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备战2017高考技巧大全之高中数学黄金解题模板


【高考地位】
含参不等式的恒成立问题越来越受到高考命题者的青睐,由于新课标高考对导数应用的 加强,这些不等式的恒成立问题往往与导数问题交织在一起,这在近年的高考试题中不难看 出这个基本的命题趋势. 解决这类问题的关键是揭开量词隐含的神秘面纱还函数问题本来面 目,在高考中各种题型多以选择题、填空题和解答题等出现,其试题难度属高档题.

【方法点评】 方法一
使用情景:对于变量和参数可分离的不等式 解题模板:第一步 首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下,可

分离参数法

以根据不等式 的性质将参数分离出来,得到一个一端是参数,另一端是变量表达式的不等式; 第二步 第三步 先求出含变量一边的式子的最值; 由此推出参数的取值范围即可得出结论.
2

例 1 已知函数 f ? x ? ? kx ? ln x , 若 f ? x ? ? 0 在函数定义域内恒成立, 则的取值范围是 ( A.? , e ? 【答案】D 【解析】



?1 ?e

? ?

B.?

? 1 1? , ? ? 2e e ?

C.? ??,

? ?

1 ? ? 2e ?

D.?

? 1 ? , ?? ? ? 2e ?

考点:函数的恒成立问题. 【方法点晴】本题主要考查了函数的恒成立问题,其中解答中涉及到利用导数研究函数的单 调性、利用导数研究函数的极值与最值、恒成立的分离参数构造新函数等知识点的综合考查, 着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及转化与化归思想,试题有一定的思维深度,

属于中档试题,解答中根据函数的恒成立,利用分离参数法构造新函数,利用新函数的性质 是解答的关键.含参不等式分离参数后的形式因题、因分法而异,因此解决含参不等式恒成 立问题需把握住下述结论: (1) f ( x) ? g (a) 恒成立 ? f ( x)max ? g (a) ; (2) f ( x) ? g (a) 恒 成立 ? f ( x)max ? g (a) ; (3) f ( x) ? g (a) 恒成立 ? f ( x)min ? g (a) 。 (4) f ( x) ? g (a) 恒 成立 ? f ( x)min ? g (a) . 【变式演练 1】已知函数 f ( x) ? 1 ? 2 x ? 4 x a 在 (??,1] 上有意义,则的取值范围是 【答案】 [? , ??) . 【解析】函数 f ( x ) 在 (??,1] 上有意义,等价于 1 ? 2 ? 4 a ? 0在 (??,1] 上恒成立,即
x x

.

3 4

a ? ?(

1 1 1 1 ? x ), x ? (??,1] 恒 成 立 , 记 g ( x) ? ?( x ? x ), x ? (??,1] , 即 等 价 于 x 4 2 4 2

a ? g ( x)max , x ? (??,1] .因为 g ( x) 在 (??,1] 上是增函数,因此 g ( x) 的最大值为 g (1) . 所以
3 3 3 a ? g ( x)max ? g (1) ? ? ,于是的取值范围是 a ? ? ,故应填 [? , ??) . 4 4 4 4 2 【变式演练 2】若关于的不等式 x ? ? a ? 3a 对任意实数 x ? 0 恒成立,则实数的取值范围 x
为( ) B. (??, ?2] ? [5, ??) D. [?2,5]

A. [?1, 4] C. (??, ?1] ? [4, ??) 【答案】A 【解析】

考点:基本不等式的应用;不等式的恒成立问题.

方法二

函数性质法

使用情景:对于不能分离参数或分离参数后求最值较困难的类型

解题模板:第一步 第二步 第三步

首先可以把含参不等式整理成适当形式如 f ( x, a) ? 0 、 f ( x, a) ? 0 等; 从研究函数的性质入手,转化为讨论函数的单调性和极值; 得出结论.
3

例 2 已知函数 f ( x) ? ax ? 恒成立,求的取值范围. 【答案】 0 ? a ? 5 .

3 2 1 1 x ? 1 ( x ? R) , 其中 a ? 0 . 若在区间 [? , ] 上, f ( x) ? 0 2 2 2

【点评】对于不能分离参数或分离参数后求最值或确界较困难的问题,我们可以把含参不等 式整理成适当形式如 f ( x, a) ? 0 、 f ( x, a) ? 0 等,然后从研究函数的性质入手,转化为讨论 函数的单调性和极值. 在解题过程中常常要用到如下结论: (1)如果 f ( x, a ) 有最小值 g (a ) , 则 f ( x, a) ? 0 恒成立 ? g (a) ? 0 , f ( x, a) ? 0 恒成立 ? g (a) ? 0 ; (2)如果 f ( x, a ) 有最 大值 g (a ) ,则 f ( x, a) ? 0 恒成立 ? g (a) ? 0 , f ( x, a) ? 0 恒成立 ? g (a) ? 0 . 【变式演练 3】已知函数 f ? x ? ? e ? ax, a ? 0 .
x

(1)记 f ? x ? 的极小值为 g ? a ? ,求 g ? a ? 的最大值; (2)若对任意实数恒有 f ? x ? ? 0 ,求 f ? a ? 的取值范围.

e 2 【答案】 (1) ; (2) 1, e ? e ? ?.

?

【解析】 试题分析: (1)借助题设条件运用导数的有关知识求解; (2)借助题设运用分类整合思想将 不等式进行等价转化,再运用导数知识求解.

(2)当 x ? 0 时, a ? 0, ex ? ax ? 0 恒成立,
x 当 x ? 0 时, f ? x ? ? 0 ,即 e ? ax ? 0 ,即 a ?

ex x

x ex e x x ? e x e ? x ? 1? 令 h ? x? ? , , x ? ? 0, ?? ? , h? ? x ? ? ? x x2 x2

当 0 ? x ? 1 时, h? ? x ? ? 0 ,当 x ? 1 时, h? ? x ? ? 0 ,故 h ? x ? 的最小值为 h ?1? ? e , 所以 a ? e ,故实数的取值范围是 ? 0, e?

f ? a ? ? ea ? e2 , a ? ? 0, e? , f ? ? a ? ? ea ? 2a ,由上面可知 ea ? 2a ? 0 恒成立,
故 f ? a ? 在 ? 0, e? 上单调递增,所以 f ? 0? ? 1 ? f ? a ? ? f ? e? ? e ? e ,
e 2
e 2 即 f ? a ? 的取值范围是 1, e ? e ? ?

?

考点:极值的概念及导数的有关知识的综合运用.
x 2 【变式演练 4】设函数 f ( x) ? e ?1 ? x ? ax ,若 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,求的取值范围。

【答案】 a ?

1 2

【点评】函数、不等式、导数既是研究的对象,又是解决问题的工具。本题抓住 f (0) ? 0 这 一重要的解题信息,将问题转化为 f ( x) ? f (0) 在 x ? 0 时恒成立,通过研究函数 f ( x ) 在

[0, ??) 上是不减函数应满足的条件, 进而求出的范围。 隐含条件 f (0) ? 0 对解题思路的获得,
起到了十分重要的导向作用. 【变式演练 5】已知函数 f ( x) ? ax ?

a?2 ? 2 ? 2a (a ? 0) . x

(1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (2)求函数 f ( x) 的单调区间; (3)若 f ( x) ≥ 2ln x 在 [1, ??) 上恒成立,求 a 的取值范围. 【答案】 (1) 5x ? 4 y ? 4 ? 0 (2) 详见解析(3) [1, ??) 【解析】 试题分析: (1)由导数几何意义得 f ?(2) 为切线斜率 ,再根据点斜式求切线方程(2) 求函数 单调性,先求函数导数: f ' ( x) ? a ?

a ? 2 ax2 ? (2 ? a) ? (a ? 0) ,再根据导函数零点及符号变 x2 x2

化规律, 进行分类讨论: 当 0 ? a ? 2 时, f ' ( x) ? 0 , 因此 f ( x) 在 (??,0) 和 (0, ??) 上单调递增; 当 a ? 2 时,导函数有两个零点 x1 ? ?
a?2 , x2 ? a a?2 ,因此 f ( x) 先增再减再增(3)本题不 a

宜 变 量 分 离 , 故 直 接 研 究 函 数 g ( x) ? ax ?

a?2 ? 2 ? 2a ? 2ln x , 先 求 导 数 x

g ' ( x) ? a ?

a ? 2 2 ax2 ? 2x ? a ? 2 ( x ? 1)[ax ? (a ? 2)] , 导 函 数 有 两 个 零 点 ? ? ? x2 x x2 x2 a?2 ,再根据两个零点大小分类讨论: a ? 1 时, g ' ( x) ? 0 , g ( x)min = g (1) ? 0 ; x1 ? 1, x2 ? ? a
a?2 ) ? g (1) ? 0 ; a ? 1 ? g (1) ? 0 时, g ( x)min = g (1) ? 0 a 1 1 , f ?( x) ? 1 ? 2 x x

a ? 1 时, g ( x)min = g (?

