . ③ 根 式 的 性 质 : ( n a )n ? a ; 当 n 为 奇 数 时 ,
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n

an ? a ; 当 n 为 偶 数 时 ,

n

(a ? 0) ?a . a n ?| a |? ? ??a (a ? 0)
m n

(2)分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是: a ? n am (a ? 0, m, n ? N? , 且 n ? 1) .0 的正分数指数幂等 于 0. ②正数的负分数指数幂的意义是:a
? m n

1 m 1 ? ( ) n ? n ( )m (a ? 0, m, n ? N ? , 且 n ? 1) . 0 的负分数 a a

指数幂没有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. (3)分数指数幂的运算性质 ① ar ? as ? ar ?s (a ? 0, r, s ? R) ③ (ab)r ? ar br (a ? 0, b ? 0, r ? R) 【2.1.2】指数函数及其性质 (4)指数函数 函数名称 定义 指数函数 函数 y ? a x (a ? 0 且 a ? 1) 叫做指数函数
a ?1

② (ar )s ? ars (a ? 0, r, s ? R)

0 ? a ?1
y ? ax y ? ax

y
图象

y

y?1
(0,1)

y?1

(0,1)

O
定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 函数值的 变化情况

1

x 0
R
(0, ??)

O

1

x 0

图象过定点 (0,1) ,即当 x ? 0 时, y ? 1 . 非奇非偶 在 R 上是增函数
a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0)

在 R 上是减函数
a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0)

a 变化对 影响

图象的

在第一象限内,a 越大图象越高;在第二象限内,a 越大图象越低.

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〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算 (1)对数的定义 ①若 a x ? N (a ? 0, 且a ? 1) ,则 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 x ? log a N ,其中 a 叫做底数, N 叫做真数. ②负数和零没有对数. ③对数式与指数式的互化: x ? loga N ? a x ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) . (2)几个重要的对数恒等式

log a 1 ? 0 , log a a ? 1, log a ab ? b .
(3)常用对数与自然对数 常用对数: lg N ,即 log10 N ;自然对数: ln N ,即 loge N (其中 e ? 2.71828 …) . (4)对数的运算性质 如果 a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0 ,那么 ②减法: log a M ? log a N ? log a ④ a loga N ? N ⑥换底公式: log a N ?
logb N (b ? 0, 且b ? 1) logb a
M N

①加法: loga M ? loga N ? loga (MN ) ③数乘: n loga M ? loga M n (n ? R) ⑤ log ab M n ?
n log a M (b ? 0, n ? R ) b

【2.2.2】对数函数及其性质 (5)对数函数 函数 名称 定义 对数函数 函数 y ? loga x(a ? 0 且 a ? 1) 叫做对数函数
a ?1

0 ? a ?1

y
图象

x?1

y ? loga x

y

x?1

y ? loga x

O

1

(1, 0)

0

x
(0, ??)

O

(1, 0) 1 0

x

定义域 值域 过定点 奇偶性

R
图象过定点 (1, 0) ,即当 x ? 1 时, y ? 0 . 非奇非偶
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单调性

在 (0, ??) 上是增函数
log a x ? 0 ( x ? 1)

在 (0, ??) 上是减函数
log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)

函数值的 变化情况

log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)

a 变化对 图 象 的 在第一象限内, a 越大图象越靠低;在第四象限内, a 越大图象越 影响 靠高. (6)反函数的概念
设函数 y ? f ( x) 的定义域为 A ,值域为 C ,从式子 y ? f ( x) 中解出 x ,得式子 x ? ? ( y ) .如果 对于 y 在 C 中的任何一个值,通过式子 x ? ? ( y ) , x 在 A 中都有唯一确定的值和它对应,那么式 子 x ? ? ( y ) 表示 x 是 y 的函数,函数 x ? ? ( y ) 叫做函数 y ? f ( x) 的反函数,记作 x ? f ?1 ( y) ,习惯 上改写成 y ? f ?1 ( x) . (7)反函数的求法 ①确定反函数的定义域,即原函数的值域;②从原函数式 y ? f ( x) 中反解出 x ? f ?1 ( y) ; ③将 x ? f ?1 ( y) 改写成 y ? f ?1 ( x) ,并注明反函数的定义域. (8)反函数的性质 ①原函数 y ? f ( x) 与反函数 y ? f ?1 ( x) 的图象关于直线 y ? x 对称. ②函数 y ? f ( x) 的定义域、值域分别是其反函数 y ? f ?1 ( x) 的值域、定义域. ③若 P(a, b) 在原函数 y ? f ( x) 的图象上,则 P ' (b, a) 在反函数 y ? f ?1 ( x) 的图象上. ④一般地,函数 y ? f ( x) 要有反函数则它必须为单调函数. 〖2.3〗幂函数 (1)幂函数的定义 一般地,函数 y ? x? 叫做幂函数,其中 x 为自变量, ? 是常数. (2)幂函数的图象

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(3)幂函数的性质 ①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分 布在第一、 二象限(图象关于 y 轴对称); 是奇函数时, 图象分布在第一、 三象限(图象关于原点对称); 是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限. ②过定点:所有的幂函数在 (0, ??) 都有定义,并且图象都通过点 (1,1) . ③单调性:如果 ? ? 0 ,则幂函数的图象过原点,并且在 [0, ??) 上为增函数.如果 ? ? 0 ,则幂函数 的图象在 (0, ??) 上为减函数,在第一象限内,图象无限接近 x 轴与 y 轴. ④奇偶性:当 ? 为奇数时,幂函数为奇函数,当 ? 为偶数时,幂函数为偶函数.当 ? ?
q p

q (其中 p, q p
q p

互质, p 和 q ? Z ) ,若 p 为奇数 q 为奇数时,则 y ? x 是奇函数,若 p 为奇数 q 为偶数时,则 y ? x 是偶函数,若 p 为偶数 q 为奇数时,则 y ? x 是非奇非偶函数.
q p

⑤图象特征: 幂函数 y ? x? , x ? (0, ??) , 当 ? ? 1 时, 若 0 ? x ? 1, 其图象在直线 y ? x 下方, 若 x ?1, 其图象在直线 y ? x 上方,当 ? ? 1 时,若 0 ? x ? 1 ,其图象在直线 y ? x 上方,若 x ? 1 ,其图象在直 线 y ? x 下方. 〖补充知识〗二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式: f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ②顶点式: f ( x) ? a( x ? h)2 ? k (a ? 0) ③两根式:

f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) (2)求二次函数解析式的方法
①已知三个点坐标时,宜用一般式. ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式. ③若已知抛物线与 x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求 f ( x) 更方便. (3)二次函数图象的性质 ①二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象是一条抛物线,对称轴方程为 x ? ?
(? b 4ac ? b 2 , ). 2a 4a
b b b ] 上递减,在 [ ? , ?? ) 上递增,当 x ? ? 时, 2a 2a 2a

b , 顶点坐标是 2a

②当 a ? 0 时,抛物线开口向上,函数在 ( ??, ?
f min ( x) ?

4ac ? b 2 b b ;当 a ? 0 时,抛物线开口向下,函数在 ( ??, ? ] 上递增,在 [ ? , ?? ) 上递减, 2a 2a 4a

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当x??

4ac ? b 2 b 时, f max ( x) ? . 2a 4a

③二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 当 ? ? b2 ? 4ac ? 0 时,图象与 x 轴有两个交点

M1 ( x1 ,0), M 2 ( x2 ,0),| M1M 2 |?| x1 ? x2 |?

? . |a|

(4)一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 根的分布 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分知识在初中代数中虽有所涉及, 但尚不够系统和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定 理)的运用,下面结合二次函数图象的性质,系统地来分析一元二次方程实根的分布. 设一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两实根为 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 .令 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ,从以 下四个方面来分析此类问题:①开口方向: a ②对称轴位置: x ? ? 函数值符号. ①k<x1≤x2 ? y
f (k ) ? 0
?

b ③判别式: ? ④端点 2a

y
a?0

x??

b 2a

O

k x1
x??

k
x2
b 2a

O

x

?

x1

x2 x
a?0

f (k ) ? 0

②x1≤x2<k
a?0
O

?
y
f (k ) ? 0
?

y
x??
O

b 2a

x1

x2

k x
b 2a

k
x2
?

x1
a?0

x

x??

f (k ) ? 0

③x1<k<x2

?
y

af(k)<0
y
a?0
?

f (k ) ? 0 x2 x
a?0

O

k
?

x1

x2

x

x1

O

k

f (k ) ? 0

④k1<x1≤x2<k2

?
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y
? ?

a?0

y

f ( k1 ) ? 0 f ( k ) ? 0 2 x1 x2 k2 x
O

x??

b 2a

O k 1

k1
?

x1

x2

k2
?

x

x??

b 2a

f ( k1 ) ? 0 a?0

f (k 2 ) ? 0

⑤有且仅有一个根 x1(或 x2)满足 k1<x1(或 x2)<k2 f(k1)=0 或 f(k2)=0 这两种情况是否也符合
y
?

?

f(k1)f(k2) ? 0,并同时考虑

a?0

y
f ( k1 ) ? 0
?

f ( k1 ) ? 0 x1 k2
?

O k 1

x2

x

O

x1 k 1
a?0

x2

k2

?

x

f (k 2 ) ? 0

f (k 2 ) ? 0

⑥k1<x1<k2≤p1<x2<p2 此结论可直接由⑤推出.

?

(5)二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 在闭区间 [ p, q ] 上的最值 设 f ( x) 在区间 [ p, q ] 上的最大值为 M ,最小值为 m ,令 x0 ?
1 ( p ? q) . 2

(Ⅰ)当 a ? 0 时(开口向上) b b b ? p ,则 m ? f ( p) ②若 p ? ? ? q ,则 m ? f ( ? ) ①若 ? 2a 2a 2a
a?0

③若 ?
a?0

b ? q ,则 m ? f (q) 2a

yx ? ? b f (q) p
O

2a

a?0

y

x??

f (p) q
x

b 2a

y

x??

f (q)
O
f (? b ) 2a

f (p) q
x

b 2a

q p
O

f
b ? x0 ,则 M ? f (q) 2a
b f ((p) ? ) 2a

p

x
b ) 2a

f f (? (q)

①若 ?

②?

a?0

yx ? ? b f
x(q) 0 p
O

b ? x0 ,则 M ? f ( p) 2a y b a?0
x??

2a

f (p) x0 p (q) q
O

2a

q f

x

x
b ) 2a

f f (?

(Ⅱ)当 a ? 0 时(开口向下)
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b f ((p) ? ) 2a

①若 ?

b ? p ,则 M ? f ( p) 2a
a?0

②若 p ? ?

b b ? q ,则 M ? f (? ) 2a 2a

③若 ?

b ? q ,则 M ? f (q) 2a
f (?

f (?

yb
2a

)

a?0

f (?

yb
2a

a?0
)

f 2a )

yb

f (p)
O

f q (p)
x
O

(q) q p
x
O

p
b x ? ?(q) 2a

p
b x ? ?(q) 2a

q
x?? b 2a

x

f

f (p)

f

①若 ?

b ? x0 ,则 m ? f (q) 2a
a?0
f (?

②?

b ? x0 ,则 m ? f ( p) . 2a
a?0
f (?

yb
2a

)

f (p)

yb f 2a )

(q)
x0 O p
b x ? ?(q) 2a

q
x

x0 p
O

q
x?? b 2a

f (p)

x

f

第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1 、函数零点的概念:对于函数 y ? f ( x)(x ? D) ,把使 f ( x) ? 0 成立的实数 x 叫做函数 y ? f ( x)(x ? D) 的零点。 2、函数零点的意义:函数 y ? f ( x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数根,亦即函数 y ? f ( x) 的图 象与 x 轴交点的横坐标。即: 方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零点. 3、函数零点的求法: 求函数 y ? f ( x) 的零点: 1 (代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根; ○ 2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y ? f ( x) 的图象联系起来,并 ○ 利用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点: 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) . 1)△>0,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 有两不等实根,二次函数的图象与 x 轴有两个交点,二次 函数有两个零点. 2)△=0,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 有两相等实根(二重根) ,二次函数的图象与 x 轴有一个 交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点. 3)△<0,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 无实根,二次函数的图象与 x 轴无交点,二次函数无零点.

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高中数学 必修 2 知识点 第一章 空间几何体 1.1 柱、锥、台、球的结构特征

2 画三视图的原则: 长对齐、高对齐、宽相等 3 直观图:斜二测画法 4 斜二测画法的步骤: (1).平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴; (2).平行于 y 轴的线长度变半,平行于 x,z 轴的线长度不变; (3).画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤: (1)画轴(2)画底面(3)画侧棱(4)成图

1.3 空间几何体的表面积与体积 (一 )空间几何体的表面积 1 棱柱、棱锥的表面积: 各个面面积之和 2 圆柱的表面积 S ? 2?rl ? 2?r 2
2 2 4 圆台的表面积 S ? ?rl ? ?r ? ?Rl ? ?R
2 3 圆锥的表面积 S ? ?rl ? ?r 2 5 球的表面积 S ? 4?R

(二)空间几何体的体积 1 柱体的体积 3 台体的体积
V ? 4 3 ?R 3

V ? S底 ? h

2 锥体的体积 4 球体的体积

V ?

1 S底 ? h 3

1 V ? (S 上 ? S 上 S 下 ? S 下 ) ? h 3

第二章 直线与平面的位置关系
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2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义:平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 (1)平面的画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成 450,且横边画成邻边的 2 倍长(如图) (2)平面通常用希腊字母α 、β 、γ 等表示,如平面α 、平面β 等,也可以用表示平面的平行四 边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面 AC、平面 ABCD 等。 3 三个公理: (1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 符号表示为 D C A∈L A α B∈L => L α α · A B L A∈α B∈α 公理 1 作用:判断直线是否在平面内 (2)公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 A B C · 符号表示为:A、B、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α α ,· · 使 A∈α 、B∈α 、C∈α 。 公理 2 作用:确定一个平面的依据。 (3)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该 点 的 公 β 共直线。 P 符号表示为:P∈α ∩β =>α ∩β =L,且 P∈L α · L 公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 共面直线 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 2 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设 a、b、c 是三条直线 a∥b =>a∥c c∥b 强调:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 4 注意点: ① a'与 b'所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定,与 O 的选择无关,为简便,点 O 一般取 在两直线中的一条上; ② 两条异面直线所成的角? θ ∈(0, ); 2 ③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作 a⊥b; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; ⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
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(3)直线在平面平行 —— 没有公共点 指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用 a

α 来表示

a α a∩α =A a∥α 2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面 平行。 简记为:线线平行,则线面平行。 符号表示: a α b β => a∥α a∥b 2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。 符号表示: a β b β a∩b = P a∥α b∥α

β ∥α

2、判断两平面平行的方法有三种: (1)用定义; (2)判定定理; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行。 2.2.3 — 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质 1、定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为:线面平行则线线平行。 符号表示:

a∥α a β a∥b α ∩β = b 作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。 符号表示: α ∥β α ∩γ = a a∥b β ∩γ = b 作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
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2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 1、定义 如果直线 L 与平面α 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 L 与平面α 互相垂直,记作 L⊥ α ,直线 L 叫做平面α 的垂线,平面α 叫做直线 L 的垂面。如图,直线与平面垂直时,它们唯一公 共点 P 叫做垂足。 L p α

2、判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 2.3.2 平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l β B α

2、二面角的记法:二面角α -l-β 或α -AB-β 3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 2.3.3 — 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。 2 性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 第三章 3.1 直线的倾斜角和斜率 3.1 倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角的概念:当直线 l 与 x 轴相交时, 取 x 轴作为基准, x 轴正向与直线 l 向上方向 之间所成的角α 叫做直线 l 的倾斜角.特别地,当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 规定α = 0°. 2、 倾斜角α 的取值范围: 0°≤α <180°. 当直线 l 与 x 轴垂直时, α = 90°. 3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角α (α ≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母 k 表示,也 就是 k = tanα ⑴当直线 l 与 x 轴平行或重合时, α =0°, k = tan0°=0; ⑵当直线 l 与 x 轴垂直时, α = 90°, k 不存在.
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直线与方程

由此可知, 一条直线 l 的倾斜角α 一定存在,但是斜率 k 不一定存在. 4、 直线的斜率公式: 给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线 P1P2 的斜率: 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1 3.1.2 两条直线的平行与垂直 1、两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜率 相等,那么它们平行,即 注意: 上面的等价 立的,缺少这个前 L1∥L2 2、两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们的斜率 互为负倒数,那么它们互相垂直,即 3.2.1 1、 直线的点斜式方程 直线的点斜式方程:直线 l 经过点 P0 ( x0 , y0 ) ,且斜率为 k 是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成

PP 1 2 ?

? x2 ? x2 ? ? ? y2 ? y1 ?
2

2

提,结论并不成立.即如果 k1=k2, 那么一定有

y ? y0 ? k ( x ? x0 )
y ? kx ? b

2、 、直线的斜截式方程:已知直线 l 的斜率为 k ,且与 y 轴的交点为 (0, b) 3.2.2 直线的两点式方程

1 、 直 线 的 两 点 式 方 程 : 已 知 两 点 P ( x1 , x2 ), P2 ( x2 , y2 ) 其 中 ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 1 y-y1/y-y2=x-x1/x-x2 2 、直线的截距式方程:已知直线 l 与 x 轴的交点为 A ( a,0) ,与 y 轴的交点为 B (0, b) ,其中

a ? 0, b ? 0
3.2.3 直线的一般式方程 1、直线的一般式方程:关于 x, y 的二元一次方程 Ax ? By ? C ? 0 (A,B 不同时为 0) 2、各种直线方程之间的互化。 3.3 直线的交点坐标与距离公式

3.3.1 两直线的交点坐标 1、给出例题:两直线交点坐 L1 : 3x+4y-2=0 解:解方程组

标 L1:2x+y +2=0

? 0 ?3x ? 4y ? 2 ? ? 0 ?2 x ? 2y ? 2

得 x=-2,y=2 所以 L1 与 L2 的交点坐标为 M(-2,2) 3.3.2 两点间距离 两点间的距离公式
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3.3.3 点到直线的距离公式 1.点到直线距离公式: 点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离为: d ? 2、两平行线间的距离公式: 已知两条平行线直线 l1 和 l 2 的一般式方程为 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 ,

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

l 2 Ax ? By ? C2 ? 0 ,则 l1 与 l 2 的距离为 d ?

C1 ? C2 A2 ? B 2
圆与方程

第四章 4.1.1 圆的标准方程 1、圆的标准方程: ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2

圆心为 A(a,b),半径为 r 的圆的方程 2、点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的关系的判断方法: (1) ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 > r 2 ,点在圆外 (3) ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 < r 2 ,点在圆内 4.1.2 圆的一般方程 (2) ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 = r 2 ,点在圆上

1、圆的一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 2、圆的一般方程的特点: (1)①x2 和 y2 的系数相同,不等于 0. ②没有 xy 这样的二次项.

