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高中数学必修1教材分析


高一数学研培资料 2013.8

高中数学必修 1 教材分析
( 第一章 集合)

数学是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具,符号化、形式化是数学的显著 特点,从某种意义上来说,学习数学就是学习一种有特定含义的形式化语言,以及用这 种形式化语言去表述、解释、解决各种问题。集合论是德国数学家康托在 19 世纪末创立 的。集合语言是近现代数学的基本语言,利用它可以简洁、准确地表述数学内容。 一、本章的教育目标 通过本章学习,使学生感受到用集合表示数学内容时的简洁性、准确性,帮助学生学会 用集合语言表示数学对象,为以后的学习奠定基础。 1.了解集合的含义,体会元素与集合之间的属于关系,并初步掌握集合的表示方法; 2.理解集合间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;了解全集与空集的含义; 3.理解补集的含义,会求补集; 4.理解两个集合的交集与并集的含义,会求两个集合的交集与并集; 5.渗透数形结合、分类等数学思想方法; 6.在引导学生观察、分析、抽象、类比得到集合、集合间的关系等数学知识的过程中, 培养学生的思维能力; 7.通过本章的学习,使学生初步感受到运用集合语言表述数学对象时的简洁和准确,体 会数学的简洁美。 二、本章的设计意图 本章内容包含了集合的含义、表示和运算等三部分内容。 教材首先设置问题情境“设计自己”,使学生感受到集合概念就在我们的身边,与我们 的生活息息相关。通过实例引导学生理解集合的特征,并从不同的角度学习和理解集合 的表示方法;通过观察具体的集合,从“数”和“形”两个方面使学生感受并归纳出集 合与集合之间包含关系。 与传统的教材处理不同,本章教材通过观察具体集合使学生感受并得到集合的补集的概 念后,上升到数学的内部,将“补”理解为集合间的一种“运算”。在此基础之上,通 过实例,使学生感受和掌握集合之间的另外两种“运算”——“交”和“并”。本章整 体设计思路是从具体到理论,再回到具体,螺旋上升。 本章充分利用 Venn 图和数轴等帮助学生形象地理解集合的含义与运算, 体现了数形结 合的思想。 本章内容的呈现,充分考虑到学生的认知规律,在集合概念的呈现过程中,从学生最熟 悉的例子入手,并通过旁白,鼓励学生自己举例,整个设计为学生和教师的积极活动提 供了空间和可能。 本章设置了“思考”、“阅读”等栏目,为拓宽学生的思维和进一步学习提供了载体。 例如,引导学生思考 A? B 与 B? A 能否同时成立,来探索集合相等的证明方法。 为了适应不同层次学生的需要,本章在习题和复习题部分设置了探究和拓展类的问题, 例如,要求学生探究并证明 Crad(A∪B) =Crad(A)+Crad(B)-Crad(A∩B)等。 本章注意体现数学的文化价值。如通过旁白介绍集合论的创始人康托尔,设置阅读介绍 无限集的历史背景和含义等以提高学生的学习兴趣和数学素养。
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三、本章教学建议 集合作为一种数学语言,在后续的学习中是一种重要的工具(如用集合的语言表示函数 的定义域和值域、方程和不等式的解、曲线等)。在数学学习中,经常通过语义转换将 一个问题转换为较简单明了的问题。因此,在本章的教学过程中,要能针对具体问题, 引导学生恰当使用自然语言、图形语言和集合语言来表述相应的数学内容。要利用学生 已学过的数学内容和生活中的实例,使学生感受运用集合语言的好处,进而发展学生运 用数学语言进行交流的能力。 本章教学时间约需 4 课时,具体分配如下(仅供参考): 1.1 集合的含义及其表示 约 1 课时 1.2 子集 全集 补集 约 1 课时 1.3 交集 并集 约 1 课时 小结与复习 约 1 课时 四、本章内容分析

