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2013年北京东城区高三二模数学理试题答案


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北京市东城区 2012-2013 学年度第二学期高三综合练习(二) 数学参考答案(理科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)B (2)C (3)A (4)D (5)D (6)B (7)D (8)C 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 3 1 15 (9) ? (10) 1 (11) 2 2 2 (12) 2
2 7

(13) 150

(14)① ③

注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分) 解: )因为 f ( x) ? sin x( 3 cos x ? sin x) (Ⅰ
? 3 sin x cos x ? sin 2 x

1 = (2 3 sin x cos x ? 2sin 2 x) 2 1 1 = ( 3 sin 2 x ? cos 2 x) ? 2 2 ? 1 ? sin(2 x ? ) ? . 6 2
所以 f ( x) 的最小正周期 T ? (Ⅱ 因为 0 ? x ? ) 所以

2? ??. ?

2? , 3

? ? 3? . ? 2x ? ? 6 6 2

3 1 所以 f ( x) 的取值范围是 (? , ] . ………………………………13 分 2 2 (16) (共 13 分) 50 30 解: )设该年级共 n 人,由题意得 (Ⅰ ,所以 n ? 500 . ? n 180 ? 120 则 a ? 500 ? (180 ? 120 ? 70 ? 20 ? 30) ? 80 .
(Ⅱ )依题意, X 所有取值为 0,1, 2 .
P( X ? 0) ?
2 C2 1 ? , 2 C5 10

P( X ? 1) ?

1 1 C2C3 3 ? , C52 5

P( X ? 2) ?

C32 3 ? . C52 10

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X 的分布列为: X
P
0

1 10

1 3 5

2 3 10

1 3 3 6 ?1 ? 2 ? ? ? . 10 5 10 5 (17) (共 14 分) EX ? 0 ?
(Ⅰ )证明:因为 ?BAD ? 90? w 所以 AD ? AB ,

………………………………………13 分

又因为 C ' B ? AD ,且 AB ? C ' B ? B , 所以 AD ? 平面 C ' AB , 因为 AC ' ? 平面 C ' AB , 所以 AD ? AC ' . (Ⅱ )因为△BCD 是等边三角形,
z C

AB ? AD , ?BAD ? 90? ,
不防设 AB ? 1 ,则 BC ? CD ? BD ? 2 , 又因为 M , N 分别为 BD , C B 的中点, 由此以 A 为原点, AB , AD , AC ' 所在直线为坐 标轴建立空间直角坐标系 A ? xyz .
'

N A D M B x y

则有 A(0,0,0) , B(1,0,0) , D(0,1,0) , C (0,0,1) ,
'

1 1 1 1 M ( , ,0) , N ( ,0, ) . 2 2 2 2 ???? ? 1 1 ???? 1 1 所以 AM ? ( , ,0) , AN ? ( ,0, ) . 2 2 2 2 设平面 AMN 的法向量为 m ? ( x, y, z ) . ???? ? ? AM ? m ? 0 , ? 则 ????? ? AN ? m ? 0. ?
1 ?1 ? 2 x ? 2 y ? 0, ? 即? ? 1 x ? 1 z ? 0. ?2 ? 2 令 x ? 1 ,则 y ? z ? ?1 .

所以 m ? (1, ?1, ?1) . 又平面 ABM 的一个法向量为 n ? (0,0,1) . 所以 cos ? m, n ??
m ? n ?1 3 ? ?? . m n 3 3

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所以二面角 N ? AM ? B 的余弦值为 (18) (共 14 分) 解:(Ⅰ f ( x) ? ln x ? ) 则 f | ( x) ?

3 . 3

………………………………14 分

a ,定义域为 (0, ??) , x

k B 1 . c o m

1 a x?a ? ? 2 . x x2 x 因为 a ? 0 ,由 f ?( x) ? 0, 得 x ? (a, ??) , 由 f ?( x) ? 0, 得 x ? (0, a) , 所以 f ( x) 的单调递增区间为 (a, ??) ,单调递减区间为 (0, a) .
(Ⅱ )由题意,以 P( x0 , y0 ) 为切点的切线的斜率 k 满足
k ? f ?( x0 ) ? x0 ? a 1 ? 2 x0 2

( x0 ? 0 ) ,

1 所以 a ? ? x02 ? x0 对 x0 ? 0 恒成立. 2 1 1 又当 x0 ? 0 时, ? x02 ? x0 ? , 2 2
所以 a 的最小值为

1 . 2

(Ⅲ )由题意,方程 f ( x) ?

x3 ? 2(bx ? a) 1 ? 化简得 2x 2

1 1 b ? ln x ? x2 + 2 2

x ? (0, ??)

