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数学经典易错题会诊与高考试题预测9


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经典易错题会诊与 2012 届高考试题 预测(九)
考点 9 圆锥曲线 ?对椭圆相关知识的考查 ?对双曲线相关知识的考查 ?对抛物线相关知识的考查 ?对直线与圆锥曲线相关知识的考查 ?对轨迹问题的考查 ?考察圆锥曲线中的定值与最值问题 ?椭圆 ?双曲线 ?抛物线 ?直线与圆锥曲线 ?轨迹问题 ?圆锥曲线中的定值与最值问题 经典易错题会诊 命题角度 1 对椭圆相关知识的考查 1.(典型例题Ⅰ)设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若 △FlPF2 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是 ( )
A. 2 2 B. 2 ?1 2 C.2 ? 2 D. 2 ? 1

[考场错解] A [专家把脉] 没有很好地理解椭圆的定义,错误地把 [ 对症 下药 ] D 设椭圆 的方 程为
2c ? 2a k 2k ? k ? 2 ?1 | PF1 | 当作离心率. | PF2 |

x2 a2

?

y2 b2

=l (a , b >0) 由 题意可 设 |PF2|=|F1F2|=k ,

|PF1|= 2 k,则 e=

2.(典型例题)设双曲线以椭圆 双曲线的渐近线的斜率为 A.±2 B.±
4 3

x2 y 2 =1 长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,则 ? 25 9

( C.±

)
1 2

D.±

3 4

[考场错解] D 由题意得 a=5, b=3, 则 c=4 而双曲线以椭圆 焦点,则 a=c =4,b=3 ∴k= ?
b 3 ?? a 4

x2 y 2 =1 长轴的两个端点为 ? 25 9

[专家把脉] 没有很好理解 a、b、c 的实际意义. [对症下药] C 设双曲线方程为
x2 a
2

?

y2 b
2

=1,则由题意知 c=5,

a2 =4 c

则 a2=20

b2=5,而

1

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a=2 5 b= 5
b 1 =? a 2

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∴双曲线渐近线斜率为±

3.(典型例题)从集合{1,2,3?,11}中任选两个元素作为椭圆方程

x2 m2

?

y2 n2

=1 中的 m 和 n,

则能组成落在矩形区域 B={(x,y)‖x|<11,且|y|<9}内的椭圆个数为 ( ) A.43 B.72 C.86 D.90 [考场错解] D 由题意得,m、n 都有 10 种可能,但 m≠n 故椭圆的个数 10?10-10=90. [专家把脉] 没有注意,x、y 的取值不同. [对症下药] B 由题意得 m 有 10 种可能,n 只能从集合 11,2,3,4,5,6,7,81 中 选取,且 m≠n,故椭圆的个数:10?8-8=72. 4.(典型例题)设直线 l 与椭圆
x2 y 2 =1 相交于 A、B 两点,l 又与双曲线 x2-y2=1 相交于 C、 ? 25 16

D 两点,C、D 三等分线段 AB,求直线 l 的方程 ( ) [考场错解] 设直线 l 的方程为 y=kx+b 如图所示,l 与椭圆,双曲线的交点为 A(x1,y1)、B (x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4),依题 意有 AC ? DB, AB =3 CD
? y ? kx ? b 由? 得(16 ? 25k 2 ) x 2 ? 50bkx ? (25b 2 ? 400) ? 0 (1) ? x2 y 2 ?1 ? ? ? 25 16

所以 x1+x2=由? ? (2)
? y ? kx ? b

50bk 16 ? 25k 2

.

2 2 ? ?x ? y ? 1

得(1-k2)x2-2bkx-(b2+1)=0

若 k=±1,则 l 与双曲线最多只有一个交点,不合题意,故 k≠±1 所以 x3+x4= b =0 ①当 k=0 时, 由(1)得 x1、 2=± 即
5 16 ? b 2 4
2 由(2)得 x3、 4=± b ? 1 由 AB ? 3CD ? x2 ? x1 =3(x4-x1)

2bk 1? k
2

、由 AC ? BD ? x3-x1=x2-x4 ? x1+x2=x3+x4 ? -

50bk 16 ? 25k
2

?

2bk 1? k2

? bk=0 或

16 10 16 16 ? b2 ? 6 b2 ? 1 ? b ? ? 故 l 的方程为 y=± 13 4 13

②当 b=0 时, 由(1)得 x1、 2=± 即
40 16 ? 25k
2

20 16 ? 25k
2

, 由(2)得 x3、 4= ?

1 1? k2

由 AB ? 3CD ? x2 ? x1 =3(x4-x3)

?

6 1? k
2

?k ??

16 16 , 故l的方程为y ? ? x. 25 25

2

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综上所述:直线 l 的方程为:y= ?

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16 16 ,y ? x 13 25

[专家把脉] 用斜截式设直线方程时没有注意斜率是否存在,致使造成思维片面,漏解. [对症下药] 解法一:首先讨论 l 不与 x 轴垂直时的,情况. 设直线 l 的方程为 y=kx+b,如图所示,l 与椭圆、双曲线的交点为:A(x1,y1)、B(x2, y2)、 C(x3,y3)、D(x4,y4),依题意有 AC ? BD, AB ? 3CD .
? y ? kx ? b, 由? 得(16+25k2)x2+50bkx+(25b2-400)=0.(1) ? x2 y 2 ? 1. ? ? ? 25 16

所以 x1+x2=由? ?
? y ? kx ? b,

50bk 16 ? 25k 2

.

2 2 ? ? x ? y ? 1.

得(1-k2+x2-2bkx-(b2+1)=0.

若 k=±1,则 l 与双曲线最多只有一个交点,不合题意,故 k≠±1. 所 以 x3+x4=
50bk 16 ? 25k 2 ? 2bk 1? k2
2bk 1? k2



AC ?BD ? x3 ? x1 ? x2 ? x4 ? x1+x2=x2+x4 ? ?

①当 k=0 ? bk ? 0 ? k ? 0 或 b=0.

时,由(1)得 x1,2 ? ?

5 16 ? b2 . 4

由(2)得 x3、4=± ? b2 ? 1 由 AB ? 3CD ? x2 ? x1 ? 3 (x4-x3). 即
16 10 16 16 ? b2 ? b2 ? 1 ? b ? ? . 故 l 的方程为 y=± 13 4 13

②当 b=0 时,由(1)得 x1、2= ? 自(2)得 x3、4= ?
1 1? k
2

20 16 ? 25k 2

,由AB ? 3CD ? x2 ? x1 ? 3 (x4-x3).即

40 16 ? 25k
2

?

6 1? k
2

?k ??

16 . 25

故 l 的方程为 y= ?

16 x .再讨论 l 与 x 轴垂直时的情况. 25

设直线 l 的方程为 x=c,分别代入椭圆和双曲线方程可解得 yl、2= ? y3、4= ? c2 ? 1.由 | AB |? 3 | CD |?| y2 ? y1 |? 3 | y4 ? y3 | . 即
8 25 25 25 ? c2 ? 6 c2 ? 1 ? c ? ? , 故l的方程为x ? . 5 241 241

4 25 ? c 2 . 5

综上所述,直线 l 的方程是:y= ?

16 16 25 x、y=± 和 x= ? 25 13 241

3

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解法二:设 l 与椭圆、双曲线的交点为:
? xi2 yi2 ? 1, ? ? A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4),则有 ? 25 16 ? x 2 ? y 2 ? 1. j ? j i ? 1,2 j ? 3,4.

由 i 的两个式子相减及 j 的两个式子相减,得:
?16( x2 ? x1 )(x2 ? x1 ) ? 25( y2 ? y1 )( y2 ? y1 ) ? 0, ? ?( x4 ? x3 )(x4 ? x3 ) ? ( y4 ? y3 )( y4 ? y3 ) ? 0.

因 C、D 是 AB 的三等分点,故 CD 的中点(x0,y0)与 AB 的中点重合,且 AB ? 3CD. 于是 x0= 因此 ?
x2 ? x1 x4 ? x3 y ?y y ? y3 ? , y0= 2 1 ? 4 , x2-x1=3 (x4-x3). 2 2 2 2

?16 x0 ( x4 ? x3 ) ? ?25 y0 ( y4 ? y3 ), (1) ( 2) ? x0 ? ( x4 ? x3 ) ? y0 ( y4 ? y3 ).

若 x0y0≠0,则 x2=x1 ? x4=x3 ? y4=y3 ? y2=y1. 因 A、B、C、D 互异,故 xi≠xj,yi≠yj,这里 ij=1,2,3,4 且 i≠j(1)÷(2)得 16=-25,矛 盾,所以 x0y0=0. ①当 x0=0,y0≠0 时,由(2)得 y4=y3≠0,这时 l 平行 x 轴. 设 l 的方程为 y=b,分别代入椭圆、双曲线方程得:xl、2= ? ∵x2-x1=3(x4-x3) ?
10 4

5 16 ? b 2 , x3、4= ? b2 ? 1. 4

16 ? b2 ? 6 b2 ? 1 ? b ? ?

16 . 13

故 l 的方程为 y=±

16 13

②当 y0=0,x0≠0,由(2)得 x4=x3≠0,这时 l 平行 y 轴. 设 l 的方程为 x=c,分别代入椭圆、双曲线方程得:yl、2= ? ∵y2-y1=3(y4-y3) ?
8 25 25 ? c2 ? 6 c2 ? 1 ? c ? ? 5 241
25 241
4 25 ? c 2 , y3、4= ? c2 ? 1. 5

故 l 的方程为: x ? ?

③当 x0=0,y0=0 时,这时 l 通过坐标原点且不与 x 轴垂直. 设 l 的方程为 y=kx,分别代入椭圆、双曲线方程得:x1、2= ?
? x2 ? x1 ? 3( x4 ? x3 ) ? k ? ? 16 16 . 故 l 的方程为 y= y ? ? x. 25 25
16 16 25 x 、y= ? 和 x= ? . 25 13 241

20 16 ? 25k 2

, x3,4 ? ?

1 1? k2

.

综上所述,直线 l 的方程是:y= ?

5.(典型例题)设 A、B 是椭圆 3x2+y2=λ 上的两点,点 N(1,3)是线段 AB 的中点,线段 AB 的垂直平分线与椭圆相交于 C、D 两点. (1)确定 A 的取值范围,并求直线 AB 的方程;

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(Ⅱ)试判断是否存在这样的 A,使得 A、B、C、D 四点在同一个圆上?并说明理由.(此题 不要求在答题卡上画图) [考场错解] (1)设 A(x1,y1)B(x2,y2)则有:
2 2 ? ?3x1 ? y1 ? ? ? (x1-x2)(x1+x2)+(yl-y2)(yl+y2)=0 ? 2 2 ? ?3x2 ? y2 ? ?

依题意,x1≠x2

∴kAB-

3( y1 ? y2 ) x1 ? x2

∵N(1,3)是 AB 的中点, ∴x1+x2=2,yl+y2=6 从而 kAB=-9 又由 N(1,3)在椭圆内,∴λ <3?12+32=12 ∴λ 的取值范围是(-∞,12) 直线 AB 的方程为 y-3=-9(x-1)即 9x+y-12=0 [专家把脉] ①用“差比法”求斜率时 kAB= ?
3( x1 ? x2 ) 这地方很容易出错.②N(1,3)在椭圆内,λ >3 y1 ? y 2

?12+32=12 应用结论时也易混淆. [对症下药] (1)解法 1:依题意,可设直线 AB 的方程为 y=A(x-1)+3,代入 3x2+y2=λ ,整 理得(k2+3)x2-2k(k-3)x+(k-3)2-λ =0.① 设 A(x1,y1)、B(x2、y2),则 x1,x2 是方程①的两个不同的根, ∴△=4[λ (k2+3)-3(k-3)2]>0,② 且 x1+x2=
2k (k ? 3) k2 ? 3

,由 N(1,3)是线段 AB 的中点,得

x1 ? x2 2 ? 1 ,∴A(k-3)=k +3. 2

解得 k=-1,代入②得,λ >12,即λ 的取值范围是(12,+∞). 于是,直线 AB 的方程为 y-3=-(x-1),即 x+y-4=0. 解法 2:设 A(x1,y1)、B(x2,y2),则有
2 2 ? ?3x1 ? y1 ? ? ? (x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0 ? 2 2 ? ?3x2 ? y2 ? ?

依题意,x1≠x2,∴kAB=-

3( x1 ? x2 ) y1 ? y2

∵N(1,3)是 AB 的中点,∴x1+x2=2,yl+y2=6,从而 kAB=-1. 又由 N(1,3)在椭圆内,∴λ >3?12+32=12, ∴λ 的取值范围是(12,∞). 直线 AB 的方程为 y-3=-(x-1),即 x+y-4=0. (Ⅱ)解法 1:∵CD 垂直平分 AB,∴直线 CD 的方程为 y-3 =x-1,即 x-y+2=0,代入椭圆方程, 整理得 4x2+4x+4 又设 C(x3,y3),D(x4,y4),CD 的中点为 M(x0,y0),则 x3, x4 是方程③的两根,∴x3+x4=-1, 且 x0=
1 1 3 (x3+x4)=, y0=x0+2= ,即 2 2 2

M(-

1 3 , ).于是由弦长公式可得 2 2

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|CD|= 1 ? (? )2 ? | x3 ? x4 |? 2(? ? 3) . ④
1 k

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将直线 AB 的方程 x+y-4=0,代入椭圆方程得 4x2-8x+ 16-λ =0 ⑤ 同理可得|AB|= 1 ? k 2 . | x1 ? x2 |? 2(? ? 12) . ⑥ ∵当λ >12 时, 2(? ? 3) > 2(? ? 12) ,∴|AB|<|CD| 假设存在λ >12,使得 A、B、C、D 四点共圆,则 CD 必为圆的直径,点 M 为圆心.点 M 到 直线 AB 的距离为 d=
| x0 ? y0 ? 4 | 2 1 3 |? ? ?4| 3 2 2 2 ? ? .⑦ 2 2
AB 2 9 ? ? 12 ? ? 3 CD 2 | ? ? ? ?| | . 2 2 2 2 2

于是,由④、⑥、⑦式和勾股定理可得 |MA|2=|MB|2=d2+ | 故当λ >12 时,A、B、C、D 四点均在以 M 为圆心, |

CD | 为半径的圆上. 2

(注:上述解法中最后一步可按如下解法获得:) A、B、C、D 共圆 ? △ACD 为直角三角形,A 为直角 ? |AN|2 =|CN|?|DN|, 即(
AB 2 | CD | | CD | ) ?( ? d )( ? d) . ⑧ 2 2 2

由 ⑥ 式 知 , ⑧ 式 左 边 = =(

? ? 12
2

, 由 ④ 和 ⑦ 知 , ⑧ 式 右 边

2(? ? 3) 3 2 2(? ? 3) 3 2 ? ? 3 9 ? ? 12 ? )( ? ? ? )? , 2 2 2 2 2 2 2

∴⑧式成立,即 A、B、C、D 四点共圆解法 2:由(Ⅰ)解法 1 及λ >12, ∵CD 垂直平分 AB,∴直线 CD 方程为 y-3=x-1,代入椭圆方程,整理得 4x2+4x+4-λ =0.③ 将直线 AB 的方程 x+y-4=0,代入椭圆方程,整理得 4x2-8x+16-λ =0.⑤ 解③和⑤式可得 xl,2= 不妨设 A(1+
? CA ? ( CA ? (

2 ? ? ? 12 ?1 ? ? ? 3 , x3,4 ? . 2 2

1 1 ?1 ? ? ? 3 3 ? ? ? 3 ?1 ? ? ? 3 3 ? ? ? 3 ? ? 12 ,3 ? ? ? 12 , C( , ), D( , ) 2 2 2 2 2 2

3 ? ? ? 12 ? ? ? 3 3 ? ? ? 3 ? ? ? 12 , ) 2 2

3 ? ? ? 12 ? ? ? 3 3 ? ? ? 3 ? ? ? 12 , ) 2 2

计算可得 CA ? CA ? 0 ,∴A 在以 CD 为直径的圆上.又 B 为 A 关于 CD 的对称点,∴A、B、C、 D 四点共圆. (注:也可用勾股定理证明 AC⊥AD) 专家会诊

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1.重点掌握椭圆的定义和性质,加强直线与椭圆位置关系问题的研究. 2.注重思维的全面性,例如求椭圆方程时只考虑到焦点在,轴上的情形;研究直线与椭圆位 置关系时忽略了斜率不存在的情形?? 3.注重思想方法的训练,在分析直线与椭圆位置关系时要利用数形结合和设而不求法与弦 长公式韦达定理联系去解决;关于参数范围问题常用思路有:判别式法,自身范围法等.求 椭圆的方程常用方法有:定义法,直接法,待定系数法,相关点法,参数法等. 考场思维调练 1 已知椭圆的中心 O 是坐标原点,A 是它的左顶点,F 是它的左焦点,l1,l2 分别为左右准 线,l1 与 x 轴交于 O,P、Q 两点在椭圆上,且 PM⊥l1 于 M,PN⊥l2 于 N,QF⊥AO,则下 列比值中等于椭圆离心率的有( )
(1) | PF | | PF | | AO | | AF | | QF | ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) | PM | | PN | | BO | | BA | | BF |

A.1 个

B.2 个

C.4 个

D.5 个
| AO | a ? =e,故(3)正确; | BO | a 2 c

答案: C 解析:对(1),(4)的正确性容易判断;对(3),由于

对(5),可求得|QF|= |BF|= 2

b2 , a

| QF | a2 b2 ,故 ? e ,故(5)正确;(2)显然不对,所选 C. ?c ? | BF | c c

椭圆有这样的光学性质:从随圆的一个焦点出发的光线,经椭圆壁反射后,反射光线经 过随圆的另一个焦点.今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点 A、B 是它的焦点,长轴 长为 20,焦距为 2c,静放在点 A 的小球 (小球的半径不计),从点 A 沿直线出发,经椭 圆壁反弹后第一次回到点 A 时,小球经过的路程是 ( ) A.4a B.2(a-c) C.2(a+c) D.以上答案均有可能 答案: D 解析:(1)静放在点 A 的小球(小球的半径不计)从点 A 沿直线出发,经椭圆壁右 顶点反弹后第一次回到点 A 时,小球经过的路程是 2(d-c),则选 B; (2)静放在点 A 的小球(小球的半径不计)从点 A 沿直线出发,经椭圆壁左顶点反弹后第一次 回到点 A 时,小 球经过的路程是 2(a+c),则选 C; (3)静放在点 A 的小球(小球的半径不计)从点 A 沿直线出发,经椭圆壁非左右顶点反弹后第 一次回到点 A 时,小球经过的路程是 4a,则选 A. 于是三种情况均有可能,故选 D. 3 已知椭圆
x2 a2

+y2=1(a>1),直线 l 过点 A(-a,0)和点 B(a,ta)(tt>0)交椭圆于 M.直线 MO 交

椭圆于 N (1)用 a,t 表示△AMN 的面积 S; (2)若 t∈[1,2],a 为定值,求 S 的最大值.

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t 2

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答案:易得 l 的方程为了 y= (x+a)?1 分由
t ? ? y ? 2 ( x ? 1) 2 2 2 ? , 得(a t +4)y -4aty=0 ? 2 x ? ? y2 ? 1 ? ? a2

解得了 y=0 或 y= (1)得, S=
4at

4at a t ?4
2 2

即点 M 的纵坐标 yM= (t>0)

4at a t ?4
2 2

S=S△AMN=2S△AOM=|OA|?yM=

4at a t ?4
2 2

(2)由

a 2t 2 ? 4

=

4a 2 4 ? a 2t t

令 V= +a t,V′=当时 t>

4 t

2

4 t2

+a 由 V′=O ? t ?