试题解析: (1)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ?

3 f (2) ? , 2

f ?(2) ?

5 4 3 5 ? ( x ? 2) 2 4

所以,函数 f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 y ? 即: 5x ? 4 y ? 4 ? 0

(Ⅲ)因为 f ( x) ? 2ln x 在 [1, ??) 上恒成立,有 ax ? 在 [1, ??) 上恒成立. 所以,令 g ( x) ? ax ? 则 g ' ( x) ? a ?

a?2 ? 2 ? 2a ? 2ln x ? 0(a ? 0) x

a?2 ? 2 ? 2a ? 2ln x , x

a ? 2 2 ax2 ? 2x ? a ? 2 ( x ? 1)[ax ? (a ? 2)] . ? ? ? x2 x x2 x2 a?2 令 g ' ( x) ? 0, 则 x1 ? 1, x2 ? ? a
若?

a?2 ? 1 ,即 a ? 1 时, g ' ( x) ? 0 ,函数 g ( x) 在 [1, ??) 上单调递增,又 g (1) ? 0 a

所以, f ( x) ? 2ln x 在 [1, ??) 上恒成立; 若?

a?2 a?2 ? 1 ,即 a ? 1 时,当 x ? (0,1),(? , ??) 时, g ' ( x) ? 0, g ( x) 单调递增; a a

当 x ? (1, ?

a?2 ) 时, g ' ( x) ? 0 , g ( x) 单调递减 a a?2 ), a

所以, g ( x) 在 [1, ??) 上的最小值为 g (? 因为 g (1) ? 0, 所以 g (?

a?2 ) ? 0 不合题意. a

?

a?2 a?2 ? 1, 即 a ? 1 时,当 x ? (0, ? ),(1, ??) 时, g ' ( x) ? 0, g ( x) 单调递增, a a a?2 ,1) 时, g ' ( x) ? 0, g ( x) 单调递减, a

当 x ? (?

所以, g ( x) 在 [1, ??) 上的最小值为 g (1) 又因为 g (1) ? 0 ,所以 f ( x) ? 2ln x 恒成立 综上知,的取值范围是 [1, ??) 考点:导数几何意义,利用导数求函数单调区间,利用导数研究不等式恒成立问题.

方法三
使用情景:含参数的二次不等式 解题模板:第一步 第二步 第三步
2

判别式法

首先将所求问题转化为二次不等式; 运用二次函数的判别式对其进行研究讨论; 得出结论.

例 3 设 f ( x) ? x ? 2mx ? 2 , 当 x ? [?1,??) 时, f ( x) ? m 恒成立, 求实数 m 的取值范围.

? ?? ? 0 ? ? F ( ?1) ? 0 解得 ? 3 ? m ? ?2 。 ? ? 2m ?? ? ?1 2 ?
综上可得实数 m 的取值范围为 [?3,1) . 【点评】一般地,对于二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0, x ? R) ,有 1) f ( x) ? 0 对 x ? R
2

恒成立 ? ?

?a ? 0 ?a ? 0 ;2) f ( x) ? 0 对 x ? R 恒成立 ? ? . ?? ? 0 ?? ? 0

例 4、若 f ? x ? 为二次函数,-1 和 3 是方程 f ?x ? ? x ? 4 ? 0 的两根, f ?0? ? 1 . (1)求 f ? x ? 的解析式; (2)若在区间 ??1,1? 上,不等式 f ? x ? ? 2x ? m 有解,求实数 m 的取值范围. 【答案】 (1) f ? x ? ? x2 ? x ? 1; (2) m ? ? ??,5? . 【解析】

试题解析: (1)设二次函数 f ?x? ? ax ? bx ? c, ?a ? 0? ,
2

由 f ?0? ? 1 可得 c ? 1 , 故方程 f ?x ? ? x ? 4 ? 0 可化为 ax ? ?b ? 1?x ? 3 ? 0 ,
2

∵-1 和 3 是方程 f ?x ? ? x ? 4 ? 0 的两根, ∴由韦达定理可得 ? 1 ? 3 ? ?

b ?1 ?3 ,?1 ? 3 ? , a a
2

解得 a ? 1, b ? ?1 ,故 f ?x ? 的解析式为 f ?x? ? x ? x ? 1 ; (2)∵在区间 ?? 1,1?上,不等式 f ? x ? ? 2x ? m 有解, ∴ m ? x ? 3x ? 1 在区间 ?? 1,1?上有解,
2

故只需 m 小于函数 g ? x ? ? x2 ? 3x ? 1在区间 ?? 1,1?上的最大值, 由二次函数可知当 x ? ?1 时,函数 g ? x ? 取最大值 5,

∴实数 m 的取值范围为 ? ??, 5? 考点:1、求二次函数解析式;2、不等式能成立问题. 【方法点睛】本题首先考查二次函数解析式,已知函数类型求解析式时,可以采用待定系数 法,第二问考查一元二次不等式的解法,对于一元二次不等式在给定区间上有解问题,可以 采用分离参数法,转化为 m ? g ? x ?max 来求参数 m 的取值范围,另外,对于不等式恒成立、 能成立问题,都要寻求等价的转化关系来解题. 【变式演练 6】已知函数 y ? lg[ x 2 ? (a ? 1) x ? a 2 ] 的定义域为 R,求实数的取值范围。 【答案】 (?? ,?1) ? ( ,?? ) .

1 3

2 【 变 式 演 练 7 】 已 知 p : x1 和 x2 是 方 程 x ? mx ? 2 ? 0 的 两 个 实 根 , 不 等 式

a2 ? 5a ? 3 ?| x1 ? x2 | 对任意实数 m ?? ?1,1? 恒成立; q :不等式 ax2 ? 2 x ? 1 ? 0 有解,若 p
为真, q 为假,求 a 的取值范围. 【答案】 a ? ?1 【解析】 试题分析:由韦达定理可得 | x1 ? x2 |?

m 2 ? 8 ,则当 m ?? ?1,1? 时, | x1 ? x2 |max ? 3 ,不等

式 a2 ? 5a ? 3 ?| x1 ? x2 | 对 任 意 实 数 m ?? ?1, 1 ? 恒 成 立 即 a2 ? 5a ? 3 ? 3 , 可 得 a ? 6 或

a ? ?1 ;不等式 ax2 ? 2 x ? 1 ? 0 有解的充要条件为 a ? ?1 ,则由 p 为真, q 为假可得 a 的取
值范围. 试题解析:∵ x1 , x2 是方程 x ? mx ? 2 ? 0 的两个实根,
2

∴ x1 ? x2 ? m , x1 x2 ? ?2 , ∴ | x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ?
2

m2 ? 8 ,

∴当 m ?? ?1,1? 时, | x1 ? x2 |max ? 3 , 由不等式 a2 ? 5a ? 3 ?| x1 ? x2 | 对任意实数 m ?? ?1,1? 恒成立,

可得 a ? 5a ? 3 ? 3 ,∴ a ? 6 或 a ? ?1 ,①
2

若不等式 ax ? 2 x ? 1 ? 0 有解,则
2

当 a ? 0 时,显然有解,
2 当 a ? 0 时, ax ? 2 x ? 1 ? 0 有解,

当 a ? 0 时,∵ ax ? 2 x ? 1 ? 0 有解,
2

∴ ? ? 4 ? 4a ? 0 ,∴ ?1 ? a ? 0 , ∴不等式 ax ? 2 x ? 1 ? 0 有解时 a ? ?1 ,
2

∴ q 假时 a 的范围为 a ? ?1 ,② 由①②可得 a 的取值范围为 a ? ?1 . 考点:命题真假性的应用

【高考再现】
x 1. 【2016 高考新课标 1 卷】 (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? ? x ? 2 ? e ? a ? x ? 1? 有两 2

个零点. (I)求 a 的取值范围; (II)设 x1,x2 是 f ? x ? 的两个零点,证明: x1 ? x2 ? 2 . 【答案】 (0, ??)

f (b) ?

a 3 (b ? 2) ? a(b ? 1) 2 ? a(b 2 ? b) ? 0 , 2 2

故 f ( x ) 存在两个零点. (iii)设 a ? 0 ,由 f '( x) ? 0 得 x ? 1 或 x ? ln(?2a) . 若a ? ?

e ,则 ln(?2a) ? 1 ,故当 x ? (1, ??) 时, f '( x) ? 0 ,因此 f ( x ) 在 (1, ??) 上单调递增.又 2

当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 不存在两个零点. 若 a??

e n (a 2 时 ) ,) f '( x) ? 0 ; 当 x ? ( l n?( a2 ?? ), , 则 ln(?2a) ? 1 , 故 当 x ? ( 1 , l ? 2

)

时 , f '( x) ? 0 .因此 f ( x ) 在 (1,ln(?2a)) 单调递减 , 在 (ln(?2a), ??) 单调递增.又当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 不存在两个零点. 综上,的取值范围为 (0, ??) .