1.1 集合的含义及其表示 1.教学目标 (1)初步理解集合的含义,知道常用数集及其记法; (2) 初步了解“属于”关系和集合相等的意义; 初步了解有限集、 无限集、 空集的意义; (3)初步掌握集合的两种表示方法——列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集 合。 2.编写意图和教学建议 (1) 集合是数学中原始的、 不定义的概念。 在教材处理中, 主要是通过大量熟悉的实例, 如“家庭”、“男生”、“女生”等,使学生感受集合的含义,并初步了解如何用集合 的语言描述对象。 集合概念的引入,除了课本上的具体实例之外,可以让学生自由举例,如“自然数”、 “有理数”等。 (2)对集合的描述性概念中提到的“确定性”,是指任意元素是否属于这一集合是确定 的。集合中元素的互异性和无序性也可在学生举例中加以说明。 (3)集合相等(它们所含元素相同)只要求了解,不要求从集合互相包含的角度加以理 解。 (4)列举法和描述法各有优点。 对于例 1, 教材通过用集合的语言表示一元一次不等式的解, 从而得到无限集的描述性 定义。教学中,只要求学生能判断并举一些具体的例子。 通过例 2,可以使学生对空集有进一步认识,教学中,可以让学生自己举例说明。 1.2 子集 全集 补集

1.教学目标 (1)了解集合间包含关系的意义; (2)理解子集、真子集的概念和意义; (3)了解全集的意义,理解补集的概念和意义; 2.编写意图与教学建议
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(1) 从分析具体的集合入手,通过对集合及其元素之间关系的分析,得到子集、真子 集的概念。 教学中,可以从前一节内容出发,让学生自己举一些集合的例子,引导学生分析它们之 间的关系,特别是元素之间的关系,要注意利用 Venn 图,从“形”的角度帮助分析。 “思考”中 A ?B 与 B ?A 可以同时成立,成立的条件是 A =B。这两者同时成立是证明集 合相等的方法,教学过程中,可以引导学生利用 Venn 图加以分析,使学生感受到这两者 同时成立和集合相等的等价性。 (2)通过观察比较,分析子集、真子集、补集之间的区别和内在联系。同时,要充分利 用 Venn 图从“形”的角度帮助学生理解这些不同的概念。 教材通过“思考”例 2 中每一组的三个集合中,A、B 两个集合中没有公共元素,且它们 的元素合在一起,恰是集合 S 中的元素。这个思考为学生感受和理解补集、全集的概念 奠定基础,也为从集合运算的角度理解补集埋下伏笔。 1.3 交集 并集 1.教学目标 (1)理解交集与并集的概念和意义; (2)理解区间的表示法; (3)掌握有关集合的术语和符号,并会用它们正确地表示一些简单的集合。 2.编写意图和教学建议 (1)先从补集开始,提出补集是集合的一种运算,再通过研究具体的集合关系,得到交 集和并集的概念与意义。教学中,在提出集合间的运算后,可以让学生通过具体例子, 借助 Venn 图观察集合之间的关系,领会交集、并集的含义。 (2)交集和并集的概念也可以同时给出,通过对照比较,便于学习;对交集和并集的运 算,可借助 Venn 图和数轴来理解。 本章回顾

主要对本章学习的内容,知识生长的过程,重要的研究问题方法与思想方面进行反思与 总结。是由厚到薄的过程。结构框图给出一棵生长的数学树。 本章主要学习了集合的初步知识,包括集合的有关概念、集合的表示、集合之间的关系 及集合的运算等。 我们从生活中的实例出发, 探索用集合的语言来描述数学对象的方法。 有了集合的语言, 可以更为清晰表达我们的思想。集合是整个数学的基础,它在以后的学习中有着极为广 泛的应用。

第二章

函数概念与基本初等函数Ⅰ
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我们生活的世界时刻都在发生变化,变化无处不在。这些变化着的现象都可以用数学有 效地描述它们的变化规律。函数正是描述客观世界变化规律的重要数学模型,通过函数 模型可以帮助我们科学地预测将发生什么,进而解决实际问题.因此,学习函数知识对 研究客观世界、掌握事物变化规律具有重要的意义. 一、本章教育目标 函数是本章的核心概念,也是中学数学中的基本概念.高中阶段不仅把函数看成变量之 间的依赖关系,同时还用集合与对应的语言刻画函数,函数的思想方法将贯穿高中数学 课程的始终. 1. 了解函数概念产生的背景, 学习和掌握函数的概念和性质, 能借助函数的知识表述、 刻画事物的变化规律. 2.理解有理指数幂的意义,掌握有理指数幂的运算性质;掌握指数函数的概念、图象 和性质; 3.理解对数的概念和意义,掌握对数的运算性质;掌握对数函数的概念、图象和性质; 4.了解幂函数的概念和性质. 5.