2

2 a

2 2 时,V′>0;当 0<t< 时,V′<0. . .10 分 a a 2 2 2 4 2 ∈[1,2]当 t= 时,Smax=a 若 a>2,则 0< <1,∵V= + a t 在[1, a a a t

若 1≤a≤2,则,故

2]上递增,进而 S(t)为减函数.∴当 t=1 时,Smax= 综上可得 Smax ? ? 4a 2
?a(1 ? a ? 2) (a ? 2) ? ? 4 ? a2

4a 2 4 ? a2

命题角度 2 对双曲线相关知识的考查 1.(典型例题 1)已知双曲线 x2点 M 到 x 轴的距离为
A. 4 3 B. 5 3
y2 =1 的焦点为 F1、F2,点 M 在双曲线上且 MF 1 ? MF 2 ? 0 ,则 2

(

)
C. 2 3 3 D. 3

[考场错解] B [专家把脉] 没有理解 M 到 x 轴的距离的意义. [对症下药] C 由题意得 a=1,b= 2 ,c= 3 可设 M (x0,y0)|MF1|=|ex0+a|=| 3 x0+1|, |MF2|= |ex0-a|=| 3 x0-1| 由|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2 得 x02= 则y02 ? ,| y0 |? 2.(典型例题)已知双曲线 △OAF 的面积为
x2 a
2

5 3

4 3

2 2 3 3. . 即点 M 到 x 轴的距离为 3 3

?

y2 b2

=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,右准线与一条渐近线交于点 A, ( )

a2 (O 为原点),则两条渐近线的夹角为 2

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A.30° B.45° C.60° D.90° [考场错解] B [专家把脉] 把两条渐近线的夹角看成渐近线的倾斜角. [对症下药] D 由题意得 A(
1 a 2 ab ab 1 a2 )s△OAF= ?c? ? ab ? , ? a ? b ,则两条渐近线为 2 c c c 2 2

了 y=x 与 y=-x 则求两条渐近线的夹角为 90°. 3.(典型例题Ⅲ)双曲线
x2 a
2

?

y2 b2

=1(a>1,b>0)的焦距为 2c,直线 l 过点(a,0)和(0,b),且点
4 5

(1,0)到直线 l 的距离与点(-1,0)到直线 l 的距离之和 s≥ c,求双曲线的离心率 e 的取 值范围. [考场错解] 直线 l 的方程为 ? 点(1, 0)到直线 l 的距离:
b(a ? 1) a ?b
2 2

x a

y b(a ? 1) =1 即 bx+ay-ab=0 点(-1,0)到直线 l 的距离: , b a 2 ? b2



b(a ? 1) a ?b
2 2

+

b(a ? 1) a ?b
2 2

=

2ab a ?b
2 2

?

2ab 4 ? c c 5

得 5a c2 ? a2 ? 2c2 于是得 5 e2 ? 1 ? 2e2 即 4e4-25e2+25≤0 解不等式得 ≤e2≤5,所以 e 的取值范围是 [? 5 ,? [专家把脉] 没有理解双曲线离心率的意义及自身存在的范围 e>1. [对症下药] 解法:直线 J 的方程为 ?
x a y =1,即 bx+ay-ab=0. b

5 4

5 5 ] ?[ , 5 ]. 2 2

由点到直线的距离公式,且 a>1,得到点(1,0)到直线 l 的距离 d1= 同理得到点(-1,0)到直线 l 的距离 d2= s=d1+d2=
4 5

b(a ? 1) a 2 ? b2

.

b(a ? 1) a 2 ? b2

.

2ab a ?b
2 2

?

2ab . c

由 s ? c, 得

2ab 4 ? c,即5a c 2 ? a 2 ? 2c 2 .于是得5 e2 ? 1 ? 2e2 .即4e2 ? 25e2 ? 25 ? 0 c 5

解不等式,得

5 5 ? e2 ? 5.由于e ? 1 ? 0, 所以e的取值范围是 ? e ? 5. 4 2

专家会诊 1.注意双曲线两个定义的理解及应用,在第二定义中,要强调 e>1,必须明确焦点与准线 的对应性 2.由给定条件求出双曲线的方程,常用待定系数法,当焦点位置不确定时,方程可能有两 种形式,应防止遗漏. 3.掌握参数 a、b、c、e 的关系,渐近线及其几何意义,并注意灵活运用. 考场思维训练 1 已知 F1,F2 为双曲线
x2 a2 ? y2 b2

=1(a>0,b>0)的两个焦点,过 F2 作垂直 x 轴的直线,它与双曲

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A. y ? ? C. y ? ? 2 x 2 3 3 B. y ? ? 3 x D. y ? ? 2 x

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)

线的一个交点为 P,且∠pF1F2=30°,则双 曲线的渐近线方程为 (

答案: D 解析:由已知有 选取 D 2 若 Fl、F2 双曲线
x2 a
2

| PF2 | b2 2 2 =tan30°= ,所以 2a =b 渐近线方程为 y=± 2 x ,所以 | F1F2 2ac

?

y2 b2

=1 的左、右焦点,O 为坐标原点,P 在双曲线左支上,M 在右
? OF ? OP | OF 1 || OP |

准线上,且满足 F1O ? PM ,

OP ? OM | OP | OM

(1)求此双曲线的离心率; 答 案 : 由
??? ? ? ?? ??
OP OF1

?? ?? ? ?? ?? 知 四 边 形
F1D PM

PF1OM

为 平 行 四 边 形 , 又 由

| ??? ? || ?? ??
OP OF1

?

?? ?? ? ??? ?
OM OP

| ?? ?? || ??? ? |
OM OP

? ?? | =c 知 OP 平分∠F1OM, ∴PF1OM 菱形,设半焦距为 c,由 | ?OF 1

? ?? |? c 知 | ?PF
1

| ?? ?? |? c,?| ?? ?? |?| ?? ?? | ?2a ? c ? 2a, 又
PM PF2 PF1

| ?? ?? |
PF1

| ?? ?? |
PM

? e ,即 c+

1a ?e c

e2-e-2=0, ∴e=2(e=-1 舍去) (2)若此双曲线过点 N(2, 3 ),求双曲线方程: 答案:∵e=2= , ∴c=2a, ∴双曲线方程为 有
4 a2 ? 3 4a 2 ? 1,? a 2 ? 3 即所求双曲线方程为
c a

x2 a
2

?

y2 3a2

? 1 , 将点(2, 3 ) 代入,

x2 y 2 =1. ? 3 9

(3)设(2)中双曲线的虚轴端点为 B1,B2(B1 在 y 轴正半轴上),求 B2 作直线 AB 与双曲线交 于 A、B 两点,求 B1A ? B1B 时,直线 AB 的方程. 答案:依题意得 B1(0,3) ,B2(0,-3),设直线 AB 的方程为 y=kx-3,A(x1,y1),B(x2,y2)
? ? y ? kx ? 3 ? 则由 ? ? (3 ? k 2 ) x 2 ? 6kx ? 18 ? 0. ? ? 2 2 ?x ? y ?1 ?3 9 ?

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∵双曲线的渐近线为 y=± 3 x ,∴当 k=± 3 时,AB 与双曲线只有一个交点, 即 k≠± 3 .∵x1+x2= y1+y2=k(x1+x2)-6=
6k 3 ? k2 , x1 ? x2 ?
2

?18 3 ? k2

.

?18 3 ? k2

,y1y2=k x1x2-k(x1+x2)+9=9

? ?? ?(x1, ? ?? =(x2,y2 -3), ?? ?? ⊥ ?? ?? ? x1x2 ? y1 y2 ? 3( y1 ? y2 ) ? 9 ? 0, 又 ?B y1 -3) , ?B A B BA BB
1 1 1 1

?18 3?k
2

? 9 ? 3?

?18 3? k
2

? 9 ? 0 ,即 k =5, ∴k=± 5 .

2

故所求直线 AB 的方程为 y= 5 x-3 或 y=- 5 x-3. 3 设双曲线
x2 2 -y =1 的右顶点为 A、P 是双曲线上异于顶点的一个动点,从 A 引双曲线的 4

两条渐近线的平行线与直线 OP(O 为坐标原点)分别交于 Q 和 R 两点. (1)证明:无论 P 点在什么位置,总有 | OP |2 ?| OQ ? AR | ;
1

答案:设 OP:y=kx 与 AR:y= 2
2 2k , ), 1 ? 2k 1 ? 2k

( x ? 2)联立

?? ? ?( 解得 ?OR

?? ? ?( 同理可得 ?OQ
2

4 ? 4k 2 2 2k , ?? ? | , ), 所以| ??? ? · ?OR OQ 1 ? 2k 1 ? 2k | 1 ? 4k 2 |
2

?? ? | =(m,n),则由双曲线方程与 OP 方程联立解得 m = 设| ?OP
2= 2 2 ?? ? | m +n = 所以| ?OP

4 1 ? 4k

, n2 ? 2
2

4k 2 1 ? 4k 2

,

4 ? 4k 2 1 ? 4k 2

?| ??? ? ? ??? ? | (点在双曲线上,1-4k >0);
OQ OR

(2)设动点 C 满足条件: AC ? ( AQ ? AR) ,求点 C 的轨迹方程.
? ? ( ??? ? ? ??? ? ), ? 点 C 为 QR 的中心,设 C(x,y), 答案:∵ ??? AC AQ AR 1 2

1 2

2 ? ?x ? 1 ? 4k 2 则有 ? ? ? y ? 2k ? 1 ? 4k 2 ?

,消去 k,可得所求轨迹方程为 x2-x2-4y2=0(x≠0).

命题角度 3 对抛物线相关知识的考查。 1.(典型例题)过抛物线 y2=4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,它们的横坐标 之和等于 5,则这样的直线 ( ) A.有且仅只有一条 B.有且仅有两条

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C.有无穷多条 D.不存在 [考场错解] D 由题意得|AB|=5 p=4,通径长为 2?4=8 5<8,故不存在这样的直线. [专家把脉] 没有理解抛物线焦点的弦长及 p 的意义. [对症下药] B 解法一:由题意得 P=2,通径长为 4,而|AB|=x1+x2+p=7,由 7>4,则这 样的直线有且仅有两条,解法二:用待定系数法设直线方程为 y=k(x-1)采用设而不求的方 法求出 k 有两个值,即直线有且仅有两条. 2.(典型例题 1)设 A(x1,y1),B(x2,y2)两点在抛物线 y=2x2 上,l 是 AB 的垂直平分线. (1)当且仅当 x1+x2 取何值时,直线 l 经过抛物线的焦点 F?证明你的结论; (Ⅱ)当直线 l 的斜率为 2 时,求 l 在 y 轴上截距的取值范围. [考场错解] (Ⅱ),设 l 在 y 轴上的截距为 b,依题意得 l 的方程为 y=2x+b,过点 A、B 的 直线方程可写为 y= ? x ? m, 与 y=2x2 联立得 2x2+
1 x-m=0 . 得 2 1 2 1 8 1 2

x1+ x2=1 2

1 ; 设 4

AB 的 中 点 N 的 坐 标 为 (x0 , y0) 则

x0= (x1+x2)=- ,y0=- x0+m= 由 N∈l,得

1 +m. 16

1 1 5 5 +m=- +b,于是 b= ? m ? 16 4 16 16
5 ,?? ]. 16

即得 l 在 y 轴上截距的取值范围为[

[专家把脉] 没有借助“△>0”来求出 m> ?

1 ,无法进一步求出 b 的范围,只好胡乱地 32

把 m 当作大于或等于 0. [对症下药] (1)F∈l ? |FA|=|FB| ? A、B 两点到抛物线的准线的距离相等. ∵抛物线的准线是 x 轴的平行线,y1≥0,y2≥0,依题意 y1、y2 不同时为 0, ∴上述条件等价于 yl=y2 ? x12 =x22 (x1+x2)(x1-x2)=0; ∵x1≠x2,∴上述条件等价于 x1+x2=0. 即当且仅当 x1+x2=0 时,l 经过抛物线的焦点 F。 (Ⅱ)设 l 在 y 轴上的截距为 b,依题意得 l 的方程为 y=2x+b 过点 A、B 的直线方程可写为 y=- x+m,所以 x1、x2 满足方程 2x2+ x-m=0, 得 x1+x2=- ; A、B 为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式
?? 1 1 +8m>0,即 m> ? 4 32

1 2

1 2

1 4

设 AB 的中点 N 的坐标为(x0,y0),则 x0= (x1+x2)=- ,y0=- x0+m= 由 N∈l,得
1 2 1 8 1 2 1 +m 16

1 1 5 5 1 9 +m=- +b,于是 b= +m> ? ? 16 4 16 16 32 32

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即得 l 在 y 轴上截距的取值范围为(

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9 ,+∞). 32

3.(典型例题)如图,过抛物线 y2=2px(p>0)上一定点 p(x0,y0)(y0>0),作两条直线分别交抛物 线于 A (x1,y1),B(x2,y2). (1)求该抛物线上纵坐标为
P 的点到其焦点 F 的距离; 2

(Ⅱ)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时, 求 是非零常数. [考场错解] (1)当 y= 为
p 9 ? (? p) ? p. 8 8

y1 ? y2 的值, 并证明直线 AB 的斜率 y0

p p 时,x= 又抛物线的准线方程为 x=-P,由抛物线定义得,所求距离 2 8

(Ⅱ)设直线 PA 的斜率为 kPA,直线 PB 的斜率为 kPB 由 y21=2px1,y20=2px0 相减得(yl-y0)(y1+y0)=2P(x1-x0) 故 kPA= 同理可得 kpB=
2P (x1≠x0). y1 ? y0

2P y ?y 1 (x2≠x0)由 kPA=-kPB 得 y0=-2 (yl+y2)故 1 2 ? ? . y1 ? y0 y0 2

设直线 AB 的斜率为 kAB。 由 y22=2px2,y21=2px1 相减得 (y2-y1)(y2+y1)=2P(x2-x1)故 kAB=
1 2

y2 ? y1 2p ? ( x1 ? x2 ). x2 ? x1 ( y1 ? y2 )
4p 故 kAB 是非零常数. y0

将 y1+y2=- y0(y0>0)代入得 kAB=-

[专家把脉] ①没有掌握抛物线的准线方程,②计算不够准确. [对症下药] (1)当 y=
p p p 时,x= ,又抛物线 y2= 2px 的准线方程为 x= , 2 8 2 p p 5p -(- )= . 8 2 8

由抛物线定义得,所求距离为

(Ⅱ)设直线 PA 的斜率为 kPA,直线 PB 的斜率为 kPB 由 y12=2px1,y20=2px0 相减得(y1-y0)(yl+y0)=2P(x1-x0), 故 kPA=
y1 ? y0 2p (x1≠x0). ? x1 ? x0 y1 ? y0 2p (x2≠x0). y1 ? y0

同理可得 kPB=

由 PA、PB 倾斜角互补知 kPA=-kPB, 即
2p 2p =,所以 yl+y2=-2y0, y2 ? y0 y1 ? y0

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y1 ? y2 =-2. y0

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设直线 AB 的斜率为 kAB

由 y22=2px2,y21=2pxl 相减得(y2-y1)(y2+y1)=2p(x2-x1), 所以 k AB ?
y2 ? y1 2p ? ( x1 ? x2 ). x2 ? x1 y1 ? y2

将 yl+y2=-2y0(y0>0)代入得
k AB ? 2p p ? ? , 所以 kAB 是非零常数. y1 ? y2 y0

4.(典型例题)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y=x2 上异于坐标原点 O 的两不同动点 A、B 满足 AO⊥BO(如图所示). (1)求△AOB 的重心 C(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程; (Ⅱ)△AOB 的面积是否存在最小值?若存在, 请求出最小值; 若不存在, 请说明理由. ∵OA⊥OB. [考场错解](Ⅰ)设△AOB 的重心为 G(x,y)A(x1,y1)B(x2,y2)则
x ?x ? x? 1 2 ? ? 3 (1) ? ? y ? y1 ? y2 ? 3 ?

∵OA ? OB ? OA ? OB ? 0 x1x2+yly2=0(2) 又 点 A 、 B 在 抛 物 线 上 , 有 y1=x12 , y2=x22 代 入 (2) 化 简 得 xlx2=0 或 -1 ∴ y=
y1 ? y2 1 2 1 2 2 2 2 ? ( x1 ? x2 ) ? [(x1+x2) -2x1x2]=3x + 3 3 3 3

或 3x2, 故重心为 G 的轨迹方程为 y=3x2 或 y=3x2+ . [专家把脉]没有考虑到 x1x2=0 时,△AOB 不存在 [对症下药] (Ⅰ)设△AOB 的重心为 G(x,y)A(x1,y1)B(x2,y2)则
x ?x ? x? 1 2 ? ? 3 (1) ? y ? y ? 1 ? y2 ? 3 ?
? OA ? OB ? kOA ? kOB ? ?1,即x1x2 ? y1 y2 ? 0(2)

2 3

又点 A、B 在抛物线上,有 y1=x12,y2=x22 代入(2)化简得 xlx2=-1 ∴y=
y1 ? y2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 ? ( x1 ? x2 ) ? [(x1+x2) -2x1x2]= ? (3x) 2 ? =3x + 3 3 3 3 3 3 2 3

所以重心为 G 的轨迹方程为 y=3x2+ (Ⅱ)S△AOB= | OA || OB |?
1 2

1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 ( x1 ? y1 )(x2 ? y2 )? x1 x2 ? x1 y2 ? x2 y2 ? y1 y2 2 2

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由(1)得 S△AOB=

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1 6 1 1 1 6 6 6 x1 ? x2 ?2 ? 2 x1 ? x2 ?2 ? 2 (?1)6 ? 2 ? ? 2 ? 1 2 2 2 2

当且仅当 x16=x26 即 x1=-x2=-1 时,等号成立。 所以△AOB 的面积存在最小值,最小值为 1。 专家会诊 1. 用待定系数法求抛物线标准方程,注意分类讨论思想。 2. 凡涉及抛物线的弦长,弦的中点,弦的斜率问题时要注意利用韦达定理,能避免求交点 坐标的复杂运算。 3. 解决焦点弦问题时,抛物线的定义有广泛的应用,而且还应注意焦点弦的几何性质。 考场思维调练 1 已知抛物线 y2=4x 的准线与 x 轴交于 M 点,过 M 作直线与抛物线交于 A、B 两点,若线 段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于 D(x0,0) (1)求 x0 的取值范围. 1. 答案:由题意易得 M(-1,0) 2 2 2 2 2 设 过 点 M 的 直 线 方 程 为 y=k(x+1)(k ≠ 0) 代 入 y =4x 得 k x +(2k -4)x+k =0 (1) 再设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1 ? x2 ?
4 ? 2k 2 , x1 ? x2 ? 1

y1 ? y2 ? k ( x1 ? 1) ? k ( x2 ? 1) ? k ( x1 ? x2 ) ? 2k ?

4 k

∴AB 的中点坐标为 (

2 ? k2 2 , ). k2 k

那么线段 AB 的垂直平分线方程为 y ?
x? k2 ? 2 k
2 k2
2

2 1 2 ? k2 ? ? (x ? ),令y ? 0得 k k k2

即x0 ?

k2 ? 2 k2

? 1?
2

2 k2

.
4 2

又方程(1)中Δ =(2k -4)2-4k >0,∴0<k <1, ∴
? 2,? x0 ?3.

(2)△ABD 能否是正三角形?若能求出 x0 的值,若不能,说明理由 答案:若Δ ABD 是正三角形,则有点 D 到 AB 的距离等于 |AB| =(1+k )(x1-x2) =(1+k2)[(x1+x2) -4x1x2]=
| k2 ? 2 |
2 2 2 2

3 | AB | . 2
.