考点:导数及其应用 2. 【2016 高考山东理数】(本小题满分 13 分)

已知 f ( x) ? a ? x ? ln x ? ?

2x ?1 ,a?R . x2

(I)讨论 f ( x ) 的单调性; (II)当 a ? 1 时,证明 f ( x)>f ' ? x ? ? 【答案】 (Ⅰ)见解析; (Ⅱ)见解析 【解析】 试题分析:(Ⅰ)求 f ( x ) 的导函数,对 a 进行分类讨论,求 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)要证 f ( x)>f ' ? x ? ? 求解. 试题解析: (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (0,??) ;

3 对于任意的 x ??1, 2? 成立. 2

3 3 / 对于任意的 x ??1, 2? 成立,即证 f ( x ) ? f ( x ) ? ,根据单调性 2 2

a 2 2 (ax2 ? 2)(x ? 1) f ( x) ? a ? ? 2 ? 3 ? . x x x x3
/

/ 当 a ? 0 , x ? (0,1) 时, f ( x) ? 0 , f ( x) 单调递增;

x ? (1, ??)时, f / ( x) ? 0 , f ( x) 单调递减.
当 a ? 0 时, f / ( x) ?

a( x ? 1) 2 2 (x ? )( x ? ). 3 x a a

(3) a ? 2 时, 0 ?

2 ? 1, a

当 x ? (0,

2 ) 或 x ? (1,??) 时, f / ( x) ? 0 , f ( x) 单调递增; a 2 ,1) 时, f / ( x) ? 0 , f ( x) 单调递减. a

当 x? (

综上所述, 当 a ? 0 时,函数 f ( x) 在 (0,1) 内单调递增,在 (1,??) 内单调递减; 当 0 ? a ? 2 时, f ( x) 在 (0,1) 内单调递增,在 (1, 增; 当 a ? 2 时, f ( x) 在 (0,??) 内单调递增; 当 a ? 2 , f ( x) 在 (0,

2 2 ) 内单调递减,在 ( ,??) 内单调递 a a

2 2 ) 内单调递增,在 ( ,1) 内单调递减,在 (1,??) 内单调递增. a a

设 ? ( x) ? ?3x ? 2 x ? 6 ,则 ? ( x) 在 x ? [1,2] 单调递减,
2

因为 ? (1) ? 1, ? (2) ? ?10, 所以在 [1,2] 上存在 x0 使得 x ? (1, x0 ) 时, ? ( x) ? 0, x ? ( x0 ,2) 时, ? ( x) ? 0 , 所以函数 h( x) 在 (1, x0 ) 上单调递增;在 ( x0 ,2) 上单调递减, 由于 h(1) ? 1, h(2) ?

1 1 ,因此 h( x ) ? h( 2) ? 当且仅当 x ? 2 取得等号, 2 2, 3 , 2

所以 f ( x) ? f ( x) ? g (1) ? h(2) ?
/

即 f ( x) ? f ( x) ?
/

3 对于任意的 x ? [1,2] 恒成立。 2

考点:1.应用导数研究函数的单调性、极值;2.分类讨论思想. 【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想. 本题覆盖面广,对考生计算能力要求较高,是一道难题.解答本题,准确求导数是基础,恰当 分类讨论是关键,易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当,或因复杂式子变形能力差, 而错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.

3. 【2016 高考江苏卷】 (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? a x ? bx (a ? 0, b ? 0, a ? 1, b ? 1) . 设 a ? 2, b ?

1 . 2

(1)求方程 f ( x) ? 2 的根; (2)若对任意 x ? R ,不等式 f (2 x) ? m f( x) ? 6 恒成立,求实数 m 的最大值;

1 ,函数 g ? x ? ? f ? x ? ? 2 有且只有 1 个零点,求 ab 的值。 (3)若 0 ? a ? 1, b>
【答案】 (1)①0 ②4(2)1 【解析】

试题解析: (1)因为 a ? 2, b ? ①方程 f ( x) ? 2 ,即 2 ? 2
x x ?x

1 x ?x ,所以 f ( x) ? 2 ? 2 . 2

? 2 ,亦即 (2x )2 ? 2 ? 2x ? 1 ? 0 ,

x 2 所以 (2 ? 1) ? 0 ,于是 2 ? 1 ,解得 x ? 0 .

②由条件知 f (2x) ? 2 ? 2
2x

?2 x

? (2x ? 2? x )2 ? 2 ? ( f ( x))2 ? 2 .

因为 f (2 x) ? mf ( x) ? 6 对于 x ? R 恒成立,且 f ( x) ? 0 , 所以 m ?

( f ( x)) 2 ? 4 对于 x ? R 恒成立. f ( x)



( f (0))2 ? 4 ( f ( x))2 ? 4 4 4 ? 4, ? f ( x) ? ? 2 f ( x) ? ? 4 ,且 f (0) f ( x) f ( x) f ( x)

所以 m ? 4 ,故实数 m 的最大值为 4.

于是当 x ? (??, x0 ) , g ' ( x) ? g ' ( x0 ) ? 0 ;当 x ? ( x0 , ??) 时, g ' ( x) ? g ' ( x0 ) ? 0 . 因而函数 g ( x) 在 (??, x0 ) 上是单调减函数,在 ( x0 , ??) 上是单调增函数. 下证 x0 ? 0 . 若 x0 ? 0 ,则 x0 ? 又 g (loga 2) ? a

x0 x ? 0 ,于是 g ( 0 ) ? g (0) ? 0 , 2 2
且函数 g ( x) 在以 ? bloga 2 ? 2 ? aloga 2 ? 2 ? 0 ,

loga 2

x0 和 log a 2 为端点的闭区 2

间上的图象不间断,所以在 以 loga 2 ? 0 ,又

x0 和 log a 2 之间存在 g ( x) 的零点,记为 x1 . 因为 0 ? a ? 1 ,所 2

x0 ? 0 ,所以 x1 ? 0 与“0 是函数 g ( x) 的唯一零点”矛盾. 2 x 若 x0 ? 0 ,同理可得,在 0 和 log a 2 之间存在 g ( x) 的非 0 的零点,矛盾. 2
因此, x0 ? 0 . 于是 ?

ln a ? 1 ,故 ln a ? ln b ? 0 ,所以 ab ? 1 . ln b

考点:指数函数、基本不等式、利用导数研究函数单调性及零点 【名师点睛】对于函数零点个数问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、草图 确定其中参数范围.从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;从图象的对称性,

分析函数的奇偶性;从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等.但需注意探求与论 证之间区别,论证是充要关系,要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个 数. 4. 【2016 高考浙江理数】 (本小题 15 分)已知 a ? 3 ,函数 F(x)=min{2|x?1|,x2?2ax+4a?2},
? p,p ? q, 其中 min{p,q}= ? ?q, p > q.

(I)求使得等式 F(x)=x2?2ax+4a?2 成立的 x 的取值范围; (II) (i)求 F(x)的最小值 m(a) ; (ii)求 F(x)在区间 0,6]上的最大值 M(a). 【 答 案 】( I ) ? 2, 2a? ;( II )( i ) m ? a ? ? ?

? ?0,3 ? a ? 2 ? 2
2 ? ??a ? 4a ? 2, a ? 2 ? 2

;( ii )

?34 ? 8a,3 ? a ? 4 . ? ?a? ? ? 2, a ? 4 ?
【解析】

试题解析: (I)由于 a ? 3 ,故
2 2 当 x ? 1 时, x ? 2ax ? 4a ? 2 ? 2 x ? 1 ? x ? 2 ? a ? 1?? 2 ? x ? ? 0 , 2 当 x ? 1 时, x ? 2ax ? 4a ? 2 ? 2 x ? 1 ? ? x ? 2 ?? x ? 2a ? .

?

?

?

?

所以,使得等式 F ? x ? ? x ? 2ax ? 4a ? 2 成立的的取值范围为
2

?2, 2a? .
(II) (i)设函数 f ? x ? ? 2 x ?1 , g ? x ? ? x ? 2ax ? 4a ? 2 ,则
2

f ? x ?min ? f ?1? ? 0 , g ? x ?min ? g ? a ? ? ?a2 ? 4a ? 2 ,
所以,由 F ? x ? 的定义知 m ? a ? ? min f ?1? , g ? a ? ,即

?