(2)圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、F,因之只要求出这三个系数,圆的方程就确 定了. (3)、与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方 程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。 4.2.1 圆与圆的位置关系 1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系. 设直线 l : ax ? by ? c ? 0 ,圆 C : x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,圆的半径为 r ,圆心 (? 线的距离为 d ,则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点: (1)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相离; (2)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相切; (3)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相交; 4.2.2 圆与圆的位置关系
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D E , ? ) 到直 2 2

两圆的位置关系. 设两圆的连心线长为 l ,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点: (1)当 l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 相离; (2)当 l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 外切; (3)当 | r1 ? r2 |? l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 相交; (4)当 l ?| r1 ? r2 | 时,圆 C1 与圆 C 2 内切; (5)当 l ?| r1 ? r2 | 时,圆 C1 与圆 C 2 内含; 4.2.3 直线与圆的方程的应用 1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系; 2、过程与方法 用坐标法解决几何问题的步骤: 第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题 转化为代数问题; 第二步:通过代数运算,解决代数问题; 第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论. 4.3.1 空间直角坐标系 1、点 M 对应着唯一确定的有序实数组 ( x, y, z ) , x 、 y 、 z 分别是 P、Q、 R 在 x 、 y 、 z 轴上的坐标 2、有序实数组 ( x, y, z ) ,对应着空间直角坐标系中的一点 3、空间中任意点 M 的坐标都可以用有序实数组 ( x, y, z ) 来表示,该数组叫做点 M 在此空间直角坐 标系中的坐标,记 M ( x, y, z ) , x 叫做点 M 的横坐标, y 叫做点 M 的纵坐标, z 叫做点 M 的竖坐 标。 4.3.2 空间两点间的距离公式 1、空间中任意一点 P1 ( x1 , y1 , z1 ) 到点 P2 ( x2 , y2 , z 2 ) 之间的距离
P1 O M1 N1 x M M2 H N2 y N z
x O P R M Q M' y

公式
P2

P1 P2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? ( z1 ? z 2 ) 2
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高中数学 必修 3 知识点 第一章 算法初步 1.1.1 1.1.2 算法的概念 程序框图

1、程序框图基本概念: (一)程序构图的概念:程序框图又称流程图,是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、 直观地表示算法的图形。 一个程序框图包括以下几部分: 表示相应操作的程序框; 带箭头的流程线; 程序框外必要文字说明。 (二)构成程序框的图形符号及其作用 程序框 名称 起止框 功能 表示一个算法的起始和结束,是任何流程 图不可少的。 表示一个算法输入和输出的信息,可用在 算法中任何需要输入、输出的位置。 赋值、 计算, 算法中处理数据需要的算式、 处理框 公式等分别写在不同的用以处理数据的 处理框内。 判断某一条件是否成立,成立时在出口处 判断框 标明“是”或“Y” ;不成立时标明“否” 或“N” 。 学习这部分知识的时候,要掌握各个图形的形状、作用及使用规则,画程序框图的规则如下: 1、使用标准的图形符号。2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。3、除判断框外,大多数 流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。4、判断框分 两大类,一类判断框“是”与“否”两分支的判断,而且有且仅有两个结果;另一类是多分支判断, 有几种不同的结果。5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。 (三) 、算法的三种基本逻辑结构:顺序结构、条件结构、循环结构。 1、顺序结构:顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间,框与框之间是按从上到下的顺序 进行的, 它是由若干个依次执行的处理步骤组成的, 它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结 构。 顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而 下地连接起来,按顺序执行算法步骤。如在示意图中,A 框和 B
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输入、输出框

A 框是依次执行的,只有在执行完 A 框指定的操作后,才能接着执 行 B 框所指定的操作。 B

2、条件结构: 条件结构是指在算法中通过对条件的判断 根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。 条件 P 是否成立而选择执行 A 框或 B 框。无论 P 条件是否成立,只能执行 A 框或 B 框之一, 不可能同时执行 A 框和 B 框,也不可能 A 框、B 框都不执行。一个判断结构可以有多个判断框。

3、循环结构:在一些算法中,经常会出现从某处开始,按照一定条件,反复执行某一处理步骤的 情况,这就是循环结构,反复执行的处理步骤为循环体,显然,循环结构中一定包含条件结构。循 环结构又称重复结构,循环结构可细分为两类: (1) 、一类是当型循环结构,如下左图所示,它的功能是当给定的条件 P 成立时,执行 A 框,A 框执行完毕后,再判断条件 P 是否成立,如果仍然成立,再执行 A 框,如此反复执行 A 框,直到 某一次条件 P 不成立为止,此时不再执行 A 框,离开循环结构。

(2) 、另一类是直到型循环结构,如下右图所示,它的功能是先执行,然后判断给定的条件 P 是 否成立,如果 P 仍然不成立,则继续执行 A 框,直到某一次给定的条件 P 成立为止,此时不再执 行 A 框,离开循环结构。

A P
不成立 成立 成立

A P
不成立

当型循环结构

直到型循环结构

注意:1 循环结构要在某个条件下终止循环,这就需要条件结构来判断。因此,循环结构中一 定包含条件结构,但不允许“死循环” 。2 在循环结构中都有一个计数变量和累加变量。计数变量 用于记录循环次数,累加变量用于输出结果。计数变量和累加变量一般是同步执行的,累加一次, 计数一次。
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1.2.1

输入、输出语句和赋值语句

1、输入语句 (1)输入语句的一般格式 INPUT“提示内容” ;变量
图形计算器 格式

(2)输入 INPUT “提示内容” ,变量 语句的作 用是实现

算法的输入信息功能; (3) “提示内容”提示用户输入什么样的信息,变量是指程序在运行时其值 是可以变化的量; (4)输入语句要求输入的值只能是具体的常数,不能是函数、变量或表达式; (5) 提示内容与变量之间用分号“; ”隔开,若输入多个变量,变量与变量之间用逗号“, ”隔开。 2、输出语句 (1)输出语句的一般格式 出 PRINT“提示内容” ;表达式
图形计算器 格式

Disp “提示内容” ,变量

(2)输 语句的

作用是实现算法的输出结果功能; (3) “提示内容”提示用户输入什么样的信息,表达式是指程序 要输出的数据; (4)输出语句可以输出常量、变量或表达式的值以及字符。 3、赋值语句 (1)赋值语句的一般格 变量=表达式
图形计算器 格式

表达式 ? 变量



(2)赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量; (3)赋值语句中的“=”称作赋值号,与 数学中的等号的意义是不同的。 赋值号的左右两边不能对换, 它将赋值号右边的表达式的值赋给赋 值号左边的变量; (4) 赋值语句左边只能是变量名字, 而不是表达式, 右边表达式可以是一个数据、 常量或算式; (5)对于一个变量可以多次赋值。 注意:①赋值号左边只能是变量名字,而不能是表达式。如:2=X 是错误的。②赋值号左右不能 对换。如“A=B” “B=A”的含义运行结果是不同的。③不能利用赋值语句进行代数式的演算。 (如 化简、因式分解、解方程等)④赋值号“=”与数学中的等号意义不同。 1.2.2 条件语句 1、条件语句的一般格式有两种: (1)IF—THEN—ELSE 语句; (2)IF—THEN 语句。2、IF—THEN —ELSE 语句 IF—THEN—ELSE 语句的一般格式为图 1,对应的程序框图为图 2。 IF 条件 THEN 语句 1 ELSE 语句 2 END IF 图1 图2
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否 满足条件? 是 语句 1 语句 2

分析:在 IF—THEN—ELSE 语句中, “条件”表示判断的条件, “语句 1”表示满足条件时执行的 操作内容; “语句 2”表示不满足条件时执行的操作内容;END 符合,则执行 ELSE 后面的语句 2。 3、IF—THEN 语句 IF—THEN 语句的一般格式为图 3,对应的程序框图为图 4。 IF 条件 THEN 语句 END IF (图 3) (图 4) 满足条件? 否 语句 是 IF 表示条件语句的结束。计算机 在执行时,首先对 IF 后的条件进行判断,如果条件符合,则执行 THEN 后面的语句 1;若条件不

注意: “条件”表示判断的条件; “语句”表示满足条件时执行的操作内容,条件不满足时,结束程 序;END IF 表示条件语句的结束。计算机在执行时首先对 IF 后的条件进行判断,如果条件符合 就执行 THEN 后边的语句,若条件不符合则直接结束该条件语句,转而执行其它语句。 1.2.3 循环语句 循环结构是由循环语句来实现的。 对应于程序框图中的两种循环结构, 一般程序设计语言中 也有当型(WHILE 型)和直到型(UNTIL 型)两种语句结构。即 WHILE 语句和 UNTIL 语句。 1、WHILE 语句 (1)WHILE 语句的一般格式是 WHILE 循环体 WEND 满足条件? 否 (2) 当计算机遇到 WHILE 语句时, 先判断条件的真假, 如果条件符合, 就执行 WHILE 与 WEND 之间的循环体;然后再检查上述条件,如果条件仍符合,再次执行循环体,这个过程反复进行,直 到某一次条件不符合为止。这时,计算机将不执行循环体,直接跳到 WEND 语句后,接着执行 WEND 之后的语句。因此,当型循环有时也称为“前测试型”循环。 2、UNTIL 语句 (1)UNTIL 语句的一般格式是 DO 循环体 LOOP UNTIL 条件 满足条件? 是
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对应的程序框图是 循环体

条件 是

对应的程序框图是

循环体 否

(2)直到型循环又称为“后测试型”循环,从 UNTIL 型循环结构分析,计算机执行该语句时,先 执行一次循环体,然后进行条件的判断,如果条件不满足,继续返回执行循环体,然后再进行条件 的判断,这个过程反复进行,直到某一次条件满足时,不再执行循环体,跳到 LOOP UNTIL 语句后 执行其他语句,是先执行循环体后进行条件判断的循环语句。 分析:当型循环与直到型循环的区别: (先由学生讨论再归纳) (1) 当型循环先判断后执行,直到型循环先执行后判断; 在 WHILE 语句中,是当条件满足时执行循环体,在 UNTIL 语句中,是当条件不满足时执行循环
. (见课本 P21 ) 例题: 设计计算 1? 3 ? 5 ? ...? 99 的一个算法

S ?1 For I From 3 T o 99 Step 2 S ? S? I End For Pr int S
?

S ?1 I ?1 While I ? 97 I?I?2 S ? S? I End While Print S
?

S ?1 I ?1 While I ? 99 S ? S? I I?I?2 End While Print S
?

S ?1 I ?1 Do S ? S? I I?I?2 Loop Until I ? 100 (或者 I ? 99 ) Pr int S ? S ?1 I ?1 Do While I ? 99 (或者I ? 100 S ? S? I I?I?2 Loop )

S ?1 I ?1 Do I?I?2 S ? S? I Loop Until I ? 99 P r int S
?

S ?1 I ?1 Do While I ? 97 (或者I ? 99 ) I?I?2 S ? S? I Loop

P r int S P r int S ? ? 颜老师友情提醒: 1. 一定要看清题意,看题目让你干什么,有的只要写出算法,有的只要求写出伪代码,而有的题 目则是既写出算法画出流程还要写出伪代码。 2. 在具体做题时,可能好多的同学感觉先画流程图较为简单,但也有的算法伪代码比较好写,你 也可以在草稿纸上按照你自己的思路先做出来,然后根据题目要求作答。一般是先写算法,后画流 程图,最后写伪代码。 3. 书写程序时一定要规范化,使用统一的符号,最好与教材一致,由于是新教材的原因,再加上 各种版本, 可能同学会看到各种参考书上的书写格式不一样, 而且有时还会碰到我们没有见过的语
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言,希望大家能以课本为依据,不要被铺天盖地的资料所淹没! 1.3.1 辗转相除法与更相减损术 1、辗转相除法。也叫欧几里德算法,用辗转相除法求最大公约数的步骤如下: (1) :用较大的数 m 除以较小的数 n 得到一个商 S0 和一个余数 R0 ; (2) :若 R0 =0,则 n 为 m,n 的最大公约数;若 R0 ≠0,则用除数 n 除以余数 R0 得到一个商 S1 和一个余数 R1 ; (3) :若 R1 =0, 则 R1 为 m,n 的最大公约数;若 R1 ≠0,则用除数 R0 除以余数 R1 得到一个商 S2 和一个余数 R2 ;…… 依次计算直至 Rn =0,此时所得到的 Rn?1 即为所求的最大公约数。 2、更相减损术 我国早期也有求最大公约数问题的算法,就是更相减损术。在《九章算术》中有更相减损术求最大 公约数的步骤:可半者半之,不可半者,副置分母?子之数,以少减多,更相减损,求其等也,以 等数约之。 翻译为: (1) :任意给出两个正数;判断它们是否都是偶数。若是,用 2 约简;若不是,执行第二 步。 (2) :以较大的数减去较小的数,接着把较小的数与所得的差比较,并以大数减小数。继续这 个操作,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)就是所求的最大公约数。 例 2 用更相减损术求 98 与 63 的最大公约数. 分析: (略) 3、辗转相除法与更相减损术的区别: (1)都是求最大公约数的方法,计算上辗转相除法以除法为主,更相减损术以减法为主,计算次 数上辗转相除法计算次数相对较少,特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。 (2)从结果体现形式来看,辗转相除法体现结果是以相除余数为 0 则得到,而更相减损术则以减 数与差相等而得到 1.3.2 秦九韶算法与排序 1、秦九韶算法概念: f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0 求值问题 f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0=( anxn-1+an-1xn-2+….+a1)x+a0 =(( anxn-2+an-1xn-3+….+a2)x+a1)x+a0 =......=(...( anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0 求多项式的值时,首先计算最内层括号内依次多项式的值,即 v1=anx+an-1 然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即 v2=v1x+an-2 v3=v2x+an-3 ...... vn=vn-1x+a0

这样,把 n 次多项式的求值问题转化成求 n 个一次多项式的值的问题。 2、两种排序方法:直接插入排序和冒泡排序
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1、直接插入排序 基本思想:插入排序的思想就是读一个,排一个。将第1个数放入数组的第1个元素中,以后读入 的数与已存入数组的数进行比较, 确定它在从大到小的排列中应处的位置. 将该位置以及以后的元 素向后推移一个位置,将读入的新数填入空出的位置中. (由于算法简单,可以举例说明) 2、冒泡排序 基本思想:依次比较相邻的两个数,把大的放前面,小的放后面.即首先比较第 1 个数和第 2 个数, 大数放前,小数放后.然后比较第 2 个数和第 3 个数......直到比较最后两个数.第一趟结束,最小的 一定沉到最后.重复上过程,仍从第 1 个数开始,到最后第 2 个数...... 由于在排序过程中总是大数 往前,小数往后,相当气泡上升,所以叫冒泡排序. 1.3.3 进位制 1、概念:进位制是一种记数方式,用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号 的个数称为基数,基数为 n,即可称 n 进位制,简称 n 进制。现在最常用的是十进制,通常使用 10 个阿拉伯数字 0-9 进行记数。对于任何一个数,我们可以用不同的进位制来表示。比如:十进数 57,可以用二进制表示为 111001,也可以用八进制表示为 71、用十六进制表示为 39,它们所代表 的数值都是一样的。 一般地,若 k 是一个大于一的整数,那么以 k 为基数的 k 进制可以表示为:

an an?1...a1a0( k )

(0 ? an ? k ,0 ? an?1,..., a1 , a0 ? k ) ,

而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如 111001(2)表示二进制数,34(5)表示 5 进制数 第二章 2.1.1 简单随机抽样 1.总体和样本 在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体. 把每个研究对象叫做个体. 把总体中个体的总数叫做总体容量. 为了研究总体 的有关性质,一般从总体中随机抽取一部分: 研究,我们称它为样本.其中个体的个数称为样本容量. 2.简单随机抽样,也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等,完全随 机地抽取调查单位。特点是:每个样本单位被抽中的可能性相同(概率相等) ,样本的每个单位 完全独立,彼此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是 在总体单位之间差异程度较小和数目较少时,才采用这种方法。 3.简单随机抽样常用的方法:
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统计







(1)抽签法;⑵随机数表法;⑶计算机模拟法;⑷使用统计软件直接抽取。 在简单随机抽样的样本容量设计中,主要考虑:①总体变异情况;②允许误差范围;③概 率保证程度。 4.抽签法: (1)给调查对象群体中的每一个对象编号; (2)准备抽签的工具,实施抽签 (3)对样本中的每一个个体进行测量或调查 例:请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。 5.随机数表法: 例:利用随机数表在所在的班级中抽取 10 位同学参加某项活动。 2.1.2 系统抽样 1.系统抽样(等距抽样或机械抽样) : 把总体的单位进行排序,再计算出抽样距离,然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个 样本采用简单随机抽样的办法抽取。 K(抽样距离)=N(总体规模)/n(样本规模) 前提条件:总体中个体的排列对于研究的变量来说,应是随机的,即不存在某种与研究变量相 关的规则分布。可以在调查允许的条件下,从不同的样本开始抽样,对比几次样本的特点。如果有 明显差别,说明样本在总体中的分布承某种循环性规律,且这种循环和抽样距离重合。 2.系统抽样,即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。因为它对抽样框的要求较低,实施 也比较简单。更为重要的是,如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用,总体单元按辅助变 量的大小顺序排队的话,使用系统抽样可以大大提高估计精度。 2.1.3 分层抽样 1.分层抽样(类型抽样) : 先将总体中的所有单位按照某种特征或标志(性别、年龄等)划分成若干类型或层次,然后再 在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本, 最后, 将这些子样本合 起来构成总体的样本。 两种方法: 1.先以分层变量将总体划分为若干层,再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。 2.先以分层变量将总体划分为若干层,再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列,最后用系 统抽样的方法抽取样本。 2.分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体,再抽取不同的子总体中的样 本分别代表该子总体,所有的样本进而代表总体。
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分层标准: (1)以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准。 (2)以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为分层变量。 (3)以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。 3.分层的比例问题: (1)按比例分层抽样:根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽取子样本 的方法。 (2)不按比例分层抽样:有的层次在总体中的比重太小,其样本量就会非常少,此时采用该方 法, 主要是便于对不同层次的子总体进行专门研究或进行相互比较。 如果要用样本资料推断总体时, 则需要先对各层的数据资料进行加权处理, 调整样本中各层的比例, 使数据恢复到总体中各层实际 的比例结构。 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征 1、本均值: x ?
x1 ? x2 ? ? ? xn n

2、 .样本标准差: s ? s 2 ?

( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 n

3.用样本估计总体时,如果抽样的方法比较合理,那么样本可以反映总体的信息,但从样本得到 的信息会有偏差。在随机抽样中,这种偏差是不可避免的。 虽然我们用样本数据得到的分布、均值和标准差并不是总体的真正的分布、均值和标准差,而只是 一个估计,但这种估计是合理的,特别是当样本量很大时,它们确实反映了总体的信息。 4. (1)如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数,标准差不变 (2)如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数 k,标准差变为原来的 k 倍 (3)一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响,区间 ( x ? 3s, x ? 3s) 的应用; “去掉一个最高分,去掉一个最低分”中的科学道理 2.3.2 两个变量的线性相关 1、概念: (1)回归直线方程(2)回归系数 2.最小二乘法 3.直线回归方程的应用 (1)描述两变量之间的依存关系;利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量 关系 (2)利用回归方程进行预测;把预报因子(即自变量 x)代入回归方程对预报量(即因变
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量 Y)进行估计,即可得到个体 Y 值的容许区间。 (3)利用回归方程进行统计控制规定 Y 值的变化,通过控制 x 的范围来实现统计控制的目 标。如已经得到了空气中 NO2 的浓度和汽车流量间的回归方程,即可通过控制汽车流量来控制空 气中 NO2 的浓度。 4.应用直线回归的注意事项 (1)做回归分析要有实际意义; (2)回归分析前,最好先作出散点图; (3)回归直线不要外延。 第三章 3.1.1 —3.1.2 随机事件的概率及概率的意义 1、基本概念: (1)必然事件:在条件 S 下,一定会发生的事件,叫相对于条件 S 的必然事件; (2)不可能事件:在条件 S 下,一定不会发生的事件,叫相对于条件 S 的不可能事件; (3)确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件; (4)随机事件:在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件 S 的随机事件; (5)频数与频率:在相同的条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次试验中事 件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数;称事件 A 出现的比例 fn(A)=
nA n

概 率

为事件 A 出现的概率:

对于给定的随机事件 A,如果随着试验次数的增加,事件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某个常数上, 把这个常数记作 P(A) ,称为事件 A 的概率。 (6)频率与概率的区别与联系:随机事件的频率,指此事件发生的次数 nA 与试验总次数 n 的比 值
nA n

,它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这种摆动幅

度越来越小。 我们把这个常数叫做随机事件的概率, 概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的 大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率 3.1.3 概率的基本性质 1、基本概念: (1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件 (2)若 A∩B 为不可能事件,即 A∩B=ф ,那么称事件 A 与事件 B 互斥; (3)若 A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然事件,那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件; (4)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);若事件 A 与 B 为对立事件, 则 A∪B 为必然事件,所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1—P(B) 2、概率的基本性质: 1)必然事件概率为 1,不可能事件概率为 0,因此 0≤P(A)≤1;
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2)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B); 3) 若事件 A 与 B 为对立事件, 则 A∪B 为必然事件, 所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1, 于是有 P(A)=1 —P(B); 4) 互斥事件与对立事件的区别与联系, 互斥事件是指事件 A 与事件 B 在一次试验中不会同时发生, 其具体包括三种不同的情形: (1)事件 A 发生且事件 B 不发生; (2)事件 A 不发生且事件 B 发生; (3)事件 A 与事件 B 同时不发生,而对立事件是指事件 A 与事件 B 有且仅有一个发生,其包括 两种情形; (1)事件 A 发生 B 不发生; (2)事件 B 发生事件 A 不发生,对立事件互斥事件的特殊 情形。 3.2.1 —3.2.2 古典概型及随机数的产生 1、 (1)古典概型的使用条件:试验结果的有限性和所有结果的等可能性。 (2)古典概型的解题步骤; ①求出总的基本事件数;
A包含的基本事件数 ②求出事件 A 所包含的基本事件数,然后利用公式 P(A)= 总的基本事件个数

3.3.1—3.3.2 几何概型及均匀随机数的产生 1、基本概念: (1)几何概率模型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比 例,则称这样的概率模型为几何概率模型; (2)几何概型的概率公式:
构成事件A的区域长度(面积或体 积) 的区域长度(面积或体 积) P(A)= 试验的全部结果所构成 ;

(2) 几何概型的特点:1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;2)每个基本事 件出现的可能性相等. 高中数学 必修 4 知识点

第一章 三角函数

?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? 1、任意角 ?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作任何旋转形成的角 ?
2、角 ? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称 ? 为第几 象限角.

? 第二象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 90

第一象限角的集合为 ? k ? 360 ? ? ? k ? 360 ? 90 , k ? ?

? ?

? k ? 360 ? 180 , k ? ?

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? ? 第四象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 270 ? ? ? k ? 360 ? 360 , k ? ?? 终边在 x 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 , k ? ?? 终边在 y 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 ? 90 , k ? ?? 终边在坐标轴上的角的集合为 ?? ? ? k ? 90 , k ? ?? 3、与角 ? 终边相同的角的集合为 ?? ? ? k ? 360 ? ? , k ? ??
第三象限角的集合为 ? k ? 360 ? 180 ? ? ? k ? 360 ? 270 , k ? ? 4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1弧度. 5、半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l ,则角 ? 的弧度数的绝对值是 ? ? 6、弧度制与角度制的换算公式: 2? ? 360 , 1 ?
l . r

? 180 ? ,1 ? ? ? ? 57.3 . 180 ? ? ?

?

C ? 2r ? l , 7、 若扇形的圆心角为 ? ??为弧度制? , 半径为 r , 弧长为 l , 周长为 C , 面积为 S , 则l ? r ? ,

1 1 S ? lr ? ? r 2 . 2 2

y P T v O M A x

8、设 ? 是一个任意大小的角, ? 的终边上任意一点 ? 的坐标是 ? x, y ? ,它与
y x y cos ? ? , tan ? ? ? x ? 0 ? . , r r x 9、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正, 第三象限正切为正,第四象限余弦为正. 10、三角函数线: sin ? ? ?? , cos ? ? ?? , tan ? ? ?? . i s ?? 原点的距离是 r r ? x 2 ? y 2 ? 0 , 则n

?

?

11 、 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 : ?1? sin2 ? ? cos2 ? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? cos 2 ? , cos 2 ? ? 1 ? sin 2 ? ? ;

? 2?

sin ? sin ? ? ? ? tan ? ? sin ? ? tan ? cos ? , cos ? ? ? ..(3) 倒数关系: tan ? cot ? ? 1 cos ? tan ? ? ?

12、函数的诱导公式:

?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , cos ? 2k? ? ? ? ? cos? , tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ??? . ? 2? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? tan ? .
?3? sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos? , tan ? ?? ? ? ? tan ? . ? 4? sin ?? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? ? tan ? .
口诀:函数名称不变,符号看象限.

? 5? sin ? ?

? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? sin ? . ? 6 ? sin ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ? ?2 ? ?2 ?
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?

口诀:正弦与余弦互换,符号看象限. 13、①的图象上所有点向左(右)平移 ? 个单位长度,得到函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象;再将函数

y ? sin ? x ? ? ? 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的

1

?

倍(纵坐标不变) ,得到函数

再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长 (缩短) 到原来的 ? y ? sin ?? x ? ? ? 的图象; 倍(横坐标不变) ,得到函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? 的图象. ②数 y ? sin x 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的
1

?

倍(纵坐标不变) ,得到函数

y ? sin ? x 的图象;再将函数 y ? sin ? x 的图象上所有点向左(右)平移

? 个单位长度,得到函数 ?

再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长 (缩短) 到原来的 ? y ? sin ?? x ? ? ? 的图象; 倍(横坐标不变) ,得到函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? 的图象. 14、函数 y ? ? sin ??x ? ? ?? ? ? 0, ? ? 0? 的性质: ①振幅: ? ;②周期: ? ?
2?

?

;③频率: f ?

1 ? ? ;④相位: ? x ? ? ;⑤初相: ? . ? 2?

函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ,当 x ? x1 时,取得最小值为 ymin ;当 x ? x2 时,取得最大值为 ymax ,则
?? 1 1 ? ? ymax ? ymin ? , ? ? ? ymax ? ymin ? , ? x2 ? x1 ? x1 ? x2 ? . 2 2 2

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:
性 函 质 数 y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

y=cotx
y

y=cotx

图象
-? ? 2

o

? 2

?

3? 2

2?

x

定义 域 值域 当 最值

R

R

? ? ?? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ??? x x ? k? ? , k ? ?? 2 2 ? ?? ?

??1,1?
x ? 2 k? ?

??1,1?

R

R
既无最大值也无 最小值

?
2

当 x ? 2k? ? k ??? 时, 既无最大值也无 最小值
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? k ? ??
ymax ? 1
x ? 2 k? ?

时 ;

, 当

ymax ? 1
x ? 2 k? ? ?





?
2

? k ? ? ? 时,ymin ? ?1.

? k ? ??
2?





ymin ? ?1.
周期 性 奇偶 性 在
2?

?
奇函数

?
奇函数

奇函数

偶函数

? ?? ? 2k? ? , 2k? ? ? ? 2 2? ?


? k ? ?? 上 是 增 函
单调 性 数;在

?2k? ? ? ,2k? ?? k ???
上是增函数;在



? ?? ? ? k? ? , k? ? ? 2 2? ?

?2k? ,2k? ? ? ? ? 3? ? ? k ? ?? 上 是 增 函 ? 2 k? ? , 2 k? ? ? ? 2 2 ? ? ? k ? ? ? 上是减函数. 数.

? k ? ?? 上 是 减 函
数. 对 称 对称 性 中 心 对 称 中 心 对 称 中 心 对 称 中 心

? k? ,0?? k ???


称 轴 ? x ? k? ? ? k ? ? ? 对称轴 x ? k? ? k ??? 2

? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? ?

?

? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? ? 2 ?

? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? ? 2 ?

无对称轴

无对称轴

第二章 平面向量 16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为 0 的向量. 单位向量:长度等于 1个单位的向量. 平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点. ⑶ 三 角 形 不 等 式 :
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a ? b ? a ?b ? a ? b .
⑷运算性质:①交换律: a ? b ? b ? a ; ②结合律: a ? b ? c ? a ? b ? c ;③ a ? 0 ? 0 ? a ? a . ⑸坐标运算: 设 a ? ? x1 , y1 ? , 则a? b ? ? x2 , y2 ? , b?x ? y ?? 1x y 2 , 1
2

?

?

?

?

C

?.
?

18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算: 设 a ? ? x1 , y1 ? , 则a? b ? ? x2 , y2 ? , b?x ? y ?? 1x y 2 , 1 设 ? 、 ? 两 点 的 坐 标 分 别 为
2

a

?
b

?.

? x1 , y1 ?



? x2 , y2 ?

, 则

a ? b ? ?C ? ?? ? ?C

?? ? ? x1

x ? , y1 2

. ? y ? 2

19、向量数乘运算: ⑴实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ? a . ① ?a ? ? a ; ②当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反;当 ? ? 0 时,

?a ? 0 .
⑵运算律:① ? ? ?a ? ? ? ?? ? a ;② ? ? ? ? ? a ? ?a ? ?a ;③ ? a ? b ? ? a ? ?b . ⑶坐标运算:设 a ? ? x, y ? ,则 ?a ? ? ? x, y ? ? ? ? x, ? y ? . 20、向量共线定理:向量 a a ? 0 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ? a . 设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,其中 b ? 0 ,则当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 ? 0 时,向量 a 、 b b ? 0 共线. 21、平面向量基本定理:如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任 意向量 a ,有且只有一对实数 ?1 、 ?2 ,使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 . (不共线的向量 e1 、 e2 作为这一平面内所 有向量的一组基底)

?

?

?

?

?

?

?1 、 ?2 的坐标分别是 ? x1 , y1 ? , 22、 分点坐标公式: 设点 ? 是线段 ?1?2 上的一点, 当 ?1? ? ???2 ? x2 , y2 ? ,
? x ? ? x2 y1 ? ? y2 ? , 时,点 ? 的坐标是 ? 1 (当 ? ? 1时,就为中点公式。) ?. 1? ? ? ? 1? ?

23、平面向量的数量积: ⑴ a ? b ? a b cos ? a ? 0, b ? 0, 0 ? ? ? 180 .零向量与任一向量的数量积为 0 . ⑵性质:设 a 和 b 都是非零向量,则① a ? b ? a ? b ? 0 .②当 a 与 b 同向时,a ? b ? a b ;当 a 与 b

?

?

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反向时, a ? b ? ? a b ; a ? a ? a 2 ? a 或 a ? a ? a .③ a ? b ? a b . ⑶运算律:① a ? b ? b ? a ;② ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ?b ;③ a ? b ? c ? a ? c ? b ? c . ⑷坐标运算:设两个非零向量 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 . 若 a ? ? x, y ? , 则 a ? x 2 ? y 2 , 或 a ? x 2 ? y 2 .
2

2

?

?

? ?

?

?

设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , 则

a ? b ? 1 x 2 x?

1

. y0 ? 2y

设 a 、 b 都 是 非 零 向 量 , a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , ? 是 a 与 b 的 夹 角 , 则

cos ? ?

a ?b a b

?

x1 x2 ? y1 y2
2 2 x12 ? y12 x2 ? y2



知识链接:空间向量 空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明,求值的 应用进行总结归纳. 1、直线的方向向量和平面的法向量 ⑴.直线的方向向量: 若 A、B 是直线 l 上的任意两点,则 AB 为直线 l 的一个方向向量;与 AB 平行的任意非零向量 也是直线 l 的方向向量. ⑵.平面的法向量: 若向量 n 所在直线垂直于平面 ? ,则称这个向量垂直于平面 ? ,记作 n ? ? ,如果 n ? ? ,那么 向量 n 叫做平面 ? 的法向量. ⑶.平面的法向量的求法(待定系数法) : ①建立适当的坐标系. ②设平面 ? 的法向量为 n ? ( x, y, z) . ③求出平面内两个不共线向量的坐标 a ? (a1, a2 , a3 ), b ? (b1, b2 , b3 ) .
? ?n ? a ? 0 ④根据法向量定义建立方程组 ? . n ? b ? 0 ? ?

⑤解方程组,取其中一组解,即得平面 ? 的法向量. (如图)

1、 用向量方法判定空间中的平行关系
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⑴线线平行 设直线 l1 , l2 的方向向量分别是 a 、 b ,则要证明 l1 ∥ l2 ,只需证明 a ∥ b ,即 a ? kb(k ? R) . 即:两直线平行或重合 ⑵线面平行 两直线的方向向量共线。

①(法一)设直线 l 的方向向量是 a ,平面 ? 的法向量是 u ,则要证明 l ∥ ? ,只需证明 a ? u , 即 a ?u ? 0 . 即:直线与平面平行 直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外 ②(法二)要证明一条直线和一个平面平行,也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量 是共线向量即可. ⑶面面平行 若平面 ? 的法向量为 u ,平面 ? 的法向量为 v ,要证 ? ∥ ? ,只需证 u ∥ v ,即证 u ? ? v . 即:两平面平行或重合 两平面的法向量共线。 3、用向量方法判定空间的垂直关系 ⑴线线垂直 设直线 l1 , l2 的方向向量分别是 a 、 b ,则要证明 l1 ? l2 ,只需证明 a ? b ,即 a ? b ? 0 . 即:两直线垂直 ⑵线面垂直 两直线的方向向量垂直。

①(法一)设直线 l 的方向向量是 a ,平面 ? 的法向量是 u ,则要证明 l ? ? ,只需证明 a ∥ u , 即 a ? ?u .
?a ? m ? 0 ? , 则l ? ? . ② (法二) 设直线 l 的方向向量是 a , 平面 ? 内的两个相交向量分别为 m 、 若? n, a ? n ? 0 ? ?

即:直线与平面垂直 直线的方向向量与平面的法向量共线 不共线直线的方向向量都垂直。 ⑶面面垂直

直线的方向向量与平面内两条

若平面 ? 的法向量为 u ,平面 ? 的法向量为 v ,要证 ? ? ? ,只需证 u ? v ,即证 u ? v ? 0 . 即:两平面垂直 两平面的法向量垂直。 4、利用向量求空间角 ⑴求异面直线所成的角 已知 a , b 为两异面直线,A,C 与 B,D 分别是 a , b 上的任意两点, a , b 所成的角为 ? , 则 cos ? ?

AC ? BD AC BD

.

⑵求直线和平面所成的角 ①定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角

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②求法:设直线 l 的方向向量为 a ,平面 ? 的法向量为 u ,直线与平面所成的角为 ? , a 与 u 的夹
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角为 ? , 则 ? 为 ? 的余角或 ? 的补角 的余角.即有:

sin ? ? cos ? ?

a ?u a u

.

⑶求二面角 ①定义:平面内的一条直线把平面分为两个部分,其中的每一部分叫做半平面;从一条直线出发 的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面
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二面角的平面角是指在二面角 ? ? l ? ? 的棱上任取一点 O ,分别在两个半平面内作射线
AO ? l , BO ? l ,则 ?AOB 为二面角 ? ? l ? ? 的平面角.

如图:
A

B
O

l B

O

②求法:设二面角 ? ? l ? ? 的两个半平面的法向量分别为 m 、 n ,再设 m 、 n 的夹角为 ? ,二面角

A

? ? l ? ? 的平面角为 ? ,则二面角 ? 为 m 、 n 的夹角 ? 或其补角 ? ? ? .
根据具体图形确定 ? 是锐角或是钝角: ◆如果 ? 是锐角,则 cos ? ? cos ? ?

m?n m n



即 ? ? arccos

m?n m n



◆ 如果 ? 是钝角,则 cos? ? ? cos ? ? ?
? m?n ? ?. 即 ? ? arccos ? ? ? m n? ? ?

m?n m n



5、利用法向量求空间距离 ⑴点 Q 到直线 l 距离 若 Q 为直线 l 外的一点, P 在直线 l 上, a 为直线 l 的方向向量, b = PQ ,则点 Q 到直线 l 距离为 1 h? (| a || b |) 2 ? (a ? b ) 2 |a| ⑵点 A 到平面 ? 的距离 若点 P 为平面 ? 外一点,点 M 为平面 ? 内任一点, 平面 ? 的法向量为 n ,则 P 到平面 ? 的距离就等于 MP 在法向量 n 方向上的投影的绝对值.
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即 d ? MP cos n, MP

? MP ? n ? MP n

n? M P n MP

?

⑶直线 a 与平面 ? 之间的距离 当一条直线和一个平面平行时,直线上的各点到平面的距离相等。由此可知,直线到平面的距离 可转化为求直线上任一点到平面的距离,即转化为点面距离。

即d ?

n ? MP n

.

⑷两平行平面 ? , ? 之间的距离 利用两平行平面间的距离处处相等,可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。 即d ?

n ? MP n

.

⑸异面直线间的距离 设向量 n 与两异面直线 a , b 都垂直, M ? a, P ? b, 则两异面直线 a , b 间的距离 d 就是 MP 在向量 n 方向上投影的绝对值。 即d ?

n ? MP n

.

6、三垂线定理及其逆定理 ⑴三垂线定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这 条斜线垂直
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P
O

PO ? ? , O ? ? ? ? 推理模式: PA ? ? A ? ? a ? PA a ? ? , a ? OA ? ?