16(1 ? k 2 )(1 ? k 2 ) k4

点以 AB 的距离 d=

k2
2

?k ?

2k 2 ? 2

1? k2 k 1? k2 3 4(k ? 1) 3 16(1 ? k 4 ) 2 | AB |2 得 : ? ? 据d 4 4 k2 k4

?

2 1? k2 k

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4 2 2 2 2

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2

∴4k +k -3=0,(k +1)(4k -3)=0, ∴k = ,满足 0<k <1. ∴△ABD 可以为正△,此时 x0=
11 . 3

3 4

2 经过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线 l 与该抛物线交于 A、B 两点. (1)若线段 AB 的中点为 M(x,y),直线的斜率为 A,试求点 M 的坐标,并求点 M 的轨迹 方程; 答案:设 A(x1,y1)、B(x2,y2),直线 AB 的方程为:y=k(x-1)k≠0) 2 把 y=k(x-1)代入 y =4x 得:
k 2 x 2 ? ( 2 k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0 ? x1 ? x2 ? 2k 2 ? 4
2

k ? x ?x k2 ? 2 ?x ? 1 2 ? 2 ? 2 k 2 ? 点M的坐标为M ( k ? 2 , 2 ) ?? k2 k ? y ? y1 ? y2 ? 2 ? 2 k ?

? y1 ? y2 ? k ( x1 ? 1) ? k ( x2 ? 1)

4 k

消去 k 可得点的轨迹方程为:y2=2x-2(x>0) (2)若直线 l 的斜率 k>2,且点 M 到直线 3x+4y+m=0 的距离为 ,试确定 m 的取值范围.
| 3? k2 ? 2 k2 ? 4? 5 2 ?m| k

1 5

答案: ? d ? ∴| 3? ∴
6 k2

?

1 5

6 k2

|?

8 6 8 ? m |? 1? 3 ? 2 ? ? m ? ?1 k k k

?

8 ? ?1 ? 3 ? m k 6 k
2

∵ k ? 2?0 ? ∴0<1-3-m< ∴0<1-3-m< ∴

?

3 8 6 8 11 ,0 ? ? 4 ? 0 ? 2 ? ? 2 k k 2 k

11 2 11 11 或 0<1-3-m< 2 2

15 19 <m<-2 ∴或 ? <m<-4 2 2 19 19 <m<-2 ∴m 的取值范围为( ? ,-2). 2 2

∴? 3

在以 O 为坐标原点的直角坐标系中,已知点 T(-8,0),点 M 在 y 轴上,点 N 在 x 轴的

正半轴上,且满足 TM ? MP ? 0, MP ? PN. (1)当 M 在 y 轴上移动时,求点 P 的轨迹 C;

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? ?? ? ??? ? ,知 P 是 M、N 中点,又 M 在 y 轴上,N 在 x 轴正半 答案:设点 P(x,y)由 ?MP PN

轴上,故 M 坐标为(0,2y),N 个坐标为(2x,0).(x>0)
?? ?? ? (8,2 y ), ?? ?? ? ( x,? y )
TM TM MP

?? ?? ? ?? ?? ? 0 ,
PM

得 8x-2y 即 y =4x(x>0)

2=0

2

故点 P 的轨迹是(0,0)为顶点,以(2,0)为焦距的抛物线.(除去原点) (2)若动直线 l 经过点 D(4,0),交曲线 C 与 A、B 两点,求是否存在垂直于 x 轴直线 l'被 以 AD 为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在, 求出 l'的方程, 若不存在, 请说明理由. 答案:设 AD 中点为 H,垂直于 x 轴的直线 l′的方程为 x=a. 以 AD 为直径的圆交 l′于 E、F 两点。EF 的中点为 G 因为|EH|= |AD|
1 2 1 2 1 4

,|HG|= | ( x1 ? 4)2 ? y12 (其中(x1,y1)为坐标)
2

x1 ? 4 ?a| 2

所以|EG|2=|EH|2= [(x1-4) +yx2]- [(x1-2a) +4] = [(x1-4)2+4x1]- [(x1-2a) +8(x1-2a)+16]= [4ax1-12x1-4a +16a] =(a+3)x1-a2+4a 所以当 a=3 时,以 AD 为直径的圆截得的弦长恒为定值,l′的方程 x=3. 命题角度4 对直线与圆锥曲线的关系的考查 1.(典型例题Ⅰ)设双曲线C:
x2 a
2

1 4

2

1 4

1 4

2

1 4

2

? y 2 ? 1 (a>0)与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A、B,

(1)求双曲线C的离心率e的取值范围; (Ⅱ)设直线l与y轴的交点为P,且 PA ?
5 PB ,求a的值. 12

[考场错解] (1)由C点与l相交于两个不同的点,
? x2 ? y2 ?1 ? 故 知 方程 组 ? a 2 有 两个 不同的 实 数解 ,消 去 y 并 整理得 (1-a2)x2+2a2x-2a2=0 ①故 ? ?x ? y ? 1

4a4+8a2(1-a2) >0 解得:0<a< 2 双曲线的离心率e=
1? a2 ? a 1 a2 ? 1,

∵0<a< 2 ∴ e ?

6 即离心率e的取值范围( 2
5 PB, 12

6 ,?? ). 2

(Ⅱ),设A(x1,y1)B(x2,y2)P(0,1)∵ PA ? ∴ (x1 , yl-1)=

5 5 (x2 , y2-1) 由此得 x1= x2 ,由于 x1 , x2都是方程①的根,且 1-a2≠ 0 ,所以 12 12

17

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17 2a 2 5 2 2a 2 2a 2 289 17 ? ? ?a ? ? . x2 ? ? , x2 ? 消去 x 得 2 2 2 12 2 60 13 12 1? a 1? a 1? a

[专家把脉] (1)没有考虑到1-a2≠0(Ⅱ)没有注意到题目本身的条件a>0. [对症下药]
? x2 ? y 2 ? 1, ? (1)由C与l相交于两个不同的点,故知方程组 ? a 2 ? ?x ? y ? 1

有两个不同的实数解,消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x +2a2x-2a2=0 所以 ? ?
?1 ? a 2 ? 0
4 2 2 ? ?4a ? 8a (1 ? a ) ? 0

解得0<a< 2 且 a≠1.

双曲线的率心率e=

1 ? a2 ? a

1 a
2

? 1 ? 0 ? a ? 2 且 a≠1,∴e>

6 且e≠ 2 , 2

即离心率e的取值范围为(

6 )∪( 2 ). 2
5 PB 12

(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,1).∵ PA ? ∴ (x1,y1-1)=
5 12

(x2,y2-1) 由此得 x1=

5 x2 ,由于 x1 , x2 都是方程①的根,且 1-a2 ≠ 0 ,所以 12

2a 2 5 2 2a 2 2a 2 289 17 17 , x2 ? ? ? x2=,消 x ,得 ,由a>0,所以a= 2 2 2 2 60 12 12 13 1? a 1? a 1? a

2.(典型例题Ⅱ)给定抛物线C:y2=4x,F是C的焦点,过点F的直线l与C相交于A、B两点 (1)设l的斜率为1,求 OA 与 OB 夹角的大小; (Ⅱ)设 FB ? ? AF ,若λ ∈[4,9],求l在y轴上截距的变化范围. [ 考场错解 ] (1) 设 OA 与 OB 夹角为 α ;由题意 l 的方程为了 y=x-1 ,将 y=x-1 代入 y2=4x 得

x2-6x+1=0 设 A(x1 , y1)B(x2 , y2) 则 有 x1+x2=6 , x1x2=1 . 易 得 OA ? OB =x1x2+y1y2=-3 ,
2 2 2 2 | OA || OB |? x1 ? y1 ? x2 ? y2 ? 41 cosα =

OA ? OB | OA || OB |

??

3 41 ∴α =-arccos 41

(Ⅱ)由题意知 FB ? ? AF ? FB ? ? AF ,过A、B分别作准线的垂线,垂足分别为A'、B'. ∴|FB|=|BB'|,|AF|=|AA'| ∴|BB’|=λ |AA'|,λ ∈[4, 9] 设l的方程为y=k(x-1)由 ?
? ? y ? k ( x ? 1) 得k2x2-(2k2 +4)x+k2=0 ? y 2 ? 4x ?

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∴x=
k2 ? 2 ? 2 k2 ?1 k2

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+l

∴|AA'|=

k2 ? 2 ? 2 k2 ?1 k2

=

2(k 2 ? 1) ? 2 k 2 ? 1 k2

|BB'|=

k2 ? 2 ? 2 k2 ?1 k2

?

2(k 2 ? 1) ? 2 k 2 ? 1 k2

?

| BB' | 2(k 2 ? 1) ? 2 k 2 ? 1 ? ?? | AA' | 2(k 2 ? 1) ? 2 k 2 ? 1 2( k 2 ? 1) ? 2 k 2 ? 1 2(k 2 ? 1) ? 2 k 2 ? 1 ? 9(k ? 0) ? k ? [? 4 3 ,? ] 3 4

?4 ?

[专家把脉] (Ⅰ)没有理解反余弦的意义.(Ⅱ)思路不清晰. [对症下药] (1)C的焦点为F(1,0),直线l的斜率为1,所以l的方程为了y=x-1. 将y=x-1代入方程y2=4x,并整理得x2-6x+1=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则有xl+x2=6,x1x2=1.
OA ? OB =(x1,y1)?(x2,y2)=x1x2+yly2=2x1x2-(x1 +x2)+1=-3.

所以 O A与 O B 夹角的大小为π -arc cos 即?
? x 2 ? 1 ? ? (1 ? x1 ), ? y 2 ? ??y1

3 41 (Ⅱ)由题设 FB ? ? AF 得 (x2-1,y2)=λ (1-x1,-y1), 41

① ②

由②得y22=λ 2y21.∵y21=4x1,y22=4x2,∴x2=λ 2x1

③ 联立①、③解得x2=λ ,依题意有λ >0,∴B(λ ,2 )或B (λ ,-2 ),又9(1,0),得直线l方 程为(λ -1)y= (x-1)或(λ -1)y=2 ? (x-1).当λ ∈[4,9]时,l在 y轴上的截距为 ? ? 1 或- ? ? 1 由 ? ?1 = ∴4≤
3
2 ? 2 ? 2 ?

2

? ?1

?

2

? ?1

,可知:

2 ? 在[4,9]上是递减的, ? ?1

4 4 3 2 ? 2 ? ≤ ,- ≤≤3 3 4 ? ?1 ? ?1 4 3 3 3 4 ]∪[ , ]. 4 4 3

直线l在y轴上截距的变化范围为[- ,3.(典型例题)已知椭圆C:
x2 a2 ? y2 b2

? 1 (a>b>0)的左、右焦点为Fl、F2,离心率为e直线l:y=ex+a

与x轴、y轴分别交于点A、B,M是直线l与椭圆C的一个公共点,P是点Fl关于直线l的对称点 为P,设 AM ? ? AB.

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(1)证明:λ =1-e2; (Ⅱ)确定λ 的值,使得△PF1F2是等腰三角形. [考场错解] (Ⅱ)要使△PF1F2为等腰三角形必有三种情况: (1)当|PF1|=|F1F2|时 设点p的坐标是(x0,y0)
? y0 ? 0 1 ?? ? e ?x ?c 则? 0 x ?c ? y0 ? 0 ?e? 0 ?a ? 2 2 ?

? e2 ? 3 c ? x0 ? e2 ? 1 解得 ? ? 2(1 ? e 2 )a ? y ? 0 ? e2 ? 1 ?
? c ] +[ (e 2 ? 1) 2 e2 ? 1
2

由|PF1|=|F1F2| 得[

( e 2 ? 2) c e2 ? 1

2(1 ? e 2 ) a e2 ? 1

] 2 ? 4c 2
2
1

两边同时除以4a2,化简得

? e 2 从而e = 3 于是 ? c] 2 [ (e 2 ? 3)c e ?1
2

? ? 1 ? e2 ? .

2 3

(2)当|PF1|=|F1F2|时,同理可得 [ 解得e =3于是λ =1-3=-2. (3)当|PF2|=|F1F2|时,同理可得 解得e2=1 于是λ =1-1=0
2 3
[

(e 2 ? 3)c e ?1
2

? c] 2

2

(e2 ? 3)c e2 ? 1

? c]2[

? (e2 ? 3)c e2 ? 1

? c]2

=4c2

综上所述,当λ = 或-2或0时△PF1F2,F2为等腰三角形. [专家把脉] (1)没有注意到因为PF1⊥l,所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角,要使△PF1F2为 等腰三角形,必有|PF1|=|F1F2| (2)没有注意到椭圆离心率的范围. [对症下药] (1)证法一:因为A、B分别是直线l:y= ex+a与x轴、y轴的交点,所以A、B的 坐标分别是(- e )(0,a).
? y ? ex ? a, x ? ?c, ? 2 2 由 ? x2 y2 得 b 2 这里c ? a ? b . ? 2 ? 2 ? 1, y ? c , b ?a
a ,0

所以点M的坐标是(-c,
a ?a ? ?c?? e ?e 即? 2 b ? ? ?a ? ?a

a a b2 b2 ),由 AM ? ? AB 得(-c+ , )=λ ( e ,a). a e a

解得? ? 1 ? e 2

证法二:因为A、B分别是直线l:y=ex+a与x轴、y轴的交点,所以A、B的坐标分别是(- e ,0), (0,a),设M的坐标是(x0,y0),由 AM ? ? AB 得( x 0 ?
a , a ), e

a

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所以 ? ?
? x0 ?

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a (? ? 1) x2 y2 因为点M在椭圆上,所以 0 ? 0 =1, e a2 b2 ? y ? ?a. ? 0

a (? ? 1)]2 (?a ) 2 (1 ? ? ) 2 ?2 e ? ? 1, 所以 ? ? 1. 即 a2 b2 e2 1 ? e2 [

e4-2(1-λ )e2+(1-λ )2=0,解得e2=1-λ 即λ =1-e2. (Ⅱ)解法一:因为PF1⊥l,所以 ∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角,要使△PF1F2为等腰三角形, 必有|PF1|=|F1F2|,即 2 |PF1|=c. 设点F1到l的距离为d,由 2 |PF1|=d, =
| e( ? c ) ? 0 ? a | 1 ? e2 ? | a ? ec | 1 ? e2 ?c,
1 1



1 ? e2 1 ? e2

=e.所以e2= ,于是λ =1-e2= .

1 3

2 3

即当λ = 时,△PF1F2为等腰三角形. 解法二:因为PF1⊥l,所以,∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角,要使△PF1F2为等腰三角形,必 有|PF1|=|F1F2|,设点P的坐标是(x0,y0),
? e2 ? 3 ? y0 ? 0 1 x ? , ? ? ? 0 ? e ?x ?c e2 ? 1 则? 0 解得 ? ? x0 ? c 2(1 ? e 2 ) a ? y0 ? 0 ? ? e ? a y0 ? . ? ? 2 ? 2 e2 ? 1 ?

2 3

由|PF1|=|FlF2|得 [

(e 2 ? 3)c e ?1
2

? c] 2 ? [

2(1 ? e 2 ) a e2 ? 1

] 2 =4c ,

2

两边同时除以4a2,化简得
2 3 2 3

(e 2 ? 1) e ?1
1

=e2.从而e2=

1 3

于是λ =l-e2= .即当λ = 时,△PF1F2为等腰三角形. 4.(典型例题)抛物线C的方程为y=ax2(a<0),过抛物线C上一点P(x0,y0)(x0≠0)作斜率为k1, k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1,y1)B(x2,y2)两点(P、A、B三点互不相同),且满足k2+ λ k1=0(λ ≠0且λ ≠-1). (Ⅰ)求抛物线C的焦点坐标和准线方程; (Ⅱ)设直线AB上一点M满足 BM =λ MA ,证明线段PM的中点在y轴上 (Ⅲ)当A=1时,若点P的坐标为(1,-1),求∠PAB为钝角时点A的纵坐标y1的取值范围. [考场错解] (1)抛物线C的方程y=ax2(a<0)得,焦点坐标为( (Ⅲ)∵P(-1,1)在y=ax2上,故a=-1∴y=-x2
a a ,0)准线方程为x=4 4

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由(Ⅱ)易得y1=-(k1+1)2,y2=(k2+1)2,因此,直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为 A(-k1 -1,-k21-2k1-1),B(k1-1,-k21+2k1-1) 于是 AP = (k1+2,k21+2k1), AB =(2k1,4k1), AP, AB ? 2k1(k1+2)(2k1+1)因∠PAB为钝角且P、A、 B三点互不相同,故必有 AP ? AB <0 易得k1的取值范围是 k1<-2或 <kl<0,又∵yl=-(k1+1)2 故当k1<-2时,y<-1;当- <k1<0时-1<yl<1 2 1 4 1 2

即y1∈ . [专家把脉] 没有掌握好抛物线的标准形式及交并集的概念. [对症下药] (1)由抛物线C的方程y=ax2(a<0)得,焦点坐标为(0,
1 1 ),准线方程为y=- . 4a 4a

(Ⅱ)证明:设直线PA的方程为y-y0=k1(x-x0),直线 PB的方程为y-y0=k2(x-x0). 点P(x0,y0)和?点A(x1,y1)的坐标是方程组 ? ?
? y ? y0 ? k1 ( x ? x0 ) (1)
2 ? ? y ? ax (2)

的解.将②式代入①式得ax2-k1x+klx0-y0=0,于是 x1+x0= 又点P(x0,y0)和点B(x2,y2)的坐标是方程组 ? ?

k1 k ,故x1= 1 -x0③ a a

? y ? y0 ? k1 ( x ? x0 ) (4)
2 ? ? y ? ax

(5)

的解.将⑤式代入④式得ax2-k2x+k2x0-y0=0.于是x2+x0= 由已知得,k2=-λ kl,则x2= ? k1 ? x0 ⑥
a

k2 k ,故x2= 2 -x0, a a

?

设 点 M 的 坐 标 为 (xM,yM) , 由 BM = λ MA , 则 xM=
xM ? ? x0 ? ?x0 ? ? x0, 1? ?

x2 ? ?x1 .将③式和⑥式代入上式得 1? ?

即xM+x0=0.所以线段PM的中点在y轴上. (Ⅲ)因为点P(1,-1)在抛物线y=ax2上,所以a=-1,抛物线方程为y=-x2. 由③式知x1=-k1-1,代入y=-x2得y1=-(k1+1)2. 将λ =1代入⑥式得x2=k1-1,代入y=-x2得y2=- (k2+1)2. 因此,直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为 A(-k1,-1,-k21-2k1-1),B(k1-1, -k12+2k1-1). 于是 AP =(k1+2,k12+2k1), AB =(2K1,4K1), AP ? AB = 2k1(k1+2)+4kl(k12+2k1)=2k1(k1+2)(2k1+1). 因∠PAB为钝角且P、A、B三点互不相同,故必有 AP ? AB <0.

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求得 k1的取值范围是 k1<-2或 y1<-1;当- <k1<0时,-1<y1<- ).
1 4 1 2

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1 <k1<0 .又点 A 的纵坐标 y1满足 y1=-(k1+1)2,故当k1<-2时, 2

1 .即y1∈(-∞,-1)U(-1, 4

专家会诊 1.判定直线与圆锥曲线交点个数的基本方法是联立方程组,判断方程组解的组数,对于 直线与双曲线的交点个数问题还可借助直线与渐近线斜率的关系来判断, 而直线与抛物 线的位置关系则可借助直线与抛物线对称轴的位置关系来判定,不可混淆. 2.涉及弦长的问题中,应熟练地利用韦达定理,设而不求计算弦长,不要蛮算,以免出 现差错. 3.涉及弦长的中点问题,常用“差分法”设而不求,将弦所在直线的斜率,弦的中点坐标 联系起来,相互转化。 考场思维调练 1 设椭圆
x2 m
2

?

y2 n
2

? 1 ,双曲线

x2 m
2

?

y2 n2

? 1 ,抛物线y =2(m+n)x,(其中m>n>0)的离心率分别

2

为e1、e2、e3,则 ( ) A.e1e2>e3 B.e1e2<e3 C e1e2=e3 D.e1e2与e3大小不确定 答案: B 解析:e1=
1? n n , e2 ? 1 ? , e3 ? 1.3e1 ? e2 ? m m m2 ? n 2 m2 ? 1, 故选 B.