?

? ?0,3 ? a ? 2 ? 2 . m?a? ? ? 2 ? a ? 4 a ? 2, a ? 2 ? 2 ? ?
(ii)当 0 ? x ? 2 时,

F? x? ? f ? x ? ? max ? f ? 0? , f ? 2?? ? 2 ? F ? 2? ,
当 2 ? x ? 6 时,

F? x ? ? g ? x ? ? max ?g ? 2? , g ? 6?? ? max ?2,34 ? 8a? ? max ?F ? 2? ,F ?6?? .
所以, ? ? a ? ? ?

?34 ? 8a,3 ? a ? 4 . ?2, a ? 4

考点:1、函数的单调性与最值;2、分段函数;3、不等式. 【思路点睛】 (I)根据的取值范围化简 F ? x ? ,即可得使得等式 F ? x ? ? x ? 2ax ? 4a ? 2 成立
2

的的取值范围; (II) (i)先求函数 f ? x ? 和 g ? x ? 的最小值,再根据 F ? x ? 的定义可得 m ? a ? ; (ii)根据的取值范围求出 F ? x ? 的最大值,进而可得 ? ? a ? . 6. 【2016 年高考四川理数】 (本小题满分 14 分) 设函数 f(x)=ax2-a-lnx,其中 a ∈R. (Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)确定 a 的所有可能取值,使得 f ( x) ? 自然对数的底数).

1 1? x ? e 在区间(1,+∞)内恒成立(e=2.718?为 x

(0 , 【答案】 (Ⅰ) 当 x?

1 1 ) 时,f '( x) <0,f ( x) 单调递减; ( , +?) 时,f '( x) >0, 当 x? 2a 2a
1 2

(Ⅱ) a ? [ , ? ) . f ( x) 单调递增; 【解析】

试题解析: (I) f '( x) ? 2ax ?

1 2ax 2 ? 1 ? (x ? 0). x x

(0, +?) 当a ? 0时, f '( x) <0, f ( x) 在 内单调递减.
当a ? 0时, 由 f '( x) =0,有 x ?

1 . 2a

(0, 此时,当 x ?

1 ) 时, f '( x) <0, f ( x) 单调递减; 2a

( 当 x?

1 , +?) 时, f '( x) >0, f ( x) 单调递增. 2a

故当 f ( x ) > g ( x) 在区间 ( 1, +?) 内恒成立时,必有 a ? 0 . 当0 ? a ?

1 1 时, >1. 2 2a
1 1 ) ? f (1) ? 0 ,从而 g ( ) ? 0, 2a 2a

由(I)有 f (

所以此时 f ( x ) > g ( x) 在区间 ( 1, +?) 内不恒成立. 当a?

1 时,令 h( x) = f ( x) - g ( x)( x ? 1) , 2

当 x > 1 时, h? ( x) = 2ax -

1 1 1 1 1 x3 - 2x + 1 x2 - 2x + 1 + 2 - e1- x > x - + 2 - = > > 0, x x x x x x2 x2

因此, h( x) 在区间 (1, + ? ) 单调递增. 又因为 h(1)=0 ,所以当 x > 1 时, h( x) = f ( x) - g ( x) > 0 ,即 f ( x) > g ( x) 恒成立.

1 综上, a ? [ , ? ) . 2
考点:导数的计算、利用导数求函数的单调性,最值、解决恒成立问题. 【名师点睛】本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性,最值、解决恒成立问题,考 查学生的分析问题解决问题的能力和计算能力.求函数的单调性,基本方法是求 f '( x) ,解方 程 f '( x) ? 0 ,再通过 f '( x) 的正负确定 f ( x ) 的单调性;要证明函数不等式 f ( x) ? g ( x) ,一

般证明 f ( x) ? g ( x) 的最小值大于 0,为此要研究函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调性.本题中 注意由于函数 h( x) 有极小值没法确定,因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围.比较 新颖,学生不易想到.有一定的难度. 7.【2015 高考福建,文 12】 “对任意 x ? (0, A.充分而不必要条件 必要条件 【答案】B

?
2

) , k sin x cos x ? x ”是“ k ? 1 ”的(



B.必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D.既不充分也不

【考点定位】导数的应用. 【名师点睛】本题以充分条件和必要条件为载体考查三角函数和导数在单调性上的应用,根 据已知条件构造函数,进而研究其图象与性质,是函数思想的体现,属于难题.

( x ? 1) 2 8.【2015 高考福建,文 22】已知函数 f ( x) ? ln x ? . 2
(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的单调递增区间; (Ⅱ)证明:当 x ? 1 时, f ? x ? ? x ?1; (Ⅲ)确定实数的所有可能取值,使得存在 x0 ? 1 ,当 x ? (1, x0 ) 时,恒有 f ? x ? ? k ? x ?1? . 【答案】(Ⅰ) ? 0, ?

? 1? 5 ? (Ⅱ)详见解析; (Ⅲ) ? ??,1? . ? ?; 2 ? ?

(III)由(II)知,当 k ? 1 时,不存在 x0 ? 1 满足题意. 当 k ? 1 时,对于 x ? 1 ,有 f ? x ? ? x ?1 ? k ? x ?1? ,则 f ? x ? ? k ?x ?1? ,从而不存在 x0 ? 1 满足题意. 当 k ? 1 时,令 G ? x ? ? f ? x ? ? k ? x ?1? , x ? ? 0, ??? ,

? x 2 ? ?1 ? k ? x ? 1 1 则有 G? ? x ? ? ? x ? 1 ? k ? . x x
由 G? ? x ? ? 0 得, ? x ? ?1 ? k ? x ? 1 ? 0 .
2

【考点定位】导数的综合应用. 【名师点睛】利用导数判断或求函数的单调区间,通过不等式 f ' ( x) ? 0 或 f ' ( x) ? 0 求解,但 是要兼顾定义域;利用导数研究函数的单调性,再用单调性来证明不等式是函数、导数、不 等式综合中的一个难点,解题技巧是构造辅助函数,把不等式的证明转化为利用导数研究函 数 的单调 性或最值 ,从而 证得不 等式,注 意 f ( x) ? g ( x) 与 f ( x)min ? g ( x)max 不 等价,

f ( x)min ? g ( x)max 只是 f ( x) ? g ( x) 的特例,但是也可以利用它来证明,在 2014 年全国Ⅰ卷
理科高考 21 题中,就是使用该种方法证明不等式;导数的强大功能就是通过研究函数极值、 最值、单调区间来判断函数大致图象,这是利用研究基本初等函数方法所不具备的,而是其 延续.

9.【2015 高考山东,文 20】设函数 点 (1, f (1)) 处的切线与直线 (Ⅰ)求的值; 平行.

. 已知曲线



(Ⅱ) 是否存在自然数, 使得方程 f ( x) ? g ( x) 在 (k , k ? 1) 内存在唯一的根?如果存在, 求出; 如果不存在,请说明理由; (Ⅲ)设函数 m( x) ? min{ f ( x), g ( x)} ( min{ p, q} 表示, p, q 中的较小值) ,求 m ? x ? 的最 大值. 【答案】 (I) a ? 1 ;(II) k ? 1 ;(III) 【解析】

4 . e2

当 x ? (0,1] 时, h( x) ? 0 . 又 h(2) ? 3ln 2 ?

4 4 ? ln 8 ? 2 ? 1 ? 1 ? 0, 2 e e

所以存在 x0 ? (1, 2) ,使 h( x0 ) ? 0 . 因为 h '( x) ? ln x ?

1 x( x ? 2) 1 ?1? , 所以当 x ? (1, 2) 时,h '( x) ? 1 ? ? 0 , 2 , ? ? ) 时, 当 x ?( x x e e

h '( x) ? 0 ,
所以当 x ? (1, ??) 时, h( x) 单调递增. 所以 k ? 1 时,方程 f ( x) ? g ( x) 在 (k , k ? 1) 内存在唯一的根.

【考点定位】1.导数的几何意义;2.应用导数研究函数的单调性、最值;3.函数零点存在性定

理. 【名师点睛】本题考查了导数的几何意义、应用导数研究函数的性质、函数零点存在性定理 等,解答本题的主要困难是(II)(III)两小题,首先是通过构造函数,利用函数零点存在性 定理,作出判断,并进一步证明函数在给定区间的单调性,明确方程 f ( x) ? g ( x) 在 (k , k ? 1) 内存在唯一的根.其次是根据(II)的结论,确定得到 m( x) 的表达式,并进一步利用分类讨 论思想,应用导数研究函数的单调性、最值. 本题是一道能力题,属于难题.在考查导数的几何意义、应用导数研究函数的性质、函数零点 存在性定理等基础知识的同时,考查考生的计算能力、应用数学知识分析问题解决问题的能 力及分类讨论思想.本题是教辅材料的常见题型,有利于优生正常发挥. 10.【2015 高考四川,文 21】已知函数 f(x)=-2lnx+x2-2ax+a2,其中 a>0. (Ⅰ)设 g(x)为 f(x)的导函数,讨论 g(x)的单调性; (Ⅱ)证明:存在 a∈(0,1),使得 f(x)≥0 恒成立,且 f(x)=0 在区间(1,+∞)内有唯一解.

