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高三数学第一轮复习:椭圆人教版知识精讲.doc


高三数学第一轮复习:椭圆人教版
【本讲教育信息】
一. 教学内容: 椭圆 二. 本周教学重难点: 掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质,了解椭圆的参数方程,了解椭圆的 初步应用。

【典型例题】
[例 1] 已知 A、B 是椭圆

8 x2 y2 ? ? 1 上的点, F2 是右焦点且 | AF2 | ? | BF2 |? a ,AB 2 9 2 5 a a 25 3 ,求此椭圆方程。 2

的中点 N 到左准线的距离等于

解:如图,设 F1 为左焦点,连结 AF 1 、 BF 1 ,则根据椭圆定义有

| AF1 | ? | BF1 |? 2a? | AF2 | ?2a? | BF2 |
8 12 ? 4a ? (| AF2 | ? | BF2 |) ? 4a ? a ? a 5 5
再设 A、B、N 三点到左准线距离分别为 d1 、 d 2 、 d 3 由梯形中位线定理,有 d1 ? d 2 ? 2d 3 ? 3

9 2 a 25 4 ∴ 得离心率 e ? 5
2 而已知 b ?

2 2 2 ∴ c ? a ?b ?

16 2 a 25

∵ | AF 1 |? ed1 , | BF 1 |? ed 2 ∴ | AF1 | ? | BF1 |?

12 12 a ? e( d 1 ? d 2 ) ? 5 5

2 ∴ a ? 1 ,则椭圆方程为 x ?

y2 ?1 9 25

用心

爱心

专心

x2 y2 [例 2] 设椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的两焦点为 F1 、 F2 ,若在椭圆上存在一点 P,使 a b

PF1 ? PF2 ? 0 ,求椭圆的离心率 e 的取值范围。
解:方法一:如图所示,设 F1 (?c,0) 、 F2 (c,0) 、 P( x0 , y0 ) 则 | PF 1 F2 |? 2c 1 |? a ? ex0 , | PF 2 |? a ? ex0 , | F ∵ PF 1 ? PF 2 ?0 ∴ PF 1 ? PF 2

2 2 2 ∴ | PF 1 | ? | PF 2 | ?| F 1 F2 |
2 即 (a ? ex0 ) 2 ? (a ? ex0 ) 2 ? 4c 2 ? e 2 x0 ? 2c 2 ? a 2

据题意,知 P 点在椭圆上,但不在 x 轴上
2 ∴ 0 ? x0 ? a2 2 ∴ 0 ? e 2 x0 ? c2

2 2 2 于是 0 ? 2c ? a ? c ,即

a2 2 c ? c2 ? a2 ? ? ?1 2 2 a

∴ e ?[

2 ,1) 2

方法二:设 P(a cos? , b sin ? ) (0 ? ? ? ∵ PF 1 ? PF 2 ?0 又 O 为 F1 F2 的中点 ∴ PF 1 ? PF 2 ∴ | PO |?

?
2

)

1 | F1 F2 |? c 2
爱心 专心

用心

∴ a 2 cos2 ? ? b 2 sin 2 ? ? c 2 ? a 2 cos2 ? ? (a 2 ? c 2 ) sin 2 ? ? c 2 即 a 2 ? c 2 (1 ? sin 2 ? ) ∴ e?

c 1 ? a 1 ? sin 2 ?
∴ e ?[

∵ 0 ?? ?

?
2

∴ 0 ? sin 2 ? ? 1

2 ,1) 2

方法三:∵ PF 1 ? PF 2 ?0

∴ PF 1 ? PF 2

∴ P 点在以 F1 F2 为直径的圆上,又 P 点在椭圆上 ∴ 圆 x 2 ? y 2 ? c 2 与椭圆

x2 y2 ? ? 1 有公共点 a2 b2

由图知, b ? c ? a ? b 2 ? c 2 ? a 2 即 a2 ? c2 ? c2 ? a2



a2 2 c ? c2 ? a2 ? ? ?1 2 2 a

∴ e ?[

2 ,1) 2

[例 3] 已知 A、B、D 三点不在一条直线上,且 A(?2,0) , B(2,0) , | AD |? 2 ,

AE ?

1 ( AB ? AD ) , 2

(1)求 E 点的轨迹方程; (2)过 A 作直线交以 A、B 为焦点的椭圆于 M、N 两点,线段 MN 的中点到 y 轴的距离为

4 ,且直线 MN 与 E 点的轨迹相切,求椭圆的方程。 5 1 解: (1)∵ AE ? ( AB ? AD ) ∴ E 为 BD 中点,设 E(x,y) ,则 D(2 x ? 2,2 y) 2
∵ AD ? 2 ∴ (2x ? 2 ? 2) ? (2 y) ? 4 ,即 x ? y ? 1
2 2 2 2

又 ∵ A、B、D 三点不共线

∴ y?0
用心 爱心 专心

故 E 点的轨迹方程为 x 2 ? y 2 ? 1( y ? 0) (2)依题设,直线 MN 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相切,设切点为 Q,坐标原点为 O,则 ?AQO 为 直角三角形。 ∵ OQ ? 1, OA ? 2 ∴ ?QAO ?