1 1 1 (1 ? x)(1 ? x) 令 h( x) ? ln x ? x2 ? b ? ,则 h?( x) ? ? x ? . 2 2 x x 当 x ? (0,1) 时, h?( x) ? 0 , 当 x ? (1, ??) 时, h?( x) ? 0 , 所以 h( x) 在区间 (0,1) 上单调递增,在区间 (1, ??) 上单调递减. 1 1 所以 h( x) 在 x ? 1 处取得极大值即最大值,最大值为 h(1) ? ln1 ? ? 12 ? b ? ? ?b . 2 2
所以 当 ?b ? 0 , 即 b ? 0 时, y ? h( x) 的图象与 x 轴恰有两个交点, 方程 f ( x) ?

x3 ? 2(bx ? a) 1 ? 有两个实根, 2x 2

当 b ? 0 时, y ? h( x) 的图象与 x 轴恰有一个交点, 方程 f ( x) ?

x3 ? 2(bx ? a) 1 ? 有一个实根, 2x 2

当 b ? 0 时, y ? h( x) 的图象与 x 轴无交点, 方程 f ( x) ? (19) (共 13 分)

x3 ? 2(bx ? a) 1 ? 无实根. 2x 2

……14 分

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解: (Ⅰ )因为

c 3 ? , a 2 ? b2 ? c 2 , a 2 所以 a ? 2b .

因为原点到直线 AB : 解得 a ? 4 , b ? 2 .

ab 4 5 x y , ? ? ? 1 的距离 d ? 5 a b a 2 ? b2

故所求椭圆 C 的方程为

x2 y ? ? 1. 16 4

2

(Ⅱ )因为点 P ? x0 , y0 ? 关于直线 y ? 2 x 的对称点为 P ? x1 , y1 ? , 1
? y0 ?x ? 所以 ? 0 ? y0 ? ? ? y1 ? 2 ? ?1, ? x1

? y1 x ?x ? 2? 0 1 . 2 2 4 y ? 3x0 3 y ? 4x0 解得 x1 ? 0 , y1 ? 0 . 5 5
2 2 所以 x12 ? y12 ? x0 ? y0 .

因为点 P ? x0 , y0 ? 在椭圆 C :
2 2 所以 x12 ? y12 ? x0 ? y0 ? 4 ?

x2 y ? ? 1 上, 16 4
2 3 x0 . 4

2

因为 ?4 ? x0 ? 4 , 所以 4 ? x12 ? y12 ? 16 . 所以 x12 ? y12 的取值范围为 ? 4, 16? . (Ⅲ )由题意
? y ? kx ? 1, ? 2 消去 y ,整理得 ?x y2 ?1 ? ? ?16 4

(1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kx ?12 ? 0 .
可知 ? ? 0 . 设 E ( x2 , y2 ) , F ( x3 , y3 ) , EF 的中点是 M ( xM , yM ) ,

x2 ? x3 ?4k 1 , yM ? kxM ? 1 ? . ? 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 y ?2 1 ?? . 所以 k BM ? M xM k
则 xM ?

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所以 xM ? kyM ? 2k ? 0 .

?4k k ? ? 2k ? 0 . 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 又因为 k ? 0 ,

2 1 .所以 k ? ? . 4 8 (20) (共 13 分)

所以 k 2 ?

………………………………13 分

解: ) a4 ? a2 ? a1 ? 1 ; (Ⅰ
a7 ? a4?2?1 ? 0 .

(Ⅱ )假设存在正整数 T ,使得对任意的 n ? N * ,有 an?T ? an . 则存在无数个正整数 T ,使得对任意的 n ? N * ,有 an?T ? an . 设 T 为其中最小的正整数. 若 T 为奇数,设 T ? 2t ? 1 ( t ? N * ) , 则 a4n?1 ? a4n?1?T ? a4n?1?2T ? a4(n?t )?1 ? 0 . 与已知 a4 n ?1 ? 1 矛盾. 若 T 为偶数,设 T ? 2t ( t ? N * ) , 则 a2n?T ? a2n ? an , 而 a2n?T ? a2n? 2t ? an ?t 从而 an?t ? an . 而 t ? T ,与 T 为其中最小的正整数矛盾. 综上,不存在正整数 T ,使得对任意的 n ? N * ,有 an?T ? an . (Ⅲ )若 S 为有理数,即 S 为无限循环小数, 则存在正整数 N 0 , T ,对任意的 n ? N * ,且 n ? N0 ,有 an?T ? an . 与(Ⅱ )同理,设 T 为其中最小的正整数. 若 T 为奇数,设 T ? 2t ? 1 ( t ? N * ) , 当 4n ? 1 ? N0 时,有 a4n?1 ? a4n?1?T ? a4n?1?2T ? a4(n?t )?1 ? 0 . 与已知 a4 n ?1 ? 1 矛盾. 若 T 为偶数,设 T ? 2t ( t ? N * ) , 当 n ? N0 时,有 a2n?T ? a2n ? an ,

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而 a2n?T ? a2n? 2t ? an ?t 从而 an?t ? an . 而 t ? T ,与 T 为其中最小的正整数矛盾. 故 S 不是有理数. ……………………………………………………13 分

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