【考点定位】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识, 考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识,考查函数与方程、数形结合、化归与转化等 数学思想. 【名师点睛】本题第(Ⅰ)问隐藏二阶导数知识点,由于连续两次求导后,参数 a 消失,故 函数的单调性是确定的,讨论也相对简单.第(Ⅱ)问需要证明的是:对于某个 a∈(0,1),f(x) 的最小值恰好是 0, 而且在(1, +∞)上只有一个最小值.因此, 本题仍然要先讨论 f(x)的单调性,

进一步说明对于找到的 a,f(x)在(1,+∞)上有且只有一个等于 0 的点,也就是在(1,+∞)上 有且只有一个最小值点.属于难题. 11.【2015 高考天津,文 20】 (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) = 4x - x4 , x ? R, (I)求 f ( x ) 的单调区间; (II) 设曲线 y = f ( x) 与轴正半轴的交点为 P,曲线在点 P 处的切线方程为 y = g ( x) ,求证:对于 任意的正实数,都有 f ( x) ? g ( x) ;

(III)若方程 f ( x)=a(a为实数) 有两个正实数根 x1,x2, 且 x1 < x2 ,求证: x2 -x1 < -

a 1 + 43 . 3

【答案】 (I) f ? x ? 的单调递增区间是 ? ??,1? ,单调递减区间是 ?1, ?? ? ;(II)见试题解析; (III)见试题解析.

4 试题解析:(I)由 f ( x) = 4 x - x ,可得 f ? ( x) = 4 - 4x3 ,当 f ? ? x ? ? 0 ,即 x ? 1 时,函数 f ? x ?

单调递增;当 f ? ? x ? ? 0 ,即 x ? 1 时,函数 f ? x ? 单调递减.所以函数 f ? x ? 的单调递增区间 是 ? ??,1? ,单调递减区间是 ?1, ?? ? . ( II )设 P ? x0 ,0? , 则 x0 ? 4 3 , f ? ? x0 ? ? ?12, 曲线 y ? f ? x? 在点 P 处的切线方程为
1

y ? f ? ? x0 ?? x ? x0 ?

, 即

g ? x ? ? f ? ? x0 ?? x ? x0 ? , 令 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ?



F ? x ? ? f ? x ? ? f ? ? x ?? x ? x0 ? 则 F ? ? x ? ? f ? ? x ? ? f ? ? x0 ? .

【考点定位】本题主要考查导数的几何意义及导数的应用.考查函数思想、化归思想及综合分 析问题解决问题的能力 【名师点睛】给出可导函数求单调区间,实质是解关于导函数的不等式,若函数解析式中不含参 数,一般比较容易.不过要注意求单调区间,要注意定义域优先原则,且结果必须写成区间形式,不 能写成不等式形式;利用导数证明不等式是近几年高考的一个热点 ,解决此类问题的基本思路 是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性和极值破解. 12. 【2015 高考四川, 文 15】 已知函数 f(x)=2x, g(x)=x2+ax(其中 a∈R).对于不相等的实数 x1, x2,设 m=

f ( x1 ) ? f ( x2 ) g ( x1 ) ? g ( x2 ) ,n= ,现有如下命题: x1 ? x2 x1 ? x2

①对于任意不相等的实数 x1,x2,都有 m>0; ②对于任意的 a 及任意不相等的实数 x1,x2,都有 n>0; ③对于任意的 a,存在不相等的实数 x1,x2,使得 m=n; ④对于任意的 a,存在不相等的实数 x1,x2,使得 m=-n. 其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号). 【答案】①④ 【解析】对于①,因为 f '(x)=2xln2>0 恒成立,故①正确

【考点定位】本题主要考查函数的性质、函数的单调性、导数的运算等基础知识,考查函数 与方程的思想和数形结合的思想,考查分析问题和解决能提的能力. 【名师点睛】本题首先要正确认识 m,n 的几何意义,它们分别是两个函数图象的某条弦的斜 率,因此,借助导数研究两个函数的切线变化规律是本题的常规方法,解析中要注意“任意 不相等的实数 x1,x2”与切线斜率的关系与差别,以及“都有”与“存在”的区别,避免过失 性失误.属于较难题. 13.【2015 高考新课标 1,理 12】设函数 f ( x ) = e x (2 x ? 1) ? ax ? a ,其中 a1,若存在唯一的整 数 x0 ,使得 f ( x0 ) 0,则的取值范围是( ) (A)-

3 3 3 ,1) (B), ) 2e 2e 4
(D)

(C)

3 3 , ) 2e 4

3 ,1) 2e

【答案】D
x 【解析】设 g ( x) = e (2 x ?1) , y ? ax ? a ,由题知存在唯一的整数 x0 ,使得 g ( x0 ) 在直线

y ? ax ? a 的下方.因为 g ?( x) ? ex (2 x ? 1) ,所以当 x ? ?
1

1 1 时, g ?( x ) <0,当 x ? ? 时, 2 2

? 1 g ?( x) >0,所以当 x ? ? 时,[ g ( x)]max = -2e 2 ,当 x ? 0 时, g (0) =-1, g (1) ? 3e ? 0 ,直 2

1 线 y ? ax ? a 恒过 (1,0) 斜率且, 故 ?a ? g (0) ? ?1 , 且 g (? 解得 1 ) ?? 3 e ??? a ? a ,

3 ≤ 2e

<1,故选 D.

【考点定位】本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题 【名师点睛】对存在性问题有三种思路,思路 1:参变分离,转化为参数小于某个函数(或参 数大于某个函数) ,则参数该于该函数的最大值(大于该函数的最小值) ;思路 2:数形结合, 利用导数先研究函数的图像与性质,再画出该函数的草图,结合图像确定参数范围,若原函 数图像不易做,常化为一个函数存在一点在另一个函数上方,用图像解;思路 3:分类讨论, 本题用的就是思路 2. 14.【2015 高考新课标 2,理 21】 (本题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? emx ? x2 ? mx . (Ⅰ)证明: f ( x ) 在 ( ??, 0) 单调递减,在 (0, ??) 单调递增; (Ⅱ)若对于任意 x1 , x2 ?[?1,1] ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e ?1,求 m 的取值范围. 【答案】(Ⅰ)详见解析; (Ⅱ) [?1,1] .

) g ' (t ) ? 0 . 故 g (t ) 在 (??, 0) 单 调 递 减 , 在 (0, ??) 单 调 递 增 . 又 g ( 1 ?

0 ,

时 , g (t ) ? 0. 当 m ? [? 1, 1] 时 , g (m ) ? 0, g (?1) ? e?1 ? 2 ? e ? 0 , 故 当 t ? [? 1, 1]

g (?m) ? 0 ,即①式成立.当 m ? 1 时,由 g (t ) 的单调性, g (m) ? 0 ,即 em ? m ? e ? 1 ;当
m ? ?1 时, g (?m) ? 0 ,即 e? m ? m ? e ? 1.综上, m 的取值范围是 [?1,1] .
【考点定位】导数的综合应用. 【名师点睛】 (Ⅰ)先求导函数 f ( x) ? m(e
' mx

根据 m 的范围讨论导函数在 ( ??, 0) 和 ?1) ? 2x ,

(0, ??) 的符号即可; (Ⅱ) f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e ?1恒成立, 等价于 f ( x1 ) ? f ( x2 ) max ? e ?1 . 由

x1 , x2 是两个独立的变量,故可求研究 f ( x) 的值域,由(Ⅰ)可得最小值为 f (0) ? 1 ,最大值可
能是 f (?1) 或 f (1) ,故只需 ?

? f (1) ? f (0) ? e ? 1, ,从而得关于 m 的不等式,因不易解出, ? f (?1) ? f (0) ? e ? 1,

故利用导数研究其单调性和符号,从而得解. 15.【2015 高考福建,理 20】已知函数 f( x) = ln(1 + x) , g ( x) = kx,(k ? R), (Ⅰ)证明:当 x > 0时,f(x)< x ; (Ⅱ)证明:当 k < 1 时,存在 x0 > 0 ,使得对 任意x ? (0,x0 ), 恒有 f( x) > g ( x);
2 (Ⅲ)确定 k 的所以可能取值,使得存在 t > 0 ,对任意的 x ? (0,t), 恒有 | f( x) - g ( x) |< x .