?
6

∴ k MN ? ?

3 3

根据对称性,不妨设 k MN ?

3 3 ,则直线 MN 的方程为 y ? ( x ? 2) 3 3
4 5
∴ 中点坐标为( ?

∵ 线段 MN 的中点到 y 轴的距离为

4 2 3 ) , 5 5

∴ xM ? x N ? ?

8 5

? x2 y2 ? ?1 ? 3 ?a2 b2 由? ? b 2 x 2 ? a 2 [ ( x ? 2)]2 ? a 2 b 2 ? 0 3 ? y ? 3 ( x ? 2) ? 3 ?

整理后得 (a 2 ? 3b 2 ) x 2 ? 4a 2 x ? 4a 2 ? 3a 2 b 2 ? 0 ∴ xM ? x N ? ?
2 2 ∴ a ? 2b

4a 2 8 ?? 2 2 5 a ? 3b
2 2 又 ∵ a ?b ? 4

∴ b ? 4, a ? 8
2 2

故所求椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 8 4

[例 4] 已知常数 a ? 0 ,在矩形 ABCD 中,AB=4,BC= 4 a ,O 为 AB 的中点,点 E、F、G 分别 在 BC、CD、DA 上移动,且

BE CF DG ? ? ,P 为 GE 和 OF 的交点,如图,问是否存在两 BC CD DA

个定点, 使 P 到这两点的距离的和为定值?若存在, 求出这两点的坐标及此定值; 若不存在, 请说明理由。

解:按题意有 A(?2,0), B(2,0), C (2,4a), D(?2,4a)

用心

爱心

专心



BE CF DG ? ? ? k (0 ? k ? 1) BC CD DA

由此有 E (2,4ak), F (2 ? 4k ,4a), G(?2,4a ? 4ak) 直线 OF 的方程为 2ax ? (2k ? 1) y ? 0 ① ②

直线 GE 的方程为 ? a(2k ? 1) x ? y ? 2a ? 0

从①②消去参数 k ,得点 P(x,y)坐标满足方程 2a 2 x 2 ? y 2 ? 2ay ? 0

x 2 ( y ? a) 2 ? ?1 整理得 1 a2 2
1 时,点 P 的轨迹为圆弧,所以不存在符合题意的两点 2 1 2 当 a ? 时,点 P 的轨迹为椭圆的一部分,点 P 到该椭圆焦点的距离的和为定长 2
2 当a ?

2 当a ?

1 1 1 ? a 2 , a), ( ? a 2 , a) 的距离之和为定值 2 时, 点 P 到椭圆两个焦点 (? 2 2 2 1 1 1 2 2 时,点 P 到椭圆两个焦点(0, a ? a ? ) , (0, a ? a ? )的距离 2 2 2

2 当a ?

之和为定值 2 a 。

[例 5] 如图在直角梯形 ABCD 中,AD=3,AB=4,BC= 3 ,曲线 DE 上任一点到 A、B 两点距离 之和都相等。 (1)适当建立坐标系,求曲线 DE 的方程; (2)过 C 点能否作一条与曲线 DE 相交且以 C 为中点的弦?如果不能,请说明理由,如 果能,请求出弦所在直线的方程。

解: (1)取 AB 的中点 O 为原点,以 AB 所在直线为 x 轴建立直角坐标系,由题意曲线 DE 为一段椭圆弧,得 a ?

1 ( AD ? BD ) ? 4 , c ? 2 2

2 ∴ b ? 12

∴ 曲线 DE 的方程为

x2 y2 ? ? 1(?2 ? x ? 4,0 ? y ? 2 3 ) 16 12

(2)方法一:C 点坐标为 C( 2, 3 )
用心 爱心 专心

设存在直线 l 与曲线 ED 交于点 M( x1 , y1 ) ,N( x2 , y2 ) ,? ∴ 3( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? 0 ∴ x1 ? x2 ? 4 , y1 ? y2 ? 2 3 ∴ k?

2 2 ? ?3 x1 ? 4 y1 ? 48 2 2 ? ?3 x 2 ? 4 y 2 ? 48

y1 ? y 2 3 ?? x1 ? x2 2
即y??

∴ 直线 l 的方程为 y ? ?

