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函数概念(经典课件)


§3 函数概念 3
教学内容: 教学内容:函数的概念,表示,四则运算,复合函数,反函数以及初等函数. 教学目的:使学生深刻理解函数的定义以及复合函数,反函数和初等函数的定义;熟悉函数的各种表示方法; 教学目的 牢记基本初等函数的定义,性质及其图象;会求初等函数的存在域,会分析初等函数的复合关系. 教学重点:函数的概念. 教学重点 教学难点:初等函数复合关系的分析. 教学难点 教学方法:课堂讲授,辅以提问,练习,部分内容可自学. 教学方法 教学学时:2 学时. 教学学时

引言:我们知道,数学分析研究的对象是实数集上的函数,前两节我们介绍了实数以及实数集的相关
概念和性质.本节和下节课我们再对中学数学中已有了初步的了解的函数进行简单回顾,为便于今后的 学习,将对一些问题作进一步讨论.

一,函数的定义: 函数的定义:
1.定义1 设 D, M R ,如果存在对应法则 f ,使对 x ∈ D ,存在唯一的一个数 y ∈ M 与之对应, 则称 f 是定义在数集D上的函数,记作 f : D → M ( x |→ y ). 函数 f 在点 x 的函数值,记为 f ( x ) ,全体函数值的集合称为函数 f 的值域,记作 f ( D ) .即

f ( D) = { y | y = f ( x), x ∈ D} .
2.几点说明: (1)函数定义的记号中" f : D → M "表示按法则 f 建立D到M的函数关系, x |→ y 表示这两个数 集中元素之间的对应关系,也记作 x |→ f ( x ) .习惯上称 x 自变量, y 为因变量. (2) 函数有三个要素,即定义域,对应法则和值域.当对应法则和定义域确定后,值域便自然确定下 来.因此,函数的基本要素为两个:定义域和对应法则.所以函数也常表示为: y = f ( x ), x ∈ D . 由此,我们说两个函数相同,是指它们有相同的定义域和对应法则. 例如:1) f ( x ) = 1, x ∈ R, g ( x) = 1, x ∈ R \ {0} . (不相同,对应法则相同,定义域不同) 2) ( x ) =| x |, x ∈ R,

ψ ( x) = x 2 , x ∈ R. (相同,对应法则的表达形式不同) .

(3)函数用公式法(解析法)表示时,函数的定义域常取使该运算式子有意义的自变量的全体,通常 称为存在域(自然定义域) .此时,函数的记号中的定义域D可省略不写,而只用对应法则 f 来表 示一个函数.即"函数 y = f ( x) "或"函数 f " . (4) "映射" 的观点来看, 函数 f 本质上是映射, 对于 a ∈ D , f ( a ) 称为映射 f 下 a 的象.a 称为 f ( a ) 的原象. ,若对同 (5)函数定义中, x ∈ D ,只能有唯一的一个 y 值与它对应,这样的函数称为"单值函数" 一个 x 值, 可以对应多于一个 y 值, 则称这种函数为多值函数. 本书中只讨论单值函数 (简称函数) .

二,函数的表示方法: 函数的表示方法:

1 2

主要方法:解析法(公式法) ,列表法和图象法. 可用"特殊方法"来表示的函数. (1) 分段函数 分段函数:在定义域的不同部分用不同的公式来表示.

例如

1, x > 0 (符号函数) sgn x = 0, x = 0 , 1, x < 0

(借助于 Sgnx 可表示 f ( x ) =| x |, 即 f ( x ) =| x |= x sgn x ) . (2)用语言叙述的函数 (注意:以下函数不是分段函数) 用语言叙述的函数: 用语言叙述的函数 例 1) y = [ x ] (取整函数:不超过 x 的最大整数) 2) D ( x) =

1,当x为有理数, (狄利克雷函数,Dirichlet,德国) 0,当x为无理数,

p p 1 , 当x = ( p, q ∈ N +, 为假分数), q q (黎曼函数,Riemman,德国) 3) R ( x) = q 0, 当x = 0,1和(0,1)内的无理数. 三,函数的四则运算: 函数的四则运算:
给定两个函数 f , x ∈ D1 , g , x ∈ D2 ,记 D = D1 ∪ D2 ,并设 D ≠ φ ,定义 f 与 g 在D上的和,差,积运 算如下:

F ( x) = f ( x) + g ( x), x ∈ D ; G ( x) = f ( x) g ( x), x ∈ D ; H ( x) = f ( x) g ( x), x ∈ D .
若在D中除去使 g ( x ) = 0 的值,即令 D = D \ x g ( x ) ≠ 0, x ∈ D2 ≠ φ ,可在 D 上定义 f 与 g 的商运
i

{

}

i

算如下; L( x ) =

f ( x) , x ∈ Di . g ( x)

注: (1)若 D = D1 ∩ D2 = φ ,则 f 与 g 不能进行四则运算. (2)为叙述方便,函数 f 与 g 的和,差,积,商常分别写为: f + g , f g , fg ,

f . g

四,复合函数: 复合函数:
1. 定义 复合函数)设有两个函数 y = f (u ), u ∈ D u = g ( x ), x ∈ E 记 E = x g ( x) ∈ D ∩ E ≠ φ (复合函数)
*

{

}

则对每一个 x ∈ E ,可通过函数 g 对应 D 内唯一的一个值 u ,而 u 又通过函数 f 对应唯一的一个值
*

y .这就确定了一个定义在 E * 上的函数,它以 x 为自变量, y 为因变量,记作 y = f ( g ( x)), x ∈ E *


y =(f

g )( x) = f

g, x ∈ E *

称为函数 f 和 g 的复合函数 复合函数,并称 f 为外函数 g 为内函数 u 为中间变量. 外函数, 内函数, 复合函数 外函数 内函数

如:

y = f (u ) = u , u ∈ [0,+∞)

u = g ( x) = 1 x 2 , x ∈ (∞,+∞)

(f

g )( x) = 1 x 2 , x ∈ E * = [1,1]
2

又如: y = f (u ) = arcsin u , u ∈ [ 1,1] 与 u = g ( x ) = 2 + x , x ∈ ( ∞,+∞) 不能进行复合 2. 说明: (1) 复合函数可由多个函数相继复合而成. 每次复合, 都要验证能否进行?在哪个数集上进行? 复合函数的最终定义域是什么? 例如: y = sin u , u =

v , v = 1 x 2 ,复合成: y = sin 1 x 2 , x ∈ [1,1] .

(2)不仅要会复合,更要会分解.把一个函数分解成若干个简单函数,在分解时也要注意定义 域的变化. ① y = log a 1 x , x ∈ (0,1) → y = log a u , u =
2

z , z = 1 x2 .

② y = arcsin ③y=2
sin 2 x

x 2 + 1 → y = arcsin u , u = x 2 + 1.

→ y = 2u , u = v 2 , v = sin x.

五,反函数: 反函数:
1 引言: 在函数 y = f ( x) 中把 x 叫做自变量, y 叫做因变量.但需要指出的是,自变量与因变量的地位并 不是绝对的,而是相对的,例如: f (u ) = 是因变量. 习惯上说函数 y = f ( x) 中 x 是自变量, y 是因变量,是基于 y 随 x 的变化现时变化.但有时我们不 公要研究 y 随 x 的变化状况,也要研究 x 随 y 的变化的状况.对此,我们引入反函数的概念. 2 反函数概念: 设函数 y = f ( x ), x ∈ D .满足:对于值域 f ( D ) 中的每一个值 y ,D中有且只有一个值 x ,使得

u , u = t 2 + 1, 那么 u 对于 f 来讲是自变量,但对 t 来讲,u

f ( x) = y ,则按此对应法则得到一个定义在 f ( D ) 上的函数,称这个函数为 f 的反函数,记作 f 1 : f ( D ) → D, ( y |→ x) 或 x = f 1 ( y ), y ∈ f ( D ) .
3 注释:

(a) 并不是任何函数都有反函数,从映射的观点看,函数 f 有反函数,意味着 f 是D与 f ( D ) 之间 的一个一一映射,称 f 1 为映射 f 的逆映射,它把 f ( D ) → D ; (b) 函数 f 与 f 1 互为反函数,并有: f 1 ( f ( x)) ≡ x, x ∈ D,

f ( f 1 ( x)) ≡ y, y ∈ f ( D ).

1 (c) 在反函数的表示 x = f ( y ), y ∈ f ( D ) 中,是以 y 为自变量, x 为因变量.若按习惯做法用 x 做

为自变量的记号, y 作为因变量的记号,则函数 f 的反函数 f 1 可以改写为

y = f 1 ( x), x ∈ f ( D) .
应该注意,尽管这样做了,但它们的表示同一个函数,因为其定义域和对应法则相同,仅是所用 变量的记号不同而已.但它们的图形在同一坐标系中画出时有所差别.