【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ) k =1.

( x) = 0, 得 x = 当 0 < k < 1 时,令 G?
取 x0 =

1- k 1 = - 1>0. k k

1 - 1, x ) > 0 x )在 [0, x 0 ) 上 单 调 递 增 , 对 任 意 x ? (0, x0 ), 恒 有 G?( ,所以 G( k

G( x) > G(0) = 0 ,即 f( x) > g ( x) .
综上,当 k < 1 时,总存在 x0 > 0 ,使得对任意的 x ? (0,x0 ), 恒有 f( x) > g ( x) .

综上, k =1.

【考点定位】导数的综合应用. 【名师点睛】在解函数的综合应用问题时,我们常常借助导数,将题中千变万化的隐藏信息进行 转化,探究这类问题的根本,从本质入手,进而求解,利用导数研究函数的单调性,再用单调 性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点,解题技巧是构造辅助函数,把不 等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或最值,从而证得不等式,注意 f ( x) ? g ( x) 与

f ( x)min ? g ( x)max 不等价, f ( x)min ? g ( x)max 只是 f ( x) ? g ( x) 的特例,但是也可以利用它

来证明,在 2014 年全国Ⅰ卷理科高考 21 题中,就是使用该种方法证明不等式;导数的强大 功能就是通过研究函数极值、最值、单调区间来判断函数大致图象,这是利用研究基本初等 函数方法所不具备的,而是其延续.

【反馈练习】
1. 【2017 届福建连城县朋口中学高三上期中数学试卷, 理 9】 若不等式 x ? 2x ? a ? ? y ? 2 y
2 2

对任意实数, y 都成立,则实数的取值范围( A. a ? 0 【答案】C 【解析】 B. a ? 1 C. a ? 2



D. a ? 3

考点:不等式恒成立问题. 2. 【2017 届福建连城县一中高三上期中数学试卷,理 12】若函数 f ? x ? ? ?2x ? ax ?1 存
3 2

在唯一的零点,则实数的取值范围为( A. ?0, ??? 【答案】D 【解析】 B. ?0,3?

) D. ? ?3, ?? ?

C. ? ?3,0?

2 x3 ? 1 试题分析:显然 f ? 0? ? 0 ,令 f ? x ? ? ?2x ? ax ?1 ? 0 ,分离参数得 a ? ? x ? 0? . x2
3 2

令 F ? x? ?

2 x3 ? 1 2x ? 2 , 所以函数在区间 ? ??, ?1? , ? 0, ??? 上单调递增, ? x ? 0 ? ,F ' ? x ? ? 2 x x

在区间 ? ?1, 0? 上单调递减,画出图象如下图所示,由图可知,要存在唯一零点,则需

a ? F ? ?1? ? ?3 .

考点:函数导数与零点. 3. 【 2016-2017 学 年 河 南 郑 州 七 校 联 考 高 二 上 期 中 考 试 数 卷 , 文 8 】 若 不 等 式

x2 ? 2 x ? 5 ? a 2 ? 3a 对任意实数恒成立,则实数的取值范围为(
A. [?1, 4] C. (??, ?1] ? [4, ??) 【答案】A 【解析】 B. (??, ?2] ? [5, ??) D. [?2,5]



考点:基本不等式的应用;不等式的恒成立问题. 4. 【2016-2017 学年河南郑州一中高二上期中考试理数试卷, 理 12】 若对于任意的 x ?? ?1,0? ,
2 2 2 关于的不等式 3x ? 2ax ? b ? 0 恒成立,则 a ? b ? 2 的最小值为(

) D.

A. ?

1 5

B.

5 4

C.

4 5

1 4

【答案】A 【解析】 试题分析:设 f ? a ? ? 3x ? 2ax ? b ,根据已知条件知: ?
2

? f (?1) ? ?2a ? b ? 3 ? 0 ,该不等 f (0) ? b ? 0 ?

2 2 2 2 式表示的平面区域如图所示,设 z ? a ? b ? 2 ,所以 a ? b ? 2 ? z ,所以该方程表示以原

点为圆心,半径为 2 ? z 的圆,原点到直线 ?2a ? b ? 3 ? 0 的距离为

3 ,所以该圆的半径 5

2? z ?

3 1 ,解得 z ? ? ,故选 A. 5 5

考点:简单的线性规划求最值. 5. 【2017 届河北武邑中学高三上期中数学试卷,文 20】已知 f ? x ? ? sin x ? cos x ? ax . (1)若 f ? x ? 在 ? ? (2)证明:当 a ?

? ? ?? 上单调,求实数的取值范围; , ? 2 2? ?
2

?

时, f ? x ? ? ?1在 x ??0, ? ? 上恒成立.

【答案】 (1) ? ??, ?1? ? ? 2, ?? ; (2)证明见解析.

?

?

【解析】 试题分析: (1)借助题设条件运用导数知识求解; (2)借助题设运用导数的有关知识分析推 证.

(2) a ?

2

?

时, f ? x ? ? sin x ? cos x ?

?? 2 ? x, f ? ? x ? ? 2 sin ? x ? ? ? ? 4? ? ?
2

当 x ??0, ? ? 时, f ? ? x ? 在 ? 0,

? ?? ?? ? 上单调递增,在 ? , ? ? 上单调递减, ? ? 4? ?4 ?
2

f ? ? 0? ? 1 ?

2

?

? 0, f ? ? x ? ? ?1 ?

?

?0

∴存在 x0 ? ?

?? ? , ? ? ,使得在 ?0, x0 ? 上 f ? ? x ? ? 0 ,在 ? x0 , ? ? 上 f ? ? x ? ? 0 , ?4 ?

所以函数 f ? x ? 在 ?0, x0 ? 上单调递增,在 ? x0 , ? 上单调递减 故在 ? 0, ? ? 上, f ? x ?min ? min f ? 0? , f

?

?

?? ?? ? ?1,所以 f ? x ? ? ?1在 x ??0,? ? 上恒成立
2 x

考点:不等式的推证方法及导数的有关知识的综合运用. 6. 【2016-2017 学年黑吉两省八校高二上期中数学试卷,文 21】设函数 f ? x ? ? x e . (1)求曲线 f ? x ? 在点 ?1, e ? 处的切线方程; (2)若 f ? x ? ? ax 对 x ? ? ??,0? 恒成立,求的取值范围; (3)求整数的值,使函数 F ? x ? ? f ? x ? ?

1 在区间 ? n, n ? 1? 上有零点. x

【答案】 (1) y ? 3ex ? 2e ; (2) a ? ? ; (3) n ? 0 . 【解析】

1 e

2 x 试题解析: (1) f ? ? x ? ? x ? 2 x e ,

?

?

∴ f ? ?1? ? 3e ,∴所求切线方程为 y ? e ? 3e ? x ?1? ,即 y ? 3ex ? 2e (2)∵ f ? x ? ? ax ,对 x ? ? ??,0? 恒成立,∴ a ?
x x

f ? x? ? xe x , x

设 g ? x ? ? xe , g? ? x ? ? ? x ?1? e ,令 g? ? x ? ? 0 ,得 x ? ?1 ,令 g? ? x ? ? 0 得 x ? ?1 , ∴ g ? x ? 在 ? ??, ?1? 上递减,在 ? ?1,0? 上递增,

1 1 ,∴ a ? ? e e 1 1 2 x (3)令 F ? x ? ? 0 得 f ? x ? ? ,当 x ? 0 时, f ? x ? ? x e ? 0, ? 0 , x x
∴ g ? x ?min ? g ? ?1? ? ? ∴ F ? x ? 的零点在 ? 0, ??? 上, 令 f ? ? x ? ? 0 得 x ? 0 或 x ? ?2 ,∴ f ? x ? 在 ? 0, ??? 上递增,又 ∴方程 f ? x ? ?

1 在 ? 0, ??? 上递减, x

1 仅有一解 x0 ,且 x0 ? ? n, n ? 1? , n ? Z , x

∵ F ?1? ? e ? 1 ? 0, F ? ? ?

?1? ?2?

e ?2? 0, 4
?1 ? ,1? ,∴ n ? 0 . ?2 ?

∴由零点存在的条件可得 x0 ? ? 考点:导数的综合应用问题.

7. 【 2017 届湖北荆荆襄宜四地七校联盟高三文上联考一数学试卷,文 21 】已知函数

f ( x) ? ax 3 ?

3 2 x ? 1( x ? R) 2 ,其中 a ? 0 .