2 已知平行四边形ABCD,A(-2,0),B(2,0),且|AD|=2 (1)求平行四边形ABCD对角线交点E的轨迹方程. 答案:设 E(x,y),D(x0,y0)
? ? ??? ? ? 2 ??? ? , ∵ABCD 是平行四边形,∴ ??? AB AD AE

∴(4,0)+(x0+2,y0)=2(x+2,y) ∴(x0+6,y0)=(2x+4,2y)
? x0 ? 6 ? 2 x ? 4 ? ∴? ? ? ?y ? 2y ? 0 ? x0 ? 2 x ? 2 ?? ? y0 ? 2 y
2

又|AD|=2,∴(x0+2)2+y0 =4, 2 ∴(2x-2+2) =4 即:x2+y2=1 ∴ ABCD 对角线交点E的轨迹方程为x2+y2=1. (2)过A作直线交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点,且|MN|= 距离为 ,求椭圆的方程.
4 3
8 2 ,MN的中点到了轴的 3

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答案:设过 A 的直线方程为 y=k(x+2) 以 A、B 为焦点的椭圆的焦距 2C=4,则 C=2 设椭圆方程为
x2 a2 ? y2 b2 ? 1, x2 a2
?

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?

y2 a 2? 4

?1
?0

(*)

将 y=k(x+2)代入(*)得
2 2 2

x2 a2
4

k 2 ( x ? 2)2 a2 ? 4
2

即(a2+a2k2-4)x +4a k -a +4a =0 设 M(x1,y1),N(x2,y2)则
x1 ? x2 ? 4a2k 2 4?a ?a k
2 2 2

, x1 ? x2 ?
4 3

4a2k 2 ? a4 ? 4a2 a 2 ? a 2k 2 ? 4

∵中点到轴的距离为 ,且 MN 过点 A,而点 A 在 y 轴的左侧,∴MN 中点也在 y 轴的左侧。
2a 2 k 2 a ?a k ?4 8 ? a2 3
2 2 2

?

?

4 ?8 ,? a 2 k 2 ? 2a 2 ? 8,? x1 ? x2 ? , 3 3

x1 ? x2 ?

? ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1x2 8 4 ? ( ) 2 ? (8 ? a 2 ) 3 3 8 8 ?| MN |? 2 ? 1 ? k 2 | x1x2 |? 2 3 3 64 32 4 2 128 ? (1 ? k 2 )( ? ? a )? 9 3 3 9

即 12a +12a k -32k =160 ∴12a +12(2a -8)-32k =160 ∴k2= ∴a ·
2 2 2 2 2

2

2 2

2

9a 2 ? 64 8

9a 2 ? 64 ? 2a 2 ? 8,9a 4 ? 80a 2 ? 64 ? 0 8
2 2

(a -8)(9a -8)=0,∵a>c=2, ∴a =8 2 2 2 ∴b =a -c =8-4=4, ∴所求椭圆方程为
x2 y 2 ? ? 1. 8 4

(3)与E点轨迹相切的直线l交椭圆于P、Q两点,求 |PQ|的最大值及此时l的方程. 答案:由(1)可知点 E 的轨迹是圆 x 2 ? y 2 ? 1 设是圆上的任点,则过(x0,y0)点的切线方程是 x0x+y0y=1 当 y0≠0 时, y ?
1 ? x0 x 代入椭圆方程得: y0

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? ( x0 2 ? 1) x 2 ? 4 x0 x2 , x1x2 ? 32 x0 2 ? 30 x0 2 ? 1 1 ( x0 ? 1)
2 2

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(2 x0 2 ? y0 2 ) x 2 ? 4 x0 x ? 2 ? 32 y0 2 ? 0, , 又x0 2 ? y0 2 ? 1

? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1x2 ? ? (1 ? (1 ? ? ? x0 2 ) )(x1 ? x2 ) 2 ? y0
2 x0

?

1 ( x0 ? 1)
2 2

4 (?128 x0 ? 8 x 2 ? 120 | PQ |2

?
2 y0

2 y0

( x1 ? x2 ) 2

1 1 ? (?128 x0 4 ? 8 x0 2 ? 120) 1 ? x0 2 (1 ? x0 2 ) 2
2 16 x0 ? 15

(1 ? x0 2 ) 2

2 令 16x0 ? 15 ? t ? 31

则 | PQ |2 ?

1 256t 256 ? ? , t ? 1 2 t 2 ? 2t ? 1 1 ( ) t? ?2 16 t

∵15≤t<31 ∴当 t=15 时|PQ| 取最大值为 15,|PQ|的最大值为 15 此时 16 x02 ? 0,? y0 ? 1,? 直线 l 的方程 为 y=±1. ②当时,容易求得故所求的最大值为 15 ,此时l的方程为y=±1. 命题角度5 对轨迹问题的考查 1.(典型例题)已知双曲线的中心在原点,离心率为若它的一条准线与抛物线y2=4x的准线重 合,则该双曲线与抛物线y2=4x的交点到原点的距离是 ( ) A.2 3 ? 6 B. 21
2

C.18+12 2 D.21 [考场错解] C [专家把脉] 对双曲线的定义理解不够深刻. [对症下药] B 设双曲线方程为
x2 a2 ? y2 b2

=1, 由题意得

c a2 则双 ? 3 ,? ? ?1 则a= 3 b= 6 , a c

? x2 y 2 ?1 x2 y 2 ? ? 曲线方程为 ? =1,由 ? 3 6 得A(3,2 3 ) , 3 6 ? 2 ? y ? 4x

故交点到原点的距离为 32 ? (2 3 )2 ? 21. 2. (典型例题)已知点A (-2, 0) 、 B(3, 0), 动点P(x, y)满足 PA ? PB =x2, 则点P的轨迹是 ( )

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A. 圆 C.双曲线 B.椭圆 D.抛物线

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[考场错解] C 由 PA ? PB =x2,得(-2-x,-y)? (3-x,-y)=x2 即(-2-x)(3-x)+(-2x)(-y)+(-y)(3-x)+ (-y)?(-y)=x2 化简得y2+2xy-x-3y-6=0则点 P的轨迹是C. [专家把脉] 没有理解数量积的坐标运算. [对症下药] D 考查了圆锥曲线中的轨迹方程. 由题 PA =(-2-x,-y), PB =(3-x,-y),由 PA ? PB =x2. ∴(-2-x)?(3-x)+y2=x2即y2=x+6. 3.(典型例题)如图,直线l1:y=kx(k>0)与直线l2:y=-kx之间的阴影区域 (不含边界)记为W,其 左半部分记为W1,右半部分记为W2. (1)分别用不等式组表示 W1和W2; (Ⅱ)若区域Ⅳ中的动点p(x,y)到l1,l2的距离之积等于d2,求P点的轨迹C的方程; (Ⅲ)设不过原点O的直线l与(Ⅱ)中的曲线C相交于Ml,M2两点,且与l1,l2分别交于M3,M4 两点,求证△OM1M2的重心与△OM3M3的重心重合. [考场错解] (1)W1={(x,y)|y≠±kx x<0|W2={(x,y)}y=±kx,x>0| (Ⅱ)直线l1:kx-y=0 直线l2:kx+y=0由题意得
| kx ? y | k ?1
2

?

| kx ? b | k ?1
2

=d2即

| k 2 x2 ? y 2 | k ?1
2

=d2

∴k2x2-y2±(k2+1)d2=0故动点P的轨迹C的方程为k2x2-y2±(k2+1)d2=0 (Ⅲ)略 [专家把脉] 没有很好地理解题意,第二问出现两解,致使第三问过于复杂难以完成. [对症下药] 解:(I)W1={(x,y)|kx<y-kx,z< 0|,W2={(x,y)|kx<y<bc,x>0}, (Ⅱ)直线l1:kx-y=0 直线l2:kx+y=0,由题意得
| kx ? y | k ?1
2

?

| kx ? b | k ?1
2

=d2,即

k 2 x2 ? y 2 k ?1
2

=d2,

由P(x,y)∈W,知k2x2-y2>0, 所以
k 2 x2 ? y 2 k ?1
2

=d2,即k2x2-y2-(k2+1)d2=0,

所以动点P的轨迹C的方程为k2x2-y2-(k2+1)d2=0; (Ⅲ)当直线J与,轴垂直时,可设直线J的方程为,x=a (a≠0).由于直线l,曲线C关于x轴 对称,且l1与l2关于x轴对称,于是M1M2,M3M4的中点坐标都为(a,0),所以△OM1M2, △OM3M4的重心坐标都为( a,0),即它们的重心重合, 当直线l1与x轴不垂直时,设直线J的方程为y=mx+n(n ≠0).
2 3

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由? ?

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?k 2 x 2 ? y 2 ? (k 2 ? 1)d 2 ? 0 , 得(k2-m2)x2-2mnx-n2-k2d2-d2=0 ? y ? mx ? n ?

由直线l与曲线C有两个不同交点,可知k2-m2≠0且△=(2mn)2+4(k2-m2)?x(n2+k2d2+d2)>0 设M1、M2的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2= 设M3、M4的坐标分别为(x3,y3),(x4,y4), 由?
? y ? kx ? y ? ?kx n ?n 及? 得x3= ,x4= k ?m k?m ? y ? mx ? n ? y ? mx ? n
2mn k ? m2
2

2mn k 2 ? m2

,y1+y2=m(x1+x2)+2n,

从而x3+x4=

=x1+x2,

所以y3+y4=m(x3+x4)+2n=m(x1+x2)+2n=y1+y2, 于是△OM1M2的重心与△OM3M4的重心也重合. 4.(典型例题)已知椭圆
x2 a2 ? y2 b2

=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1(-c,0)、F2(c,0),Q是椭

圆外的动点,满足 | F1Q | =2a,点P是线段F1Q与该椭圆的交点,点T在线段F2Q上,并且满 足 PT ? TF2 =0,| TF2 |≠0. (1)设x为点P的横坐标,证明| F1P |=a+ x ; (Ⅱ)求点T的轨迹C的方程; (Ⅲ)试问:在点T的轨迹C上,是否存在点M,使△F1MF2的面积S=b2,若存在,求 ∠F1MF2的正切值;若不存在,请说明理由. [考场错解] (1)证明:由焦半径公式得 F1P =a+ ex=a+ x (Ⅱ)设点T的坐标为(x、y) 由 | PT | ? | TF2 | =0 得 PT ? TF2又 | PQ |?| PF2 |?| QF |? TF2 , 在△QF1F2中 OT ?
1 2 2 2 | F1Q |? a 故有x +b = a (x=±a) 2
c a c a

(Ⅲ)C上存在M(x0,y0)使s=b2的充要条件是:
2 2 ? x0 ? y0 ? a 2 (1) ? ?1 2 ? ? 2c | y0 |? b (2) ?2

又 MF1 =(-C-x0-y0), MF2 =(c-x0,y0) 由 MF1 ? MF2 =x02-c2+y20=a2-c2=b2 即 | MF 1 || MF2 | sin∠FlMF2 1 || MF 2 | cos∠F1MF2=b 又s= | MF
2

1 2

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得tan ∠FlMF2=2 [专家把脉] (1)没有注意证明题的书写格式(2)思考问题不够全面. [对症下药] (1)证法一:设点P的坐标为(x,y).由P(x,y)在椭圆上,得
| F1P |? ( x ? c)2 ? y 2 ? ( x ? c)2 ? b 2 ? b2 a
2

x 2 ? (a ?

c 2 x) . 2 a

由|x|≤a,知a+ x ≥-c+a>0,所以 | F1P | =a+

c a

c x. a

证法二:设点P的坐标为(x,y).记 | F1P |? r1,| F2 P |? r2 , 则r1= ( x ? c)2 ? y2 ,r2= ( x ? c)2 ? y2 .

由r1+r2=2a,r21-r22=4cx,得 | F1P | =r1=a+ x . 证法三:设点P的坐标为(x,y).椭圆的左准线方程a+ x =0. 由椭圆第二定义得
| F1P | | x?
c a c a

c a

a | c

2

?

c c a2 c 即 | F1P |? | x ? |?| a ? x | . a a c a
c a

由x≥-a,知a+ x ≥-c+a>0,所以 | F1P | =a+ x (Ⅱ)解法一:设点T的坐标为(x,y). 当 | PT | =0时,点(a,0)和点(-a,0)在轨迹上. 当 | PT |? 0 且 | TF2 |? 0 时,由 | PT | ? | TF2 | =0,得 | TP |? TF2 . 又 | PQ |?| PF2 | ,所以T为线段F2Q的中点. 在△QF1F2中, | OT |?
1 2 2 2 | F1Q | =a,所以有x +y =a 2

综上所述,点T的轨迹C的方程是x2+y2=a2 解法二:设点T的坐标为(x,y).当| | PT | |=0时,点(a,0)和点(-a,0)在轨迹上. 当 | PT |? 0 且 TF2 ? 0 时,由 PT ? TF2 ? 0 又| PQ |=| PF2 |,所以T为线段F2Q的中点.

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? ?x ? 设点Q的坐标为(x',y'),则 ? ? ?y ? ? ? x'? c 2 , y' . 2

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因此 ?

? x ' ? 2 x ? c, ① ? y ' ? 2 y.

由 | F1Q | =2a得(x'+c)2+y'2=4a2.② 将①代入②,可得x2+y2=a2. 综上所述,点T的轨迹C的方程是x2+y2=a2 (Ⅲ)解法一:C上存在点M(x0,y0)使S=b2的充要条件是
2 2 ? x0 ? y0 ? a 2 , (3) ? ?1 2 ? ? 2c | y0 | b .(4) ?2

由③得,|y0|≤a,由④得,|y0|≤ 当a<

b2 b2 ,所以,当a≥ 时,存在点M,使S=b2; c c

b2 时,不存在满足条件的点M. c b2 时, MF1 =(-c-c0,-y0), MF2 =(c-c0,-y0), c

当a≥

由 MF1 ? MF2 =x02-c2+y20=a2-c2=b2,
MF 1 ? MF2 ?| MF 1 | ? | MF2 | cos ?F 1MF2 , S? 1 2 | MF 1 | ? | MF2 | sin ?F 1MF2 ? b , 得 tan ?F 1MF2 ? 2. 2

解法二:C上存在点M(x0,y0)使S=b2的充要条件是
0 0 ? x2 ? y2 ? a 2 , (3) ? ?1 2 ? ? 2c | y0 |? b .(4) ?2

由④得|y0| ? 于是,当a≥ 当a<

b2 b4 ,上式代入③得x20=a2- 2 c c b2 时,存在点M,使s=b2; c

=(a-

b2 b2 ) (a+ )≥0. c c

b2 时,不存在满足条件的点M. c
y y b2 时,记k1=kF1M= 0 , k2 ? kF 2M ? 0 , x0 ? c x0 ? c c

当a≥

由|F1F2|<2a,知∠F1MF2<90°,所以tan∠F1MF2= |

k1 ? k 2 | =2. 1 ? k1k2

专家会诊 (1)求轨迹方程的本质是用代数形式将动点的运动规律表示出来,实质上是一个翻译过

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程,故选取一定解题策略找到动点运动规律的一些表现形式是关键,往往和研究曲线几 何性质,讨论直线与曲线位置关系等联系在一起. (2)求轨迹要注意取值范围和“杂点”的去除. 考场思维训练 1 已知椭圆:
x2 a2 ? y2 b2

=1(a>b>0),点户为其上一点,F1、F2为椭圆的焦点,∠F1PF2的外角

平分线为l,点F2关于l的对称点为Q,F2Q交l于点R. (1)当P点在椭圆上运动时,求R形成的轨迹方程; 1. 答案:∵点 F2 关于 l 的对称点为 Q,连接 PQ, ∴∠F2PQ=∠QPR,|F2R|=|PQ|=|PF2|又因为 l 为∠F1PF2 外角的平分线,故点 F1、P、Q 在同一 直线上,设存在 R(x0,y0),Q(x1,y1),F1(-c,0),F2(c,0). 2 2 2 |F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,则(x1+c) +y1 =(2a) .
x ?c ? x ? 1 ? ? 0 2 又 ? y 1 ?y ? ? 0 2 ?

得 x1=2x0-c,y1=2y0. 2 2 2 2 2 2 ∴(2x0) +(2y0) =(2a) , ∴x0 +y0 =a 故R的轨迹方程为:x2+y2=a2(y≠0) (2)设点R形成的曲线为C,直线l:y=k(x+ 2 a)与曲线C相交于A、B两点,当△AOB的面积取得 最大值时,求k的值. 答案:如下图:∵S△AOB= |OA|?|OB|?sinAOB= 当∠AOB=90°时,S△AOB 最大值为 a
| 2 ak | 1? k2

1 2

a2 sinAOB 2

1 2

2.

此时弦心距|OC|=

.

在RT△AOC中,∠AOC=45°,∴

| OC | 2 ak 2 3 ? ? cos 45 °= ,? k ? . | OA | a 1 ? k 2 2 3

2 已知两点M(-2,0),N(2,0),动点P在y轴上的射影为H,| PH |是2和 PM ? PN 的等比中项. (1)求动点P的轨迹方程,并指出方程所表示的曲线;
? ? (? x,0), ?? ?? ? (?2 ? x,? y) 2. 答案:设动点的坐标为 P(x,y),则 H(0,y), ???
PH PM

??? ? ? (2 ? x,? y) ? ?? ??? ??? ? ? (-2-x,-y)·(2-x,-y)=x -4+y
PN PM PN
2 2 2

2

2

?? ? ??? ? ,即 x =2(x -4+y ) ?? ?? =|x|,由题意得|PH| =2? ?? PM PN
| PH |

2

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x2 y 2 =1,所以点P的轨迹为椭圆 ? 8 4

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(2)若以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q,求实轴最长的双曲线C的方程. 答案:由已知求得 N(2,0)关于直线 x+y=1 的对称点 E(1,-1),则|QE|=|QN| 双曲线的C实轴长2a=|QM|-|QN|=||QM|-|QE||≤|ME|= 10 (当且仅当Q、 E、 M共线时取 “= ” ), 双曲线C的实半轴长a=
10 2

3 已知△OFQ的面积为2 6 ,且 OF ? FQ =m. (1)设 6 <m<4 6 ,求向量 OF 与 FQ 的夹角θ 正切值的取值范围; 答案: ? ?2
?1 | ??? ? | ? | ??? ? | sin(? ? ? ) ? 2 6
OF FQ

?| ??? ? | ? | ??? ? | cos? ? m FQ ? OF

∴tanθ = ∴
?
4

4 6 ,? 6 ? m ? 4 6 ?1 ? tan? ? 4 m

? ? ? arctan4.

(2)设以O为中心,F为焦点的双曲线经过点Q(如图),| OF |=c,m= 最小值时,求此双曲线的方程. 答案:设所求的双曲线方程为
x2 a
2

6 ? 1)c2 ,当 | OQ | 取得 4

?

y2 b2

? 1(a ? 0, b ? 0), Q( x1, y1),则 ??? ? ? ( x1 ? c , y1)
FQ

? S?OFQ ? y1 ? ?