3 ( x ? 2) ? 3 2

3 x?2 3 2

将直线方程代入曲线 DE 的方程,得 x 2 ? 4 x ? 0 解得 x1 ? 0, x2 ? 4 ,M( 0,2 3 ) ,N( 4,0 ) (M,N 在曲线上) ∴ 存在直线 l ,其方程为 y ? ?

3 x?2 3 2

方法二:取曲线 DE 与 y 轴的交点 M(0, 2 3 )和与 x 轴的交点 N(4,0) ,显然 C(2,

3 ) 为 M , N 的 中点, 所以 弦 MN 即为 所求, 其所 在直线 方程 为
3 x?2 3 2

x y ? ? 1 ,即 4 2 3

y??

[例 6] 已知椭圆 心率为 e 。

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 )与直线 x ? y ? 1 ? 0 相交于 A,B 两点,椭圆离 a2 b2

(1)当椭圆的右准线为 x ? 3, e ?

3 时,求 AB 的长度及 AB 中点的坐标; 3

(2)当

3 2 ,并且 OA ? OB ? 0 时,求椭圆长轴长的取值范围。 ?e? 3 2

解: (1)设 A( x1 , y1 )B( x2 , y2 )

a2 c 3 ? 3, ? 由已知得 ,解得 a ? 3, c ? 1 c a 3
∴ 椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 3 2
用心 爱心 专心

? x2 y2 ?1 ? ? 由? 3 2 ?x ? y ? 1 ? 0 ?
∴ AB ? 由 x1 ? x 2 ?

∴ 5x 2 ? 6 x ? 3 ? 0

∴ x1 ? x 2 ?

6 3 , x1 x 2 ? ? 5 5

2 x1 ? x2 ? 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?

8 3 5

6 3 2 得 AB 中点横坐标为 ,代入直线方程得 AB 中点的纵坐标为 ,即 AB 5 5 5 3 2 中点坐标为( , ) 5 5
(2)由 ?

?b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 b 2 ?x ? y ? 1 ? 0

消去 y 得 (a 2 ? b 2 ) x 2 ? 2a 2 x ? a 2 (1 ? b 2 ) ? 0 ∴ ? ? 4a 2b 2 (a 2 ? b 2 ? 1) ? 0
2 2 即 a ? b ? 1 (*)

2a 2 a 2 (1 ? b 2 ) 此时 x1 ? x 2 ? 2 , x1 x 2 ? ① a ? b2 a2 ? b2
由 OA ? OB ? 0 ,得 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 又 y1 ? 1 ? x1 , y2 ? 1 ? x2 ∴ 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0 ②

2 2 2 2 将①代入②: a ? b ? 2a b ? 0

由e ?
2

c2 a2 ? b2 2 2 2 2 ? 得 b ? a ? a e 代入上式 2 2 a a
2

整理得 2a ? 由已知得

2 ? e2 1 ? 1? 2 1? e 1 ? e2


1 1 ? e2 ? 3 2

5 3 ? a 2 ? 满足(*)条件 4 2



5 ? 2a ? 6

[例 7] 如图,已知椭圆的中心在原点,焦点 F1、F2 在 x 轴上,长轴 A1A2 的长为 4,左准线 l 与 x 轴的交点为 M, MA 1 : A 1F 1 ? 2 :1 。 (1)求椭圆的方程; (2)点 P 在直线 l 上运动,求 ?F1 PF2 的最大值。

用心

爱心

专心

解: (1)设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

a2 ? a , A1 F1 ? a ? c 半焦距为 c ,则 MA1 ? c

?a2 ? ? a ? 2(a ? c) c ? ? 由题意得 ?2a ? 4 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? ?

∴ a ? 2, b ? 3, c ? 1

x2 y2 ? ?1 ∴ 4 3

(2)设 P( ? 4, y0 ) , y 0 ? 0 ,则直线 PF 1 的斜率 k1 ? ?

y0 3

则直线 PF2 的斜率 k 2 ? ?

y0 5

∵ 0 ? ?F1 PF2 ? ?PF1 M ?

?
2

∴ ?F1 PF2 为锐角

∴ tan ?F1 PF2 ?