知道指数函数、对数函数、幂函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型. 6.了解函数与方程之间的关系,会利用二分法求一些简单方程的近似解;了解函数模型 及其意义; 7.本章内容培养学生的理性思维能力、辩证思维能力、分析问题和解决问题的能力、创 新意识与探究能力、数学建模能力以及数学交流能力. 8.通过现代信息技术的合理应用,让学生体会到现代信息技术是认识世界的有效手段和 工具。 9.体验数学的文化价值,使学生感受数学的美,培养学生利用运动变化的观点观察事 物,进一步树立科学的人生观、价值观和辩证唯物主义世界观. 二、本章设计意图 本章立足于现实生活,从具体问题入手,以问题为背景,按照“问题情境——数学活动 ——意义建构——数学理论——数学应用——回顾反思”的顺序结构,引导学生通过实 验、观察、归纳、抽象、概括,数学地提出、分析和解决问题。运用集合的观点,理解 函数的概念,研究函数的性质,最后利用函数的知识和思想解决相关问题,体会函数与 方程的有机联系.通过函数知识的学习,使学生进一步感受函数是探索自然现象、社会 现象基本规律的工具和语言,学会用函数的思想、变化的观点分析问题、解决问题,达 到培养学生的创新思维的目的. 本章涉及的数学思想方法又可分为两个层次:一是一般科学方法,如观察、实验、比较、 分析、综合、归纳、类比、抽象等;二是数学中常用的数学思想方法,如函数与方程、 数形结合、符号化与形式化、分类讨论、化归等思想方法。 围绕教育目标和数学思想方法,本章有针对性地进行如下设计: 为了使学生了解函数概念产生的背景, 丰富函数的感性认识, 获得认识客观世界的体验, 本章采用“突出主题,螺旋上升,反复应用”的方式,以实际问题为主线,由浅入深, 将函数的知识串联起来,既完善了知识体系完整性、系统性,又体现了知识之间的有机 联系和一以贯之的研究手段. 函数引入中的三个问题:我国从 1949 年到 1999 年的人口数据表、自由落体运动中物体 下落的距离与时间关系式、某城市一天 24 小时内的气温变化图,既与初中时学习的函数 内容相联系,又蕴含了函数的三种表示方法——列表法、解析法、图象法,起到了承上 启下的作用.这三个实际问题背景,既是函数知识的生长点,又突出了函数的本质,为
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从数学内部研究函数打下了基础.而某城市一天 24 小时内的气温变化将函数概念、函数 的图象、函数的单调性、函数的零点有机地贯通。 为了所有学生都能参与到数学学习中来,激发每一个学生的学习热情和学习兴趣,培养 学生的实践能力、观察能力、判断能力,教材设置了旁白、思考、探究、实验、阅读、 链接等内容,为学生主动探究数学知识的产生和发展提供了空间,从而促使教学方式和 学生学习方式的改变. 为了适应学生个性发展的需要,教材在练习的基础上,将习题分为“感受·理解、思 考·运用、探究·拓展”三个部分.“感受·理解”面向全体学生,体现了本章的基本 要求, 初步理解函数知识, 并用来解决一些简单的问题; “思考·运用”面向多数学生, 深化对函数概念的理解,并能运用函数函数知识解决一些较复杂问题;“探究·拓展” 为学生提供一些富有挑战性的问题,以激发学习兴趣,拓宽视野,提高数学素养。 本章注重信息技术与相关知识的整合。 利用信息技术在信息收集、 资源获取、 数据计算、 视觉显示等方面的优势,丰富学习手段,呈现以往教学中难以呈现的课程内容。如在作 指数函数、 对数函数、 幂函数的图象以及探索方程根的存在性与二分法求方程的近似解、 数据拟合等活动中,多次利用 Excel 等现代信息技术,并且通过旁白、阅读等作了使用 信息技术的提示,鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现,感受现代技术手段 在数学学习中的作用,促进学习,帮助学生认识数学的本质. 为了使学生了解掌握函数的基本研究方法,本章多次设计了让学生观察、思考、判断的 情境.如在函数的单调性、奇偶性的学习过程中,引导学生观察函数的图象,由图象的 直观性理解数学的本质,培养学生的观察、判断、抽象、概括能力.在基本初等函数(指 数函数、对数函数、幂函数)的性质、方程的解与函数的零点的关系、二分法求方程的 近似解等知识点,也进行了多次的探索. 