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【创新设计】2015-2016学年高中数学 3.3.1几何概型课时作业 新人教A版必修3


3.3.1

几何概型

课时目标 1.通过实例体会几何概型的含义, 会区分古典概型和几何概型.2.掌握几何 概型的概率计算公式,会求一些事件的概率. 1.几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与____________________________________, 则称这样的概 率模型为几何概率模型,简称几何概型. 根据定义,向半径为 r 的圆内投针,落在圆心上的概率为 0,因为点的面积为 0,但此 事件不一定不发生. 2.几何概型的特点 (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件总数)有____________个. (2)每个基本事件出现的可能性________. 3.几何概型的概率公式 构成事件A的区域长度?面积或体积? P(A)= 试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积?

一、选择题 1.用力将一个长为三米的米尺拉断,假设该米尺在任何一个部位被拉断是等可能的, 则米尺的断裂处恰在米尺的 1 米到 2 米刻度处的概率为( ) 2 1 A. B. 3 3 1 1 C. D. 6 4 2.如图,边长为 2 的正方形内有一内切圆.在图形上随机撒一粒黄豆,则黄豆落到圆 内的概率是( )

π 4 B. 4 π 4-π 4-π C. D. 4 π 3.在 1 L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子,从中随机取出 10 mL,则含有 麦锈病种子的概率是( ) 1 1 A. B. 1 000 900 9 1 C. D. 10 100 4.ABCD 为长方形,AB=2,BC=1,O 为 AB 的中点,在长方形 ABCD 内随机取一点,取 到的点到 O 的距离大于 1 的概率为( ) π π A. B.1- 4 4 π π C. D.1- 8 8 2 2 5. 在区间[-1,1]上任取两数 x 和 y, 组成有序实数对(x, y), 记事件 A 为“x +y <1”, A.
1

则 P(A)为( ) π π A. B. 4 2 C.π D.2π 6.有四个游戏盘,如下图所示,如果撒一粒黄豆落在阴影部分,则可中奖,小明希望 中奖机会大,他应当选择的游戏盘为( )

题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7.一个路口的红绿灯,红灯的时间为 30 秒,黄灯的时间为 5 秒,绿灯的时间为 40 秒, 当你到达路口时看到的是绿灯的概率是________. 8.在区间[-1,2]上随机取一个数 x,则 x∈[0,1]的概率为________. 9.有一个圆面,圆面内有一个内接正三角形,若随机向圆面上投一镖都中圆面,则镖 落在三角形内的概率为________. 三、解答题 10.过等腰 Rt△ABC 的直角顶点 C 在∠ACB 内部随机作一条射线,设射线与 AB 相交于 点 D,求 AD<AC 的概率.

11.如图,在墙上挂着一块边长为 16 cm 的正方形木板,上面画了小、中、大三个同心 圆,半径分别为 2 cm,4 cm,6 cm,某人站在 3 m 之外向此板投镖,设投镖击中线上或 没有投中木板时都不算(可重投),问: (1)投中大圆内的概率是多少? (2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少? (3)投中大圆之外的概率是多少?

2

能力提升 2 12.函数 f(x)=x -x-2,x∈[-5,5],那么任取一点 x0∈[-5,5],使 f(x0)≤0 的概 率为( ) 2 A.1 B. 3 3 2 C. D. 10 5 13.在转盘游戏中,假设有三种颜色红、绿、蓝.在转盘停止时,如果指针指向红色为 赢,绿色为平,蓝色为输,问若每种颜色被平均分成四块,不同颜色相间排列,要使赢 1 1 的概率为 ,输的概率为 ,则每个绿色扇形的圆心角为多少度?(假设转盘停止位置都 5 3 是等可能的)

处理几何概型问题就要先计算基本事件总体与事件 A 包含的基本事件对应的区域的长 度(角度、面积或体积),而这往往会遇到计算困难,这是本节难点之一.实际上本节的 重点不在于计算, 而在于如何利用几何概型把问题转化为各种几何概率问题. 为此可参 考如下办法: (1)选择适当的观察角度; (2)把基本事件转化为与之对应的几何区域; (3)把随机事件 A 转化为与之对应的几何区域; (4)利用概率公式计算; (5)如果事件 A 对应的区域不好处理,可以用对立事件概率公式逆向思维. 同时要注意判断基本事件的等可能性,这需要严谨的思维,切忌想当然,需要从问题的 实际背景出发去判断.