A

?

a

概括为:垂直于射影就垂直于斜线. ⑵三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这 条斜线的射影垂直
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PO ? ? , O ? ? ? ? 推理模式: PA ? ? A ? ? a ? AO a ? ? , a ? AP ? ?

概括为:垂直于斜线就垂直于射影. 7、三余弦定理 设 AC 是平面 ? 内的任一条直线,AD 是 ? 的一条斜线 AB 在 ? 内的射影,且 BD⊥AD,垂足为 D. 设 AB 与 ? (AD) 所成的角为 ? 1 , AD 与 AC 所成的角为 ? 2 , AB 与 AC 所成的角为 ? .则

cos? ? cos?1 cos? 2 .
B A ?
?1 ?2 ?

D C

8、 面积射影定理 已知平面 ? 内一个多边形的面积为 S ? S原 ? , 它在平面 ? 内的射影图形的面积为 S ? ? S射 ? , 平面 ? 与平面 ? 所成的二面角的大小为锐二面角 ? ,则 S' S cos? ? = 射 . S S原 9、一个结论 长度为 l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 l1、l2、l3 , 夹角分别为 ?1、? 2、?3 , 则有 l 2 ? l12 ? l22 ? l32 ? cos2 ?1 ? cos2 ?2 ? cos2 ?3 ? 1 (立体几何中长方体对角线长的公式是其特例).
? sin2 ?1 ? sin2 ?2 ? sin2 ?3 ? 2 .

第三章 三角恒等变换 24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ;⑵ cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑶ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ;⑷ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑸ tan ?? ? ? ? ? ⑹ tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ?

( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) ; ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1? tan ? tan ? ? ) .

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴ sin 2? ? 2sin ? cos ? . ? 1 ? sin 2? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 sin ? cos? ? (sin? ? cos? ) 2 ⑵ cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ?
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? 升幂公式 1 ? cos ? ? 2 cos 2

?

2 2 cos 2? ? 1 1 ? cos 2? , sin 2 ? ? . ? 降幂公式 cos 2 ? ? 2 2

,1 ? cos ? ? 2 sin 2

?

26、 万能公式:

α α 2 t an 1 ? t an2 2 ; cosα ? 2 sinα ? α α 1 ? t an2 1 ? t an2 2 2 2 t a? n t a n? 2? . 1 ? t a 2n ?
27、
半角公式 : α 1 ? cos α α 1 ? cos α cos ? ? ; sin ? ? 2 2 2 2 α 1 ? cos α sinα 1 ? cos α t an ? ? ? ? 2 1 ? cos α 1 ? cos α sinα

? (后两个不用判断符号,更加好用) 28 、 合 一 变 形 ? 把 两 个 三 角 函 数 的 和 或 差 化 为 “ 一 个 三 角 函 数 , 一 个 角 , 一 次 方 ” 的 ? y ? A sin(?x ? ? ) ? B 形式。 ? sin ? ? ? cos ? ? ?2 ? ?2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ? . ? 29、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换,提高三角变换能力,要学会创设条件,灵活运 用三角公式,掌握运算,化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下: (1)角的变换:在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的相异角,可根据角与角之 间的和差,倍半,互补,互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题 获解,对角的变形如: ? ? ? ① 2? 是 ? 的二倍; 4? 是 2? 的二倍; ? 是 的二倍; 是 的二倍; 2 2 4
② 15o ? 45o ? 30o ? 60o ? 45o ? ③ ? ? (? ? ? ) ? ? ;④

? 30o ;问: sin ? 12 2

; cos

?
12

?



?
4

?? ?

?
2

?(

?
4

??) ;

? ? ) ;等等 4 4 (2)函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基 础,通常化切为弦,变异名为同名。 (3)常数代换:在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,例如常数 “1”的代换变形有:

⑤ 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ? (

?

??) ? (

?

1 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? tan? cot? ? sin 90o ? tan45o

(4)幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采用降幂处理的方 法。 常用降幂公式有: ; 。降幂并非绝对,有时需要升幂, 如 对 无 理 式 有:

1? c o ?s常 用 升 幂 化 为 有 理 式 , 常 用 升 幂 公 式
; ;
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(5)公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用。 1 ? tan ? 1 ? tan ? ? __________ _____ ; ? __________ ____ ; 如: 1 ? tan ? 1 ? tan ?
tan? ? tan ? ? __________ __ ; 1 ? tan? tan? ? __________ _; tan? ? tan ? ? __________ __ ; 1 ? tan? tan ? ? __________ _;
2 tan ? ?

; 1 ? tan2 ? ? ; = =



tan20o ? tan40o ? 3 tan20o tan40o ?
sin ? ? cos ? ? a sin ? ? b cos ? ?

; ; (其中

tan ? ?

; )
1 ? cos ? ?

; 1 ? cos ? ?



(6)三角函数式的化简运算通常从: “角、名、形、幂”四方面入手; 基本规则是:见切化弦,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次化低次,无理化有理, 特殊值与特殊角的三角函数互化。 如: sin 50o (1 ? 3 tan10o ) ?
tan ? ? cot ? ?

; 。 高中数学 必修 5 知识点 第一章 解三角形

(一)解三角形: 1、正弦定理:在 ??? C 中, a 、 b 、 c 分别为角 ? 、 ? 、 C 的对边, ,则有 a ? b ? c ? 2 R
sin ? sin ? sin C

( R 为 ??? C 的外接圆的半径) 2、正弦定理的变形公式:① a ? 2 R sin ? , b ? 2 R sin ? , c ? 2 R sin C ; ② sin ? ?
a b , sin ? ? , sin C ? c ;③ a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C ; 2R 2R 2R
? 1 1 1 bc sin ? ? ab sin C ? ac sin ? . 2 2 2

3、三角形面积公式: S???C

2 2 2 4、余弦定理:在 ??? C 中,有 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos ? ,推论: cos ? ? b ? c ? a

2bc

第二章 1、数列中 an 与 S n 之间的关系:

数列

, (n ? 1) ?S1 注意通项能否合并。 an ? ? ?Sn ? Sn?1 ,(n ? 2).
2、等差数列: ⑴定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,即 a n - a n ?1 =d ,
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(n≥2,n∈N ? ) , 那么这个数列就叫做等差数列。 ⑵等差中项:若三数 a、A、b 成等差数列 ? A ? ⑶通项公式: an ? a1 ? (n ?1)d ? am ? (n ? m)d 或 an ? pn ? q ( p 、q是常数). ⑷前 n 项和公式:
Sn ? na1 ? n ? n ? 1? n ? a1 ? an ? d? 2 2
a?b 2

⑸常用性质: ①若 m ? n ? p ? q???m, n, p, q ? N ? ? ,则 am ? an ? a p ? aq ; ②下标为等差数列的项 ?ak , ak ?m , ak ?2m ,?? ,仍组成等差数列; ③数列 ??an ? b?( ? , b 为常数)仍为等差数列; ④若 {an } 、{bn } 是等差数列,则 {kan } 、{kan ? pbn } ( k 、 p 是非零常数)、{a p?nq }( p, q ? N * ) 、 ,…也 成等差数列。 ⑤单调性: ?an ? 的公差为 d ,则: ⅰ) d ? 0 ? ?an ? 为递增数列; ⅱ) d ? 0 ? ?an ? 为递减数列; ⅲ) d ? 0 ? ?an ? 为常数列; ⑥数列{ a n }为等差数列 ? an ? pn ? q (p,q 是常数) ⑦若等差数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,则 Sk 、 S2k ? Sk 、 S3k ? S 2 k … 是等差数列。

3、等比数列 ⑴定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫 做等比数列。
G、 b 成等比数列 ? G2 ? ab, ( ab 同号) ⑵等比中项:若三数 a、 。反之不一定成立。

⑶通项公式: an ? a1qn?1 ? amqn?m ⑷前 n 项和公式: Sn ? ⑸常用性质 ①若 m ? n ? p ? q???m, n, p, q ? N ? ? ,则 am ? an ? a p ? aq ; ② ak , ak ?m , ak ?2m ,?为等比数列,公比为 q k (下标成等差数列,则对应的项成等比数列) ③数列 ??an ? ( ? 为不等于零的常数)仍是公比为 q 的等比数列;正项等比数列 ?an ? ;则 ?lg an ? 是
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a1 ?1 ? q n ? 1? q

?

a1 ? an q 1? q

公差为 lg q 的等差数列;

?1? ④若 ?an ? 是等比数列,则 ?can ?, ? a n 2 ?, ? a ?, ? n?
1 ,q . ?a ? (r ? Z ) 是等比数列,公比依次是 q,q , q
r

2

r

n

⑤单调性:

a1 ? 0, q ? 1或a1 ? 0,0 ? q ? 1 ? ?an ? 为递增数列; a1 ? 0,0 ? q ? 1或a1 ? 0, q ? 1 ? ?an ? 为递减数列;

q ? 1 ? ?an ? 为常数列; q ? 0 ? ?an ? 为摆动数列;
⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。 ⑦若等比数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,则 Sk 、 S2k ? Sk 、 S3k ? S 2 k … 4、非等差、等比数列通项公式的求法 类型Ⅰ 观察法:已知数列前若干项,求该数列的通项时,一般对所给的项观察分析,寻找 是等比数列.

规律,从而根据规律写出此数列的一个通项。 类型Ⅱ 公式法:若已知数列的前 n 项和 Sn 与 an 的关系,求数列 ?an ? 的通项 an 可用公式

, (n ? 1) ?S1 构造两式作差求解。 an ? ? ?Sn ? Sn?1 ,(n ? 2) 用此公式时要注意结论有两种可能,一种是“一分为二” ,即分段式;另一种是“合二为一” ,
即 a1 和 an 合为一个表达, (要先分 n ? 1 和 n ? 2 两种情况分别进行运算,然后验证能否统一) 。 类型Ⅲ 累加法:
?an ? an ?1 ? f (n ? 1) ?a ? a ? f (n ? 2) ? n ?1 n ? 2 ? an ? f (n) 型的递推数列(其中 f (n) 是关于 n 的函数)可构造: ? ?... ? ?a2 ? a1 ? f (1)

形如 an?1

将上述 n ? 1 个式子两边分别相加,可得: an ? f (n ?1) ? f (n ? 2) ? ... f (2) ? f (1) ? a1,(n ? 2) ①若 f (n) 是关于 n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和; ② 若 f (n) 是关于 n 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和; ③若 f (n) 是关于 n 的二次函数,累加后可分组求和; ④若 f (n) 是关于 n 的分式函数,累加后可裂项求和. 类型Ⅳ 累乘法:
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? an ? a ? f (n ? 1) ? n ?1 ? an ?1 ? f (n ? 2) ? an?1 ? ? 形如 an?1 ? an ? f (n) ? (其中 f (n) 是关于 n 的函数) 可构造: ? f (n) ? 型的递推数列 ? an ? 2 ? an ? ?... ? ? a2 ? a ? f (1) ? 1

将上述 n ? 1 个式子两边分别相乘,可得: an ? f (n ?1) ? f (n ? 2) ? ... ? f (2) f (1)a1,(n ? 2) 有时若不能直接用,可变形成这种形式,然后用这种方法求解。 类型Ⅴ 构造数列法:

㈠形如 an?1 ? pan ? q (其中 p, q 均为常数且 p ? 0 )型的递推式: (1)若 p ? 1 时,数列{ a n }为等差数列; (2)若 q ? 0 时,数列{ a n }为等比数列; (3) 若 p ? 1 且 q ? 0 时, 数列{ a n }为线性递推数列, 其通项可通过待定系数法构造等比数列来求. 方法有如下两种:

法一:设 an?1 ? ? ? p(an ? ? ) ,展开移项整理得 an?1 ? pan ? ( p ?1)? ,与题设 an?1 ? pan ? q 比较系数
(待定系数法)得 ? ?
q q q q q , ( p ? 0) ? an?1 ? ? p(an ? ) ? an ? ? p(an ?1 ? ) ,即 p ?1 p ?1 p ?1 p ?1 p ?1

? q q ? 为首项,以 p 为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公式求出 ?a n ? ? 构成以 a1 ? p ?1 p ? 1? ? ? q ? ?a n ? ? 的通项整理可得 an . p ? 1? ?

法二:由 an?1 ? pan ? q 得 an ? pan?1 ? q(n ? 2) 两式相减并整理得

a2 ? a1 为首项,以 p 为公比的等比数列.求出 ?an?1 ? an ? 的通项再转化为类型Ⅲ(累加法)便可求出 an .
㈡形如 an?1 ? pan ? f (n) ( p ? 1) 型的递推式: ⑴当 f (n) 为一次函数类型(即等差数列)时:
B 的值, 法一: 设 an ? An ? B ? p ?an?1 ? A(n ?1) ? B? , 通过待定系数法确定 A 、 转化成以 a1 ? A ? B

an ?1 ? an ? p, 即 ?an?1 ? an ? 构成以 an ? an?1

为首项,以 p 为公比的等比数列 ?an ? An ? B? ,再利用等比数列的通项公式求出 ?an ? An ? B? 的通 项整理可得 an .
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法二:当 f (n) 的公差为 d 时,由递推式得: an?1 ? pan ? f (n) , an ? pan?1 ? f (n ?1) 两式相减得:
an?1 ? an ? p(an ? an?1 ) ? d ,令 bn ? an?1 ? an 得: bn ? pbn?1 ? d 转化为类型Ⅴ㈠求出 bn ,再用类型Ⅲ
(累加法)便可求出 an . ⑵当 f (n) 为指数函数类型(即等比数列)时:

法一:设 an ? ? f (n) ? p ?an?1 ? ? f (n ?1)? ,通过待定系数法确定 ? 的值,转化成以 a1 ? ? f (1) 为首
项,以 p 为公比的等比数列 ?an ? ? f (n)? ,再利用等比数列的通项公式求出 ?an ? ? f (n)? 的通项整理 可得 an .

法二:当 f (n) 的公比为 q 时,由递推式得: an?1 ? pan ? f (n) ——①, an ? pan?1 ? f (n ?1) ,两
边同时乘以 q 得 an q ? pqan?1 ? qf (n ?1) ——②,由①②两式相减得 an?1 ? an q ? p(an ? qan?1 ) ,即
an ?1 ? qan ? p ,在转化为类型Ⅴ㈠便可求出 an . an ? qan ?1

法三:递推公式为 an?1 ? pan ? q n (其中 p,q 均为常数)或 an?1 ? pan ? rqn (其中 p,q, r 均
为常数)时,要先在原递推公式两边同时除以 q n ?1 ,得:
a n?1 p a n 1 ? ? ? ,引入辅助数列 ?bn ?(其 q n?1 q q n q

中 bn ?

an p 1 ) ,得: bn?1 ? bn ? 再应用类型Ⅴ㈠的方法解决。 n q q q

⑶当 f (n) 为任意数列时,可用通法: 在 an?1 ? pan ? f (n) 两边同时除以 pn?1 可得到
an ?1 an f (n) a f ( n) ? bn ,则 bn ?1 ? bn ? n ?1 , ? n ? n ?1 ,令 n n n ?1 p p p p p

在转化为类型Ⅲ(累加法) ,求出 bn 之后得 an ? pnbn .

类型Ⅵ

对数变换法:

形如 an?1 ? paq ( p ? 0, an ? 0) 型的递推式: 在原递推式 an?1 ? paq 两边取对数得 lg an?1 ? q lg an ? lg p ,令 bn ? lg an 得: bn?1 ? qbn ? lg p ,化归 为 an?1 ? pan ? q 型,求出 bn 之后得 an ? 10bn . (注意:底数不一定要取 10,可根据题意选择) 。 类型Ⅶ 倒数变换法:
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形如 an?1 ? an ? pan?1an ( p 为常数且 p ? 0 )的递推式:两边同除于 an?1an ,转化为 式,化归为 an?1 ? pan ? q 型求出
pan ? q
1 an

1 1 ? ?p形 an an ?1

的表达式,再求 an ;
an?1 q an p

还有形如 an ?1 ? man 的递推式,也可采用取倒数方法转化成 1 ? m 1 ? m 形式,化归为

an?1 ? pan ? q 型求出

1 an

的表达式,再求 an .

类型Ⅷ

形如 an?2 ? pan?1 ? qan 型的递推式:

用待定系数法,化为特殊数列 {an ? an?1} 的形式求解。方法为:设 an?2 ? kan?1 ? h(an?1 ? kan ) ,
k ,于是 {an?1 ? kan } 是公比为 h 的等比数列,这样就化归 比较系数得 h ? k ? p,?hk ? q ,可解得 h 、

为 an?1 ? pan ? q 型。

总之, 求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解, 对不能转化为以上方法求解的 数列,可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式 an .
5、非等差、等比数列前 n 项和公式的求法 ⑴错位相减法 ①若数列 ?an ? 为等差数列,数列 ?bn ? 为等比数列,则数列 ?an ? bn ? 的求和就要采用此法. ②将数列 ?an ? bn ? 的每一项分别乘以 ?bn ? 的公比,然后在错位相减,进而可得到数列 ?an ? bn ? 的前

n 项和. 此法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法.
⑵裂项相消法 一般地,当数列的通项 an ? 差,采用裂项相消法求和. 可用待定系数法进行裂项: 设 an ? 可得
c c 1 1 = ( ? ). (an ? b1 )(an ? b 2 ) (b2 ? b1 ) an ? b1 an ? b 2
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c 时,往往可将 an 变成两项的 (a, b1, b2 , c为常数) (an ? b1 )(an ? b 2 )

?
an ? b1

?

?
an ? b2

,通分整理后与原式相比较,根据对应项系数相等得 ? ?

c ,从而 b2 ? b1

常见的拆项公式有: ①
1 1 1 ? ? ; n(n ? 1) n n ? 1 1 1 1 1 ? ( ? ); (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 ? ( a ? b ); a ? b a ?b





m?1 m m ④ Cn ? Cn ?1 ? Cn ;

⑤ n ? n! ? (n ? 1)!? n!.

⑶分组法求和 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、 等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.一般分两步:①找通向项公式②由通项公式 确定如何分组. ⑷倒序相加法 如果一个数列 ?an ? ,与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和,则可用把正着写与倒着写的 两个和式相加,就得到了一个常数列的和,这种求和方法称为倒序相加法。特征:

a1 ? an ? a2 ? an?1 ? ...
⑸记住常见数列的前 n 项和: n(n ? 1) ; ① 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ? 2 ② 1 ? 3 ? 5 ? ... ? (2n ?1) ? n2 ; ③ 12 ? 22 ? 32 ? ... ? n 2 ?
1 n(n ? 1)(2n ? 1). 6

第三章 §3.1、不等关系与不等式 1、不等式的基本性质 ①(对称性) a ? b ? b ? a ②(传递性) a ? b, b ? c ? a ? c ③(可加性) a ? b ? a ? c ? b ? c (同向可加性) a ? b ,c ? d ? a ? c ? b ? d (异向可减性) a ? b ,c ? d ? a ? c ? b ? d ④(可积性) a ? b ,c ? 0 ? ac ? bc

不等式

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a ? b ,c ? 0 ? ac ? bc

⑤(同向正数可乘性) a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd (异向正数可除性) a ? b ? 0, 0 ? c ? d ? a ? b
c d

⑥(平方法则) a ? b ? 0 ? an ? bn (n ? N , 且n ? 1) ⑦(开方法则) a ? b ? 0 ? n a ? n b (n ? N , 且n ? 1) ⑧(倒数法则) a ? b ? 0 ? 2、几个重要不等式 ① a ? b ? 2ab ? a,b ? R ? ,(当且仅当 a ? b 时取 " ? " 号).
2 2

1 1 1 1 ? ;a ? b ? 0 ? ? a b a b

a 2 ? b2 . 变形公式: ab ? 2

②(基本不等式)

a?b ? ab 2

? a,b ? R ? ,(当且仅当 a ? b 时取到等号).
?