为了使学生了解数学是人类文化的重要组成部分,了解数学在人类文明发展中的作用, 体现数学的文化价值。本章在旁白、阅读材料、探究案例中介绍了无理指数幂、对数的 发明者与发展历史及其价值、开普勒、钢琴与指数曲线等,使学生感受到数学对推动社 会发展的作用,明白数学的社会需求是数学发展的动力,了解数学家的创新精神,逐步 形成正确的数学观,激发学生学习数学的兴趣. 在学生的能力培养上,本章也进行了整体设计.通过对函数知识的运用,培养学生的理 性思维能力;通过探究、思考,培养学生的实践能力、观察能力、判断能力;通过揭示 对象之间的内在联系,培养学生的辩证思维能力;通过实际问题的解决,培养学生分析 问题、解决问题和交流的能力;通过案例探究,培养学生的创新意识与探究能力;通过 实习作业,培养学生的数学建模能力和实践能力. 三、本章的教学建议 函数是中学数学中的一个重要概念,函数是高中数学的基础.学生学习函数的知识分四 个阶段。第一个阶段是在初中,学生已经接受了初步的函数知识,掌握了一些简单函数 的表示法、性质、图象.本章是第二个阶段(数学 1),第三个阶段将学习三角函数(数 学 4)、数列(数学 5),第四个阶段在选修课程中,如导数及其应用、概率(选修系列 2)、参数方程(选修系列 4)等都仍然要涉及函数知识的再认识,是对函数及其应用研 究的深化和提高.本章在学生学习函数知识的过程中只是一个中间环节.为了使学生为 后续阶段的学习打下良好的基础,这里应该在初中学习的基础上,系统学习函数知识, 培养学生应用函数知识的意识. 对于函数概念的引入,教材通过具体实例,让学生体会函数是数集之间的一种特殊的对 应关系。 教学应从学生已有的函数知识入手, 引导学生联系自己的生活经历和实际问题, 尝试列举各种各样的变化,在集合的基础上,构建函数的一般概念.如:
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(1)随着二氧化碳的大量排放,地球正在逐渐变暖; (2)打电话时,通话费用与通话时间之间的关系; (3)中国的国内生产总值正在逐年增长; (4)汽车行驶中,耗用的汽油与路程的关系;等等. 形式化、符号化,是数学的重要特征,如所有的函数关系都可以用 y=f(x)来表示,不仅 简单, 而且深刻。 又如在说明单调增函数时, 符号语言“当 x1<x2 时, 都有 f(x1)<f(x2)” 是对自然语言“随着 x 的增大,f(x)也增大”的精确刻画。这样,学生在说明函数的单 调性时,就有了一个形式化的模式,便于书写说明.教学时应将这两种描述方式进行对 比,使学生体会到使用符号语言的优点和美感,养成运用符号语言的习惯. 数学的发展引起了计算工具的改革和进步,反过来,计算工具的广泛应用,又促进了数 学的发展.为了帮助学生体会函数是刻画现实世界中变量之间依赖关系的数学模型,充 分利用现代信息技术体现数学的应用功能,教学中,教师应有意识地利用适当的信息技 术辅助教学. 在教学过程中,应突出本章的核心——函数,其本质是两个变量之间的相互依赖关系, 体现函数对应法则的“输入、输出”功能,函数的性质只是对应法则在函数定义域上的 表现,离开了函数的定义域谈函数的性质是没有意义的.应重视问题提出的背景,充分 发挥这些问题的载体作用,体现它们的数学价值. 本章的教学大约安排 32 课时.具体如下: 2.1 函数的概念与图象 约 10 课时 2.2 指数函数 约 5 课时 2.3 对数函数 约 5 课时 2.4 幂函数 约 2 课时 2.5 函数与方程 约 3 课时 2.6 函数模型及其应用 约 3 课时 数学探究案例——钢琴与指数曲线 约 1 课时 实习作业 约 1 课时 小结与复习 约 2 课时 四、本章教材分析 2.1 函数的概念与图象 1. 教学目标 (1)体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,理解函数的概念; (2)了解构成函数的要素有定义域、值域、对应法则,会求一些简单函数的定义域和值 域;掌握函数的三种表示方法(图象法、列表法、解析法),会根据不同的需要选择恰 当的方法表示函数;了解简单的分段函数,并能简单地应用; (3)理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义,能判别或证明一些简单函数的单调 性;了解奇偶性的含义,会判断函数的奇偶性,能证明一些简单函数的奇偶性;学会运 用函数图象理解和研究函数的性质; (4)了解映射的概念,进一步了解函数是非空数集到非空数集的映射; (5)通过本节的学习,使学生学会用运动、发展、变化的观点认识世界. 2.编写意图与教学建议 (1)函数的概念 以生活中的现象为背景, 引出描述两个量之间依赖关系的必要性, 上承集合, 下引函数. 描 述三个问题的方法各不相同,与函数的三种表示方法相对应.通过背景设计激发学生在