1 ? | ??? ? | ? | y1 |? 2 6 , OF 2 4 6 又由 ??? ? ? ??? ? OF FQ c 6 ? 1)c 2, 4 96 c2 ? 3c 2 ? 12 . 8

? (c,0) ? ( x1 ? c, y1 ) ? ( x1 ? c) ? c ? ( ? x1= 6 2 2 c,?| ??? ? |? x1 ? y1 ? OQ 4

当且仅当 c=4 时,| O A | 最小此时Q的坐标为( 6 , 6 )或( 6 ,? 6 )
6 ?6 ? 2 ? 2 ?1 a b ? 2 ? ? ? ?a ? 4 ?? ? 2 ? ? ?b ? 12 ? 2 2 ?a ? b ? 16 ? ?

?

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所求方程为
x2 y 2 ? ? 1. 4 12

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(3)设F1为(2)中所求双曲线的左焦点,若 A、B分别为此双曲线渐近线 l1、l2上的动点,且 2|AB|=5|F1F|,求线段AB的中点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线. 答案:设 A(x1,y1),B(x2,y2)l1 的方程为 y=- 3 x, l2 的方程为 y=- 3 x 则有 y1= 3 x 1① y2=- 3 x 2②∵2|AB|=5|FF1|
? 2 ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 5.2c ? 40



? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 20(3)设M ( x, y )由(1)(2)得y1 ? y2 ? 3 ( x1 ? x2 ) y1 ? y2 ? 3 ( x1 ? x2 ) ? 2 y ? 3 ( x1 ? x2 ), y1 ? y2 ? 2 3 x ? x1 ? x2 ? 2y 3 ,

y1-y2=2 3 x 代入③得 ( ∴

2y 3

)2 ? (2 3 x)2 ? 400

y2 x2 ? ? 1 ? M的轨迹为焦点在y轴上的椭圆. 300 100 3

命题角度6 考查圆锥曲线中的定值与最值问题 1. (典型例题)如图, 点A、 B分别是椭圆
x2 y 2 =1长轴的左、 右端点, 点F是椭圆的右焦点. 点 ? 36 20

P在椭圆上,且位于x轴的上方,PA⊥PF. (1)求点P的坐标; (2)设M椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点M的距离d 的最小值. [考场错解] (1)设P(x,y)则 AP =(x+6,y) 则2x2+9x+18=0.∴x= ∴点P的坐标( ,
3 或x=-6 2

? x2 y 2 ?1 ? ? FP ? (x-4,y)由已知可得 ? 36 20 ? 2 ?( x ? 6)(x ? 4) ? y ? 0

3 5 3 )或(-6,0). 2 2
|k ?6| 2

(2)直线AP: x- 3 y+6=0, 设点M(A, 0)则M到直线AP的距离为

于是

|k ?6| ?| k ? 6 | 解 2

得k=2或 18 i)当k=2时,椭圆上的点(x,y)到点M的距离为d,d2=(x-2)2+y2= x= 时d取最小值 15 舍去
9 2

4 9 (x- )2+15.∴当 9 2

ⅱ)当k=18时,同理得d2= (x-

4 9

81 2 81 ) -385当x= 时,d2=-385矛盾,故 2 2

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综上所述:当x= 时d取得最小值 15
9 2

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[专家把脉] 没有考虑到椭圆的分面有界性,致使思路不清晰,计算繁琐. [对症下药] [解](1)由已知可得点A(-6,0),F(0,4)
? x2 y 2 ?1 ? ? 设点P(x,y),则 AP =(x+6,y), FP =(x-4,y),由已知可得 ? 36 20 ? 2 ?( x ? 6)(x ? 4) ? y ? 0

则 2x2+9x-18=0,x= 或x=-6.由于y>0,只能x= ,于是y= 点P的坐标是( ,
3 5 3 ) 2 2

3 2

3 2

5 3 . 2

(2) 直线 AP的方程是 x- 3 +6=0 .设点 M(m ,0) ,则 M 到直线 AP的距离是
| m?6| = |m-6|,又-6≤m≤6,解得m=2. 2

| m?6| .于是 2

椭圆上的点(x,y)到点M的距离d有,d2=(x-2)2+y2 =x2-4x+4+20- x2 = (x- )2+15, 由于-6≤m≤6,∴当x= 时,d取得最小值 15 2.(典型例题)如图,直线y=
1 1 x严与抛物线y= x2-4交于A、B两点,线段AB的垂直平分线与 2 8 9 2

5 9

4 9

9 2

直线y=-5交于点Q. (1)求点Q的坐标 (2)当P为抛物线上位于线段AB下方(含点A、B)的动点时,求△OPQ面积的最大值. [考场错解] (1)略(Ⅱ)由(1)得Q(5,-5) 直线OQ的方程为x+y=0 设P(x, d=
| x? 1 2 x ?4| 1 1 5 5 8 ? | x 2 ? 8 x ? 32 |,| OQ |? 5 2 ? S? OPQ ? | OQ | d ? | x 2 ? 8 x ? 32 |? | ( x ? 4) 2 ? 48 | 2 16 16 2 8 2

1 2 x -4)∵点P到直线OQ的距离 8

∵-4≤x≤8. ∴S△OPQ最大值=

5 |(-4+4)2-48|=15 16

[专家把脉] 要注意二次函数最大值的求法. [对症下药]
1 ? y? x ? ? x ? ?4 ? ? x2 ? 8 ? 2 ,? 2 , 即A(-4,-2),B(8,4),从而AB的 (1)解方程组 ? ,得 ? 1 ? y1 ? ?2 ? ? y ? 1 x2 ? 4 ?y ? 4 ? 8 ?
1 ,得线段AB的垂 2

中点为M(2,1),由 k AB ?

直平分线方程y-1=-2(x-2).令y=-5,得x=5,∴Q(5,-5).

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1 2 x -4) , ∵ 点 P 到 直 线 OQ 的 距 离 8

(2) 直 线 OQ 的 方 程 为 x+y=0 , 设 P(x ,
| x? 1 2 x ?4| 1 8 ? | x 2 ? 8 x ? 32 || OQ |? 5 2 . 2 8 2
1 5 2 | OQ | d ? | x ? 8 x ? 32 | . 2 16

d=

? S?OPQ ?

∵P为抛物线上位于线段AB下方点,且P不在直线OQ上. ∴ -4≤x<4 3 -4或4 3 -4<x≤8.∴S△OPQ最大值=30 3.(典型例题)设椭圆方程为x2+
1 2

y2 =1,过点M(0,1)的直线l交椭圆于点A、B、O是坐标原 4
1 2 1 2

点,点P满足 OP ? (OA ? OB) ,点N的坐标为( , ),当l绕点M旋转时,求: (Ⅰ)动点户的轨迹方程; (Ⅱ) | NP | 的最小值与最大值. [考场错解] (1)①若l的斜率存在,设为k,则l:y =kx+1代入4x2+y2=4中得,(k2+4)x2+2kx-3=0 ∴x1+x2=
? OP ? (
?2 k k ?4
2

y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 ?

8 k ?4
2

?k 4 4 x k , ) ? k 2 ? ? 4, ? ? y y 4 k2 ? 4 k2 ? 4

i)A=0时,x=0 y=1,∴P(0,1) ii)k≠0时,k=
4 x ?4? ? y y ? 4 ?4 y 4

∴P点的轨迹为:x2+y2-y=0(y≠O) ②若l不存在斜率,∴A、B为上、下顶点.∴P(0,0) (2)解:∵N( , ),i),∵k不存在时P(0,0),?| PN |? iii)k≠0时x2+(y- )2= 。 又∵N( , ) ?| NP | max=2r=1 ∴ | NP | min=0. [专家把脉] 思路不清晰. [对症下药] (1)解法一:直线l过点M(0,1),设其斜率为A,则J的方程为y=kx+1. 记A(x1,y1)、B(x2,y2),由题设可得A、B的坐标(x1,y1)、(x2,y2)是方程组 ? ? 解.
? y ? kx ? 1, (1)
1 1 2 2 1 2 1 4 1 1 2 2

2 2 1). ?| PN |? , ii) k=0时P(0, , 2 2

的 y2 2 ? 1(2) ?x ? 4 ?

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2 2

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于是

2k ? , ? x1 ? x2 ? ? ? 4 ? k2 将①代入②并化简得.(4+k )x +2kx-3=0.所以 ? ?y ? y ? 8 1 2 ? 4 ? k2 ?

OP ?

1 x ? x y ? y2 ?k 4 (OA ? OB) ? ( 1 2 , 1 )?( , ). 2 2 2 4 ? k2 4 ? k2

?k ? , ?x ? 2 ? 4 ? k 设点P的坐标为(x,y),则 ? ?y ? 4 , ? 4 ? k2 ?

消去参数k得 4x2+y2-y=0. ③ 当k不存在时,A、B中点为坐标原点(0,0),也满足方程③,所以点P的轨迹方程为 4x2+y2-y=0 解法二:设点P的坐标为(x,y),因A(x1,y1)、B(x2,y2)在椭圆上,所以
2 x1 ? 2 x2 ? 2 y1 ? 1, ④ 4 2 y2 ? 1⑤ 4

2 2 2 2 ? x2 ? ( y1 ? y2 )?0 ④-⑤得 x1

1 4

所以(x1-x2)(x1+x2)+ (y1-y2)(y1+y2)=0 当x1≠x2时,有
1 y ?y x1 ? x2 ? ( y1 ? y2 ) ? 1 2 ? 0 ⑥ 4 x1 ? x2
? x1 ? x2 , ?x ? 2 ? y ?y ? 并且 ? y ? 1 2 , ⑦ 2 ? ? y ? 1 y1 ? y2 ? x ? x ?x 1 2 ?

1 4

将⑦代入⑥并整理得4x2+y2-y=0.⑧ 当x1=x2时,点A、B的坐标为(0,2)、(0,-2),这时点p的坐标为(0,0)也满足⑧,所以点 P的轨迹方程为
x2 ? 1 16 1 ( y ? )2 2 ? 1. 1 4
1 1 1 。 即- ≤x≤ 所以 16 4 4

(Ⅱ)解法:由点P的轨迹方程知x2≤

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1 1 1 1 1 7 | NP |2 ? ( x ? )2 ? ( y ? )2 ? ( x ? )2 ? ? 4 x 2 ? ?3( x ? )2 ? 2 2 2 4 6 12

| NP | 取得最小值, | NP | 取得最大值, 故当x= 时, 最小值为 , 当x= ? 时, 最大值为
1 2

1 4

1 4

1 6

21 . 6

4.(典型例题)如图,P是抛物线C:y= x2上—点,直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q. (1)若直线l与过点P的切线垂直,求线段PQ中点 M的轨迹方程; (Ⅱ)若直线l不过原点且与x轴交于点S, 与y轴交于点T, 试求 取值范围. [考场错解] (1)设P(x1,y1)、Q(x2,y2)、M(x0,y0) 由y= x2①得y'1=x x2+
2 2 x -x1 -2=0 x1
1 2

| ST | | ST | 的 ? | SP | | SQ |

∴直线l的方程为y= x12=-

1 2

1 (x-x1)②联立①②消去y得, x1

∵M为PQ的中点,

x1 ? x2 1 ? ?? ? x0 ? 2 x1 ? ∴? ? y ? 1 x2 ? 1 ( x ? x ) 0 1 0 1 ? 2 x1 ?

消去x1得y0=x02+

1
2 2 x0

?1

∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2+

1 2x2

+1.

(Ⅱ)设直线y=kx+b,分别过P、Q作PP'⊥x轴, QQ'⊥y轴垂足分别为P'、Q'则
| ST | | ST | | OT | | OT | |b| |b| ? ? ? ? ? , | SP | | SQ | | P' P | | Q' Q | | y1 | | y2 |

由?

1 2 ? ?y ? x 消去x得y2-2(k2+b)y+b2=0③ 2 ? y ? kx ? b ?

则? ?
?

? y1 ? y2 ? 2(k 2 ? b)
2 ? ? y1 y2 ? b

| ST | | ST | 1 1 1 ? ?| b | ( ? )? 2|b| ? 2|b| | SP | | SQ | | y1 | | y2 | | y1 y2 |

1 b2

?2

?

| ST | | ST | 的取值范围是[2,+∞]. ? | SP | | SQ |

[专家把脉] (1)没有注意“杂点”的去除;(Ⅱ)没有注意利用重要不等式 时等号成立的条件. [对症下药] 解法:(1)设P(x1,y1)、Q(x2,y2)、M (x0,y0),依题意x1≠0, yl>0,y2>0. 由y= x2,① 得y'=x.
1 2

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∴过点P的切线的斜率k切=x1, ∵x1=0不合题意, ∴x1≠0. ∴直线l的斜率k1= ?

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1 2 1 1 1 ? ? ,直线l的方程为y- x 1= ? (x-x1).② x 2 k切 x

方法一:联立①②消去y,得x2+ ∵M为PQ的中点,
x1 ? x2 1 ? ?? ? x0 ? 2 x1 ? ?? ? y ? 1 x 2 ? 1 ( x ? x). 0 1 0 ? 2 x1 ?

2 2 x -x 1-2=0. x1

消去x1,得y0=x02+
1 2

1
2 2 x0

+1(x0≠0),∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2+
1 2

1 2x2

+1(x≠0),

方法二:由y1= x21,y2= x22,x0= 则x0=
y1 ? y2 1 ? k1=x1 ? x2 x1

x1 ? x2 1 1 1 ,得y1-y2= x21- x22= (x1+x2)(x1-x2)=x0(x1-x2), 2 2 2 2

∴x1=-

1 , x0

将上式代入②并整理,得y0=x20+ ∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2+

1
2 2 x0

+1(x0≠0),

1 2x2

+1(x≠0).

(Ⅱ)设直线l:y=kx+b,依题意k≠0,b≠0,则T(0,b).分别过P、Q作PP'⊥x轴,QQ' ⊥y轴,垂足分别为p'、 Q',则
| ST | | ST | | OT | | OT | |b| |b| ? ? ? ? ? . | SP | | SQ | | P' P | | Q' Q | | y1 | | y2 |

由?

1 2 ? ?y ? x 消去x,得y2-2(k2+b)y+b2=0.③ 2 ? y ? kx ? b ?

则? ?

? y1 ? y2 ? 2(k 2 ? b),
2 ? ? y1 y2 ? b .

方法一:
? | ST | | ST | 1 1 ? ?| b | ( ? )? 2|b| | SP | | SQ | y1 y2 1 b2 ? 2.

∵y1、y2可取一切不相等的正数, ∴
| ST | | ST | 的取值范围是(2,+∞). ? | SP | | SQ |

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方法二:∴
| ST | | SP | ? | ST | | SQ | ?| b | y1 y 2

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?| b | 2(k 2 ? b) b2 .

y1 ? y 2

当b>0时, 当b<0时,

| ST | | ST | 2(k 2 ? b) 2(k 2 ? b) 2k 2 =|b| +2>2; ? ? ? | SP | | SQ | b b b2 | ST | | ST | 2(k 2 ? b) 2(k 2 ? b) =-b ? ? . | SP | | SQ | b b2

又由方程③有两个相异实根,得△=4(k2+b)2-4b2= 4k2(k2+2b)>0. 于是k2+2b>0,即k2>-2b. 所以
| ST | | ST | 2(?2b ? b) ? ? ?2 | SP | | SQ | ?b
2k 2 可取一切正数, b

∵当b>0时,
?

| ST | | ST | 的取值范围是(2+∞). ? | SP | | SQ |

方法三: 由P、Q、T三点共线得kTQ=kTP, 即
y2 ? b x
2

?

y1 ? b . x1

则x1y2-bx1=x2y1-bx2,即b(x2-x1)=(x2y1-x1y2). 于是b=
x2 ? 1 2 1 2 x1 ? x1 ? x2 1 2 2 ? ? x1x2 . x2 ? x1 2
|? 1 1 x1x2 | | ? x1x2 | x x 2 2 ? ?| 2 | ? | 1 |? 2. 1 1 1 2 x x 1 2 x2 x2 2 2

| ST | | ST | | b | | b | ? ? ? ? ? | SP | | SQ | y1 y2

?|

x2 | ST | | ST | 的取值范围是(2,+∞). | 可取一切不等于l的正数, ? x1 | SP | | SQ |

专家会诊 ①直线过定点的问题,常用直线系的思想处理. ②定值问题常常用函数的思想处理, 即把所求定值通过一些基本变量表示, 最终化成常 数. ③最值问题往往用几何方法,函数或不等式等方法处理. 考场思维调练 1 已知椭圆C:
x 2 y 2 m2 (m>0),经过其右焦点F且以 a =(1,1)为方向 ? ? 5 3 2

向量的直线l交椭圆C于A、B两点,M为线段AB的中点,设O为椭圆的 中心,射线 OM交椭圆C于N点. (Ⅰ)证明: OA ? OB ? ON;

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(Ⅱ)求 OA ? OB 的值.

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答案: a = m2 , b2 ? m2 ,? c 2 ? a 2 ? b2 ? m2 ∵直线 l 过焦点 F(m,0)且与向量 a(1,1)平行, ∴直线 l 的方程为:y=x-m 将其代和椭圆 C 的方程,并整理可得:8x2-10mx- m 2 ? 0 …① 设 A(xA,yA),B(xB,yB),M(xM,yM),N(xN,yN). ∵M 是线段 AB 的中点,在方程①中由韦达定理,可得:
x A ? xB 5 3 ? m, yM ? xM ? m ? ? m, 2 8 8 5 3 ? M ( m, m). 8 8 xM ?
5 2

2

5 2

3 2

设 N’为 OM 延长线上的点,且 M 为 ON’的中心,则 N’ ( m,? m),且四边形OAN ' B为 平行四 边形,将 N’的坐标代入椭圆 C 方程的左端并化简得 ? ( m)2 ? ? (? m)2 ? m2 , N’点在椭圆 C 上,N’与 N 点重合, ∴四边形OANB为平行四边形于是 OA ? OB ? On. 2 已知椭圆C:
x2 a
2

5 4

3 4

1 5

5 4

1 3

3 4

1 2

?

y2 b
2

右焦点分别为F1、 F2, 离心率e= ? 1 (a>b>0)的左、
9 4

1 ,P1为椭圆上一点, 2

满足 F1F2 ? P 1F2 ? 0, P 1F1 ? P 1F2 ? , 斜率为k的直线l过左焦点F1且与椭圆的两个交点为P、Q,与y轴交点为C,点Q分有向线 段 GF1 所成的比为λ . (Ⅰ)求椭圆C的方程. 答案:设 | P 1F 1|?r 1,| P 1F2 | ? r2 , F 1F2 ? P 1F2 ? 0, △P2F1F2 为直角三角形且∠P1F2F1=90°, 则 r1cos∠F1P1F2,由
P 1F 1?P 1F2 ? 又e ? 9 9 3 3 2 9 b2 3 2 ? r1r2 cos F1P F ? ? r ? , 由 ( 2 a ? ) ? ? 4 c 得 ? , 1 2 2 4 4 2 2 4 a 2

c 1 ? , 解得a 2 ? 4, b2 ? 3, a 2 x2 y 2 ? ?1 4 3

? 椭圆C的方程为

(Ⅱ)设线段PQ中点R在左准线上的射影为H,当 1≤λ ≤2时,求|RH|的取值范围.