变形公式:

a ? b ? 2 ab

? a?b ? ab ? ? ? . ? 2 ?

2

用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大) ,要注意满足三个条件“一正、二定、三 相等”.
a?b?c 3 ? abc (a、b、c ? R? ) (当且仅当 a ? b ? c 时取 3

③(三个正数的算术—几何平均不等式) 到等号). ④ a2 ? b2 ? c2 ? ab ? bc ? ca ? a,b ? R ? (当且仅当 a ? b ? c 时取到等号). ⑤ a3 ? b3 ? c3 ? 3abc(a ? 0, b ? 0, c ? 0)

(当且仅当 a ? b ? c 时取到等号). b a ⑥ 若ab ? 0, 则 ? ? 2 (当仅当 a=b 时取等号) a b b a 若ab? 0, 则 ? ? ? 2 (当仅当 a=b 时取等号) a b b b?m a?n a ?1? ? ⑦ ? a a?m b?n b 其中 (a ? b ? 0,m ? 0,n ? 0) 规律:小于 1 同加则变大,大于 1 同加则变小. ⑧ 当a ? 0时, x ? a ? x2 ? a2 ? x ? ?a或x ? a;

x ? a ? x2 ? a2 ? ?a ? x ? a.
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⑨绝对值三角不等式 a ? b ? a ? b ? a ? b . 3、几个著名不等式 ①平均不等式:
?

2 a?b a 2 ? b2 ? ab ? ? a ?1 ? b?1 2 2

? a,b ? R ? ,(当且仅当 a ? b 时取 " ? " 号).
(即调和平均 ? 几何平均 ? 算术平均 ? 平方平均).
变形公式:
2 2 ? a ?b ? a ?b ab ? ? ? ; ? 2 ? 2 ? 2

( a ? b) 2 a ?b ? . 2
2 2

②幂平均不等式:
1 (a1 ? a2 ? ... ? an ) 2 . n ③二维形式的三角不等式: a12 ? a2 2 ? ... ? an 2 ?
x12 ? y12 ? x2 2 ? y2 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2

( x1 , y1 , x2 , y2 ? R).
④二维形式的柯西不等式: 成立. ⑤三维形式的柯西不等式:

(a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 (a, b, c, d ? R). 当且仅当 ad ? bc 时,等号

(a12 ? a22 ? a32 )(b12 ? b22 ? b32 ) ? (a1b1 ? a2b2 ? a3b3 )2 .
⑥一般形式的柯西不等式: (a12 ? a22 ? ... ? an2 )(b12 ? b22 ? ... ? bn2 ) ? (a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn )2 . ⑦向量形式的柯西不等式: 设 ? , ? 是两个向量,则 ? ? ? ? ? ? , 当且仅当 ? 是零向量,或存在实数 k ,使 ? ? k ? 时,等 号成立. ⑧排序不等式(排序原理) :设 a1 ? a2 ? ... ? an , b1 ? b2 ? ... ? bn 为两组实数. c1 , c2 ,..., cn 是 b1 , b2 ,..., bn 的 任一排列, 则 a1bn ? a2bn?1 ? ... ? anb1 ? a1c1 ? a2c2 ? ... ? ancn ? a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn .(反序和 ? 乱序和 ? 顺 序和) 当且仅当 a1 ? a2 ? ... ? an 或 b1 ? b2 ? ... ? bn 时,反序和等于顺序和. ⑨琴生不等式:(特例:凸函数、凹函数) 若定义在某区间上的函数 f ( x) ,对于定义域中任意两点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ), 有
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f(

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 或 2 2

f(

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? . 2 2

则称 f(x)为凸(或凹)函数. 4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有:比较法(作差,作商法) 、综合法、分析法; 其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法: 1 3 1 ①舍去或加上一些项,如 (a ? ) 2 ? ? ( a ? ) 2 ; 2 4 2 ②将分子或分母放大(缩小) ,如
1 1 ? , 2 k k (k ? 1) ( 2 2 k ? 1 1 ? , 2 k k (k ? 1)

2 1 2 ?) ? , k? k k k ? k ?1

1 2 ? (k ? N * , k ? 1) 等. k k ? k ?1

5、一元二次不等式的解法 求一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(或 ? 0)

(a ? 0, ? ? b2 ? 4ac ? 0) 解集的步骤:
一化:化二次项前的系数为正数. 二判:判断对应方程的根. 三求:求对应方程的根. 四画:画出对应函数的图象. 五解集:根据图象写出不等式的解集. 规律:当二次项系数为正时,小于取中间,大于取两边. 6、高次不等式的解法:穿根法. 分解因式,把根标在数轴上,从右上方依次往下穿(奇穿偶切) ,结合原式不等号的方向,写出 不等式的解集. 7、分式不等式的解法:先移项通分标准化,则

f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? 0 g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 0 f ( x) ?0?? g ( x) ? g ( x) ? 0

“? 或 ?” ( 时同理)

规律:把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 8、无理不等式的解法:转化为有理不等式求解 ⑴

? f ( x) ? 0 f ( x) ? a(a ? 0) ? ? 2 ? f ( x) ? a

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? f ( x) ? 0 f ( x) ? a(a ? 0) ? ? 2 ? f ( x) ? a
? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 或? ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ? g ( x) ? 0 ? ? f ( x) ? 0 ? f ( x ) ? g ( x ) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ? ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?







规律:把无理不等式等价转化为有理不等式,诀窍在于从“小”的一边分析求解. 9、指数不等式的解法: ⑴当 a ? 1 时, a f ( x ) ? a g ( x ) ? f ( x) ? g ( x) ⑵当 0 ? a ? 1 时, a f ( x ) ? a g ( x ) ? f ( x) ? g ( x) 规律:根据指数函数的性质转化. 10、对数不等式的解法
? f ( x) ? 0 ? ⑴当 a ? 1 时, log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) ? 0 ? ⑵当 0 ? a ? 1 时, log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 . ? f ( x) ? g ( x) ?

规律:根据对数函数的性质转化. 11、含绝对值不等式的解法:

?a (a ? 0) ⑴定义法: a ? ? . ??a (a ? 0)
⑵平方法: f ( x) ? g ( x) ? f 2 ( x) ? g 2 ( x). ⑶同解变形法,其同解定理有: ① x ? a ? ?a ? x ? a(a ? 0); ② x ? a ? x ? a或x ? ?a(a ? 0); ③ f ( x) ? g( x) ? ?g( x) ? f ( x) ? g( x) ( g( x) ? 0) ④
f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x) 或f ( x) ? ? g ( x) ( g ( x) ? 0)
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规律:关键是去掉绝对值的符号. 12、含有两个(或两个以上)绝对值的不等式的解法: 规律:找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集,最后取各段的并集. 13、含参数的不等式的解法 解形如 ax2 ? bx ? c ? 0 且含参数的不等式时,要对参数进行分类讨论,分类讨论的标准有: ⑴讨论 a 与 0 的大小; ⑵讨论 ? 与 0 的大小; ⑶讨论两根的大小. 14、恒成立问题 ⑴不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 的解集是全体实数(或恒成立)的条件是: ①当 a ? 0 时 ? b ? 0, c ? 0;

?a ? 0 ②当 a ? 0 时 ? ? ?? ? 0.
⑵不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 的解集是全体实数(或恒成立)的条件是: ①当 a ? 0 时 ? b ? 0, c ? 0;

?a ? 0 ②当 a ? 0 时 ? ? ?? ? 0.
⑶ f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)max ? a;
f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)max ? a;

⑷ f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)min ? a;
f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)min ? a.

15、线性规划问题 ⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断: 法一:取点定域法: 由于直线 Ax ? By ? C ? 0 的同一侧的所有点的坐标代入 Ax ? By ? C 后所得的实数的符号相同. 所以,在实际判断时,往往只需在直线某一侧任取一特殊点 ( x0 , y0 ) (如原点) ,由 Ax0 ? By0 ? C 的 正负即可判断出 Ax ? By ? C ? 0 ( 或 ? 0) 表示直线哪一侧的平面区域. 即:直线定边界,分清虚实;选点定区域,常选原点. 法二:根据 Ax ? By ? C ? 0 ( 或 ? 0) ,观察 B 的符号与不等式开口的符号,若同号,
Ax ? By ? C ? 0 ( 或 ? 0) 表示直线上方的区域;若异号,则表示直线上方的区域. 即:同号上方,异

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号下方. ⑵二元一次不等式组所表示的平面区域: 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. ⑶利用线性规划求目标函数 z ? Ax ? By ( A, B 为常数)的最值: 法一:角点法: 如果目标函数 z ? Ax ? By ( x、 y 即为公共区域中点的横坐标和纵坐标)的最值存在,则这些 最值都在该公共区域的边界角点处取得,将这些角点的坐标代入目标函数,得到一组对应 z 值,最 大的那个数为目标函数 z 的最大值,最小的那个数为目标函数 z 的最小值 法二:画——移——定——求: 第一步,在平面直角坐标系中画出可行域;第二步,作直线 l0 : Ax ? By ? 0 ,平移直线 l0 (据可 行域,将直线 l0 平行移动)确定最优解;第三步,求出最优解 ( x, y ) ;第四步,将最优解 ( x, y ) 代入 目标函数 z ? Ax ? By 即可求出最大值或最小值 . 第二步中最优解的确定方法: 利用 z 的几何意义: y ? ?
A z z x ? , 为直线的纵截距. B B B

①若 B ? 0, 则使目标函数 z ? Ax ? By 所表示直线的纵截距最大的角点处, z 取得最大值,使直 线的纵截距最小的角点处, z 取得最小值; ②若 B ? 0, 则使目标函数 z ? Ax ? By 所表示直线的纵截距最大的角点处, z 取得最小值,使直 线的纵截距最小的角点处, z 取得最大值. ⑷常见的目标函数的类型: ①“截距”型: z ? Ax ? By;
y y ?b ; 或z ? x x?a

②“斜率”型: z ?

③“距离”型: z ? x 2 ? y 2 或 z ? x 2 ? y 2 ;

z ? ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 或 z ? ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 .
在求该“三型”的目标函数的最值时,可结合线性规划与代数式的几何意义求解,从而使问题简 单化.
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附:高中数学常用公式及常用结论 1. 元素与集合的关系 x ? A ? x ? CU A , x ? CU A ? x ? A . 2.德摩根公式 CU ( A B) ? CU A CU B; CU ( A B) ? CU A CU B . 3.包含关系 A B ? A ? A B ? B ? A ? B ? CU B ? CU A ? A CU B ? ? ? CU A B ? R 4.容斥原理 card ( A B) ? cardA ? cardB ? card ( A B) card ( A B C ) ? cardA ? cardB ? cardC ? card ( A B) ? card ( A B) ? card ( B C ) ? card (C A) ? card ( A B C ) . 5.集合 {a1 , a2 , , an } 的子集个数共有 2n 个;真子集有 2n –1 个;非空子集有 2n –1 个;非 空的真子集有 2n –2 个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ; (2)顶点式 f ( x) ? a( x ? h)2 ? k (a ? 0) ; (3)零点式 f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) . 7.解连不等式 N ? f ( x) ? M 常有以下转化形式 N ? f ( x) ? M ? [ f ( x) ? M ][ f ( x) ? N ] ? 0 M ?N M ?N f ( x) ? N |? ?0 ? | f ( x) ? ? 2 2 M ? f ( x) 1 1 ? . ? f ( x) ? N M ? N 8.方程 f ( x) ? 0 在 (k1 , k 2 ) 上有且只有一个实根,与 f (k1 ) f (k 2 ) ? 0 不等价,前者是后者的一个必 要而不是充分条件 . 特别地 , 方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有且只有一个实根在 (k1 , k 2 ) 内 , 等价于 k ? k2 k ? k2 b b ? 1 ?? ? k2 . ,或 f (k 2 ) ? 0 且 1 f (k1 ) f (k 2 ) ? 0 ,或 f (k1 ) ? 0 且 k1 ? ? 2a 2 2 2a 9.闭区间上的二次函数的最值 b 二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 在闭区间 ? p, q ? 上的最值只能在 x ? ? 处及区间的两端点处 2a 取得,具体如下: b b (1)当 a>0 时,若 x ? ? ? ? p, q ?,则 f ( x) min ? f (? ), f ( x) max ? max ? f ( p), f (q)? ; 2a 2a b x ? ? ? ? p, q ?, f ( x)max ?max ? f ( p), f (q)? , f ( x)min ?min ? f ( p), f (q)? . 2a b b (2) 当 a<0 时 , 若 x ? ? ? ? p, q ? , 则 f ( x)m i n ? mi n , f (p ) ,f q ( ) 若 x ? ? ? ? p, q ? , 则 ? ? 2a 2a f ( x)m a x ? max ( ) f ( x)min ? min ? f ( p), f (q)? . ? f (p ) ,f q ?, 10.一元二次方程的实根分布 依据:若 f (m) f (n) ? 0 ,则方程 f ( x) ? 0 在区间 (m, n) 内至少有一个实根 . 设 f ( x) ? x2 ? px ? q ,则

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? p 2 ? 4q ? 0 ? (1)方程 f ( x) ? 0 在区间 (m,??) 内有根的充要条件为 f (m) ? 0 或 ? p ; ? ? m ? ? 2 ? f ( m) ? 0 ? f ( n) ? 0 ? ? f ( m) ? 0 ? (2)方程 f ( x) ? 0 在区间 (m, n) 内有根的充要条件为 f (m) f (n) ? 0 或 ? p 2 ? 4q ? 0 或 ? ?af (n) ? 0 ? p ?m ? ? ? n ? ? 2 ? f (n) ? 0 或? ; ?af (m) ? 0

? p 2 ? 4q ? 0 ? (3)方程 f ( x) ? 0 在区间 (??, n) 内有根的充要条件为 f (m) ? 0 或 ? p . ? ? m ? ? 2 11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据 (1)在给定区间 (??,??) 的子区间 L (形如 ?? , ? ? , ?? ?, ? ? , ?? ,??? 不同)上含参数的二次不 等式 f ( x, t ) ? 0 ( t 为参数)恒成立的充要条件是 f ( x, t )min ? 0( x ? L) .
(2)在给定区间 (??,??) 的子区间上含参数的二次不等式 f ( x, t ) ? 0 ( t 为参数)恒成立的充要条 件是 f ( x, t )man ? 0( x ? L) .
?a ? 0 ?a ? 0 ? (3) f ( x) ? ax ? bx ? c ? 0 恒成立的充要条件是 ?b ? 0 或 ? 2 . b ? 4 ac ? 0 ?c ? 0 ? ?
4 2

12.真值表 p q 非p p或q p且q 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 13.常见结论的否定形式 原结论 反设词 原结论 是 不是 至少有一 个 都是 不都是 至多有一 个 大于 不大于 至少有 n 个 小于 不小于 至多有 n 个 对所有 x , 存在某 x , 成立 不成立 p 或q 对任何 x , 存在某 x , 不成立 成立 p 且q

反设词 一个也没有 至少有两个 至多有( n ? 1 ) 个 至少有( n ? 1 ) 个

?p 且 ?q
?p 或 ?q

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14.四种命题的相互关系 原命题 若p则q 互 互 否 否 否命题 若非p则非q 互逆 为 逆 为 逆 否 逆否命题 若非q则非p 互逆 互 互 否 逆命题 若q则p

15.充要条件 (1)充分条件:若 p ? q ,则 p 是 q 充分条件. (2)必要条件:若 q ? p ,则 p 是 q 必要条件. (3)充要条件:若 p ? q ,且 q ? p ,则 p 是 q 充要条件. 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然. 16.函数的单调性 (1)设 x1 ? x2 ? ?a, b?, x1 ? x2 那么
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b?上是增函数; x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b? 上是减函数. ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ? x1 ? x2 (2)设函数 y ? f ( x) 在某个区间内可导,如果 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为增函数;如果 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为减函数. 17.如果函数 f ( x) 和 g ( x) 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 f ( x) ? g ( x) 也是减函数; 如 果函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数 y ? f [ g ( x)] 是增函数. 18.奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于 原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函数是偶函数. 19. 若函数 y ? f ( x) 是偶函数,则 f ( x ? a) ? f (? x ? a) ; 若函数 y ? f ( x ? a) 是偶函数,则 f ( x ? a) ? f (? x ? a) . 20. 对 于 函 数 y ? f ( x) ( x ? R ), f ( x ? a) ? f (b ? x) 恒 成 立 , 则 函 数 f ( x) 的 对 称 轴 是 函 数 a?b a?b x? ;两个函数 y ? f ( x ? a) 与 y ? f (b ? x) 的图象关于直线 x ? 对称. 2 2 a 21. 若 f ( x) ? ? f (? x ? a) , 则函数 y ? f ( x) 的图象关于点 ( ,0) 对称; 若 f ( x) ? ? f ( x ? a) , 则函 2 数 y ? f ( x) 为周期为 2a 的周期函数.

( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ?

22.多项式函数 P( x) ? an xn ? an?1xn?1 ? ? a0 的奇偶性 多项式函数 P( x) 是奇函数 ? P( x) 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数 P( x) 是偶函数 ? P( x) 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数 y ? f ( x) 的图象的对称性 (1)函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? a 对称 ? f (a ? x) ? f (a ? x)
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? f (2a ? x) ? f ( x) .

(2)函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ?

a?b 对称 ? f (a ? mx) ? f (b ? mx) 2

? f (a ? b ? mx) ? f (mx) . 24.两个函数图象的对称性 (1)函数 y ? f ( x) 与函数 y ? f (? x) 的图象关于直线 x ? 0 (即 y 轴)对称. a?b (2)函数 y ? f (mx ? a) 与函数 y ? f (b ? mx) 的图象关于直线 x ? 对称. 2m (3)函数 y ? f ( x) 和 y ? f ?1 ( x) 的图象关于直线 y=x 对称. 25.若将函数 y ? f ( x) 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到函数 y ? f ( x ? a) ? b 的图象;若将曲 线 f ( x, y) ? 0 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到曲线 f ( x ? a, y ? b) ? 0 的图象. 26.互为反函数的两个函数的关系 f (a) ? b ? f ?1 (b) ? a . 1 27. 若函数 y ? f (kx ? b) 存在反函数, 则其反函数为 y ? [ f ?1 ( x ) ? b] ,并不是 y ? [ f ?1 (kx ? b) , k 1 而函数 y ? [ f ?1 (kx ? b) 是 y ? [ f ( x ) ? b] 的反函数. k 28.几个常见的函数方程 (1)正比例函数 f ( x) ? cx , f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y), f (1) ? c .

