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2019-2020年初中数学湘教版初中九年级上册第1章小结与复习课件.ppt_图文

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第1章 反比例函数
小结与复习

要点梳理

考点讲练

课堂小结

课后作业

要点梳理

1. 反比例函数的概念

定义:形如__y__?_kx___ (k为常数,k≠0) 的函数称为反

比例函数,其中x是自变量,y是x的函数,k是比例

系数.

三种表达式方法:

(k≠0).

y

?

k x

或 xy=kx 或y=kx-1

防错提醒:(1)k≠0;(2)自变量x≠0;(3)函数y≠0.

2. 反比例函数的图象和性质

(1) 反图比象例是函数的图象,:它反既比是例轴函对数称y图?形kx 又(是k≠中0)心的

对称图形双. 曲线

反比例函数的两条对称轴为直线





对称中心是:

.

y = x y=-x

原点

(2) 反比例函数的性质

图象

k>0

y

o y?k
x

(k≠0) k<0

y

o

所在象限 性质

一、三象 在每个象

限(x,y 限内,y

同号) 随 x 的增

x

大而减小

二、四象 在每个象

限(x,y 限内,y

异号) 随 x 的增

x

大而增大

(3) 反比例函数比例系数 k 的几何意义
k 的几何意义:反比例函数图象上的点 (x,y) 具有 两坐标之积 (xy=k) 为常数这一特点,即过双曲线 上任意一点,向两坐标轴作垂线,两条垂线与坐 标轴所围成的矩形的面积为常数 |k|. 规律:过双曲线上任意一点,向两坐标轴作垂线, 一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积 为常数 k .
2

3. 反比例函数的应用
?利用待定系数法确定反比例函数: ① 根据两变量之间的反比例关系,设 y ? k ; ② 代入图象上一个点的坐标,即 x、y 的一x 对 对应值,求出 k 的值; ③ 写出解析式.

?反比例函数与一次函数的图象的交点的求法 求直线 y=k1x+b (k1≠0) 和双曲线y ? k2 (k2≠0) x 的交点坐标就是解这两个函数解析式组成的方
程组. ?利用反比例函数相关知识解决实际问题
过程:分析实际情境→建立函数模型→明确 数学问题
注意:实际问题中的两个变量往往都只能取 非负值.

考点讲练
考点一 反比例函数的概念

针对训练

1. 下列函数中哪些是正比例函数?哪些是反比例函数?

① y = 3x-1 ② y = 2x2

③ y?1 x

④ y ? 2x 3

⑤ y = 3x

⑥y??1 ⑦ y? 1 ⑧y? 3

x

3x

2x

2.

已知点 P(1,-3) 则 k 的值是

在反比例函数

y

?

k x

的图象上, ()

A. 3

B. -3

B

C.

D.

1

?1

3

3

3. 若 y ? ?a ?1? xa2?2 是反比例函数,则 a 的值为 (A)
A. 1 B. -1 C. ±1 D. 任意实数

初中
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考点二 反比例函数的图象和性质

例1 已知点 A(1,y1),B(2,y2),C(-3,y3) 都在反

比 例函数y

?

6 x

的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是

A. y3<y1<y2

B. y1<y2<y3

(D)

C. y2<y1<y3

D. y3<y2<y1

解析:方法①分别把各点代入反比例函数求出y1, y2, y3的值,再比较出其大小即可. 方法②:根据反比例函数的图象和性质比较.

方法总结:比较反比例函数值的大小,在同一个象限 内根据反比例函数的性质比较,在不同象限内,不能 按其性质比较,函数值的大小只能根据特征确定.

针对训练
已知点 A (x1,y1),B (x2,y2) (x1<0<x2)都在反 比例函数y ? k (k<0) 的图象上,则 y1 与 y2 的大小关
x
系 (从大到小) 为y1 >0>y2 .

考点三 与反比例函数 k 有关的问题

例 限内2 如的图图,象两分个别反是比C例1 和函数C2,y ?设4x点和P

y? 在

2 在第一象 Cx1 上,PA



x 轴于点A,交C2于点B,则△POB的面积为 1 .

针对训练

如图,在平面直角坐标系中,点 M 为 x 轴正半

轴上一点,过点 M 的直线 l∥ y 轴,且直线 l 分别与

反P,比Q例两函点数,若y ?S8x△(PxO>Q0=)1和4,y ?

k x

(x>0) 的图象交于

则 k 的值为 .

20

考点四 反比例函数的应用
例3 如图,已知 A (-4,1 ),B (-1,2) 是一次函数 yA(1C=) k⊥根x+x据b轴图与于象反点直比C接例,回函B答数D:⊥y在y?2轴m第x 于二(点m象<限D0.内)图,象当的x两取个何交值点,
时,一次函数的值大于反比例函数的值;

解:当-4< x <-1时,一 次函数的值大于反比例 函数的值.

y

BD A

C

Ox

(2) 求一次函数解析式及 m 的值;

解:把A(-4,1 ),B(-1,2)代入 y = kx + b中

2

,得 -4k + b = 1 ,

k= 1 ,

2 -k + b =2,

解得

2
b= 5,

2

所以一次函数的解析式为 y = 1 x + 5 . 22

把 B (-1,2)代入y ? m x
1×2=-2.