39

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答案:可求得|RH|=3
3 3 ? 4k 2

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在 y=k(x+1)中,令 x=0 得 y=k,即得 G(o,k),定比分点坐标公式
? k2 ? 3 3 45 ? k 2 ? 24, (3? 2 ? 8? ? 4),显然f (? ) ? 3? 2 ? 8? ? 4 在[1,2]上递增,∴ 4 4

1 1 ?| RH |? 3 . 33 16

3 过椭圆C:

x2 a
2

?

y2 b2

=1(a>b>0)外一定点A(m,0)作一直线l交椭圆C:于P、Q两点,又Q关于

x轴对称点为Ql,连结PQ1交x轴于B点. (1)若 AP ? λ AQ ,求证 PB =λ BQ1. ,
3. 答案:连结 AQ1,因为 Q 与 Q1 关于 x 轴对称,而 A 在 x 轴上则在△APQ1 中, AB 平分∠PAQ1

由内角平分线定理可知:|A P :| AQ | ?| PB | :| BQ1 |而AP ? ?AQ ? AP与AQ 同向 ,故λ >0 且 |A Q1 ?| AQ |则 | PB | :| BQ1 | ? ?, 又 P、B、Q1 在同一直线且 PB 与 BQ1同向 于是有: PB ? ? BQ1 (2)求证:点B为一定点(
a2 ,0). m

答案: 设过 A (m,0) 的直线 l 与椭圆 C: 2 ?
a

x2

y2 b2

交于 P (x1,x2) ,Q(x2,y2),Q1 ?1,

与 Q 关于 x 轴对称,则 Q1(x2,-y2) 由 a2
2 x1

?

2 y1

b

2

? 1及

2 x2

a

2

?

2 y2

b

2

? 1相减得

( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) a
2

?

( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) b2
b 2 ( x ? x2 ) a 2 ( y1 ? y2 )

?0

? k PQ ?

y1 ? y2 b 2 x1 ? x2 ? 2? 1 x1 ? x2 a y ? y2 a 2 y1 ( y1 ? y2 ) b 2 ( x1 ? x2 )

PQ直线方程 : y ? y1 ? ?

( x ? x1 )

而 PQ 过 A(m,0),则有:
m ? x1 ? ? a 2b 2 ? b 2 x1x2 ? a 2 y1 y2 b 2 ( x1 ? x2 )

而 PQ1 过 B(Xb,0),同理可求得:
xB a 2b 2 ? b 2 x1x2 ? a 2 y1 y2 b 2 ( x1 ? x2 )
2

下面利用分析法证明:mxB=a ,
即证 : ( a 2b 2 ? b 2 x1x2 ) 2 ? ( a 2 y1 y2 ) 2 [b 2 ( x1 ? x2 )]2
2 2 2 2 2 2 2


2 2 2

只需证: [a b +b x1x2-ab (x1+x2)][a b +b x1x2+ab (x1+x2)]=(a y1y2) 2 2 2 2 2 2 只需证: b [a -a(x1+x2)+x1x2]·b [a +a(x1+x2)+x1+x2]=(a y1y2) 4 2 2 即证: b (a-x1)(a-x2)(a+x1)(a+x2)=(a y1y2)

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② ③

2 2 2 而(x1,y1)在椭圆上,则 b2(a2- x1 ) ? x1 y1

2 2 2 同理 b2 (a2 ? x2 ) ? a2 y2


2

由③?④可知②成立,从而①式得证.mxB=a 成立. ∴xB=
a2 m ?点B为一定点( a2 ,0) m

另法:证(1)设 l 直线过 A(m,0)和椭圆交于 P(x1,y1),Q(x2,y2),而 Q1 与 Q 关于 x 轴 对称,则 Q1(x1,-y2) 由 AP ? ?AQ ,则 y1-0=λ (y2-0) ∴0-y1=λ (-y2-0)
(2) 由AP ? ?AQ, 则m ? 由AP ? ?AQ, 则xB ?

∴ PB ? ? BQ1.
x1 ? ?x2 1? ?



x1 ? ?x2 ② 1? ?
2 2 x1 ? ?2 x2

由①?②得 mxB ?

2 x1
2 x1

1 ? ?2



a2

?

2 y1

b2

?1


?由y1 ? ?y2 ,由 ④-⑤? ?2得
2 2 x1 ? ?2 x2
2 x1

a2

?

2 y1

b2

?1

a2

?

2 ?2 x2

a2

? 1 ? ?2

2 2 x1 ? ?2 x2 ? a2 (1 ? ?2 )

1 ? ?2

? a2

由③⑥可知 mxB=a ∴点B为一定点 (

2

∵ xB ?

a2 m

a2 ,0). m

探究开放题预测 预测角度l 椭圆 1.以椭圆两焦点为直径端点的圆,交椭圆于四个不同点,顺次连结这四个点和两个焦点, 恰好围成一个正六边形,那么这个椭圆的离心率等于( ) A.
2 2 B. 3 3 C. 3 ? 1 D. 3 ? 1

[解题思路] 利用正六边形的性质,求出交点坐标,代入椭圆方程中,可求e. [解答]C 设椭圆方程为
x2 a
2

?

y2 a ? c2
2

c 3 ? 1, 则( , c) 2 2

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在椭圆上,∴
c2 4a
2

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c ? 3 ? 1. a

?

3c2 a ?c
2 2

? 1, 解得e ?

2.设F1、F2为椭圆的两个焦点,椭圆上有一点P与这两个焦点张成90度的角,且∠ PF1F2>PF2F1,若椭圆离心率为
6 ,则∠PF1F2:∠PF2F1 3

为( ) A.1:5 B.1:3 C.1:2 D.1:l [解题思路] 求角的比,联想到运用正弦定理,转化为焦半径的比,再利用合比性质解 三角形. [解答]A 提示:设∠PF1F2=α ,则∠PF2F1=90°-α ,0<α <45°,在△PF1F2中,由正弦定 理得:
| PF1 | | PF2 | 2c | PF1 | ? | PF2 | ? ? ,? ? 2c. ? cos? sin ? cos? ? sin ? sin 90 sin ? ? cos? ? a 3 6 3 ? ? , sin(? ? 45? ) ? ,? 0 ? ? ? 45? ,? ? ? 15? , ?PF2 F1 ? 75? , ?PF1F2 : ?PF2 F1 ? 1 : 5. c 2 2 6
P )的准线为下准线,焦点为下焦点,椭圆和抛物线分别与 2

3.已知一椭圆以抛物线x2=2p(y+

直线x= 3 y 在第一象限内交于点A、B,且A为OB的中点(O为原点). (1)求椭圆的离心率; (2)若椭圆过点(0,5),求抛物线和椭圆的方程. [解题思路] (1)运用椭圆第二定义;(2)椭圆过点 (0,5)可求出F,运用定义求出两方程. [解答] (1)由已知抛物线的准线为y=-p,焦点为坐标原点,所以椭圆的下准线为y=-p,下 焦点为原点O,则点B的坐标是方程组
p ? 2 ? x ? 2 p( y ? ) 2 2 2 2 2 的解,由方程组得3y =2py+p ,即3y -2py-p =0 ? ?x ? 3 y ?

解之得yl=p,y2= ?

p 3

(舍去) ∴B( 3 p,p),A(

3p p , ). 2 2

由点A在椭圆上,根据椭圆的第二定义有
3p 2 p ) ? ( )2 2 2 2 ? e得,e ? 3p 3 2

| OA | =e (dA为A到椭圆下准线的距离) dA

(

即得

(2)椭圆过点(0,5),故

5 5 5 2 2 ? 得p= , ∴抛物线的方程为x =5(y+ ) 2 4 5? p 3 5 2

设M(x,y)为椭圆上任一点,由椭圆下焦点为(0, 0),下准线为y=- ? ,离心率为 . 4.椭圆的中心是原点O,它的短轴长为2 2 ,相应于焦点F(c,0)(c>0)的准线l与x轴相交于点 A,|OF|=2|FA|,过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.

2 3

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(1)求椭圆的方程及离心率; (2)若 OP ? OQ =0,求直线PQ的方程;

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(3)设 AP =λ AQ (λ >1),过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M,证明 FM =λ FQ . [解题思路] (1)设出椭圆的方程,由a、b、c的关系及|OF|=2|FA|可求.(2)运用设而不求 的方法求直线PQ的斜率; (3)运用向量的坐标,将M、E点表示出来,即可求证. [解答] (1)解:由题意,可设椭圆的方程为
?a 2 ? c 2 ? 2, ? 由已知得 ? a2 ?c ? 2( ? c) c ?

x2 a2

?

y2 = 1(a> 2 ). 2

解得a= 6 ,c=2.
x2 y 2 6 。 ? ? 1 ,离心率e= 3 6 2

所以椭圆的方程为

(2)解:由(1)可得A(3,0).
? x2 y 2 ? ?1 设直线PQ的方程为y=k(x-3). 由方程组 ? ?6 2 ? y ? k ( x ? 3) ?

得(3k2+1)x2-18k2x+27k2-6=0,依题意△= 12(2-3k2)>0,得设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2= x1x2=
27k 2 ? 6 3k 2 ? 1 18k 2 2k 2 ? 1

6 6 <k< . 3 3

,①



由直线PQ的方程得y1=k(x1-3),y2=k(x2-3).于是 yly2=k2(x1-3)(x2-3)=k2[x1x2-3(x1+x2)+9].③ ∵ OP ? OQ =0, ∴xlx2+y1y2=0. ④ 由①②③④得5k2=1,从而k= ?
5 6 6 (? , ). 5 3 3

所以直线PQ的方程为x- 5 y-3=0或x+ 5 -3=0 (3)证明: AP =(x1-3,y1), AQ =(x2-3,y2).由已知得

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? x1 ? 3 ? ? ( x2 ? 3), ? ? y1 ? ?y2 , ? 2 5? ? 1 ? 2 方程组 ? x1 ? y1 ? 1, 注意λ >1,解得x2= 2? 6 2 ? ? 2 2 ? x2 ? y2 ? 1. ?6 2 ?

因F(2,0)、M(x1,-y1),故 FM =(x1-2,-y1)=(λ (x2- 3)+1,-y1)=( 而 FQ =(x2-2,y2)=( 预测角度2 双曲线 1. 双曲线
? ?1 ,y2),所以 FM =-λ FQ . 2?

1? ? ? ?1 ,-y1)=-λ ( ,y2). 2 2?

x2 y 2 =1的左右焦点分别为F1、 F2、 p是双曲线右支上一点, I为△PF1F2的内心, ? 4 5

PI交x轴于Q点,若|F1Q|=|PF2|,则I分线段PQ的比为 A.2 B
3 2 C. 1 2 D. 2 3

(

)

[解题思路] 利用双曲线的第一定义及三角形内心的性质求得. [ 解 答 ]A = 设
| PI | | IQ |

= λ

, 由 内 角 平 分 线 性 质 定 理 知 , λ

| PI | | F1P | | FP| ? , 又 | F1Q | ? | F2 P |? 1 ? ?. | IQ | | F1Q | | F2 P |

又|F1P|-|F2P|=4, ∴|F2P|= ∴|F2Q|=

4

? ?1

,

1 4 4 4 |F2P|= ,∴|F1F2|= |F1Q|+|QF2|=|PF2|+|QF2|= =6, ? ? ? (? ? 1) ? ? 1 ? (? ? 1)

解方程,得λ 1=- (舍去),λ 2=2,故I分PQ的比为2.选A 2. 2.设A是双曲线
x2 a
2

1 3

?

y2 b2

? 1 (a>0,b>0)的右顶点,P是双曲线上除顶点外的任一点,过 A作

两渐近线的平行线分别交直线OP于Q和R两点. (1)求证:|OP|2=|OQ|?|OR|; (2)试确定双曲线上是否存在这样的点P,使得△AQR的面积等于
ab ,如果存在,则求 4

出点P的坐标;如果不存在,请说明理由. [解题思路] (1)联立OP与渐近线方程,求出Q、R点坐标,从而可证;(2)反证法,假 设存在这样的点户,利用S△ARQ=S△OARQ-S△OAR,求出点P的坐标,检验是否符合条件. [解答] (1)证明:设P(x0,y0)(y0≠0),则直线OP的方程为y=
y0 2 2 2 2 2 2 x ,且b x0 -a y0 =a b . x0

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? ?y ? 由? ? ?y ? ? ? y0

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x, abx0 aby0 x0 得Q点坐标为 ( , ). bx ? ay bx b 0 0 0 ? ay0 ( x ? a), a

? y0 ? y ? 0 x, abx0 aby0 x 由? 得R点坐标为 ( , ). ? bx ? ay bx ? ay0 b 0 0 0 ? y ? ? ( x ? a), ? a ?

∴|OQ|?|OR|=

2 2 ab x0 ? y0

| b0 ? ay0 |

?

2 2 ab x0 ? y0

| bx0 ? ay0 |

?

2 2 a 2b2 ( x0 ? y0 ) 2 2 b2 x0 ? a 2 y0

=x02+y02=|OP|2.

即|OP|2=|OQ|?|OR|. (2)假设存在这样的点 P,依据双曲线的对称性,可先讨论 P 在第一象限内的情形. 设 P(x0,y0)(x0>0,y0>0),yQ>yR 则 S△ARQ=S△OARQ-S△OAR= a(yQ-yR) = a(
1 2 aby 0 bx 0 ? ay 0 ? aby 0 bx 0 ? ay 0 )? a 3 by 0
2 2 b 2 x0 ? a 2 y0

1 2

?

2 ay 0

b

.

由 S△ARQ=

ab b b2 5 ,得, ∴y02= ,从而 y0= ,∴x0= a 2 4 4 2

所以第一象限内的点 P(

b 5 a, )符合条件. 2 2

根据双曲线的对称性,另外还有三个这样的点 P(- )
b 2

5 5 5 b b a, )、P(a,- )和 P( a, 2 2 2 2 2

3.已知焦点在 x 轴上的双曲线 C 的两条渐近线过坐标原点且两条渐近线与以点 A(0 2 ) 为圆心,1 为半径的圆相切,又知 C 的一个焦点与 A 关于直线 y=x 对称。 (Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ)设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A、B两点,另一直线l经过M(-2,0)及AB的中点, 求直线l在y轴上的截距b的取值范围; (Ⅲ)若Q是双曲线C上的任一点,F1F2为双曲线C的左、右两个焦点,从F1引∠F1QF2的平分 线的垂线,垂足为N,试求点N的轨迹方程。 [解题思路](1)直接设方程可求;(2)联立方程求出直线L的方程由k的范围从而求出b的 范围;(3)运用相关点法求点N的轨迹方程 [解答](Ⅰ)设双曲线C的渐近线方程为y=kx,则kx-y=0
2 ∵该直线与圆x2+(y- 2 ) =1相切,∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x。

故设双曲线C的方程为
2 2

x2 a
2

?

y2 a2

。 ? 1 ,又双曲线C的一个焦点为(0 2 )
2 2

∴2a =2,a =1. ∴双曲线C的方程为x -y =1.

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(Ⅱ)由 ? ?
? y ? mx ? 1
2 2 ? ?x ? y ? 1
2 2

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得(1-m )x -2mx-2=0

2

2

令f(x)=(1-m )x -2xm-2 直线与双曲线左支交于两点,等价于方程f(x)=0在(-∞,0)上有两个不等实根。
? ?? ? 0 ? ? 2m 因此 ? ? 0 解得1<m< 2 2 ?1 ? m ? ?2 ?0 ? ?1 ? m 2

又AB中点为( 令x=0,得b=

m 1 1 )∴直线l的方程为y= (x+2). , 1 ? m2 1 ? m 2 ? 2m2 ? m ? 2
1
2

? 2m ? m ? 2

=

2 . 1 17 ? 2(m ? )2 ? 4 8

∵m∈(1, 2 ), ∴-2(m- ) +
1 4
2

17 ∈(-2+ 2 ,1) 8

∴b∈(-∞,-2- 2 ) ∪(2,+∞)。 (Ⅲ)若Q在双曲线的右支上,则延长QF2到T,使|QT|=|QF1|, 若Q在双曲线的左支上,则延长QF2到T,使|QT|=|QF1|, 根据双曲线的定义|TF2|=2,所以点T在以F2( 2 ,0)为圆心,2为半径的圆上,即点T的轨 2 2 迹方程是(x- 2 ) +y =4(x≠0)① 由于点 N 是线段 F1T 的中点,设 N(x,y)、T(xT,yT).
? x ? 2 ?x ? T ? 2 则, ? ? y ? yT ? 2 ?

即? ?

? xT ? 2 x ? 2 ? ? yT ? 2 y

代入①并整理得点 N 的轨迹方程为 x2+y2=1.(x≠

2 ). 2

预测角度 3 抛物线 1.点 0 为抛物线 y2=4x 上任一点,点 P(a,0)恒满足|PQ|≥a,则 a 的取值范围是 ( A.[-∞,0) B.(-∞,2] C.[0,2] D.(0,2) [解题思路] 利用数形结合法或排除法. [解答]A 显然 a≤0 时,|PQ|≥a 恒成立,排除 B、 C、D. 2.过抛物线 x2=4y 上不同两点 A、B 分别作抛物线的切线相交于 P 点,PA?PB=0 (1)求点 P 的轨迹方程;

)

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(2)已知点 F(0,1),是否存在实数入使得 PA ? PB +λ ( FP )2=0? 若存在,求出 A 的值,若不存在,请说明理由. [解题思路] (1)运用转移法;(2)运用向量的坐标表示的充要条件求出λ . [解答] 解法(一):(1)设 A(x1,
2 x1 x2 ),B(x2, 2 4 4

), (x1≠x2)由 x2=4y,得:y'=

x 2

∴kPA=

x1 x ,kPB= 2 2 2

∵PA?PB=0,∴PA⊥PB,∴x1x2=-4 直线 PA 的方程是:y2 x1 x x x x2 x x x2 ? 1 (x-x1)即 y= 1 ? 1 ①同理,直线 PB 的方程是:y= 2 ? 2 4 2 2 4 2 4



x ?x ? x? 1 2 ? ? 2 由①②得: ? (x1,x2∈R), x x ? y ? 1 2 ? ?1 ? 4 ?

∴点 P 的轨迹方程是 y=-l(x∈R). (2)由(1)得: FA =(x1,
FP ? (
2 x ?x x1 x2 ? 1 ), FB =(x2, 2 -1),P ( 1 2 ,-1) 2 4 4

x1 ? x2 , -2), x1x2=-4 2

FA ? FB =x1x2+ 1)(

2 x1 x2 ? x2 x2 ? x2 ( x ? x )2 -1)=-2- 1 2 , ( FP)2 ? 1 2 +4= 1 2 +2 4 4 4 4

所以 FA ? FB =0,故存在λ =1 使得 FA ? FB +λ ( FB )2=0. 解法(二) :直线 PA、PB 与抛物线相切,且 FA ? FB =0。

∴直线 PA、PB 的斜率均存在且不为 0,且 PA⊥PB,设 PA 的直线方程是 y=kx+m(k,m∈R, k≠0) 由? ?
? y ? kx ? m 2 得x ? 4kx ? 4m ? 0,? ?16k 2 ? 16m ? 0 2 ? ?x ? 4 y

即 m=-k2 即直线 PA 的方程是:y=kx-k2 同理可得直线 PB 的方程是: y ? ? x ?
? y ? kx ? k 2 由? ? 1 1 ?y ? ? x ? 2 k k ?
1 ? ? x ? k ? (? R ) k ? y ? ?1 ?

1 k

1 k2

得: ?

