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高三一轮复习教案25均值不等式公式总结及应用


均值不等式应用
1. (1)若 a, b ? R ,则 a ? b ? 2ab (2)若 a, b ? R ,则 ab ?
2 2

a2 ? b2 2

(当且仅当 a (当且仅当 a

? b 时取“=”)
) ? b 时取“=”

2. (1)若 a, b ? R ,则
*

a?b ? ab 2
?a ?b? ? ? 2 ?
2

(2)若 a, b ? R ,则 a ? b
*

? 2 ab

(3)若 a, b ? R ,则 ab ? ?
*

(当且仅当 a

) ? b 时取“=”

3.若 x ? 0 ,则 x ?

1 ) ? 2 (当且仅当 x ? 1 时取“=” x 1 若 x ? 0 ,则 x ? ? ?2 (当且仅当 x ? ?1 时取“=” ) x
若x

? 0 ,则 x ? 1 ? 2即x ? 1 ? 2或x ? 1 ? -2
x x x

(当且仅当 a

) ? b 时取“=”

4.若 ab ? 0 ,则

a b ) ? ? 2 (当且仅当 a ? b 时取“=” b a

若 ab ? 0 ,则

a b a b a b ? ? 2即 ? ? 2或 ? ? -2 b a b a b a

(当且仅当 a

) ? b 时取“=”

5.若 a, b ? R ,则 (

a ? b 2 a2 ? b2 (当且仅当 a ? b 时取“=” ) ) ? 2 2

『ps.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所 谓“积定和最小,和定积最大” . (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』 应用一:求最值 例 1:求下列函数的值域 (1)y=3x 2+ 1 2x 2 (2)y=x+ 1

x

解题技巧
技巧一:凑项 例 已知 x ?

5 1 的最大值。 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 4 4x ? 5

技巧二:凑系数 例 1. 当 解 时,求

y ? x(8 ? 2 x) 的最大值。

变式:设 0 ?

x?

3 ,求函数 y ? 4 x(3 ? 2 x) 的最大值。 2

技巧三: 分离 例 3.

x 2 ? 7 x ? 10 求y? ( x ? ?1) 的值域。 x ?1

技巧四:换元 解析二:本题看似无法运用均值不等式,可先换元,令 t=x+1,化简原式在分离求最值。

评注:分式函数求最值,通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为

A ? B (A ? 0,B ? 0),g(x)恒正或恒负的形式,然后运用均值不等式来求最值。 g ( x) a 技巧五:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,结合函数 f ( x) ? x ? 的单调性。 x y ? mg ( x ) ?
例:求函数

y?

x2 ? 5 x2 ? 4

的值域。

练习.求下列函数的最小值,并求取得最小值时,x 的值.

x 2 ? 3x ? 1 , ( x ? 0) (1) y ? x
2.已知 0 ? 条件求最值 1.若实数满足 a ? b

(2)

y ? 2x ?

1 ,x ?3 x ?3

(3)

y ? 2sin x ?

1 , x ? (0, ? ) sin x

x ? 1,求函数 y ? x(1 ? x) 的最大值.;3. 0 ? x ?

2 ,求函数 y ? x(2 ? 3 x) 的最大值. 3

? 2 ,则 3a ? 3b 的最小值是

.

变式:若 log 4

x ? log 4 y ? 2 ,求

1 1 ? 的最小值.并求 x,y 的值 x y

技巧六:整体代换 多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。 。 2:已知 x

1 9 ? 0, y ? 0 ,且 ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值。 x y

变式: (1)若

x, y ? R ? 且 2 x ? y ? 1 ,求 1 ? 1 的最小值
x y

(2)已知 a, b, x,

y?R

?



a b ? ? 1 ,求 x ? x y

y 的最小值

技巧七 已知 x,y 为正实数,且 x 2+

y2
2

=1,求 x

1+y 2 的最大值.

技巧八: 已知 a,b 为正实数,2b+ab+a=30,求函数 y= 1 的最小值.

ab

变式:1.已知 a>0,b>0,ab-(a+b)=1,求 a+b 的最小值。 2.若直角三角形周长为 1,求它的面积最大值。

技巧九、取平方 5、已知 x,y 为正实数,3x+2y=10,求函数 W= 3x + 2y 的最值.

变式: 求函数 y ?

1 5 2 x ? 1 ? 5 ? 2 x ( ? x ? ) 的最大值。 2 2

应用二:利用均值不等式证明不等式 1.已知

a, b, c 为两两不相等的实数,求证: a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca
?

1)正数 a,b,c 满足 a+b+c=1,求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc 例 6:已知 a、b、c ? R ,且 a ? b ? c ? 1。求证: ?

? 1 ?? 1 ?? 1 ? ? 1?? ? 1?? ? 1? ? 8 ? a ?? b ?? c ?

应用三:均值不等式与恒成立问题 例:已知 x

1 9 ? 0, y ? 0 且 ? ? 1 ,求使不等式 x ? y ? m 恒成立的实数 m 的取值范围。 x y


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