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集合的基础上研究两个量之间关系的欲望和兴趣.这三个问题是这一章的核心背景,后 面将多次引用. 函数概念的教学要从实际背景和定义两个方面帮助学生理解函数概念的本质.函数概念 的引入,一般有两种方式,一种方式是先学习映射,再学习函数;另一种方式是通过具 体实例,体会两个非空数集之间的一种特殊的对应关系(单值对应),即函数.考虑到 多数高中学生的认知特点,为了有助于他们对函数概念本质的理解,教材采用后一种方 式,从学生已掌握的具体函数和函数的描述性定义入手,引导学生联系自己的生活经历 和实际问题,尝试列举各种各样的函数,构建函数的一般概念. 通过本节的学习,使学生养成用运动变化的观点认识世界。 在进一步体会两个变量之间的依赖关系的基础上,学习用集合与对应的语言来刻画单值 对应,领悟函数就是从一个数集到另一个数集的单值对应.“单值对应”是函数对应法 则的根本特征。“箭头图”给出了“单值对应”从一个集合到另一个集合的方向性,应 突出“输进”与“输出”的关系. 在构建函数的概念时,要重点突出一个对象对另一个对象的依赖关系.在函数的定义教 学时,需突出以下几点: (a)集合 A 与集合 B 都是非空数集; (b)对应法则的方向是从 A 到 B; (c)强调“非空”、“每一个”、“惟一”这三个关键词. 符号 f(x)是一个抽象的概念,是对函数概念的深化,可以理解为对应法则 f 对自变量 x 作用.f(a)是 f(x)在 x=a 时的函数值。教学时注意发展学生的数感、符号感。 使学生进一步体会对应关系(对应法则)在刻画函数概念中的核心作用。一般地, 如果函数的对应法则与定义域都确定了,那么,函数的值域也确定了. 在实际情境中了解图象法是描述两个变量之间函数关系的一种重要方法. 作函数 y=f(x) (x∈A)的图象,就是在直角坐标系内作出点集{(x, f(x)) | x∈A} 或{(x, y) | y=f(x), x∈A}。函数 y=f(x) (x∈A)的图象在 x 轴上的射影构成的集合对 应着函数的值域。从“形”的角度,进一步加深对函数概念的理解。 教材“阅读”中,力求通过信息技术与课程内容的整合,激发学生对学习的兴趣。应 鼓励学生,把现代教育技术作为学习研究和探索解决问题的工具。例如,利用计算器、 计算机画出函数的图象,探索、比较函数的变化规律,为研究函数的性质,以及以后学 习求方程的近似解、数据拟合等打下基础。 在本节的习题中,注意了复合函数概念的渗透。 (2)函数的表示法 在实际情境中,会根据不同的要求选择恰当的方法表示函数,理解同一个函数可以用不 同的方法表示。第 2.1.2 节仍然以第 2.1.1 节开头的三个问题为背景,引入函数的表示 方法,体现知识情境呈现的一致性.列表法、解析法和图象法是三种常用的函数表示方 法. 在教学中除了书中的例子外, 还应引导学生多举一些社会生活或其他学科中的例子, 以加深对函数表示法的理解。 列表法简洁明了,函数的“输入值”与“输出值”一目了然。 中学阶段研究的函数主要是用解析式表示的函数,在教学中注意回顾与复习初中所学的 内容,如一次函数、二次函数、反比例函数等,为后面学习建立函数模型研究实际问题 打基础. 图象法的优点是能直观地反映函数值的变化随自变量值变化的趋势。