答案: 3.3.1 几何概型 知识梳理 1.构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例 2.(1)无限多 (2)相等 作业设计 2-1 1 1.B [P= = .] 3 3 2 S圆 π ×1 π 2.A [由题意,P= = = .] S正方形 2×2 4 取出种子的体积 [取出 10 mL 麦种, 其中“含有病种子”这一事件记为 A, 则 P(A)= 所有种子的体积 10 1 = = .] 1 000 100 4.B [当以 O 为圆心,1 为半径作圆,则圆与长方形的公共区域内的点满足到点 O 的 距离小于或等于 1, 3. D

3

S长方形-S半圆 π =1- .] S长方形 4 5.A [如图,集合 S={(x,y)|-1≤x≤1,-1≤y≤1},则 S 中每个元素与随机事 2 2 件的结果一一对应,而事件 A 所对应的事件(x,y)与圆面 x +y <1 内的点一一对应, π ∴P(A)= .] 4 故所求事件的概率为 P(A)= 3 2 1 6.A [A 中 P1= ,B 中 P2= = , 8 6 3 2 4-π ×1 4-π C 中设正方形边长 2,则 P3= = , 4 4 1 ×2×1 2 1 D 中设圆直径为 2,则 P4= = . π π 在 P1,P2,P3,P4 中,P1 最大.] 8 7. 15 40 8 解析 P(A)= = . 30+5+40 15 1 8. 3 1-0 1 解析 由几何概型知所求的 P= = . 2-?-1? 3 9. 3 3 4π

1 解析 设圆面半径为 R, 如图所示△ABC 的面积 S△ABC=3·S△AOC=3· AC·OD=3·CD·OD 2 =3·Rsin 60°·Rcos 60° 2 3 3R = , 4 3 3R 3 3 = . 2= 4π R 4π
2

∴P=

10. 解 在 AB 上取一点 E, 使 AE=AC, 连接 CE(如图), 则当射线 CD 落在∠ACE 内部时, 67.5° AD<AC.易知∠ACE=67.5°,∴AD<AC 的概率 P= =0.75. 90°

11 .解 整个正方形木板的面积,即基本事件所占的区域总面积为 S =16×16=256 2 (cm ).记“投中大圆内”为事件 A,“投中小圆与中圆形成的圆环”为事件 B,“投中 2 2 大圆之外”为事件 C,则事件 A 所占区域面积为 SA=π ×6 =36π (cm );事件 B 所占区 2 2 2 2 域面积为 SB=π ×4 -π ×2 =12π (cm ); 事件 C 所占区域面积为 SC=(256-36π )cm . S 9 SB 3 SC 由几何概型的概率公式,得(1)P(A)= A = π ;(2)P(B)= = π ;(3)P(C)= = 64 S 64 S S

4

9 1- π . 64 2 12.C [令 x -x-2=0,得 x1=-1,x2=2,f(x)的图象是开口向上的抛物线,与 x 轴的交点为(-1,0),(2,0),图象在 x 轴下方,即 f(x0)≤0 的 x0 的取值范围为 x0∈[- 2-?-1? 3 1,2],∴P= = .] 5-?-5? 10 13.解 由于转盘旋转停止位置都是等可能的,并且位置是无限多的,所以符合几何概 1 型的特点,问题转化为求圆盘角度或周长问题.因为赢的概率为 , 5 1 所以红色所占角度为周角的 , 5 360° 即 α 1= =72°. 5 1 同理,蓝色占周角的 , 3 360° 即 α 2= =120°, 3 所以绿色所占角度 α 3=360°-120°-72°=168°. 将 α 3 分成四等份, 得 α 3÷4=168°÷4=42°. 即每个绿色扇形的圆心角为 42°.

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