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第六章 不等式、推理与证明 课时跟踪检测 (三十五) 基本不等式 Word版含答案

课时跟踪检测 (三十五) 基本不等式 一抓基础,多练小题做到眼疾手快 1.“a>b>0”是“ab< A.充分不必要条件 C.充要条件 解析:选 A 2 2 a2+b2 2 ”的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 由 a>b>0 得,a +b >2ab;但由 a +b >2ab 不能得到 a>b>0,故“a 2 2 >b>0”是“ab< a2+b2 2 ”的充分不必要条件,故选 A. 2x 的最大值为( x +1 2 2.当 x>0 时,f(x)= A. 1 2 ) B.1 D.4 ∵x>0,∴f(x)= 2x 2 2 = ≤ =1, x2+1 1 2 x+ x C.2 解析:选 B 1 当且仅当 x= ,即 x=1 时取等号. x ? b?? 4a? 3.(2017·合肥调研)若 a,b 都是正数,则?1+ ??1+ ?的最小值为( a b ? ?? ? A.7 C.9 解析: 选C B.8 D.10 ) b 4a ? b?? 4a? 因为 a, b 都是正数, 所以?1+ ??1+ ?=5+ + ≥5+2 a b ? ?? ? a b b 4a · =9, a b 当且仅当 b=2a 时取等号,选项 C 正确. 4.当 3<x<12 时,函数 y= 解析:y= =-?x+ x- x = 2 -x 的最大值为________. x- x -x -x +15x-36 x ? ? 36? +15≤-2 x? ? x· +15=3. x 36 36 当且仅当 x= ,即 x=6 时,ymax=3. x 答案:3 5.若把总长为 20 m 的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是________ m . 解析:设一边长为 x m,则另一边长可表示为(10-x)m, 2 由题知 0<x<10,则面积 S=x(10-x)≤? =5 时等号成立, ?x+10-x?2=25,当且仅当 x=10-x,即 x ? 2 ? ? 2 故当矩形的长与宽相等,都为 5 m 时面积取到最大值 25 m . 答案:25 二保高考,全练题型做到高考达标 1.下列不等式一定成立的是( ) ? 2 1? A.lg?x + ?>lg x(x>0) 4? ? 1 B.sin x+ ≥2(x≠kπ ,k∈Z) sin x C.x +1≥2|x|(x∈R) D. 1 >1(x∈R) x +1 2 2 解析:选 C 1 1 ? 2 1? 2 2 lg?x + ?>lg x?x + >x(x>0)?4x -4x+1>0(x>0).当 x= 时, 4 4 2 ? ? 1 1 1 4× 2-4× +1=0, ∴A 错; 当 sin x=-1 时, sin x+ =-2<2, ∴B 错; x2+1≥2|x| 2 2 sin x ?(|x|-1) ≥0,∴C 正确;当 x=0 时, 2 1 =1,∴D 错. x +1 2 1 1 2.已知 a>0,b>0,a,b 的等比中项是 1,且 m=b+ ,n=a+ ,则 m+n 的最小值是 a b ( ) A.3 C.5 解析: 选B B.4 D.6 1 1 由题意知 ab=1, ∴m=b+ =2b, n=a+ =2a, ∴m+n=2(a+b)≥4 ab a b =4,当且仅当 a=b=1 时取等号. 3.若 2 +2 =1,则 x+y 的取值范围是( A. C. 解析:选 D ∴2 x+y x y ) B. ∵2 +2 ≥2 2 ·2 =2 2 x y x y x+y (当且仅当 2 =2 时等号成立),∴ 2 x y x+y 1 ≤ , 2 1 ≤ ,得 x+y≤-2. 4 2 2 4.(2017·湖北七市(州)协作体联考)已知直线 ax+by-6=0(a>0,b>0)被圆 x +y -2x-4y=0 截得的弦长为 2 5,则 ab 的最大值是( ) A.9 C.4 B. D. 9 2 5 2 2 2 解析: 选 B 将圆的一般方程化为标准方程为(x-1) +(y-2) =5, 圆心坐标为(1,2), 9 半径 r= 5,故直线过圆心,即 a+2b=6,∴a+2b=6≥2 a·2b,可得 ab≤ ,当且仅当 2 a=2b=3 时等号成立,即 ab 的最大值是 ,故选 B. 5.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为 800 元.若每批生产 x 件,则平 均仓储时间为 天,且每件产品每天的仓储费用为 1 元.为使平均到每件产品的生产准备费 8 用与仓储费用之和最小,每批应生产产品( A.60 件 C.100 件 解析:选 B ) B.80 件 D.120 件 800 每批生产 x 件,则平均每件产品的生产准备费用是 元,每件产品的仓 9 2 x x x 800 x 储费用是 元,则 + ≥2 8 x 8 ∴每批生产产品 80 件. 800 x x 800 x · =20,当且仅当 = ,即 x=80 时“=”成立, 8 x 8 6.已知 A(x1,y1),B(x2,y2)是函数 y=2 图象上两个不同的点,若 x1+2x2=4,则 y1 +y2的最小值为________. 解析:y1+y2=2x1+22x2≥2 2x1+2x2=8(当且仅当 x1=2x2=2 时等号成立). 答案:8 7.(2016·青岛模拟)已知实数 x,y 均大于零,且 x+2y=4,则 log2x+log2y 的最大 值为________. 解析:因为 log2x+log2y=log22xy-1≤log2? 2 2 x ?x+2y?2-1=2-1=1, ? ? 2 ? 当且仅当 x=2y=2,即 x=2,y=1 时等号成立, 所以 log2x+log2y 的最大值为 1. 答案:1 8.已知实数 x,y 满足 x +y -xy=1,则 x+

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