(2)指数函数 f ( x) ? a x , f ( x ? y) ? f ( x) f ( y), f (1) ? a ? 0 . (3)对数函数 f ( x) ? loga x , f ( xy) ? f ( x) ? f ( y), f (a) ? 1(a ? 0, a ? 1) . (4)幂函数 f ( x) ? x? , f ( xy) ? f ( x) f ( y), f ' (1) ? ? . (5)余弦函数 f ( x) ? cos x ,正弦函数 g ( x) ? sin x , f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) ? g ( x) g ( y) , g ( x) f (0) ? 1, lim ?1. x ?0 x 29.几个函数方程的周期(约定 a>0) (1) f ( x) ? f ( x ? a) ,则 f ( x) 的周期 T=a; (2) f ( x) ? f ( x ? a) ? 0 , 1 ( f ( x) ? 0) , 或 f ( x ? a) ? f ( x) 1 或 f ( x ? a) ? ? ( f ( x) ? 0) , f ( x) 1 或 ? f ( x) ? f 2 ( x) ? f ( x ? a ), ( f ( x) ? ?0,1?) ,则 f ( x) 的周期 T=2a; 2 1 ( f ( x) ? 0) ,则 f ( x) 的周期 T=3a; (3) f ( x) ? 1 ? f ( x ? a) f ( x1 ) ? f ( x2 ) (4) f ( x1 ? x2 ) ? 且 f (a) ? 1( f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1,0 ?| x1 ? x2 |? 2a) , 则 f ( x) 的周期 T=4a; 1 ? f ( x1 ) f ( x2 ) (5) f ( x) ? f ( x ? a) ? f ( x ? 2a) f ( x ? 3a) ? f ( x ? 4a) ? f ( x) f ( x ? a) f ( x ? 2a) f ( x ? 3a) f ( x ? 4a) ,则 f ( x) 的周期 T=5a; (6) f ( x ? a) ? f ( x) ? f ( x ? a) ,则 f ( x) 的周期 T=6a. 30.分数指数幂 m 1 (1) a n ? ( a ? 0, m, n ? N ? ,且 n ? 1 ). n m a
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(2) a

?

m n

?

1
m n

( a ? 0, m, n ? N ? ,且 n ? 1 ).

a 31.根式的性质 (1) ( n a )n ? a .

(2)当 n 为奇数时, n an ? a ; ? a, a ? 0 当 n 为偶数时, n a n ?| a |? ? . ? ? a, a ? 0 32.有理指数幂的运算性质 (1) ar ? as ? ar ?s (a ? 0, r, s ? Q) . (2) (ar )s ? ars (a ? 0, r, s ? Q) . (3) (ab)r ? ar br (a ? 0, b ? 0, r ? Q) . 注: 若 a>0,p 是一个无理数,则 ap 表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性质, 对于无理数指数幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式 loga N ? b ? ab ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) . 34.对数的换底公式 log m N ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m ? 0 ,且 m ? 1 , N ? 0 ). log a N ? log m a n 推论 log am b n ? log a b ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m, n ? 0 ,且 m ? 1 , n ? 1 , N ? 0 ). m 35.对数的四则运算法则 若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则 (1) loga (MN ) ? loga M ? loga N ; M ? log a M ? log a N ; (2) log a N (3) loga M n ? n loga M (n ? R) . 36.设函数 f ( x) ? logm (ax2 ? bx ? c)(a ? 0) ,记 ? ? b 2 ? 4ac .若 f ( x) 的定义域为 R ,则 a ? 0 ,且 ? ? 0 ;若 f ( x) 的值域为 R ,则 a ? 0 ,且 ? ? 0 .对于 a ? 0 的情形,需要单独检验. 37. 对数换底不等式及其推广 1 若 a ? 0 , b ? 0 , x ? 0 , x ? ,则函数 y ? logax (bx) a 1 1 (1)当 a ? b 时,在 (0, ) 和 ( , ??) 上 y ? logax (bx) 为增函数. a a 1 1 (2)当 a ? b 时,在 (0, ) 和 ( , ??) 上 y ? logax (bx) 为减函数. , a a 推论:设 n ? m ? 1, p ? 0 , a ? 0 ,且 a ? 1 ,则 (1) logm? p (n ? p) ? logm n . (2) log a m log a n ? log a 2
m?n . 2

38. 平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为 N,平均增长率为 p ,则对于时间 x 的总产值 y ,有 y ? N (1 ? p) x . 39.数列的同项公式与前 n 项的和的关系
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n ?1 ?s1 , ( 数列 {an } 的前 n 项的和为 sn ? a1 ? a2 ? an ? ? ?sn ? sn?1 , n ? 2
40.等差数列的通项公式

? an ).

an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N * ) ;
其前 n 项和公式为 n(a1 ? an ) n(n ? 1) sn ? ? na1 ? d 2 2 d 1 ? n 2 ? (a1 ? d ) n . 2 2 41.等比数列的通项公式 a an ? a1q n ?1 ? 1 ? q n (n ? N * ) ; q 其前 n 项的和公式为 ? a1 (1 ? q n ) ,q ?1 ? sn ? ? 1 ? q ? na , q ? 1 ? 1

? a1 ? an q ,q ?1 ? 或 sn ? ? 1 ? q . ?na , q ? 1 ? 1

42.等比差数列 ?an ? : an?1 ? qan ? d , a1 ? b(q ? 0) 的通项公式为
?b ? (n ? 1)d , q ? 1 ? an ? ? bq n ? (d ? b)q n ?1 ? d ; ,q ?1 ? q ?1 ?

其前 n 项和公式为 ?nb ? n(n ? 1)d , (q ? 1) ? sn ? ? . d 1 ? qn d ( b ? ) ? n, (q ? 1) ? 1 ? q q ?1 1 ? q ? 43.分期付款(按揭贷款) ab(1 ? b) n 每次还款 x ? 元(贷款 a 元, n 次还清,每期利率为 b ). (1 ? b) n ? 1 44.常见三角不等式 ? (1)若 x ? (0, ) ,则 sin x ? x ? tan x . 2 ? (2) 若 x ? (0, ) ,则 1 ? sin x ? cos x ? 2 . 2 (3) | sin x | ? | cos x |? 1 . 45.同角三角函数的基本关系式 sin ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 , tan ? = , tan ? ? cot? ? 1 . cos ? 46.正弦、余弦的诱导公式
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n ? n? ?(?1) 2 sin ? , sin( ? ? ) ? ? n ?1 2 ?(?1) 2 co s ? , ?
n ? n? ?( ?1) 2 co s ? , co s( ??) ? ? n ?1 2 ?( ?1) 2 sin ? , ?

(n 为偶数) (n 为奇数) (n 为偶数) (n 为奇数)

47.和角与差角公式 sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos? cos ? sin ? sin ? ; tan ? ? tan ? . tan(? ? ? ) ? 1 tan ? tan ? sin(? ? ? )sin(? ? ? ) ? sin 2 ? ? sin 2 ? (平方正弦公式); cos(? ? ? )cos(? ? ? ) ? cos2 ? ? sin 2 ? .
a sin ? ? b cos ? = a 2 ? b2 sin(? ? ? ) (辅助角 ? 所在象限由点 ( a, b) 的象限决定, tan ? ?

b ). a

48.二倍角公式 sin 2? ? sin ? cos ? . cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? . 2 tan ? tan 2? ? . 1 ? tan 2 ? 49. 三倍角公式 ? ? sin 3? ? 3sin ? ? 4sin 3 ? ? 4sin ? sin( ? ? ) sin( ? ? ) . 3 3 ? ? cos 3? ? 4 cos3 ? ? 3cos ? ? 4 cos ? cos( ? ? ) cos( ? ? ) 3 3
3tan ? ? tan 3 ? ? ? tan 3? ? ? tan ? tan( ? ? ) tan( ? ? ) . 2 1 ? 3tan ? 3 3

.

50.三角函数的周期公式 函数 y ? sin(? x ? ? ) ,x∈R 及函数 y ? cos(? x ? ? ) ,x∈R(A,ω , ? 为常数,且 A≠0,ω >0)的 2? ? 周期 T ? ;函数 y ? tan(? x ? ? ) , x ? k? ? , k ? Z (A, ω , ? 为常数,且 A≠ 0 , ω > 0) 的周期 ? 2 ? T? . ? 51.正弦定理 a b c ? ? ? 2R . sin A sin B sin C 52.余弦定理 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ; b2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos B ; c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C . 53.面积定理 1 1 1 (1) S ? aha ? bhb ? chc ( ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 边上的高). 2 2 2
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1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ca sin B . 2 2 2 1 (| OA | ? | OB |) 2 ? (OA ? OB ) 2 . (3) S?OAB ? 2 54.三角形内角和定理 在△ABC 中,有 A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B) C ? A? B ? ? ? ? 2C ? 2? ? 2( A ? B) . 2 2 2 55. 简单的三角方程的通解 sin x ? a ? x ? k? ? (?1)k arcsin a(k ? Z ,| a |? 1) . co s x ? a ? x ? 2k? ? arccos a(k ? Z ,| a |? 1) . tan x ? a ? x ? k? ? arctan a(k ? Z , a ? R) . 特别地,有 sin ? ? sin ? ? ? ? k? ? (?1)k ? (k ? Z ) . co s ? ? cos ? ? ? ? 2k? ? ? (k ? Z ) . tan ? ? tan ? ? ? ? k? ? ? (k ? Z ) . 56.最简单的三角不等式及其解集 sin x ? a(| a |? 1) ? x ? (2k? ? arcsin a, 2k? ? ? ? arcsin a), k ? Z . sin x ? a(| a |? 1) ? x ? (2k? ? ? ? arcsin a, 2k? ? arcsin a), k ? Z . cos x ? a(| a |? 1) ? x ? (2k? ? arccos a, 2k? ? arccos a), k ? Z . cos x ? a(| a |? 1) ? x ? (2k? ? arccos a, 2k? ? 2? ? arccos a), k ? Z .

(2) S ?

tan x ? a(a ? R) ? x ? (k? ? arctan a, k? ? ), k ? Z . 2
, k? ? arctan a), k ? Z . 2 57.实数与向量的积的运算律 设λ 、μ 为实数,那么 (1) 结合律:λ (μ a)=(λ μ )a; (2)第一分配律:(λ +μ )a=λ a+μ a; (3)第二分配律:λ (a+b)=λ a+λ b. 58.向量的数量积的运算律: (1) a·b= b·a (交换律); (2)( ? a) ·b= ? (a·b)= ? a·b= a· ( ? b ); (3)(a+b) ·c= a ·c +b·c. 59.平面向量基本定理 如果 e1、e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一 对实数λ 1、λ 2,使得 a=λ 1e1+λ 2e2. 不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 60.向量平行的坐标表示 设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0,则 a b(b ? 0) ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 . tan x ? a(a ? R) ? x ? (k? ?

?

?

53. a 与 b 的数量积(或内积) a·b=|a||b|cosθ . 61. a·b 的几何意义 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ 的乘积. 62.平面向量的坐标运算
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(1)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a+b= ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . (2)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a-b= ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . (3)设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 ) . (4)设 a= ( x, y), ? ? R ,则 ? a= (? x, ? y) . (5)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a·b= ( x1 x2 ? y1 y2 ) . 63.两向量的夹角公式 x1 x2 ? y1 y2 (a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ). cos? ? 2 2 2 x1 ? y12 ? x2 ? y2 64.平面两点间的距离公式

d A, B = | AB |? AB ? AB
? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 (A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ).

65.向量的平行与垂直 设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0,则 A||b ? b=λ a ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 . a ? b(a ? 0) ? a·b=0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 66.线段的定比分公式 设P 1 2 的分点, ? 是实数,且 PP 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) , P ( x, y ) 是线段 PP 1 ? ? PP 2 ,则
x1 ? ? x2 OP ? ? OP2 1? ? ? OP ? 1 y1 ? ? y2 1? ? 1? ? 1 t? ). ? OP ? tOP 1 ? (1 ? t )OP 2( 1? ? 67.三角形的重心坐标公式 △ ABC 三个顶点的坐标分别为 A(x1 ,y1 )、 B(x2 ,y2 )、 C(x3 ,y3 ) , 则△ ABC 的重心的坐标是 x ? x 2 ? x 3 y 1? y 2? y 3 G( 1 , ). 3 3 68.点的平移公式 ? x' ? x ? h ? x ? x' ? h ? ? ? ? OP' ? OP ? PP' . ? ' ? ' ?y ? y ? k ?y ? y ? k ? ? ? x? ? ? ? ?y ? ? ?

注:图形 F 上的任意一点 P(x,y)在平移后图形 F ' 上的对应点为 P' ( x' , y ' ) ,且 PP' 的坐标为 ( h, k ) . 69.“按向量平移”的几个结论 (1)点 P ( x, y ) 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到点 P' ( x ? h, y ? k ) . (2) 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 C 按 向 量 a= ( h, k ) 平 移 后 得 到 图 象 C ' , 则 C ' 的 函 数 解 析 式 为 y ? f ( x ? h) ? k . (3) 图象 C ' 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到图象 C ,若 C 的解析式 y ? f ( x) ,则 C ' 的函数解析式为 y ? f ( x ? h) ? k . (4)曲线 C : f ( x, y) ? 0 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到图象 C ' ,则 C ' 的方程为 f ( x ? h, y ? k ) ? 0 . (5) 向量 m= ( x, y ) 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到的向量仍然为 m= ( x, y ) . 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件
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设 O 为 ?ABC 所在平面上一点,角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c ,则 (1) O 为 ?ABC 的外心 ? OA ? OB ? OC . (2) O 为 ?ABC 的重心 ? OA ? OB ? OC ? 0 . (3) O 为 ?ABC 的垂心 ? OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA . (4) O 为 ?ABC 的内心 ? aOA ? bOB ? cOC ? 0 . (5) O 为 ?ABC 的 ? A 的旁心 ? aOA ? bOB ? cOC . 71.常用不等式: (1) a, b ? R ? a 2 ? b2 ? 2ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). a?b ? ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). (2) a, b ? R? ? 2 (3) a3 ? b3 ? c3 ? 3abc(a ? 0, b ? 0, c ? 0). (4)柯西不等式 (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 , a, b, c, d ? R. (5) a ? b ? a ? b ? a ? b . 72.极值定理 已知 x , y 都是正数,则有 (1)若积 xy 是定值 p ,则当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2 p ; 1 (2)若和 x ? y 是定值 s ,则当 x ? y 时积 xy 有最大值 s 2 . 4 2 2 推广 已知 x, y ? R ,则有 ( x ? y) ? ( x ? y) ? 2 xy (1)若积 xy 是定值,则当 | x ? y | 最大时, | x ? y | 最大; 当 | x ? y | 最小时, | x ? y | 最小. (2)若和 | x ? y | 是定值,则当 | x ? y | 最大时, | xy | 最小; 当 | x ? y | 最小时, | xy | 最大. 73.一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(或 ? 0) (a ? 0, ? ? b2 ? 4ac ? 0) ,如果 a 与 ax 2 ? bx ? c 同号, 则其解集在两根之外;如果 a 与 ax 2 ? bx ? c 异号,则其解集在两根之间.简言之:同号两根之外, 异号两根之间. x1 ? x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) ;
2 2 2

x ? x1 , 或x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) . 74.含有绝对值的不等式 当 a> 0 时,有 2 x ? a ? x 2 ? a ? ?a ? x ? a .

x ? a ? x2 ? a2 ? x ? a 或 x ? ?a .
75.无理不等式 (1)

(2)

? f ( x) ? 0 ? . f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? . f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 或? g ( x ) ? 0 ? 2 ? f ( x) ? [ g ( x)] ?

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? f ( x) ? 0 ? (3) f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 . ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ? 76.指数不等式与对数不等式 (1)当 a ? 1 时, a f ( x) ? a g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ; ? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 . ? f ( x) ? g ( x) ?
(2)当 0 ? a ? 1 时, a f ( x) ? a g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ; ? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? 77.斜率公式 y ?y k ? 2 1 (P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ). x2 ? x1 78.直线的五种方程 k (1)点斜式 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P 1 ( x1 , y1 ) ,且斜率为 ). (2)斜截式 y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距). y ? y1 x ? x1 (3)两点式 ( y1 ? y2 )( P ? 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )). y2 ? y1 x2 ? x1 x y ? ? 1 ( a、 b 分别为直线的横、纵截距, a、b ? 0 ) (4)截距式 a b (5)一般式 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0). 79.两条直线的平行和垂直 (1)若 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ① l1 || l2 ? k1 ? k2 , b1 ? b2 ; ② l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1 . ① l1 || l2 ?