(1)若 a ? 1 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程;

1 ?x ? [?1, ] 2 2 ,不等式 f ( x) ? a 恒成立,求的取值范围. (2)若对
【答案】 (1) y ? 6 x ? 9 ; (2) a ? 1 . 【解析】

试题解析: (1)由

,所以

又 所以切线方程为 切线方程为: (2)

,所以



因为

,所以





递增,在

递减

要使对

,不等式

恒成立,即



时,即

时,



递增,在

递减

所以



时,即

时,



递增,在

递减,在

递增

考点:导数的几何意义,不等式恒成立,导数与最值. 8. 【2017 届山西右玉一中高三上期中数学 (理) 试卷, 理 21】 已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? (1 ? x)e x 2

? 1 ? ( n a ) l (为自然对数的底数) , g ( x) ? x
(1)求曲线 f ( x ) 在 x ? 1 处的切线方程; (2)讨论函数 g ( x) 的极小值;

x ?

a ,a ?1. x

(3)若对任意的 x1 ?? ?1,0? ,总存在 x2 ??e,3? ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求实数的取值范 围. 【答案】 (1) 2(e ? 1) x ? 2 y ? 2e ? 1 ? 0 ; (2) g ( x)极小 ? 1 ? a ; (3) a ? ( 【解析】

e2 ? 2e ,1) . e ?1

试题分析: (1)求出 f ? x ? 在 x ? 1 处的导数即得切线的斜率;求出切点坐标,根据点斜式方 程求得切线方程; (2)讨论导函数的零点与定义域的关系得到其单调性,找出极小值点,求 得极小值; (3) 对任意的 x1 ?? ?1,0? , 总存在 x2 ??e,3? , 使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立, 等价于 f ( x ) 在 ? ?1,0? 上的最小值大于 g ( x) 在 ?e,3? 上的最小值,分别求出 f ? x ? 的最小值和 g ? x ? 的最小 值,得到的范围.

(2) g '( x) ? 1 ?

1 ? a a x 2 ? (a ? 1) x ? a ( x ? a )( x ? 1) ? ? 2 ? , x2 x x x2

a ? 1 ,又 g ( x) 的定义域 ?x | x ? 0? ,
∴当 0 ? a ? 1 时,令 g '( x) ? 0 , 0 ? x ? a 或 x ? 1 , 令 g '( x) ? 0 , a ? x ? 1 , ∴ g ( x) 在 ? 0, a ? 上单调递增,在 ? a,1? 上单调递减,在 (1, ??) 单调递增, ∴ g ( x) 的极小值为 g (1) ? 1 ? a , 当 a ? 0 时, g ( x)极小 ? g (1) ? 1 ? a , 综上, g ( x)极小 ? 1 ? a . (3)对任意的 x1 ?? ?1,0? ,总存在 x2 ??e,3? , 使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,等价于 f ( x ) 在 ? ?1,0? 上的最小值大于 g ( x) 在 ?e,3? 上的最小值,

考点:导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性、极值和不等式的有解与恒成立问题. 9.【2017 届山东省青州市高三 10 月段测数学试卷, 理 19】 若二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (, ,

c ? R )满足 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 4 x ? 1 ,且 f (0) ? 3 .
(1)求 f ( x ) 的解析式; (2)若在区间 ?1,1 上,不等式 f ( x) ? 6 x ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围. 【答案】 (1) f ( x) ? 2x ? x ? 3 (2) m ? ?2
2

?

?

【解析】 试题分析: (1)由 f (0) ? 3 ,求出 c ? 3 ,根据 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 4 x ? 1 ,通过系数相等, 从而求出 a, b 的值,得到 f ( x ) 的解析式; ( 2 )问题转化为 ?x ?[?1 ,1] ,使不等式 2 x2 ? 7 x ? 3 ? m 成立,令 g ( x) ? 2 x ? 7 x ? 3
2

x ?[?1 ,1] ,求出 g ( x) 的最大值即可.
试题解析: (1)由 f (0) ? 3 ,得 c ? 3 ,∴ f ( x) ? ax ? bx ? 3 ,
2

又 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 4 x ? 1 , ∴ a( x ? 1) ? b( x ? 1) ? 3 ? (ax ? bx ? 3) ? 4 x ? 1 ,
2 2

即 2ax ? a ? b ? 4 x ? 1 ,

∴?

?2a ? 4, ?a ? 2, ∴? ∴ f ( x) ? 2x2 ? x ? 3 . a ? b ? 1, b ? ? 1, ? ?

(2) f ( x) ? 6 x ? m 等价于 2 x2 ? x ? 3 ? 6 x ? m , 即 2 x2 ? 7 x ? 3 ? m 在 ?1,1 上恒成立, 令 g ( x) ? 2 x2 ? 7 x ? 3 , g ( x)min ? g (1) ? ?2 ,∴ m ? ?2 . 考点:二次函数的性质,函数恒成立问题 9. 【2017 届湖南师大附中高三上月考三数学(文)试卷,文 21】已知函数 f ( x ) ?

?

?

1 2 x , 2

g ( x) ? a ln x .
(1)若曲线 y ? f ( x) ? g ( x) 在 x ? 1 处的切线方程为 6 x ? 2 y ? 5 ? 0 ,求实数 a 的值; (2)设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,若对任意两个不等的正数 x1 , x2 ,都有 立,求实数 a 的取值范围; (3)若在 ?1, e? 上存在一点 x0 ,使得 f '( x0 ) ? 范围. 【答案】 (1) a ? ?2 ; (2) [1, ??) ; (3) (??, ?2) ? ( 【解析】

h( x1 ) ? h( x2 ) ? 2 恒成 x1 ? x2

1 ? g ( x0 ) ? g '( x0 ) 成立,求实数 a 的取值 f '( x0 )

e2 ? 1 , ??) . e ?1

(2) h( x) ? f ( x) ? g ( x) ?

1 2 x ? a ln x , 2

因为对任意两个不等的正数 x1 , x2 ,都有

h( x1 ) ? h( x2 ) ? 2, x1 ? x2

设 x1 ? x2 ,则 h( x1 ) ? h( x2 ) ? 2( x1 ? x2 ) ,即 h( x1 ) ? 2 x1 ? h( x2 ) ? 2 x2 恒成立,

问题等价于函数 F ( x) ? h( x) ? 2 x ,即 F ( x) ? 所以 F '( x) ? x ?

1 2 x ? a ln x ? 2 x 在 (0, ??) 为增函数, 2

a ? 2 ? 0 在 (0, ??) 上恒成立,即 a ? 2 x ? x 2 在 (0, ??) 上恒成立, x

所以 a ? (2x ? x2 )max ? 1 ,即实数 a 的取值范围是 [1, ??) . (3)不等式 f '( x0 ) ?

1 1 a ? g ( x0 ) ? g '( x0 ) 等价于 x0 ? ? a ln x0 ? , f '( x0 ) x0 x0

整理得 x0 ? a ln x0 ?

1? a ? 0, x0

③当 1 ? a ? e ,即 a ? e ? 1 时, m( x) 在 ?1, e? 上单调递减, 只需 m(e) ? e ? a ?

e2 ? 1 1? a ? 0 ,解得 a ? . e e ?1
e2 ? 1 , ??) . e ?1

综上所述,实数 a 的取值范围是 (??, ?2) ? (

考点:导数的知识及转化化归的数学思想及分类整合思想等知识和思想方法的综合运用. 10. 【2017 届湖南师大附中高三上月考三数学试卷,理 21】设函数 f ( x ) ?

1 3 1 2 ax ? bx ? cx 3 2

1 x 2 1 2 1 为偶函数.若函数 k ( x) 满足下列条件:① k (?1) ? 0 ;②对一切实数,不等式 k ( x) ? x ? 2 2
(, ,c ? R ,a ? 0 ) 的图象在点 ( x, f ( x)) 处的切线的斜率为 k ( x) , 且函数 g ( x) ? k ( x) ? 恒成立. (1)求函数 k ( x) 的表达式; (2)设函数 h( x ) ? ln x ? (2m ? 3)x ?
2

12 f ( x ) ( x ? 0 )的两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) x

恰为 ? ( x) ? ln x ? sx ? tx 的零点.当 m ?
2

3 2 x ? x2 ) 的最小值. 时,求 y ? ( x1 ? x2 )? '( 1 2 2

【答案】 (1) k ( x) ? 【解析】

1 2 1 1 2 x ? x? ; (2) ln 2 ? . 4 2 4 3

试题分析: (1)借助题设条件运用导数及二次函数的有关知识求解; ( 2)借助题设构设函数 运用导数的有关知识探求.