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了解简单的分段函数的特点及应用。分段函数是指函数的表达式是分段表示的,它是一 个函数。分段是对于定义域而言的,将定义域分成几段,各段的对应法则不一样。教学 过程中,可让学生收集一些实例,诸如邮资、出租车费、电话费等资料。 如果在直角坐标系内给出了函数 y=f(x)的图象,那么,求 f(a)的值只要作直线 x=a 与 函数 y=f(x)的图象交点,所得的点的纵坐标就是 f(a)的值。这为后面学习利用函数的图 象求解方程做准备。 根据实例,使学生感受到函数就在身边,体会到数学知识的广泛应用性,培养学生的抽 象概括能力和解决问题的能力。 (3)函数的简单性质 以本节开头问题中的气温曲线引出函数的单调性.通过生活实例感受函数单调性与函数 奇偶性的意义,培养学生的识图能力与数形语言转换的能力. 函数的简单性质包括函数的单调性与函数奇偶性。 为了说明函数 f(x)在某个区间上不是单调增(减)函数,只需在该区间上,找到两个值 x1、x2,当 x1<x2 时,有 f(x1)≥f(x2)(或 f(x1)≤f(x2) )成立. 函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,它反映的是函数的局部性质,函数在某个 区间上单调,并不能说明函数在定义域上也单调。 让学生体会函数最大(小)值与单调性之间的关系及其几何意义,引导学生通过函数的 单调性研究最大(小)值。 通过已学过的函数特别是二次函数,进一步理解函数的单调性、最大(小)值及其几何 意义。 由实例,通过观察图象,抽象出函数奇偶性的定义。在教学中要注意展现出探索过程, 引导学生关注函数图象的对称性与函数奇偶性的关系。 只要函数的定义域内有一个 x 值不满足 f(-x)=-f(x)(或 f(-x)=f(x)),这个函数就不 是奇(偶)函数;或只要函数图象上有一个点不满足“关于原点(或 y 轴)的对称点都 在函数的图象上,”这个函数就不是奇(偶)函数。 (4)映射概念 了解映射的概念。在讲解映射的概念时应指出,映射是函数概念的推广,函数是一类特 殊的映射.对于映射 f:A?B 而言,集合 A、B 可以是数集,也可以是点集或其他集合。 关于映射中象与原象的概念,以及映射的分类,一般不要涉及。 函数是两个非空数集之间的映射。 2.2 指数函数 1. 教学目标 (1)了解指数函数模型的实际背景,认识到学习指数函数的必要性;理解分数指数幂的 含义,了解实数指数幂的意义,理解 n 次方根与 n 次根式的概念,熟练掌握用根式与分 数指数幂表示一个正实数的算术根;掌握有理指数幂的运算性质,灵活地运用乘法公式 进行有理指数幂的运算与化简,会进行根式与分数指数幂的相互转化; (2)理解指数函数的含义,能借助计算器或计算机画出指数函数的图象,探索并理解指 数函数的性质,能利用函数图象的平移与对称变换,讨论指数函数的图象;能运用指数 函数的单调性,解决比较两个指数式的大小,会求一类与指数函数有关的复合函数的定 义域、值域、单调性等,了解函数图象的平移这一最基本的变换方法;在解决简单实际 问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型,能利用现代信息技术手段分析问 题、解决问题; (3)引导学生进行观察、分析、抽象、概括,发展学生的思维能力。 2.编写意图与教学建议
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(1)分数指数幂 教材通过细胞的分裂的实例,了解指数函数模型的实际背景,感受指数函数模型在现代 科技中的应用,体现学习指数运算、指数函数的必要性,激发学生的学习热情.细胞的 分裂实验是本节的重要背景. 结合具体实例,回顾整数指数幂的概念及其运算性质,为引入有理数指数幂及其运 算性质做准备,便于类比得出实数指数幂的意义及其运算性质。 通过实例,了解分数指数幂的意义,以及分数指数幂与根式之间的关系,使学生感受到 “n (n∈N,n≥2)次方根”实际上就是平方根与立方根的推广。教学时可由平方根与立 方根的运算性质类比得到 n 次方根的性质。 在进行根式运算时,应先将根式化成有理数幂,再进行运算。 (2)指数函数 14 教材通过考古中利用 C 的衰减来测定古物的年代这个例子, 激发学生学习指数函数的欲 望,体会指数函数是一类重要的函数模型,并且有广泛的用途. 利用计算机(器)作不同的指数函数的图象,通过观察,探索并理解指数函数的单调性 与特殊点。并关注指数增长趋势与底数的关系。 比较两个同底数幂大小,可以利用指数函数的单调性来解决。 对一般的函数图象平移变换来说,h>0 时,将 y=f(x)的图象向右平移 h 个单位以后, 得到 y=f(x-h)的图象;向左平移 h 个单位以后,得到 y=f(x+h) 的图象。类似地,还考 虑函数 y=f(x)±h 与 y=f(x)的图象之间的关系。 利用某种放射性物质变化的函数图象,求出它的半衰期,为后面学习利用函数的图象解 方程做铺垫。 