(2)若 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 ,且 A1、A2、B1、B2 都不为零,
A1 B1 C1 ; ? ? A2 B2 C2 ② l1 ? l2 ? A1 A2 ? B1B2 ? 0 ; 80.夹角公式 k ?k (1) tan ? ?| 2 1 | . 1 ? k2 k1 ( l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 , k1k2 ? ?1) A B ? A2 B1 |. (2) tan ? ?| 1 2 A1 A2 ? B1B2 ( l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 , A1 A2 ? B1B2 ? 0 ). ? 直线 l1 ? l2 时,直线 l1 与 l2 的夹角是 . 2
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81. l1 到 l2 的角公式 k ?k (1) tan ? ? 2 1 . 1 ? k2 k1 ( l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 , k1k2 ? ?1) A B ? A2 B1 (2) tan ? ? 1 2 . A1 A2 ? B1 B2 ( l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 , A1 A2 ? B1B2 ? 0 ). ? 直线 l1 ? l2 时,直线 l1 到 l2 的角是 . 2 82.四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程:经过定点 P 0 ( x0 , y0 ) 的直线系方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) (除直线 x ? x0 ),其 中 k 是待定的系数 ; 经过定点 P 0 ( x0 , y0 ) 的直线系方程为 A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? 0 , 其中 A, B 是待定 的系数. (2)共点直线系方程:经过两直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 的交点的直线系方 程为 ( A1x ? B1 y ? C1 ) ? ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 (除 l2 ),其中λ 是待定的系数. (3)平行直线系方程: 直线 y ? kx ? b 中当斜率 k 一定而 b 变动时, 表示平行直线系方程. 与 直线 Ax ? By ? C ? 0 平行的直线系方程是 Ax ? By ? ? ? 0 ( ? ? 0 ),λ 是参变量. (4) 垂 直 直 线 系 方 程 : 与 直 线 Ax ? By ? C ? 0 (A ≠ 0 , B ≠ 0) 垂 直 的 直 线 系 方 程 是 Bx ? Ay ? ? ? 0 ,λ 是参变量. 83.点到直线的距离 | Ax0 ? By0 ? C | (点 P( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ). d? A2 ? B 2 84. Ax ? By ? C ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域 设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,则 Ax ? By ? C ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域是: 若 B ? 0 ,当 B 与 Ax ? By ? C 同号时,表示直线 l 的上方的区域;当 B 与 Ax ? By ? C 异号时, 表示直线 l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下. 若 B ? 0 ,当 A 与 Ax ? By ? C 同号时,表示直线 l 的右方的区域;当 A 与 Ax ? By ? C 异号时, 表示直线 l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左. 85. ( A1x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域 设曲线 C : ( A1 x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 ( A1 A2 B1B2 ? 0 ) ,则 ( A1x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域是:

( A1x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 所表示的平面区域上下两部分; ( A1x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 所表示的平面区域上下两部分. 86. 圆的四种方程 (1)圆的标准方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 . (2)圆的一般方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D 2 ? E 2 ? 4 F >0). ? x ? a ? r cos? (3)圆的参数方程 ? . ? y ? b ? r sin ? ( 4 ) 圆 的 直 径 式 方 程 (x ? x y )? ( 0圆 的 直 径 的 端 点 是 A( x1 , y1 ) 、 1 )( x ? x 2 )? ( y ? y 1 )( y? 2 B( x2 , y2 ) ). 87. 圆系方程 (1)过点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 的圆系方程是
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( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? ?[( x ? x1 )( y1 ? y2 ) ? ( y ? y1 )( x1 ? x2 )] ? 0 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? ?(ax ? by ? c) ? 0 , 其中 ax ? by ? c ? 0 是直线 AB 的方程 , λ 是待 定的系数. (2) 过 直 线 l : Ax ? By ? C ? 0 与 圆 C : x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的 交 点 的 圆 系 方 程 是 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? ? ( Ax ? By ? C) ? 0 ,λ 是待定的系数. (3) 过圆 C1 : x2 ? y2 ? D1x ? E1 y ? F1 ? 0 与圆 C2 : x2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 的交点的圆系方程
是 x2 ? y2 ? D1x ? E1 y ? F1 ? ?( x2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ) ? 0 ,λ 是待定的系数. 88.点与圆的位置关系 点 P( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种 若 d ? (a ? x0 )2 ? (b ? y0 )2 ,则
d ? r ? 点 P 在圆外; d ? r ? 点 P 在圆上; d ? r ? 点 P 在圆内. 89.直线与圆的位置关系 直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种: d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相交 ? ? ? 0 .

其中 d ?

. A2 ? B 2 90.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O1O2 ? d

Aa ? Bb ? C

d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线; d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线;

r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线;

d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线; 0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线.
91.圆的切线方程 (1)已知圆 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 . ①若已知切点 ( x0 , y0 ) 在圆上,则切线只有一条,其方程是 D( x0 ? x) E ( y0 ? y ) x0 x ? y0 y ? ? ? F ? 0. 2 2 D( x0 ? x) E ( y0 ? y ) ? ? F ? 0 表示过两个切点的切点弦方程. 当 ( x0 , y0 ) 圆外时, x0 x ? y0 y ? 2 2 ②过圆外一点的切线方程可设为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,再利用相切条件求 k,这时必有两条切 线,注意不要漏掉平行于 y 轴的切线. ③斜率为 k 的切线方程可设为 y ? kx ? b ,再利用相切条件求 b,必有两条切线. (2)已知圆 x2 ? y 2 ? r 2 . 2 ①过圆上的 P 0 ( x0 , y0 ) 点的切线方程为 x0 x ? y0 y ? r ; ②斜率为 k 的圆的切线方程为 y ? kx ? r 1 ? k 2 . ? x ? a cos? x2 y 2 92.椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程是 ? . a b ? y ? b sin ?

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x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 焦半径公式 a 2 b2 a2 a2 PF1 ? e( x ? ) , PF2 ? e( ? x) . c c 94.椭圆的的内外部 2 x 2 y0 x2 y 2 ? ?1. (1)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的内部 ? 0 a b a 2 b2 2 x 2 y0 x2 y 2 ? ?1. (2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的外部 ? 0 a b a 2 b2 95. 椭圆的切线方程 xx y y x2 y 2 (1)椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . a b a b 2 2 x y (2)过椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 a b x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b x2 y 2 (3)椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 A2 a 2 ? B2b2 ? c2 . a b 2 x y2 96.双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦半径公式 a b a2 a2 PF1 ?| e( x ? ) | , PF2 ?| e( ? x) | . c c 97.双曲线的内外部 2 x 2 y0 x2 y 2 ? ?1. (1)点 P( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的内部 ? 0 a 2 b2 a b 2 x 2 y0 x2 y 2 ? ?1 . (2)点 P( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的外部 ? 0 a 2 b2 a b 98.双曲线的方程与渐近线方程的关系 x2 y2 x2 y 2 b (1)若双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 ? 渐近线方程: 2 ? 2 ? 0 ? y ? ? x . a b a a b 2 2 x y x y b (2)若渐近线方程为 y ? ? x ? ? ? 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 ? ? . a b a a b 2 2 2 2 x y x y (3)若双曲线与 2 ? 2 ? 1 有公共渐近线,可设为 2 ? 2 ? ? ( ? ? 0 ,焦点在 x 轴上,? ? 0 , a b a b 焦点在 y 轴上). 99. 双曲线的切线方程 xx y y x2 y 2 (1)双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . a b a b 2 2 x y (2)过双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 a b x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b x2 y 2 (3)双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 A2 a 2 ? B2b2 ? c2 . a b 100. 抛物线 y 2 ? 2 px 的焦半径公式

93.椭圆

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抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 焦半径 CF ? x0 ? 过焦点弦长 CD ? x1 ?

p . 2

p p ? x 2 ? ? x1 ? x 2 ? p . 2 2 2 y 101.抛物线 y 2 ? 2 px 上的动点可设为 P ( ? , y? ) 或 P(2 pt 2 ,2 pt)或 P ( x , y ) ,其中 y2 ? 2 px . 2p

b 2 4ac ? b2 ) ? ( 1 )顶点坐标为 (a ? 0) 的图象是抛物线: 2a 4a b 4ac ? b 2 b 4ac ? b 2 ? 1 4ac ? b 2 ? 1 (? , ); ); (2)焦点的坐标为 (? , (3)准线方程是 y ? . 2a 4a 2a 4a 4a 103.抛物线的内外部 (1)点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的内部 ? y 2 ? 2 px( p ? 0) .

102. 二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c ? a( x ?

点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的外部 ? y 2 ? 2 px( p ? 0) . (2)点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 ? ?2 px( p ? 0) 的内部 ? y 2 ? ?2 px( p ? 0) . 点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 ? ?2 px( p ? 0) 的外部 ? y 2 ? ?2 px( p ? 0) . (3)点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 的内部 ? x2 ? 2 py( p ? 0) . 点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 的外部 ? x2 ? 2 py( p ? 0) . (4) 点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 的内部 ? x2 ? 2 py( p ? 0) . 点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x2 ? ?2 py( p ? 0) 的外部 ? x2 ? ?2 py( p ? 0) . 104. 抛物线的切线方程 (1)抛物线 y 2 ? 2 px 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 y0 y ? p( x ? x0 ) . (2)过抛物线 y 2 ? 2 px 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 y0 y ? p( x ? x0 ) . (3)抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 pB2 ? 2 AC . 105.两个常见的曲线系方程 (1)过曲线 f1 ( x, y) ? 0 , f2 ( x, y) ? 0 的交点的曲线系方程是 f1 ( x, y) ? ? f 2 ( x, y) ? 0 ( ? 为参数).
x2 y2 ? ? 1 ,其中 k ? max{a2 , b2 } .当 k ? min{a2 , b2} 时, 2 2 a ?k b ?k 表示椭圆; 当 min{a2 , b2} ? k ? max{a2 , b2} 时,表示双曲线.

(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程

106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 或
AB ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2 ?| x1 ? x2 | 1 ? tan 2 ? ?| y1 ? y2 | 1 ? co t 2 ? (弦端点 A ( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,

?y ? kx ? b 由方程 ? 消去 y 得到 ax2 ? bx ? c ? 0 ,? ? 0 , ? 为直线 AB 的倾斜角,k 为直线的斜率). ?F( x, y) ? 0 107.圆锥曲线的两类对称问题 (1)曲线 F ( x, y) ? 0 关于点 P( x0 , y0 ) 成中心对称的曲线是 F (2 x0 -x, 2 y0 ? y) ? 0 . (2)曲线 F ( x, y) ? 0 关于直线 Ax ? By ? C ? 0 成轴对称的曲线是 2 A( Ax ? By ? C ) 2 B( Ax ? By ? C ) F (x ? ,y? ) ?0. 2 2 A ?B A2 ? B 2 108.“四线”一方程 x y ? xy0 对于一般的二次曲线 Ax2 ? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,用 x0 x 代 x 2 ,用 y0 y 代 y 2 ,用 0 2
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x0 ? x y ?y 代 x ,用 0 代 y 即得方程 2 2 x y ? xy0 x ?x y ?y Ax0 x ? B ? 0 ? Cy0 y ? D ? 0 ?E? 0 ? F ? 0 ,曲线的切线,切点弦,中点弦,弦中点方 2 2 2 程均是此方程得到. 109.证明直线与直线的平行的思考途径 (1)转化为判定共面二直线无交点; (2)转化为二直线同与第三条直线平行; (3)转化为线面平行; (4)转化为线面垂直; (5)转化为面面平行. 110.证明直线与平面的平行的思考途径 (1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行; (3)转化为面面平行. 111.证明平面与平面平行的思考途径 (1)转化为判定二平面无公共点; (2)转化为线面平行; (3)转化为线面垂直. 112.证明直线与直线的垂直的思考途径 (1)转化为相交垂直; (2)转化为线面垂直; (3)转化为线与另一线的射影垂直; (4)转化为线与形成射影的斜线垂直. 113.证明直线与平面垂直的思考途径 (1)转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面; (5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114.证明平面与平面的垂直的思考途径 (1)转化为判断二面角是直二面角; (2)转化为线面垂直. 115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律:a+b=b+a. (2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c). (3)数乘分配律:λ (a+b)=λ a+λ b. 116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和, 等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共 始点为始点的对角线所表示的向量. 117.共线向量定理 对空间任意两个向量 a、b(b≠0 ),a∥b ? 存在实数λ 使 a=λ b. P、A、B 三点共线 ? AP || AB ? AP ? t AB ? OP ? (1 ? t )OA ? tOB .

代 xy ,用

AB || CD ? AB 、 CD 共线且 AB、CD 不共线 ? AB ? tCD 且 AB、CD 不共线. 118.共面向量定理 向量 p 与两个不共线的向量 a、b 共面的 ? 存在实数对 x , y ,使 p ? ax ? by .
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推论 空间一点 P 位于平面 MAB 内的 ? 存在有序实数对 x , y ,使 MP ? xMA ? yMB , 或对空间任一定点 O,有序实数对 x , y ,使 OP ? OM ? xMA ? yMB . 119.对空间任一点 O 和不共线的三点 A、B、C,满足 OP ? xOA ? yOB ? zOC ( x ? y ? z ? k ) , 则当 k ? 1 时,对于空间任一点 O ,总有 P、A、B、C 四点共面;当 k ? 1 时,若 O ? 平面 ABC,则 P、 A、B、C 四点共面;若 O ? 平面 ABC,则 P、A、B、C 四点不共面. A、B、 C、D 四点共面 ? AD 与 AB 、 AC 共面 ? AD ? xAB ? yAC ?

OD ? (1 ? x ? y)OA ? xOB ? yOC ( O ? 平面 ABC). 120.空间向量基本定理 如果三个向量 a、b、c 不共面,那么对空间任一向量 p,存在一个唯一的有序实数组 x,y,z, 使 p=xa+yb+zc. 推论 设 O、A、B、C 是不共面的四点,则对空间任一点 P,都存在唯一的三个有序实数 x,y, z,使 OP ? xOA ? yOB ? zOC . 121.射影公式 已知向量 AB =a 和轴 l ,e 是 l 上与 l 同方向的单位向量.作 A 点在 l 上的射影 A ' ,作 B 点在 l 上 的射影 B ' ,则 A' B' ?| AB | cos 〈a,e〉=a·e 122.向量的直角坐标运算 设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) 则 (1)a+b= (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; (2)a-b= (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; (3)λ a= (?a1, ?a2 , ?a3 ) (λ ∈R); (4)a·b= a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ; 123.设 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则
AB ? OB ? OA = ( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 ) . 124.空间的线线平行或垂直 r r 设 a ? ( x1 , y1 , z1 ) , b ? ( x2 , y2 , z2 ) ,则
? x1 ? ? x2 r r r r r r ? a Pb ? a ? ?b(b ? 0) ? ? y1 ? ? y2 ; ?z ? ? z 2 ? 1 r r r r a ? b ? a ? b ? 0 ? x1x2 ? y1 y2 ? z1z2 ? 0 . 125.夹角公式 设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) ,则 a1b1 ? a2b2 ? a3b3 cos〈a,b〉= . 2 2 2 2 a1 ? a2 ? a3 b12 ? b2 ? b32
2 2 2 2 推论 (a1b1 ? a2b2 ? a3b3 )2 ? (a12 ? a2 ? a3 )(b12 ? b2 ? b3 ) ,此即三维柯西不等式. 126. 四面体的对棱所成的角 四面体 ABCD 中, AC 与 BD 所成的角为 ? ,则

| ( AB 2 ? CD 2 ) ? ( BC 2 ? DA2 ) | cos ? ? . 2 AC ? BD

127.异面直线所成角
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r r b 所成角, a, b 分别表示异面直线 a, b 的方向向量) (其中 ? ( 0o ? ? ? 90o )为异面直线 a, 128.直线 AB 与平面所成角
AB ? m ( m 为平面 ? 的法向量). | AB || m | 129.若 ?ABC 所在平面若 ? 与过若 AB 的平面 ? 成的角 ? ,另两边 AC , BC 与平面 ? 成的角分 别是 ?1 、 ? 2 , A、B 为 ?ABC 的两个内角,则

r r cos ? ?| cos a, b | r r | x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 | | a ?b | = r r ? | a |?| b | x12 ? y12 ? z12 ? x2 2 ? y2 2 ? z2 2

? ? arc sin

sin2 ?1 ? sin2 ?2 ? (sin2 A ? sin2 B)sin2 ? .
特别地,当 ?ACB ? 90 时,有 sin2 ?1 ? sin2 ?2 ? sin2 ? . 130.若 ?ABC 所在平面若 ? 与过若 AB 的平面 ? 成的角 ? ,另两边 AC , BC 与平面 ? 成的角分 别是 ?1 、 ? 2 , A'、B ' 为 ?ABO 的两个内角,则

tan2 ?1 ? tan2 ?2 ? (sin2 A' ? sin2 B' ) tan2 ? .
特别地,当 ?AOB ? 90 时,有 sin2 ?1 ? sin2 ?2 ? sin2 ? . 131.二面角 ? ? l ? ? 的平面角

m?n m?n 或 ? ? arc cos ( m , n 为平面 ? , ? 的法向量). | m || n | | m || n | 132.三余弦定理 设 AC 是α 内的任一条直线,且 BC⊥AC,垂足为 C,又设 AO 与 AB 所成的角为 ? 1 ,AB 与 AC 所 成的角为 ? 2 ,AO 与 AC 所成的角为 ? .则 cos? ? cos?1 cos? 2 . 133. 三射线定理 若夹在平面角为 ? 的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是 ? 1 , ? 2 ,与二面角的棱

? ? arc cos

所成的角是θ ,则有 sin2 ? sin2 ? ? sin2 ?1 ? sin2 ?2 ? 2sin?1 sin?2 cos? ;

| ?1 ??2 |? ? ? 180 ? (?1 ??2 ) (当且仅当 ? ? 90 时等号成立). 134.空间两点间的距离公式 若 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则
d A, B = | AB |? AB ? AB ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 )2 .
135.点 Q 到直线 l 距离 1 h? (| a || b |)2 ? (a ? b)2 (点 P 在直线 l 上,直线 l 的方向向量 a= PA ,向量 b= PQ ). |a| 136.异面直线间的距离

d?

| CD ? n | ( l1 , l2 是两异面直线,其公垂向量为 n , C、D 分别是 l1 , l2 上任一点, d 为 l1 , l2 间的 |n|

距离). 137.点 B 到平面 ? 的距离

d?

| AB ? n | ( n 为平面 ? 的法向量, AB 是经过面 ? 的一条斜线, A ?? ). |n|
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138.异面直线上两点距离公式

d ? h2 ? m2 ? n2 2mn cos? .
d ? h 2 ? m 2 ? n 2 ? 2mn cos EA' , AF .
d ? h 2 ? m 2 ? n 2 ? 2mn cos ? ( ? ? E ? AA' ? F ).

(两条异面直线 a、b 所成的角为θ ,其公垂线段 AA ' 的长度为 h.在直线 a、b 上分别取两点 E、F, A' E ? m , AF ? n , EF ? d ). 139.三个向量和的平方公式
(a ? b ? c) 2 ? a ? b ? c ? 2a ? b ? 2b ? c ? 2c ? a
2 2 2

? a ? b ? c ? 2 | a | ? | b | cos a, b ? 2 | b | ? | c | cos b, c ? 2 | c | ? | a | cos c, a

2

2

2

140. 长度为 l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 l1、l2、 l3 ,夹角分别为

?1、? 2、?3 ,则有
2 l 2 ? l12 ? l2 ? l32 ? cos2 ?1 ? cos2 ?2 ? cos2 ?3 ? 1 ? sin2 ?1 ? sin2 ?2 ? sin2 ?3 ? 2 . (立体几何中长方体对角线长的公式是其特例). 141. 面积射影定理 S' S? . cos? (平面多边形及其射影的面积分别是 S 、 S ' ,它们所在平面所成锐二面角的为 ? ). 142. 斜棱柱的直截面 已知斜棱柱的侧棱长是 l ,侧面积和体积分别是 S斜棱柱侧 和 V斜棱柱 ,它的直截面的周长和面积分别

是 c1 和 S1 ,则 ① S斜棱柱侧 ? c1l . ② V斜棱柱 ? S1l . 143.作截面的依据 三个平面两两相交,有三条交线,则这三条交线交于一点或互相平行. 144.棱锥的平行截面的性质 如果棱锥被平行于底面的平面所截, 那么所得的截面与底面相似, 截面面积与底面面积的比等 于顶点到截面距离与棱锥高的平方比(对应角相等,对应边对应成比例的多边形是相似多边形,相 似多边形面积的比等于对应边的比的平方) ;相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距 离与棱锥高的平方比. 145.欧拉定理(欧拉公式) V ? F ? E ? 2 (简单多面体的顶点数 V、棱数 E 和面数 F). (1) E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为 n 的多边形,则面数 F 与棱数 E 1 的关系: E ? nF ; 2 1 (2)若每个顶点引出的棱数为 m ,则顶点数 V 与棱数 E 的关系: E ? mV . 2 146.球的半径是 R,则 4 其体积 V ? ? R 3 , 3 其表面积 S ? 4? R2 . 147.球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
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(2)球与正方体的组合体: 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长 , 正 方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体: 6 6 棱长为 a 的正四面体的内切球的半径为 a ,外接球的半径为 a. 12 4 148.柱体、锥体的体积 1 V柱体 ? Sh ( S 是柱体的底面积、 h 是柱体的高). 3 1 V锥体 ? Sh ( S 是锥体的底面积、 h 是锥体的高). 3 149.分类计数原理(加法原理) N ? m1 ? m2 ? ? mn . 150.分步计数原理(乘法原理) N ? m1 ? m2 ? ? mn . 151.排列数公式
m = n(n ? 1)?(n ? m ? 1) = An

n! .( n , m ∈N*,且 m ? n ). (n ? m)!