∴ (a ? ) x ?
2

1 2

1 1 x ? c ? ? 0 恒成立, 2 2

? 1 a ? ? 0, ? ? 2 ∴? ?? ? 1 ? 4(a ? 1 )(c ? 1 ) ? 0, ? ? 4 2 2
1 1 2 1 1 ,∴ k ( x) ? x ? x ? . 4 4 2 4 1 3 1 2 1 x ? x ? x, (2)由(1)得, f ( x ) ? 12 4 4
∴a ? c ?

() 'x ∴ h( x) ? 2ln x ? x ? 3 ? 2mx ( x ? 0 ) ,h
2

2 ? 2 ?x2 m ? x

2 ( x2 ? m x) 1? ? x



?? ? m2 ? 4 ? 0, ? 由题意得 ? x1 ? x2 ? m, ? x ? x ? 1, ? 1 2

设n ?

x1 1 (0 ? n ? ) , 2 x2
x1 ? x2 2( n ? 1) 1 )? ? ln n ( 0 ? n ? )记为 M (n) , 2 n ?1 2

则 y ? ( x1 ? x2 )? '(

M '(n) ? 2

(n ? 1) ? (n ? 1) 1 ?(n ? 1)2 ? ? ? 0, (n ? 1)2 n n(n ? 1)2

∴ M (n) 在 (0, ] 上单调递减,

1 2

1 2 , 2 3 x ? x2 2 ) 的最小值为 ln 2 ? . 故 y ? ( x1 ? x2 )? '( 1 2 3
∴ M (n) min ? M ( ) ? ln 2 ? 考点:二次函数导数的有关知识的综合运用. 11. 【 2017 届 浙 江 台 州 中 学 高 三 10 月 月 考 数 学 试 卷 , 理 21 】 已 知 函 数

f ( x)? a2 x? b ? x (c? b ,且 ) a f ( x) ? 0 对任意实数都成立,若
有 (1)当 a ? 1 ,求 f ( x ) ;

f ( ?2) 取到最小值时, f (2) ? f (0)

(2)设 g ( x) ? f ( x) ? a ,对任意的 x1 , x2 ?[?3a, ?a] 都有 | g ( x1 ) ? g ( x2 ) |? 2a ,求实数 的取值范围. 【答案】 (1) f ( x) ? ( x ? 2)2 ; (2) (0, 【解析】 试题分析: (1)将 T 的表达式等价变形,构造相应的函数即可求出当取到最小值时等号成立 的条件,从而求解; ( 2 ) 分 析 题 意 可 知 , 问 题 等 价 于 当 x ?[?3a, ?a] 时 , 有 ,对的取值分类讨论,从而求解 . g ( x) ? g ( x)m ? 2 a max in

2? 3 ]. 2

( 2 ) 对任 意 x1 , x2 ?[?3a, ?a] , 都有 | g ( x1 ) ? g ( x2 ) |? 2a , 即 当 x ?[ ?3a , ?a ]时 ,有

g ( x)max ? g ( x)min ? 2a



g ( x) ? a( x2 ? 4 x ? 3)



g (?3a) ? 9a3 ?12a2 ? 3a



g (?a) ? a3 ? 4a2 ? 3a ,
①当 ?a ? ?3 时,即 a ? 3 时, g ( x) ? a( x2 ? 4 x ? 3) 在 x ?[?3a, ?a] 上递减, 且 g ( x)max ? g ( x)min ? g (?3a) ? g (?a) ? 8a ?8a ? 2a ,解得
3 2

1? 2 1? 2 ?a? ,无解, 2 2

②当 ?3a ? ?3 ? ?a ? ?1 ,即 1 ? a ? 3 时,要使 g ( x)max ? g ( x)min ? 2a , 只要 g (?3a) ? 9a3 ?12a2 ? 3a ? 2a ,解得

2? 3 2? 3 2? 3 ?a? ,∴ 1 ? a ? , 2 2 2

考点:1.导数的运用;2..分类讨论的数学思想;3.恒成立问题. 12. 【 2017 届 福 建 连 城 县 一 中 高 三 上 期 中 数 学 ( 理 ) 试 卷 , 理 19 】 已 知 函 数

f ? x ? ? a ln x ?

b ? x ? 1? ,曲线 y ? f ? x ? 在点 ?1, f ?1? ? 处的切线方程为 y ? 2 . x

(Ⅰ)求 a、 b 的值; (Ⅱ)当 x ? 1 时,不等式 f ? x ? ?

? x ? k ? ln x
x ?1

恒成立,求实数的取值范围.

【答案】 (I) a ? 1, b ? 1 ; (II) ? ?1, ??? . 【解析】

试题分析: (I)利用切点为 ?1, 2 ? ,斜率 f ?1? ? 0 建立方程组,解方程组可求得 a ? 1, b ? 1 ;
'

(II)先将原不等式等价变形为 ? k ? 1? ln x ? 用导数,分类讨论的取值范围. 试题解析: (Ⅰ)? f ′ ? x? ?

x2 ?1 x2 ?1 ? 0 ,令 g ? x ? ? ? k ? 1? ln x ? ,利 x x

a b ? ,且直线 y ? 2 的斜率为 0,又过点 ?1, 2 ? , x x2

? f ?1? ? 2 ? ∴? 1 f′ ?1? ? ? ? 2
即?

? b ? 1, 解得 a ? 1, b ? 1 . ?a ? b ? 0,

①当

1? k ? 1 , 即 k ? ?1 时 , m ? x ? 在 ?1, ?? ? 单 调 递 增 且 m ?1? ? 0 , 所 以 当 x ? 1 时 2

g′ ? x? ? 0 , g ? x ? 在 ?1, ??? 单调递增,∴ g ? x ? ? g ?1? ? 0 .即 f ? x ? ?

? x ? k ? ln x
x ?1

恒成立.

②当

1? k ? 1? k ? ? 1? k ? ? 1, 即 k ? ?1 时,m ? x ? 在 ? 1, 上单调递减, 且 m ?1? ? 0 , 故当 x ? ?1, ? ? 2 2 ? ? ? 2 ?

时, m ? x ? ? 0 即 g′ ? x? ? 0 , 所以函数 g ? x ? 在 ? 1,

? 1? k ? ? 单调递减, 2 ? ?

当 x ? ?1,

? 1? k ? ? 时, g ? x ? ? 0 ,与题设矛盾, ? 2 ?

综上可得的取值范围为 ? ?1, ??? . 考点:函数导数与不等式. 13. 【 2017 届 安 徽 师 大 附 中 学 高 三 上 学 期 期 中 数 学 试 卷 , 文 19 】 已 知 函 数

f ( x)? l nx? a x ? 3 (a ? .0 )
(Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调性;

x2 [m ? 2 f ?( x )] 在区间 ?a,3? 上有最值, (Ⅱ)若对于任意的 a ? [1, 2] ,若函数 g ( x ) ? x ? 2
3

求实数 m 的取值范围. 【答案】 (I) 当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调增区间为 (0, ) , 减区间为 ( , ?? ) , 当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调增区间为 (0, ?? ) ,无减区间; (II) ? 【解析】 试题分析: (I)写出函数定义域,求出导函数 f ? ? x ? ,通过讨论的范围,判断 f ? ? x ? 的符号, 求出单调区间; (II) g ' ( x) ? 3x2 ? (m ? 2a) x ?1, 若 g ( x) 在区间 ( a,3) 上有最值,则 g ( x) 在
' ? ? g (a ) ? 0 ?? ' ,由题意知,对任意 a ? [1, 2], 区间 ( a , 3) 上总不是单调函数,由 g (0) ? ? 1, ? ? g (3) ? 0 '

1 a

1 a

32 19 ?m?? . 3 2

g ' (a) ? 3a2 ? (m ? 2a) ? a ?1 ? 5a2 ? ma ?1 ? 0 恒 成 立 , ? m ?
a ? [ 1, 2, ] ?m ? ?

1? 5 a2 1 ? ? 5a , 因 为 a a

19 ' ,又因为对任意 a ? [1, 2] , g (3) ? 26 ? 3m ? 6a ? 0 恒成立,解得 2

m??

32 . 3

由题意知:对任意 a ? [1, 2] , g ' (a) ? 3a2 ? (m ? 2a) ? a ?1 ? 5a2 ? ma ?1 ? 0 恒成立,

1 ? 5a 2 1 19 ?m ? ? ? 5a ,因为 a ? [1, 2] ,? m ? ? 2 a a
对任意 a ? [1, 2] , g ' (3) ? 26 ? 3m ? 6a ? 0 恒成立

?6a ? 26 26 32 ? ? ? 2a ,? a ? [1, 2] ,? m ? ? 3 3 3 32 19 ?m?? . 综上, ? 3 2 ?m ?
考点:利用导数研究函数的单调性、极值、最值.


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