教材给出三个解决实际问题的例题,让学生进一步体会学习指数函数的重要性,感受到 指数函数是现代科技、生活中具有广泛用途的重要数学模型.在这几个例题的讲解过程 中,应体现从具体到抽象,从特殊到一般的思维过程,体会归纳、总结的一般方式、方 法.还可以让学生自己举一些体现指数函数模型在实际生活中应用的例子,进一步让学 生感受到学习指数函数的重要性,以及现代科学技术手段在分析问题、解决问题中的作 用. 2.3 对数函数 1.教学目标 (1)理解对数的概念及其运算性质,会熟练地进行指数式与对数式的互化,能灵活准确 地运用对数的运算性质进行对数式的化简与计算;了解对数恒等式,知道用换底公式能 将一般对数转化成自然对数或常用对数,会用换底公式进行一些简单的化简与证明;了 解对数的发现历史以及对简化运算的作用. (2)通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,使学生感受到科学的发 展源于实际生活;初步理解对数函数的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型;能 借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的性质. (3)知道指数函数 y=ax (a>0,a≠1)与对数函数 y=logax(a>0,a≠1)互为反函数; 能准确地运用对数函数的性质比较两个对数式值的大小;能研究一些与对数函数有关的 复合函数的定义域、值域、单调性等. (4)让学生感受化归与转化、数形结合的思想,能用相互联系的观点辩证地看问题,培 养他们数学地分析问题的意识。 2.编写意图与教学建议 (1)对数 教材通过具体实例说明研究对数的必要性。
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真数 底数 幂 对数 指数 ab=N logaN=b 使学生能熟练地进行指数式与对数式的互化,理解指数式与对数式的相互关系: 通过具体实例,借助计算机或计算器,探索对数的两个运算性质。要注意对数的运算 性质成立的条件,并能灵活地用来简化对数的运算。 教学中要注意展现类比联想、观察验证、推理证明的过程。 通过换底公式的应用,体现化归与转化的数学思想。 教学时要让学生掌握对数换底公式,会用换底公式将一般的对数化为常用对数或自然对 数,并进行一些简单的化简与证明。 “阅读”让学生了解对数的发明过程及其对简化运算的作用, 激发学生学习数学的兴趣。 教师可以提供资料或指导学生阅读有关书籍、查找相关网页,使学生了解对数的发展历 史以及在现代生产、科技上的作用,体现数学知识的产生和发展是源于实践而又服务于 实践的特点。 (2)对数函数 教材再次以细胞分裂实验为背景,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解 对数函数的概念,并感受研究对数函数的意义。 对照指数函数图象, 画出对数函数的图象. 根据函数 y=logax 图象的特征, 说明其性质, 指出 y 轴是函数 y=logax 图象的“渐近线”. 通过对指数函数、对数函数相互关系的研究,加深对函数概念的理解。 通过对数函数的图象,观察发现对数函数的性质,提高学生的识图能力,并通过对数函 数性质的应用,加深对对数函数性质的理解。 关于求函数的反函数知识,只要求以具体函数为例进行解释和直观理解,不要求一般地 讨论形式化的反函数定义,对求已知函数的反函数也不作要求. 通过阅读链接材料,知道反函数的含义,了解一个函数的反函数的求法以及记法,了 解函数与其反函数的定义域、值域之间的关系。 2.4 幂函数 1. 教学目标 (1)了解幂函数的概念,会画幂函数 y=x,y=x2,y=x3,y=,y= 的图象,结合这几 个幂函数的图象,了解幂函数的变化情况和性质. (2)了解几个常见的幂函数的性质,会用它们的单调性比较两个底数不同而指数相同的 指数式值的大小. (3)使学生进一步体会数形结合的思想. 2. 编写意图与教学建议 教材通过实例引出幂函数的概念,使学生了解幂函数的模型,了解幂函数与指数函数区 别.教材通过几个常见的幂函数 y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x 的图象,观察、总结出 幂函数的变化情况和性质,培养学生的抽象概括能力.