故点 P 的轨迹方程是 y=-1(x∈k). (2)由(1)得: A(2k , k 2 ), B(? ,
2 1 1 ), P(k ? ,?1) k k2 k

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2 1 1 FA ? (2k , k 2 ? 1), FB ? (? , 2 ? 1), FP ? (k ? ,?2) k k k 1 1 2 2 FA ? FB ? ?4 ? (k ? 1)( 2 ? 1) ? ?2 ? (k ? 2 ) k k 1 1 ( FP)2 ? ( ? k )2 ? 4 ? 2 ? (k 2 ? 2 ),故存在? ? 1使得FA ? FB ? ? ( FP)2 ? 0 k k

3.自点 A(0,-1)向抛物线 C:y=x2 作切线 AB,切点为 B,且点 B 在第一象限,再过线段 AB 的中 点 M 作直线 l 与抛物线 C 交于不同的两点 E、F,直线 AF、AE 分别交抛物线 C 于 P、Q 两点。 (Ⅰ)求切线 AB 的方程及切点 B 的坐标; (Ⅱ)证明 PQ ? ? AB(? ? R) [解题思路](1)利用导数求 B 的坐标; (2)坐标法证明。 [解答](Ⅰ)由题意可设切线 AB 的方程为:y=kx-1, 代入 y=x2 得 x2-kx+1=0, ? ? ? k 2 ? 4 ? 0 ∵点 B 在第一象限,∴k=2, ∴切线 AB 的方程为:y=2x-1 ∵y=x2, ∴y’=2x, ∵y’=2, ∴x=1, ∴y=x2=1 ∴切点 B 的坐标为(1,1) (Ⅱ)由(Ⅰ)线段 AB 的中点 M( ,0) ,设直线 l 的方程为 y=m(x- ), 点 E(x1,x12)、F(x2,x22)、P(x3,x32)、Q(x4,x42) 由? ?
? 1 y ? m( x ? ) 2
1 2 1 2

? y ? x2 ?

得 x2-mx+ m=0

1 2

∵直线 l 与抛物线 C 交于不同的两点 E、F,∴△=m2-2m>0.解得 m>2 或 m<0 ∴x1+x2=m,x1x2= m,
2 2 ? AB ? (1,2), PQ ? ( x4 ? x3, x4 ? x3 ) ? ( x4 ? x3 )(1, x4 ? x3 ),

1 2

? A、P、F 共线,∴KAP=KAF ?
2 2 x3 ? 1 x2 ?1 2 2 ? ,? x2 x3 ? x2 ? x3 x2 ? x3 x3 x2

∴(x3-x2)(x2x3-1)=0 ? x2≠x3,x2x3=1 同理由 A、E、Q 共线得 x1x4=1
? x4 ? x3 ? 1 1 x ?x m ? ? 1 2 ? ?2 1 x1 x2 x1x2 m 2

? PQ ? ( x4 ? x3 )(1,2) ? ? AB(? ? R)

预测角度 4 直线与圆锥曲线

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1.直线 y=x+3 与曲线

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( )

y2 x | x | ? ? 1 的公共点的个数是 9 4

A.1 B.2 C.3 D.4 [解题思路]讨论 x≥0 或 x<0,再运用数形结合的方法. [解答]将 y=x+3 代入
x?? 24 y2 x | x | ;当 x<0 时,有 ? ? 1, 得 4x2-9x|x|+24x=0.当 x≥0 时,有 x=0 或 5 9 4

24 . 故应选取 C。也可以由数形结合法求得。 13 3 x2 ? y 2 ? 1 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆于 M、N 两点,设 MN ? . 2 4

2.过椭圆

(Ⅰ)求直线 l 的斜率 k; (Ⅱ)设 M、N 在椭圆右准线上的射影分别为 M1、N1,求 MN ? M1N1 的值。 [解题思路](1)运用弦长公式求直线 l 的斜率 k; (2)利用向量数量积公式。 [解答](Ⅰ)F( 3 ,0 ) ,l:y=k(x- 3 ) 由? ?
?x2 ? 4 y 2 ? 4 ? ? y ? k(x ? 3)

,得(1+4k2)x2-8 3 k2x+12k2-4=0
8 3k 2 1 ? 4k 2

设 M(x1,y1) 、N(x2,y2),则 x1+x2= x1?x2=
12k 2 ? 4 1 ? 4k 2





3 ?| MN |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1x2 ③ 2

把①②代入③,并整理,得

5 3 4(1 ? k 2 ) ,解得 k ? ? ? 2 2 1? k2

(Ⅱ)设 MN 与 M1N1 的夹角为θ ,0<θ < 则由(Ⅰ)知 tan( ? ? ) ?
2

? 2

?

5 2

? tan? ?

2 5

? cos? ?

5 3 5 5 ? MN ? M1N1 ?| MN || M1N1 | cos? ?| MN |2 cos2 ? ? ( )2 ? ? . 3 2 9 4

3.已知圆 M:x2+y2-6x+a=0(a<9)上有四个点 A、B、C、D(A、B、C、D 顺时针排列) ,满足
AB ? AD ? AC, 且AB ? AC ? AD ? AC, 而直线 CD 的一个方向向量的坐标为(3,1) 。

(1) 求直线 AC 及 BD 的斜率; (2) 如果在 x 轴上方的 A,B 两点在一条以原点为顶点,以 x 轴为对称轴的抛物线上,求抛 物线方程及直线 CD 的方程。

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[解题思路](1)运用公式 tan ?

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k1 ? k2 求直线 AC 及 BD 的斜率; 1 ? k1 ? k2

(2)设而不求的方法求抛物线方程. [解答](1) ? AB ? AD ? AC,? 四边形 ABCD 为平行四边形。 又∵四边形 ABCD 内接于圆,∴四这形 ABCD 为矩形 由 AB ? AC ? AD ? AC, 得BD ? AC ? 0,? BD ? AC, ∴四边形 ABCD 为正方形。 由∠D 的方向向量坐标是(3,1)得 kCD= . 由∠DCA=∠BDC=45°得 tan45°= 解得 kAC=- ,kBD=2. (2)设抛物线方程为 y2=2px 代入⊙M 的方程 x2+y2-6x+a=0 得 x2+(2p-6)x+a=0(*) 设 A( x1, 2 px1 ) 、 B
( x2 , 2 px2 )(其中x1 ? x2 ),则x1, x2是方程(*)的两个不等的实根,? x1 ? x ? 6 ? 2 p, x1x2 ? a, k AB ? 2 px1 ? 2 px2 x1 ? x2 ? kCD ? 1 3

1 3

kCD ? k AC kBDkCD ? ?1 1 ? kCD ? k AC 1 ? kBD ? kCD

1 2

即 3 2 p ? x1 ? x2 ,?18 p ? x1 ? x2 ? 2 x1x2 即 a +3-10p=0 ①∵AM⊥BM,圆心 M(3,0) ∴kAM?kBM=
2 px1 ? 2 px2 ( x1 ? 3)(x2 ? 3) ? ?1, 即 2 p x1x2 ? x1x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 9 ? 0

∴ 2 p a ? a ? 18 ? 6 p ? 9 ? 0

②由①,②得 ?

1 ? ?p ? 2 ?a ? 4 ?

∴抛物线方程为 y2=x,由方程(*)得 x1=1,x2=4, ∴A(1,1) ∴lAB 为 y-1= (x-1)即 x-3y+2=0 ∵CD//AB, ∴设 lCD 为 x-3y+t=0 ,由 M(3,0)到 AB、CD 的距离相等可求得 t=-8, ∴CD 的方程为 x-3y-8=0 4.已知椭圆 C: 点,满足
F1F2 ? P 1F2 ? 0, P 1F 1?P 1F2 ? 4 , 斜率为 k 的直线 l 过左焦点 F1 且椭圆的两个交点为 P、Q,与 y 9 1 3

x2 a
2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0)的左 、右焦点分别为 F1、F2,离心率 e=

1 ,P1 为椭圆上一 2

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轴交点为 G,点 Q 分有向线段 GF1 所成的比为λ . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程。 (Ⅱ)设线段 PQ 中点 R 在左准线上的射影为 H,当 1≤λ ≤2 时,求|RH|的取值范围。 [解题思路](1)利用椭圆的第一定义与余弦定理求椭圆 C 的方程; (2)由定比分点求 K 的 范围,从而求|RH|的取值范围。 [解答](1)设 | P 1F 1 |? r 1,| P 1F2 |? r2 , F 1F2 ? P 1F2 ? 0, ?P 1F 1F2 为直角三角形且∠P1F2F1=90°,则 r1cos ∠F1P1F2=r2,由 P 1F 1?P 1F2 ? 由 (2a ? )2 ? ? 4c2得
3 2 9 4
4 9 3 ? r1r2 cos F1P ? r2 ? 1F2 ? 9 4 2

b2 3 c 1 ? ,?又e ? ? c 2 a 2 x2 y 2 ? ? 1. 4 3

解得 a2=4,b2=3∴椭圆 C 的方程为 (2)可求得 | RH |? 3 ?
3 3 ? 4k 2

, 在 y=k(x+1)中,令 x=0,得 y=k,即得 G(0,k),
3 4

由这下比分点坐标公式 ? k 2 ? (3?2 ? 8? ? 4) 显然 f(λ )=3λ 2+8λ +4 在[1,2]上递增,∴
45 1 1 ? k 2 ? 24,? 3 ?| RH |? 3 . 4 33 16

预测角度 5 轨迹问题 1.设 F(2,0) ,动点 P 到 y 轴的距离为 d,则满足点 P 的轨迹方程是 y2=8x 和 y=0(x≤0)的 一个条件是 ( ) A.|PF|-d=-2 B.|PF|-d=2 C.|PF|-d=-3 D.|PF|-d=3 [解题思路]由抛物线的定义性质可判断。 [解答]当点 P 在原点时,选择支 A、C、D 均错;也可正面验证 B 的正确性。 2 . 已 知 两 点 M ( -2 , 0 ) ,N(2,0)动点 P 在 y 轴上的射影是 H,如果
PH ? PH , PM ? PN分别是公比为2的等比 数列的第三、四项,

(1) 求动点 P 的轨迹 C; (2) 已知过点 N 的直线 l 交曲线 C 于 x 轴下方两个不同点 A,B,设 R 为 AB 的中点, 若过 R 与定点 Q(0,-2)的直线交 x 轴于点 D(x0,0) ,求 x0 的取值范围 [解题思路](1)由向量坐标运算求动点 P 的轨迹方程 C; (1)设直线 l 的斜率 k,运用 直线与双曲线的位置关系求出 k 的范围,从而求 x0 的取值范围。 [解答](1)设 P(x,y),则 H(0,y), PH ? (? x,0), PM ? (?2 ? x,? y), PN ? (2 ? x,? y),
2 2 2 ∴ PH ? PH ? x , PM ? PN ? x ? 4 ? y ,

∴2x2=x2-4+y2, ∴P 的轨迹方程为:y2-x2=4(x≠0)。

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?k 2 ? 1 ? 0, ? 2 ? ? 0, ? ? k ? 1. 依题意 ? ? 2 y ? y ? 0 , ? 1 2 ?y ? y ? 0 ? 1 1

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(2)将 y=k(x-2)代入 y2-x2=4 得(k2-1)y2-4ky-8k2=0

则 AB 的中点 R 为( 令 y=0 得 x0=

2k 2
2

k ?1 k ?1

,

2k
2

) ,可得 RQ 的方程为 y+2=

k2 ? k ?1 k2

x

2 2 ( ? k ? 1) ,则单调性可得 2<x0<2 2 +2. 1 1 2 4 2 ?( ? ) ? k 2 5

3.设 x1,x2∈R,常数 a>0,定义运算“ ? ”x1 ? x2=(x1+x2)2,定义运算“ ? ”x1 ? x2=(x1-x2)2 (1)若 x≥0,求动点 P(x, ( x ? a) ? ( x ? a) 的轨迹 C 的方程; ) (2) 已 知 直 线 l:y=
1 x+1 与 ( 1 ) 中 的 轨 迹 C 交 于 A ( x1,y1 ) ,B(x2,y2) 两 点 , 若 2

( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? 8 15 , 试求 a 的值;

(3)设 P(x,y)是平面上任一点,定义:d1(p)=

1 [(x ? y) ? ( x ? y)], d2 ( p) ? ( x ? a) 在轨迹 C 2

上是否存在两点 A1、A2,使其满足 d1(Ai)= 2 d2(Ai)(i=1,2),若存在,请求出 d1(A1)+d1(A2) 的值;若不存在,请说明理由。 [解题思路](1)由条件易求轨迹 C 的方程; (2)利用弦长公式求 a 的值; (3)由根与系 数的关系解得 a 的范围,从而求出 d1(A1)+d1(A2)的值。 [解答](1)y= ( x ? a)2 ? ( x ? a)2 ? 2 ax , 所以 y2=4ax(y≥0) (2)将 y= x+1 代入 y2=4ax,得 x2+4(1-4a)x+4=0, 由
?? ? 16(1 ? 4a) 2 ? 16 ? 0 ? 1 ? ? x1 ? x2 ? ?4(1 ? 4a) ? 0,得a ? ,因为 2 ?x x ? 4 ? 0 ?1 2 ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? 8 15 , 所以 | AB |? 5 . 4
1 2

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1x2 ? 2 5 ? (1 ? 4a) 2 ? 1, 所以a ? 2.

(3)设 C 上有两点 A1(x1,y1) 、A2(x2,y2),满足 d1(Ai)= 2 d2(Ai)(i=1,2),则
2 xi2 ? yi2 ? a | xi ? a |,所以x1 ? 4axi ? a( xi ? a)2 , 所以x1 、x2 是方程(a-1)x -2(a +2a)x+a =0 的
2 2 3

两根,因为 x1≥0,x2≥0,x1≠x2 所以

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? ?? ? 4(a 2 ? 2a)2 ? 4(a ? 1)a3 ? 0 ? ? 2(a 2 ? 2a) ?0 ? x1 ? x2 ? a ?1 ? ? a3 ?0 ? x1x2 ? a?2 ?

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, 解得 a<1, 所以当 a>1 时存在满足条件的两点, 当 0<a≤1 时, 不存在满足条件的两点, 当 a>1 时(x1-a)(x2-a)=x1x2-a(x1+x2)+a2= ?
5a 2 ?0 a ?1
2a 5a 2 ? 4a a ?1

所以,d1(A1)+d2(A2)= a [d2(A1)+d2(A2)]= a |x1-x2|=

4.(本小题满分 12 分)设 G、M 分别为不等边△ABC 的重心与外心,A(-1,0) 、B(1, 0) ,且 GM // ? AB 。 (1) 求点 C 的轨迹 E 的过程; (2) 若直线 L 过点(0,1) ,并与曲线 E 交于 P、Q 两点,且满足 OP ? OQ ? 0 ,求直线 L 的方程。 [解题思路](1)由三角形重心与外心的性质求点 C 的轨迹 E 的方程; (2)设而不求的 方法求直线 L 的方程。 [解答( ] 1) 设 C(x,y,)则 G( , 则 m= ,由于 | MA |?| MC | 得
y y ( x ? 0)2 ? ( ? y)2 ? 1 ? ( )2 , 3 3
y 3
x y )其中 x? y≠0,设外心 M (0, m) ,由于 GM ? ? AB , 则 GM//AB, 3 3

整理得轨迹 E 的方程是:3x2+y2=3(xy≠0). 设 L 的方程为 y=kx+1,代入 3x2+y2=3.化简得 (k2+3)x2+2kx-2=0 则△=4k2+8(k2+3)>0, 设 P(x.,kx1+1),Q(x2,kx2+1),∴x1+x2=
?2k k2 ? 3 , x1x2 ? ?2 k2 ? 3 ,①

由 OP ? OQ =0,得(kx1+1)(kx2+1)+x1x2=0,即(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+1=0, 结合①得 3k2=1.则 k= ? y= ?
3 x+1. 3 3 .故直线 L 的方程为: 3

预测角度 6 圆锥曲线中的定值与最值问题

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1.若 F1、F2 中二次曲线 C: ?

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? x ? 2 cos? ( ? 为参数)的焦点,P 为曲线 C 上一点,当△ ? y ? sin ?

PF1F2 的面积为 2 时, PF1 ? PF2 的值为

( )

A.0 B.-1 C.1 D.-2 [解题思路]将参数方程化为普通方程,再运用性质可求。 [解答]B 曲线方程为 |x|=
x2 6 ,由 S△F1PF2= 2 , ?| y |? 代入求得 ? y 2 =1,设 P(x,y) 4 3

2 3 2 3 6 ,不妨取 P( ) ,有 PF1 ? PF2 ? ?1 . , 3 3 3

2.已知 OA =(2,0) , OC ? AB ? (0,1), 动点 M 到定直线 y=1 的距离等于 d,并且满足
OM ? AM ? k (CM ? BM ) ? d 2 ,其中 O 是坐标原点,k 是参数。

(1) 求动点 M 的轨迹方程; (2) 当 k= ,求 | OM ? 2 AM | 的最大值与最小值; (3)如果动点 M 的轨迹是一条圆锥曲线,其离心率 e 满足 范围. [解题思路](1)坐标轨迹法可求; (2)运用坐标运算转化为二次函数的最值问题; (3) 由椭圆的性质及 a,b,c 的关系求 k 的取值范围。 [解答](1)设 M(x,y) ,则由 OA =(2,0) , OC ? AB =(0,1)且 O 是坐标原点,得 A (2,0) 、B(2,1) 、C(0,1) ,从而 OM =(x,y), AM =(x-2,y), CM =(x,y,-1),
BM =((x-2),y-1),d=|y-1|,根据 OM ? AM ? k (CM ? BM ? d 2 )

1 2

3 2 ,求 k 的取值 ?e? 3 2

得(1-k)x2+2(k-1)x+y2=0 为所求轨迹方程,当 k=1 时,y=0 时,动点 M 的轨迹是直线; 当 k=0 时, 动点 M 的轨迹是一个圆; 当 k>1 时, 动点 M 的轨迹是一条双曲线; 当 0<k<1 或 k<0 时,动点 M 的轨迹是一个椭圆。 (2)当 k= 时,动点 M 的轨迹方程是(x-1)2+2y2=1,从而
| OM ? 2 AM |2 ? (3x ? 4)2 ? 9 y 2 ? 5 9 5 7 2 ( x ? )2 ? , 又由 (x-1) +2y2=1 得 0≤x≤2,所以当 x= 时, 3 2 3 2 1 2

| OM ? 2 AM | 取得最小值

14 当x ? 0时 | OM ? 2 AM | 取得最大值4. 2

(3) 由于

3 2 ( x ? 1)2 y2 , 所以所求的轨迹是椭圆, 其方程可化为 当 0<k<1 ?e? ? ? 1, 3 2 1 1? k

时,a2=1,b2=1-k,c2=k,e2=k,e2=

c2 a
2

=k, ? ? k ? ; 当 k<0

1 3

1 2

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时,a2=1-k,b2=1,c2=-k,e2=
1 1 1 [?1,? ] ? [ , ]. 2 3 2

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c2 a
2

?

k 1 ,? ?1 ? k ? ? ; 综合知 k 的取值范围是 1? k 2

3.已知△OPQ 的面积为 S,且 OP ? PQ ? 1,| OP |? m, S ? m, 以 O 为中心,P 为焦点的椭圆 经过点 Q。 (1) 当 m∈(1,2)时,求 | OQ | 的最大值,并求出此时的椭圆 C 方程; (2) 在(1)的条件下,过点 P 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M、N 两点,与椭圆 C 对应 于焦点 P 的准线相交于 D 点, MP ? ?1 PN, MD ? ?2 DN, 请找出λ 1、λ 2 之间的关系,并证明你的结论。 [解题思路](1)运用坐标运算转化为函数 f(x)=x+ 易求得。 [解答](1)以 O 为原点, OP所在直 线为 x 轴建立直角坐标系 则 P(m,0),设 Q(x0,y0),由已知 S= m | y0 |? m ? y0 ? ? ∴ OP ? (m,0), PQ ? ( x0 ? m,? ) 由 OP ? PQ ? m( x0 ? m) =1 得 x0 ? m ? ∴Q(m+
1 m 3 2 1 2 3 4 3 2
1 的最值问题; (2)椭圆的第二定义 x

3 4

1 3 1 4 ,? )∴ | OQ |? (m ? )2 ? m 2 m 9 1 1 ,则 f’(m)=1- 2 m m

令 f(n)=m+

当 m∈(1,2)时,f’(m)>0, ∴f(m)在(1,2)上是增函数, ∴当 m=2jf , | OQ | 的最大值为 ( )2 ?
5 2 9 34 ? 4 2

此时 P(2,0) ,椭圆另一焦点为 P’(-2,0) ,则椭圆长轴长 2a=|PQ|+|P’Q|=2 10 ∴a= 10 ,b2=10-4=6,故椭圆方程为
x2 y 2 ? ?1 10 6

(2)方法二:当直线 l 与 x 轴重合时,M( 10 ,0) 、N( ? 10 ,0 ) 、D(5,0)
? 7 ? 2 10 ??1 ? ? ?(2 ? 10 ,0) ? ?1 (? 10 ? 2,0) ? 3 ?? 这时 ? ? 7 ? 2 10 ? ?(5 ? 10 ,0) ? ?2 (? 10 ? 5,0) ?2 ? ? ? 3 ?