注:规定 0! ? 1 . 152.排列恒等式 m m?1 (1) An ; ? (n ? m ? 1) An n m m ? An (2) An ?1 ; n?m m m?1 (3) An ? nAn ?1 ;
n n?1 n (4) nAn ? An ?1 ? A n ; m m m?1 (5) An . ?1 ? A n ? mA n

(6) 1!? 2 ? 2!? 3 ? 3!? ? n ? n! ? (n ? 1)!? 1 . 153.组合数公式 n! A m n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) m = nm = = ( n ∈N*, m ? N ,且 m ? n ). Cn 1? 2 ? ? ? m m! ? (n ? m)! Am 154.组合数的两个性质 m n?m (1) C n = Cn ;
m m m?1 (2) C n + Cn = Cn ?1 . 0 注:规定 Cn ? 1. 155.组合恒等式 n ? m ? 1 m ?1 m ? Cn ; (1) Cn m n m m ? Cn (2) Cn ?1 ; n?m n m?1 m ? Cn (3) Cn ?1 ; m
r (4) ? C n = 2n ; n

r r ?1 (5) C ? Crr?1 ? Crr?2 ? ? ? Cn ? Cn ?1 .

r ?0 r r

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0 1 2 r n (6) Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? ? ? Cn ? 2n . 1 3 5 0 2 4 (7) Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? Cn ? ?2n?1 . 1 2 3 n (8) Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ? ? nCn ? n2n?1 . r 0 r ?1 1 0r r r (9) Cm Cn ? Cm Cn ? ? ? Cm Cn ? Cm ?n . 0 2 1 2 2 2 n 2 n (10) (Cn ) ? (Cn ) ? (Cn ) ? ? ? (Cn ) ? C2 n.

156.排列数与组合数的关系 m m . An ?m ! ? Cn 157.单条件排列 以下各条的大前提是从 n 个元素中取 m 个元素的排列. (1) “在位”与“不在位” m?1 m m ?1 1 m ?1 ①某(特)元必在某位有 An ?1 种;②某(特)元不在某位有 An ? An ?1 (补集思想) ? An ?1 An ?1
m 1 m ?1 (着眼位置) ? An ?1 ? A m ?1 A n ?1 (着眼元素)种. (2)紧贴与插空(即相邻与不相邻) m? k ①定位紧贴: k (k ? m ? n) 个元在固定位的排列有 Akk An ? k 种.
n ? k ?1 k ②浮动紧贴:n 个元素的全排列把 k 个元排在一起的排法有 An ? k ?1 Ak 种.注:此类问题常用捆绑

法; ③插空:两组元素分别有 k、h 个( k ? h ? 1 ) ,把它们合在一起来作全排列,k 个的一组互不 h k 能挨近的所有排列数有 Ah Ah ?1 种. (3)两组元素各相同的插空 m 个大球 n 个小球排成一列,小球必分开,问有多少种排法? A n ?1 n 当 n ? m ? 1 时,无解;当 n ? m ? 1 时,有 mn ? Cm ?1 种排法. An
n (4)两组相同元素的排列:两组元素有 m 个和 n 个,各组元素分别相同的排列数为 Cm ?n . 158.分配问题 (1)(平均分组有归属问题)将相异的 m 、 n 个物件等分给 m 个人,各得 n 件,其分配方法数共 (m n)! n n n n n 有 N ? C mn . ? C mn ? n ? C mn ? 2 n ? ? ? C 2 n ? C n ? (n!) m (2)(平均分组无归属问题)将相异的 m · n 个物体等分为无记号或无顺序的 m 堆,其分配方 法数共有 n n C n ? C n ? C n ...? C2 (mn)! n ? Cn . N ? mn mn ? n mn ? 2n ? m! m!(n!)m (3)(非平均分组有归属问题)将相异的 P(P=n1 +n2 + +nm ) 个物体分给 m 个人,物件必须被分

完,分别得到 n1 , n2 ,…, nm 件,且 n1 , n2 ,…, nm 这 m 个数彼此不相等,则其分配方法数共有 p!m! n n n . N ? Cp ? Cp Cn ? m!? ? n ... n1!n2!...nm! (4)(非完全平均分组有归属问题)将相异的 P(P=n1 +n2 + +n m ) 个物体分给 m 个人,物件必须
1 2 m 1 m

被分完,分别得到 n1 , n2 ,…, nm 件,且 n1 , n2 ,…, nm 这 m 个数中分别有 a、b、c、…个相等, 则其分配方法数有 N ?
nm n1 n2 Cp ? Cp Cn ? m! ? n1 ... m

a!b!c!...

?

p !m ! . n1 !n2 !...nm !(a !b !c !...)

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…,nm 件 +n m ) 个物体分为任意的 n1 ,n2 , p! 无记号的 m 堆,且 n1 , n2 ,…, nm 这 m 个数彼此不相等,则其分配方法数有 N ? . n1!n2!...nm! (6)(非完全平均分组无归属问题)将相异的 P(P=n1 +n2 + +n m ) 个物体分为任意的 n1 , n2 ,…, nm 件无记号的 m 堆,且 n1 , n2 ,…, nm 这 m 个数中分别有 a、b、c、…个相等,则其分配方法数 p! 有N ? . n1!n2!...nm!(a!b!c!...) (7)(限定分组有归属问题)将相异的 p ( p ? n1 +n2 + +nm )个物体分给甲、乙、丙,……等 m 个人,物体必须被分完,如果指定甲得 n1 件,乙得 n2 件,丙得 n3 件,…时,则无论 n1 , n2 ,…, nm 等 m 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有
nm n1 n2 N ? Cp ? Cp Cn ? ? n1 ... m

(5) (非平均分组无归属问题)将相异的 P(P=n1 +n2 +

p! . n1!n2!...nm!

159. “错位问题”及其推广 贝努利装错笺问题:信 n 封信与 n 个信封全部错位的组合数为 1 1 1 1 f (n) ? n ![ ? ? ? ? (?1) n ] . 2! 3! 4! n! 推广: n 个元素与 n 个位置,其中至少有 m 个元素错位的不同组合总数为
1 2 3 4 f (n, m) ? n !? Cm ( n ? 1)!? Cm ( n ? 2)!? Cm ( n ? 3)!? Cm ( n ? 4)!

?

p ? (?1) p Cm ( n ? p )!?

m ? (?1) m Cm ( n ? m)!

? n![1 ?

1 2 3 4 Cm Cm Cm Cm ? ? ? ? 1 2 2 4 An An An An

? (?1) p

p Cm ? Anp

? (?1)m

m Cm ]. m An

160.不定方程 x1 +x2 + (1)方程 x1 +x2 + (2) 方程 x1 +x2 + (3) 方程 x1 +x2 +
n?1 个. Cm ?1 ? ( n ? 2)(k ?1)

+xn ? m 的解的个数

n?1 个. +xn ? m ( n, m ? N ? )的正整数解有 Cm ?1 1 个. +xn ? m ( n, m ? N ? )的非负整数解有 Cnn?? m?1

+xn ? m ( n, m ? N ? )满足条件 xi ? k ( k ? N ? , 2 ? i ? n ? 1 )的非负整数解有 +xn ? m( n, m ? N ? )满足条件 xi ? k ( k ? N ? , 2 ? i ? n ? 1 ) 的正整数解有
2 n ?1 ? (?1) n ? 2 C nn?? C m?1?( n?2 ) k 个. 2

(4) 方程 x1 +x2 +

1 n ?1 n ?1 C nn?? ? C1 Cm ? C n2?2 C m ? m ?1 n?2 ? n ?k ? 2 ? n ? 2 k ?3

0 n 1 n?1 2 n ?2 2 r n ?r r n n 161.二项式定理 (a ? b) n ? Cn a ? Cn a b ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b ; 二项展开式的通项公式 r n ?r r 1, 2?,n) . Tr ?1 ? Cn a b (r ? 0,

162.等可能性事件的概率 m P ( A) ? . n 163.互斥事件 A,B 分别发生的概率的和 P(A+B)=P(A)+P(B). 164. n 个互斥事件分别发生的概率的和 P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An). 165.独立事件 A,B 同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B).
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166.n 个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An). 167.n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率 k k Pn (k ) ? Cn P (1 ? P)n?k . 168.离散型随机变量的分布列的两个性质 (1) P ); i ? 0(i ? 1, 2, (2) P ? 1. 1?P 2 ? 169.数学期望 E? ? x1P ? xn Pn ? 1 ? x2 P 2 ? 170.数学期望的性质 (1) E(a? ? b) ? aE (? ) ? b . (2)若 ? ~ B(n, p) ,则 E? ? np . (3) 若 ? 服从几何分布,且 P(? ? k ) ? g (k , p) ? qk ?1 p ,则 E? ?
2 2

1 . p

171.方差
D? ? ? x1 ? E? ? ? p1 ? ? x2 ? E? ? ? p2 ? ? ? xn ? E? ? ? pn ?
2

172.标准差 ?? = D? . 173.方差的性质 (1) D ? a? ? b? ? a2 D? ; (2)若 ? ~ B(n, p) ,则 D? ? np(1 ? p) . (3) 若 ? 服从几何分布,且 P(? ? k ) ? g (k , p) ? qk ?1 p ,则 D? ? 174.方差与期望的关系
D? ? E? 2 ? ? E? ? .
2

q . p2

175.正态分布密度函数
f ? x? ?
? 1 e 2? 6

? x ? ? ?2
262

, x ? ? ??, ?? ? ,式中的实数μ ,? ( ? >0)是参数,分别表示个体的平均

数与标准差. 176.标准正态分布密度函数
x ? 1 f ? x? ? e 2 , x ? ? ??, ?? ? . 2? 6 177.对于 N (?,? 2 ) ,取值小于 x 的概率 ? x?? ? F ? x? ? ? ? ?. ? ? ? P?x1 ? x0 ? x2 ? ? P?x ? x2 ? ? P?x ? x1 ?
2

? F ? x2 ? ? F ? x1 ?

? x ?? ? ? x1 ? ? ? ? ?? 2 ? ??? ?. ? ? ? ? ? ?
178.回归直线方程

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n n ? x ? x y ? y ? i ?? i ? ? xi yi ? nx y ? ? i ?1 ?b ? ? i ?1n n 2 . y ? a ? bx ,其中 ? xi 2 ? nx 2 ? xi ? x ? ? ? ? i ?1 i ?1 ? ?a ? y ? bx 179.相关系数

r?

? ? x ? x ?? y ? y ?
i ?1 i i

n

? (x ? x ) ? ( y ? y)
2 i ?1 i i ?1 i

n

n

?
2

? ? x ? x ?? y ? y ?
i ?1 i i

n

(? xi ? nx )(? yi ? ny )
2 2 2 2 i ?1 i ?1

n

n

.

|r|≤1,且|r|越接近于 1,相关程度越大;|r|越接近于 0,相关程度越小. 180.特殊数列的极限 | q |? 1 ?0 ? n q ?1 (1) lim q ? ?1 . n ?? ?不存在 | q |? 1或q ? ?1 ? ?0 (k ? t ) ? a n k ? a n k ?1 ? ? a0 ? at (2) lim k t k ?1 t ?1 ?? (k ? t ) . n ?? b n ? b n ? ? b0 t t ?1 ? bk ?不存在 (k ? t ) ?
1? q 181. 函数的极限定理 lim f ( x) ? a ? lim? f ( x) ? lim? f ( x) ? a .
n ??
x ? x0

(3) S ? lim

a1 1 ? q n

?

??

a1 ( S 无穷等比数列 a1q n ?1? ( | q |? 1 )的和). 1? q

?

x ? x0

x ? x0

182.函数的夹逼性定理 如果函数 f(x),g(x),h(x)在点 x0 的附近满足: (1) g ( x) ? f ( x) ? h( x) ; (2) lim g ( x) ? a, lim h( x) ? a (常数),
x ? x0 x ? x0

则 lim f ( x) ? a .
x ? x0

本定理对于单侧极限和 x ? ? 的情况仍然成立. 183.几个常用极限 1 (1) lim ? 0 , lim a n ? 0 ( | a |? 1 ) ; n ?? n ?? n 1 1 (2) lim x ? x0 , lim ? . x ? x0 x ? x0 x x0 184.两个重要的极限 sin x ? 1; (1) lim x ?0 x

? 1? (2) lim ?1 ? ? ? e (e=2.718281845…). x ?? ? x? 185.函数极限的四则运算法则 若 lim f ( x) ? a , lim g ( x) ? b ,则
x ? x0 x ? x0

x

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(1) lim ? ? f ? x ? ? g ? x ?? ? ? a ?b;
x ? x0 x ? x0

(2) lim ? ? f ? x ? ? g ? x ?? ? ? a ?b ; (3) lim
x ? x0

f ? x? a ? ?b ? 0? . g ? x? b
n ??

186.数列极限的四则运算法则 若 lim an ? a, lim bn ? b ,则 (1) lim ? an ? bn ? ? a ? b ; (2) lim ? an ? bn ? ? a ? b ;
n ??
n ??

n ??

(3) lim

n ??

(4) lim ? c ? an ? ? lim c ? lim an ? c ? a ( c 是常数).
n ?? n ?? n ??

an a ? ?b ? 0? bn b

187. f ( x) 在 x0 处的导数(或变化率或微商) f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y f ?( x0 ) ? y? x ? x0 ? lim ? lim . ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x 188.瞬时速度 ?s s (t ? ?t ) ? s (t ) ? ? s?(t ) ? lim ? lim . ?t ?0 ?t ?t ? 0 ?t 189.瞬时加速度 ?v v(t ? ?t ) ? v(t ) a ? v?(t ) ? lim ? lim . ?t ? 0 ?t ?t ? 0 ?t 190. f ( x) 在 (a, b) 的导数 dy df ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) f ?( x) ? y? ? ? ? lim ? lim . ? x ? 0 ? x ? 0 dx dx ?x ?x 191. 函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数的几何意义 函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数是曲线 y ? f ( x) 在 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率 f ?( x0 ) , 相应的切 线方程是 y ? y0 ? f ?( x0 )(x ? x0 ) . 192.几种常见函数的导数 (1) C ? ? 0 (C 为常数). (2) ( xn )' ? nxn?1 (n ? Q) . (3) (sin x)? ? cos x . (4) (cosx)? ? ? sin x . 1 1 e (5) (ln x )? ? ; (log a x )? ? log a . x x x x x x (6) (e )? ? e ; (a )? ? a ln a . 193.导数的运算法则 (1) (u ? v)' ? u ' ? v' . (2) (uv)' ? u'v ? uv' .
u ' u 'v ? uv ' (v ? 0) . (3) ( ) ? v v2 194.复合函数的求导法则 设函数 u ? ? ( x) 在点 x 处有导数 ux ' ? ? ' ( x) ,函数 y ? f (u ) 在点 x 处的对应点 U 处有导数
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' ' ' ,或写作 f x' (? ( x)) ? f ' (u)? ' ( x) . yu ' ? f ' (u) ,则复合函数 y ? f (? ( x)) 在点 x 处有导数,且 yx ? yu ? ux

195.常用的近似计算公式(当 x 充小时)
1 1 x ; n 1? x ?1? x ; 2 n 1 ?1? x ; (2) (1 ? x)? ? 1 ? ? x(? ? R) ; 1? x (3) e x ? 1 ? x ; (4) ln (1 ? x) ? x ;

(1) 1 ? x ? 1 ?

(5) sin x ? x ( x 为弧度) ; (6) tan x ? x ( x 为弧度) ; (7) arctan x ? x ( x 为弧度) 196.判别 f ( x0 ) 是极大(小)值的方法 当函数 f ( x) 在点 x0 处连续时, (1)如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是极大值; (2)如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是极小值. 197.复数的相等 a ? bi ? c ? di ? a ? c, b ? d .( a, b, c, d ? R ) 198.复数 z ? a ? bi 的模(或绝对值)
| z | = | a ? bi | = a 2 ? b2 . 199.复数的四则运算法则 (1) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ; (2) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ; (3) (a ? bi)(c ? di) ? (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ; ac ? bd bc ? ad ? i (c ? di ? 0) . (4) (a ? bi ) ? (c ? di ) ? 2 c ? d 2 c2 ? d 2 200.复数的乘法的运算律 对于任何 z1 , z2 , z3 ? C ,有

交换律: z1 ? z2 ? z2 ? z1 . 结合律: ( z1 ? z2 ) ? z3 ? z1 ? ( z2 ? z3 ) . 分配律: z1 ? ( z2 ? z3 ) ? z1 ? z2 ? z1 ? z3 . 201.复平面上的两点间的距离公式
d ?| z1 ? z2 |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ( z1 ? x1 ? y1i , z2 ? x2 ? y2i ).

202.向量的垂直 非零复数 z1 ? a ? bi , z2 ? c ? di 对应的向量分别是 OZ1 , OZ2 ,则 z OZ1 ? OZ2 ? z1 ? z2 的实部为零 ? 2 为纯虚数 ? | z1 ? z2 |2 ?| z1 |2 ? | z2 |2 z1

? | z1 ? z2 |2 ?| z1 |2 ? | z2 |2 ? | z1 ? z2 |?| z1 ? z2 | ? ac ? bd ? 0 ? z1 ? ?iz2 (λ 为非零实数). 203.实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 ,
①若 ? ? b2 ? 4ac ? 0 ,则 x1,2 ?

?b ? b2 ? 4ac ; 2a
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b ; 2a ③若 ? ? b2 ? 4ac ? 0 ,它在实数集 R 内没有实数根;在复数集 C 内有且仅有两个共轭复数根

②若 ? ? b2 ? 4ac ? 0 ,则 x1 ? x2 ? ?

x?

?b ? ?(b2 ? 4ac)i 2 (b ? 4ac ? 0) . 2a

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