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通过对幂函数的研究,结合一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等具体函数的学 习,使学生加深对函数的理解,从而达到掌握和应用函数解决问题的目的. 利用计算机等工具,进一步感受幂函数与指数函数的本质差异. 2.5 函数与方程 1.教学目标 (1) 能利用二次函数的图象与判别式的符号, 判断一元二次方程根的存在性及根的个数, 了解函数的零点与方程根的联系. (2)能够借助计算器用二分法求方程的近似解,理解这种方法的实质. (3)体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法. 2.编写意图与教学建议 (1)二次函数与一元二次方程 教材通过观察函数图象,给出二次函数与一元二次方程的关系。 在判断一元二次方程的实根个数时,应结合二次函数图象的顶点位置以及开口方向,说 明判别式的符号与方程根的个数的关系. (2)用二分法求方程的近似解 根据具体函数的图象,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解.用二分法求方程 的近似解,主要是找一个区间(m,n),使 f(m)>0,f(n)<0,然后通过取区间的中点 p =,判断 f(p)的符号,以决定取区间(m,p)还是区间(p,n)(如果 f(p)=0,则 p 就是方 程的根),逐步缩小区间的“长度”,直到区间的两个端点的近似值相同(符合精确度要 求). 2.6 函数模型及其应用 1. 教学目标 (1)能根据实际问题的情境建立函数模型,利用计算工具,结合对函数性质的研究,给 出问题的解答. (2)理解数据拟合是用来对事物的发展规律进行估计的一种方法,会根据条件借助现代 计算工具解决一些简单的实际问题. (3)能利用所学的数学知识分析、研究身边的问题,启发、引导学生数学地观察世界、 感受世界,引导学生合作交流. (4)培养学生数学地分析问题、探索问题、解决问题的能力. 2.编写意图与教学建议 教材从实例出发,让学生体验用函数描述实际问题的价值,感受到函数是描述客观世界 变化规律的基本数学模型,体验一次函数、正(反)比例函数、二次函数、指数函数、对 数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用. 在教学过程中,应指出建立函数模型就是将实际问题转化为数学问题,是数学地解决问 题的关键.结合对函数性质的研究,通过数学问题的解决,达到解决实际问题的目的. 通过实际问题,说明数据拟合在预测、规划等方面的重要作用,进一步学会用数学的知 识、思想方法解决实际问题,提高学生运用数学的能力. 常见的数据拟合有:直线型(一次函数)、抛物线型(二次函数或幂函数)、指数型(指 数函数)、对数型(对数函数)等.结合实例体会这些不同函数类型增长(尤其是直线 上升、指数增长)的含义. 在教学过程中,函数模型的建立应尽量利用 Excel 等现代信息技术手段. 鼓励学生收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分 段函数等)的实例进行探索实践. 探究案例 钢琴与指数曲线
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编写意图与教学建议 通过钢琴曲线这一实例,体验数学与现实世界有着密切联系,是分析、研究客观世界变 化规律的重要工具,这既利于培养学生探究、解决问题的能力,又利于激发学生用数学 知识研究现实世界的欲望. 本章回顾 主要对本章学习的内容,知识生长的过程,重要的研究问题方法与思想方面进行反思与 总结。是由厚到薄的过程。结构框图给出一棵生长的数学树。 本章从实际背景出发,抽象出函数概念,给出函数的表示方法,研究了函数的单调性、 奇偶性,进而研究了几类特殊的函数(指数函数、对数函数、幂函数)的性质及应用。

函数是两个集合上的一种对应关系。本章主要运用数形结合的方法来研究函数的性质。 可以通过函数的图象来探索函数的性质,利用函数的性质又可以作出函数的图象。运用 函数解决问题的关键是建立数学模型。

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