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猜想:λ 1+λ 2=0 设过 P(2,0)的直线方程,y=k(x-2) 由? ? x2
? y ? k ( x ? 2) ? ? 10 ? 得(3 ? 5k 2 ) x 2 ? 20k 2 x ? 20k 2 ? 30 ? 0 y2 ?1 6

设 l 与椭圆的两交点为 M(x1,y1) 、N(x2,y2) 则 x1+x2=
20k 2 3 ? 5k
2

, x1x2 ?

20k 2 ? 30 3 ? 5k 2

由题意 P、D 分 MN的比为?1, ?2 ∴λ 1=
x1 ? 2 x ?5 , ?2 ? 1 2 ? x2 5 ? x2
x1 ? 2 x1 ? 5 7( x1 ? x2 ) ? 2 x1x2 ? 20 ? ? 2 ? x2 5 ? x2 (2 ? x2 )(5 ? x2 )
3

?1 ? ?2 ?


??

7(

20k 2

3 ? 5k .3 ? 5k 2 (2 ? x2 )(5 ? x2 )

)?2

20k 2 ? 30

? 20 ?0

故λ 1+λ 2=0 方法二:由题意 P、D 分 MN的比为?1, ?2 过 M、N 分别作准线的垂线,垂足分别为 M1、N1 由定比分点的意义及椭圆的定义得:
?1 ?
| MP | | MM1 | | MD | | MM1 | ? , ?2 ? ? ?? | PN | | NN1 | | DN | | NN1 |

∴λ 1+λ 2=0 4.已知如图,A、B 为两个定点,且|AB|=2,动点 M 到 A 点的距离是 4,线段 MB 的 垂直平分线 l 交 MA 于点 P,直线 k⊥AB 且点 B 到直线 k 的距离为 3。 (1) 求证:点 P 到点 B 的距离与到直线 K 的距离的比为定值。 (2) 若点 P 到 A、 B 两点的距离之积为 m, 当 m 取最大值时, 求 P 点的坐标, (3) 若|PA|-|PB|=1,求 AP ? PB. [解题思路](1)由椭圆的定义可证; (2)运用定义及不等式求最值; (3)由余弦定理 及定义求 AP ? PB. 的值。 [解答]建立直角坐标系,则 A(-1,0) ,B(1,0) ,直线 k:x=4. (1) ∵l 是 MB 中垂线,∴|PA|+|PB|=|PA|+|PM|=4,4>|AB|=2, ∴点 P 的轨迹是以 A, B 为焦点,长轴长为 4 的椭圆,其右准线为 k:x= e=
22 ,即 x=4,且其离心率为 1

1 | AB | 2 1 ? ? , 故 P 到 B 的距离与到直线 k 距离之比为定值 . 2 | AM | 4 2

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| PA | ? | PB | 2 ) ? 4. 当且仅当|PA|=|PB|时取等号。 2

(2) ∵|PA|+|PB|=4, ∴m=|PA|? |PB|≤ (

此时 m 的最大值为 4, P 为椭圆短轴的两个端点, 坐标为 P (0, 3 ) 或P (0, - 3) (3) 由 ?
?| PA | ? | PB |? 1 解得|PA|=5/2,|PB|=3/2,又|AB|=2,在△PAB 中, ?| PA | ? | PB |? 4

5 3 ( ) 2 ? ( ) 2 ? 22 3 9 2 2 ? . AP ? PB ?| AP | ? | PB | cos(? ? ?APB) ? ? . cos∠APB= 5 3 5 4 2? ? 2 2

考点高分解题综合训练 1.已知椭圆 (
A.(0,

x2 y2 ? 2 ? 1 的焦点在 x 轴上,则这一椭圆的离心率 e 的取值范围是 5a 4a ? 1


5 ] 5 1 B.(0, ] 5 D.[ 5 ,1) 5
1 ? a ? 1, 由离心率的定义得: 4
5 , 所以选A 5

1 C.[ ,1) 5

答案: A 解析:由已知条件得 5a>4a2+1, ∴
5a ? 4a 2 ? 1 5a 1 1 4 5 ? 1 ? ( 4a ? ) ? 1 ? ? , 5 a 5 5

e?

? e ? (0,1),

?0 ? e ?

2.设 F1,F2 是双曲线
PF 1 ? PF2 的值为

x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点,P 在双曲线上,当△F1PF2 的面积为 1 时, 4

( ) B.1 D.2

A.0 C.
1 2

答案: A 解析:利用公式可得. 3.已知 A、B 是抛物线 y2=2px(p>0)上两点,O 为坐标原点,若|OA|=|OB|,且△AOB 的垂心为抛物线的焦点,则直线 AB 的方程是 ( ) A.x=p C.x= p 答案: C
5 2

B.x= p D.x=3p 解析:设 AB 的方程是 x=x1,则 A(x1, 2 px1 ) 、B(x1, - 2 px1 ),OA 的斜为

3 2

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2 px1 x1

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,BF 的斜率为

? 2 px1 2 px1 ? 2 px1 5 , 则由 ? ? ?1, 得x1 ? p. p p x 2 1 x1 ? x1 ? 2 2

4.过双曲线

x2 a
2

?

y2 b
2

? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点 F,作渐近线 y ?

b x 的垂线与双曲线左右两 a

支都相交,则双曲线离心率 e 的取值范围为

( )

A.1<e<2 B.1<e< 2 C.e> 2 D.e>2 答案: C 解析:略 5.已知两定点 F1(-8,3) 、F2(2,3) ,动点 P 满足|PF1|-|PF2|=2a,当 a 为 3 或 5 时, 点 P 的轨迹是 ( ) A.双曲线和一直线 B.双曲线和一射线 C.双曲线的一支和一直线 D.双曲线的一支和一射线 答案: D 解析:在双曲线第一定义中,设 F1、F2 是双曲线的左、右焦点则(1) ||PF2|-|PF1||=2a<|F1F2|时,P 点的轨迹是双曲线; (2)当|PF2|-|PF1|=±2a 时,P 点的 轨迹是双曲线的一支,取正号时为左支,取负号时为右支; (3) 当||PF2|-|PF1||=2a=|F1F2|时,P 点的轨迹是以 F1 或 F2 为端点的射线. 6.若椭圆
x2 a2 ? y2 b2 ? 1(a ? b ? o) 的左、右焦点分别为 F1、F2,线段 F1F2 被抛物线 y =2bx
2

的焦点分成 5:3 两段,则此椭圆的离心率为
A. C. 16 17 4 5 B. D. 4 17 17 2 5 5





答案: D 解析:略 7.已知 OA ? ( x ? 5 , y),OB ? ( x ? 5 , y),且 | OA | ? | OB |? 6, 则 |2x-3y-12|的最大值为 ______________. 答案:解析:由 | OA |? | OB | ? 6 知动点 P 的轨迹为以 A(- 5 ,0 )为焦点,长轴长为 6 的
x2 y 2 ? ? 1, 令x ? 3 cos? , y ? 2 sin ? . 9 4 ?? ? 则 | 2 x ? 3 y ? 12 |?| 6 2 cos?? ? ? ? 12 |, 4? 椭圆,其方程为 ?

?? ? 当 cos?? ? ? ? ?1时, | 2 x ? 3 y ? 12 |, 4? ?
取最大值 12 ? 6 2 .

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8.已知圆锥曲线 C 经过点 p(3,2 3 ) ,它的一个焦点为 F(1,0) ,对应于焦点的准 线为 x=-1,过焦点 F 任意作曲线 C 的弦 AB,若弦 AB 的长度不超过 8,且直线 AB 与椭 圆 3x2+y2=2 相交于不同的两点,则 AB 的倾斜角θ 的取值范围_____________. 答案:解:由计算得:点 P 到 C 的准线的距离为 4,|PF|=4. 2 2 ∴曲线 C 为抛物线,方程为 y =4x,设直线 AB 的方程为 y=k(x-1),得 ky -4y-4k=0.设
y1 ? y2 ? 4 y ? y2 , y1 y2 ? ?4k , x1 ? x2 ? 1 , k k 4(k 2 ? 1) k2
2 2

A(x1,y1)、B(x2,y2),则

故 | AB |? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ?
2

? 8, 从而k 2 ? 1.
2

(1)

另一方面,把 y=k(x-1)代入椭圆方程,得(2k +3)x -4k x+2(k -1)=0 4 2 2 2 16k -8(2k +3)(k -1)>0, ∴k <3 (2) 由(1) 、 (2)可得,3>k ≥1, ∴1≤|k|< 3 , ∴AB 的倾斜角的取值范围是:
?
4 ?? ? 或 2? 3? ?? ? . 3 4
2

∴△

OA = OB = OC = OD ? xOA, y ? OB ? OC( x, y ? R) 9. 已知 O 为坐标原点, (2, 1) , (1, 7) , (5, 1) ,

(Ⅰ)求点 P(x,y)的轨迹方程;
9. 解 : (1) ? OD ? xOA ? x(2,1) ? (2 x, x) ? D(2 x, x)

答案:

? OB ? (1,7),OC ? (5,1) ? B(1,7). C (5,1) ? DB ? (1 ? 2 x,7 ? x), DC ? (5 ? 2 x,1 ? x) ? y ? DB ? DC ? (1 ? 2 x) ? (5 ? 2 x) ? (7 ? x)(1 ? x) ? 5 x 2 ? 20 x ? 12

∴y=5(x-2)2-8 这就是所求点 P(x,y)的轨迹方程 (Ⅱ)将点 P(x,y)的轨迹按向量 a=(-2,8)平移到曲线 C,M,N 是曲线 C 上的两不同 的点,如果 OM ? ON ,求证直线 MN 恒过一定点,并求出定点坐标。 答案:将 y=f(x)的图象按向量平移到曲线 C,所得的曲线 C 的方程为:y=5x2 设 M(x1,y1) 、N(x2,y2)则 OM⊥ON ? OM ? ON ?? x1x2 ? y1y2 ? 0 △(2kyo-5)-4k yo =25-20kyo>0 即 kyo ? 且x1 ? x2 ?
? y1 y2 ? (kx1 ? yo )(kx2 ? yo ) ? k 2 x1x2 ? kyo ( x1 ? x2 ) ? yo 2 ? ?k ? 1 5 yo (显然yo ? 0且满足kyo ? ) 5 4
2 2

5 4

5 ? 2kyo k2

, x1x2 ?

yo2 k2

5 yo 于是yo 2 ? ?5(kyo ) 4

故直线 MN 的方程为:
?y ?? yo ( x ? 5) 5

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所以直线 MN 恒过定点(5,0). 10.若 F1、F2 为双曲线 M 在右准线上,且满足
F1O ? PM , OP ? OM | OP || OM | ? OF 1 ? OP | OF 1 || OP |

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x2 a2

?

y2 b2

? 1 的左、右焦点,O 为坐标原点,P 在双曲线左支上,

(1)求此双曲线的离心率; (2)若此双曲线过点 N(2, 3 ) ,求双曲线方程;
10. 解 : (1) 由 F1D ? PM 知四形PF1OM为平行四边形,

答案:

又由

OP ? OF 1 | OP || OF 1|

?

OM ? OP | OM || OP |

知 OP 平分∠F1OM,∴PF1OM 为菱形,设半焦距为 c,由 | OF 1 |? c知 | PF 1 |? c,
| PM |? c,?| PF2 |?| PF1 | ?2a ? c ? 2a, 又 | PF2 | c ? 2a ? e,即 ?e | PM | c c ,? c ? 2a, a x2 a
2

e 2 ? e ? 2 ? 0,? e ? 2.(e ? ?1 舍去) (2) ? e ? 2 ?

? 双曲线方程为 有 4 a
2

?

y2 3a 2

? 1, 将点(2, 3 )代入, x2 y 2 ? ? 1. 3 9

?

3 4a
2

? 1,? a 2 ? 3,即所求双曲线方程为

(3)设(2)中双曲线的虚轴端点为 B1、B2(B1 在 y 轴正半轴上) ,求 B2 作直线 AB 与双曲线交于 A、B 两点,求 B1A ? B1B 时,直线 AB 的方程。 答案:依题意得 B1(0,3),B2(0,-3).设直线 AB 的方程为 y=kx-3,A(x1,y1),B(x2,y2). 则由 ? ? x2
? y ? kx ? 3 ? (3 ? k 2 ) x 2 ? 6kx ? 18 ? 0. y2 ?1 ? ? 9 ?3

∵双曲线的渐近线为 y=± 3x,?当k ? ? 3 时, AB 与双曲线只有一个交点,
即 k ? ? 3.? x1 ? x 2 ? 6k 3? k
2

, x1 ? x 2 ?
?18 3? k 2 ,

?18 3? k 2

y1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ) ? 6 ?

y1 y 2 ? k 2 x1 x 2 ? k ( x1 ? x 2 ) ? 9 ? 9

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又B1A ? ( x1, y1 ? 3), B1B ? ( x2 , y2 ? 3), B1A ? B1B ? x1x2 ? y1 y2 ? 3( y1 ? y2 ) ? 9 ? 0,
? ?18 3 ? k2 ? 9 ? 3? ?18 3 ? k2 ? 9 ? 0. 即k 2 ? 5,? k ? ? 5 .

故所求直线 AB 的方程为 y= 5 x ? 3或 y ? ? 5 x ? 3 . 11.已知常数 a>0,向量 m =(0,a), a =(1,0),经过定点 A(0,-a)以 m ? ?n 为方向向量 的直线与经过定点 B(0,a)以 n ? 2?m 为方向向量的直线相交于点 P,其中λ ∈R (Ⅰ)求点 P 的轨迹 C 的方程; 答案:设 P 点的坐标为(x,y),则 AP ? ( x, y ? a), BP ? ( x, y ? a), 又 n=(1,0),m=(0,a),故 m+λ n=(λ ,a), n+2λ m=(1,2λ a). 由题知向量 AP 与向量 m+λ n 平行,故λ (y+a)=ax. 又向量 BP 与向量 n+2λ m 平行,故 y-a=2λ ax. 两方程联立消去参数λ ,得点 P(x,y)的轨迹方程是(y+a)(y-a)=2a2x2,即 y2-a2=2a2x2. (Ⅱ)若 a= 答案: ? a ?
2 ,过 E(0,1)的直线 l 交曲线 C 于 M、N 两点,求 EM ? EN 的取值范围。 2

2 , 故点 P 的轨迹方程为 2y2-2x2=1, 2

此时点 E(0,1)为双曲线焦点. ①若直线 l 的斜率不存在,其方程为 x=0,l 与双曲线交于
? ? ? 2? ?, N ? 0,? 2 ?, 此时 M ? 0, ? 2 ? ? ? 2 ? ? ? ? ? 2 ?? ? 2 1 1 EM ? EN ? ? ? 1?? ? ? 1? ? 1 ? ? . ? 2 ?? 2 ? 2 2 ? ?? ?

②若直线 l 的斜率存在,设其方程为 y=kx+1,代入 2y2-2x2=1 化简得 2 2(k -1)x2+4kx+1=0. ∴直线 l 与双曲线交于两点, 2 2 2 ∴△(4k) -8(k -1)>0 且 k -1≠0. 解得 k≠±1. 设两交点为 M(x1,y1)、N(x2,y2),
则x1 ? x2 ?

?2k k 2 ?1

, x1x2 ?

1 2(k 2 ? 1)

.

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此时EM ? EN ? ( x1, y1 ? 1) ? ( x2 y2 ? 1) ? ( x1, kx1 ) ? ( x2 , y2 ? 1) ? x1x2 ? k 2 x1x2 ? (k 2 ? 1) x1x2 ? k2 ?1 2(k 2 ? 1) ? 1? 2 ? ?1 ? 2 ? ?. 2? ? k ?1?

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当 ? 1 ? k ? 1 时, k 2 ? 1 ? 0, 故 EM ? EN ?
当k ? 1 或k ? ?1 时, k 2 ? 1 ? 0, 故 EM ? EN ? 综上所述, EM ? EN 的取值范围是 1? ?1 ? ? ? ? ?,? ? ? ? ,?? ?. 2? ?2 ? ?

1 1 1 (1 ? 2 ) ? ? ; 2 2 k ?1

1? 2 ? 1 ?1 ? 2 ? ?? . 2? k ?1? 2 ?

12.如图,ABCD 是边长为 2 的正方形纸片,沿某动直线 l 为折痕将正 方形在其上方的部分向上翻折,使得每次翻折后点 B 都落在边 AD 上, 记为 B;折痕 l 与 AB 交于点 E,点 M 满足关系 EM ? EB ? EB. (Ⅰ)建立适当的直角坐标系,求点 M 的轨迹方程; 答案:建立适当坐标系,设 E(0,t),B’(xo,2),M(x,y),则在△ABE 中 可求得|AB’|= 2 t ? 1,
? xo ? 2 t ? 1 EM ? ( x, y ? t ), EB ? (0,?t ) EB' ? (2 t ? 1,2 ? t )

又EM ? EB ? EB', 代入可得 :
? ?x ? 2 t ? 1 (1 ? t ? 2) ? ? ?y ? 2 ? t 1 消去t 得 : y ? ? x 2 ? 1(0 ? x ? 2). 4

(Ⅱ)若曲线 C 是由点 M 的轨迹及其关于边 AB 对称的曲线组成的,F 是边 AB 上的一 点,
BA ? 4 ,过点 F 的直线交曲线 C 于 P、 Q 两点,且 PF ? ? FQ, 求实数λ 的取值范围。 BF

答案:显然 PQ 与 x 轴垂直时不符合题意,故可以设直线 PQ 的方程为: y=kx+ , P(x1,y1),Q(x2,y2)
1 ? y ? ? x2 ? 1 ? ? 4 由? , ? y ? kx ? 1 ? 2 ?
1 2

整理得:x +4kx-2=0(*) 2 ∴x1+x2=-4k,x1x2=-2(1)且△=16k +8>0

2

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1 1? ? ? ? 又 PF ? ? ? x1, ? y1 ?, FQ ? ? x2 , y2 ? ? 2 2? ? ? ? ? x1 ? ??x2 ? ??1 1? ? ? 2 ? y1 ? ? ? y2 ? 2 ? ? ? ?

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即 x1=-λ x2(2)代入(1)得:
? ? x2 (1 ? ? ) ? ?4k , 消去 ? 2 ? ?? ?x2 ? ?2 x2 , 得 (? ? 1) 2

?

8k 2

又根据图像可知,当且仅当 ? ? x ? 两个交点,
?0 ? k2 ?

1 4

1 时,直线与曲线 c 4



1 (? ? 1)2 1 1 ,? 0 ? ? 8k 2 ? , 解之得 ? ? ? 2. 16 ? 2 2

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