六,初等函数: 初等函数:
1.基本初等函数: (6类) 常量函数 幂函数

y = C (C为常数) ; y = xα (α ∈ R ) ;

x 指数函数 y = a ( a > 0, a ≠ 1) ;

对数函数 三角函数 反三角函数

y = log a x(a > 0, a ≠ 1) ; y = sin x, y = cos x, y = tgx, y = c tgx ; y = arcsin x, y = arccos x, y = arctgx, y = arcctgx .

α x 注:幂函数 y = x (α ∈ R ) 和指数函数 y = a ( a > 0, a ≠ 1) 都涉及乘幂,而在中学数学课程中只给了有

理指数乘幂的定义.下面我们借助于确界来定义无理指数幂,便它与有理指数幂一起构成实指数乘幂, 并保持有理批数幂的基本性质. 定义2 定义2 给定实数 a > 0, a ≠ 1 ,设 x 为无理数,我们规定:

sup {a r | r为有理数} , 当a > 1时, a x = r<x inf {a r | r为有理数} , 当0 < a < 1时. r<x
[问题 问题]:这样的定义有意义否?更明确一点相应的"确界是否存在呢?" 问题 2.初等函数: 定义3 定义3 由基本初等函数经过在有限次四则运算与复合运算所得到的函数,统称为初等函数,不是初 等函数的函数,称为非初等函数. 如: y = 2sin x + cos x, y = sin( ), y = l o g a x +
2

1 x

esin

x

1

x

2

, y =| x | . 都是初等函数,

Dirichlet 函数,Riemann 函数,取整函数等都是非初等函数. 注:初等函数是本课程研究的主要对象.为此,除对基本初等函数的图象与性质应熟练掌握外, 还应常握确定初等函数的定义域. 如: (1)函数 y =

x 定义域为: {x x > 1或x ≤ 0} x 1

(2) 函数 y = ln sin x 定义域为:

{x 2kπ < x < 2kπ + π , k ∈ Z }

六类基本初等函数及其图象性质

名 称 常 函 数

表达式


y

形 2

主 要 结 论

y=c



0

3
x =3

x=c(c 为常数)
y

x

①定义域为一切实数; ②图象关于坐标轴平行.

y = x2

幂 函 数

y = xα ( α 为任 意实数)

y=x

1 2

①定义域 (0,+∞) ; ②图象均过(1,1) ; ③ α > 0 时,单调增; ④ α < 0 时,单调减.

y=x
0
y

1 2

y = x 1 1
y
(0,1) (0,1) ①定义域均为 (∞,+∞) ; ②均过(0,1)且 y>0; ③0<a<1,时,单调减; ④a>1 时, 单调增. ①定义域均为 (0,+∞) ; ②均过(1,0)点; ③0<a<1 时, 单调减; ④a>1 时, 单调增. ①定义域为 (∞,+∞) ;

x

指 数 函 数 对 数 函 数

y = ax
0<a<1 a>1

y

y

y = log a x

0 (1,0) 0<a<1

x

0 (1,0) x a>1

y
1 三 角 函 数

y = sin x
0

y = sin x


-1



②以 2π 为周期的奇函数; ③位于两条平行线 y = ± 1 之间.

x

y = cos x

y = cos x
0 -1

y 1

①定义域为 (∞,+∞) ;



x

②以 2 π 为周期的偶函数; ③位于两条平行线

y = ±1 之间.

名称

表达式





主要结论 ① 定义域为

y

y = tan x 三 角 函 数 y = cot x π 2
0
π
2

{x x ≠ kπ +
x
y

π
2

, k ∈ N };

②以 π 为周期的奇函数; ③无界. ① 定义域为

π

0

π

x

{x x ≠ kπ , k ∈ N };
②以 π 为周期的奇函数; ② 无界. ①定义域为 [ 1,1] ;

y
y = arcsin x

-1

1

x

反 三 角 函


②主值区间为 π , π . 2 2

[

]

y

y = arccos x
-1

π
0 1

①定义域为 [ 1,1] ;

x

②主值区间为 [0, π ] .

名称

表达式





主要结论 ①定义域 (∞,+∞) ; ②主值区间为 ( π , π ) . 2 2

y

y = arctan x 反 三 角 函 数

π
2

0

x

y

y = arc cot x

π

①定义域 (∞,+∞) ; ②主值区间为 (0, π ) .

0

x


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