中,得 m =-

(3) P 是线段 AB 上的一点,连接 PC,PD,若△PCA 和 △PDB 面积相等,求点 P 坐标.

解:距∵∴设离点△1 A为PCC的t·A-[t坐面-(-标积(-4为和)4,)△(]P=t,P点1D12到BBt面D+直·积[52线2)-相,B[等PD2点,-的到(距1直离t+线为5 A2)]C-,的

( t2+ ).

2

解∴12得点:P52t的= 坐? 52标. 为 ( ? 5 ,5 ).

22 y

B

D

24

P

A

C

Ox

方法总结:此类一次函数,反比例函数,二元一次方 程组,三角形面积等知识的综合运用,其关键是理清 解题思路. 在直角坐标系中,求三角形或四边形面积 时,是要选取合适的底边和高,正确利用坐标算出线 段长度.

针对训练 如图,设反比例函数的解析式为 y ? 3k (k>0). (1) 若该反比例函数与正比例函数 y =2xx 的图象有一



解:交由点题P意的知纵点坐P标在为正2比,例求函k数的值;

y

y =2x 上,

把 P 的纵坐标 2 带入该解析 式,得P (1,2),

2P

把 P (1,2) 代入 y ? 3k ,

得到

x

k ? 2.

3

O

x

(2) 若该反比例函数与过点 M (-2,0) 的直线 l:

y=kx

+b 的图象1交6 于 A,B 两点,如图所示,当

△ABO 的面积为

3

时,求直线 l 的解析式;

解:把 M (-2,0) 代入 y = kx + b,

y

得 b= 2k,∴y = kx+2k,

l

y ? 3k ,



x

y=kx+2k,

A

N

M

O

x

解得 x =-3 或 1.

B

∴ B (-3,-k),A (1,3k).

∵ △ABO的面积为16,

3

y



1 2·3k·2

1 + 2·k·2

=136 ,

l
A (1,3k)
N

解得 k ? 4 . 3

M

B (-3,-k)

O

x

∴ 直线 l 的解析式为 y= 4 x+8 .

33

(3) 在第(2)题的条件下,当 x 取何值时,一次函数的 值小于反比例函数的值?

解:当 x <-3或 0<x<1 时,一次函数的值小于反
比例函数的值. y l

A (1,3k)
N

M

B (-3,-k)

O

x

例4 病人按规定的剂量服用某种药物,测得服药后 2 小 时,每毫升血液中的含药量达到最大值为 4 毫克. 已知 服药后,2 小时前每毫升血液中的含药量 y (单位:毫克) 与时间 x (单位:小时) 成正比例;2 小时后 y 与 x 成反 比例 (如图). 根据以上信息解答下列问题: (1) 求当 0 ≤ x ≤2 时,y 与 x 的函数解析式;

解:当 0 ≤ x ≤2 时,y 与 x 成正比 例函数关系. 设 y =kx,由于点 (2,4) 在 线段上,

y/毫克
4

所以 4=2k,k=2,即 y=2x. O

2 x/小时

(2) 求当 x > 2 时,y 与 x 的函数解析式;

解:当 x > 2时,y 与 x 成反比例函数关系, 设 y? k. x

由于点 (2,4) 在反比例函数的图象上,

所以 4 ? k , 2

y/毫克

解得 k =8.

4

即 y? 8. x

O2

x/小时

(3) 若每毫升血液中的含药量不低于 2 毫克时治疗有 效,则服药一次,治疗疾病的有效时间是多长?
解:当 0≤x≤2 时,含药量不低于 2 毫克,即 2x≥2, 解得x≥1,∴1≤x≤2; 当 x>2 时,含药量不低于 2 毫克,
即 8 ≥ 2,解得 x ≤ 4. ∴2< x ≤4. y/毫克
x 所以服药一次,治疗疾病的有 4 效时间是 1+2=3 (小时).
O 2 x/小时

针对训练

如图所示,制作某种食品的同时需将原材料加热,

设该材料温度为y℃,从加热开始计算的时间为x分 钟.据了解,该材料在加热过程中温度y与时间x成一 次函数关系.已知该材料在加热前的温度为4℃,加

热一段时间使材料温度达到 28℃时停止加热,停止加热 后,材料温度逐渐下降,这

y(℃)
28

时温度y与时间 x 成反比例 14

函数关系,已知第 12 分钟

4

时,材料温度是14℃.

O

12 x(min)

(1) 分别求出该材料加热和停止加热过程中 y 与 x 的



数关系式(写出x的取值范围);

答案:

4x + 4 (0 ≤ x ≤ 6),

y = 168 (x>6).
x

y(℃)
28

14

4

O

12 x(min)

(2) 根据该食品制作要求,在材料温度不低于 12℃ 的 这段时间内,需要对该材料进行特殊处理,那么 对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟?

解:当y =12时,y =4x+4,解得 x=2.

由所以y ?对1该6x8材,料解进得行x特=1殊4. 处理所用的时间为

y(℃)
28

14-2=12 (分钟).

14

4

O

12 x(min)

课堂小结
反 比 例 函 数

定义 图象 性质
应用

x,y 的取值范围
增减性 对称性
k 的几何意义
在实际生活中的应用 在物理学科中的应用


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