2 y0 2 y0 k 2 ? k1 15 ? 2 ? ? 1 ? k1 k 2 15 y 0 ? 15 2 15 y 0

当 y 0 ? 15 ,即 y0 ? ? 15 时, tan?F1 PF2 取到最大值 此时 ?F1 PF2 最大 ∴ ?F1 PF2 的最大值为 arctan

15 15

【模拟试题】
一. 选择题 1. 已知椭圆的焦点是 F1、F2,P 是椭圆上的一个动点,如果延长 F1 P 到 Q ,使得

PQ ? PF2 ,那么动点 Q 的轨迹是(
A. 圆 2. 若方程 B. 椭圆

) D. 抛物线 )

C. 双曲线的一支

x2 y2 ? ? 1 表示准线平行于 x 轴的椭圆,则 m 的范围是( m 2 (m ? 1) 2

用心

爱心

专心

A. m ?

1 2 1 2

B. m ?
2

1 2

C. m ?

1 且m ?1 2

D. m ?

1 且m ? 0 2

a 3. 已知 F1 ( ?( )

?1

1 2 2 ,0) ,F2 (( ) a ?1 ,0) , 动点 P 满足 PF (a?R 1 ? PF 2 ? a ? 2a ? 3 2


且为常数) ,则 P 点的轨迹是( A. 以 F1、F2 为焦点的椭圆 B. 线段 C. 不存在 D. 以上情况均有可能

x2 y2 x2 y2 ? ? 1( 9 ? k ? 25 )的( ? ? 1 与曲线 4. 曲线 25 ? k 9 ? k 25 9
A. B. C. D. 焦点相同 离心率相同 长轴与实轴相等 以上说法都不对



5. 椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点为 F1、F2,过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交,一个交 4


点为 P,则 PF2 等于(

A.

3 2

B.

3

C.

7 2

D. 4

6. 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的面积为 S ? ab ? 。现有一个椭圆,其中心在坐标 a2 b2


原点,一个焦点坐标为(4,0) ,且长轴长与短轴长的差为 2,则该椭圆的面积为( A. 15? B.

15? 4

C. 3?

D.

255? 4


x2 7. 设 P(x,y)是曲线 ? 25
A. F1 P ? F2 P ? 10 C. F1 P ? F2 P ? 10 8. 点 P ( ? 3,1 ) 在椭圆

y2 、F2(4,0) ,则( ? 1上的点,F1( ? 4,0 ) 9
B. F1 P ? F2 P ? 10 D. F1 P ? F2 P ? 10

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左准线上, 过点 P 且方向为 a ? (2,?5) a2 b2


的光线经直线 y ? ?2 反射后通过椭圆的左焦点,则此椭圆的离心率为(

A.

3 3

B.

1 3

C.

2 2

D.
用心

1 2
爱心 专心

二. 解答题: 1. 已知 P 是椭圆

x2 y2 4 ? ? 1 上一点,F(2,0) 、A( ,2 ) ,求 PA ? 2 PF 的最小值, 3 16 12

并求此时点 P 的坐标。 2. 在直线 l : x ? y ? 9 ? 0 上任取一点 M,过 M 作以 F1 (?3,0) 、 F2 (3,0) 为焦点的椭圆, 当 M 在什么位置时,所作椭圆长轴最短?并求此时椭圆方程。 3.(1)求右焦点坐标是(2,0) ,且经过点( ? 2,? 2 )的椭圆的标准方程;

(2)已知椭圆 C 的方程是

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 。设斜率为 k 的直线 l ,交椭圆 C 于 a 2 b2

A、B 两点,AB 的中点为 M。证明当直线 l 平行移动时,动点 M 在一条过原点的定直线上。

用心

爱心

专心

试题答案
一. 1. A 解析: 由第一定义, 得 PF ∵ PQ ? PF2 , ∴ PF 1 ? PF 2 为定值。 1 ? PQ 为定值, 即 F1Q 为定值。故选 A。 2. D

?m 2 ? 0 ? 2 解析:由条件得 ?(m ? 1) ? 0 ?(m ? 1) 2 ? m 2 ?
3. A
a 解析:∵ F1 F2 ? 2 ? ( )

?m ? 0 ? 解之,得 ? 1 m? ? 2 ?
1 ?1 2
2

故选 D。

1 2

2

?1

? 2?

而 PF ) ?2?2 1 ? PF 2 ? a ? 2a ? 3 ? (a ? 1
2

∴ 由椭圆的定义可知动点 P 的轨迹是以 F1、F2 为焦点的椭圆。故选 A 4. A

x2 y2 ? ? 1 为焦点在 x 轴上的椭圆,其焦距为 8,曲线 解析:由题设知曲线 25 9
x2 y2 ? ? 1( 9 ? k ? 25 )为焦点在 x 轴上的双曲线, c 2 ? 25 ? k ? k ? 9 ? 16 , 25 ? k 9 ? k
即焦距也为 8,故选 A。 5. C 解析:设椭圆的右焦点为 F1,左焦点为 F2,过 F1 且垂直于 x 轴的直线与椭圆在第一象 限的交点为 P

x2 1 ? y 2 ? 1 ,得 y ? 设 P( 3 , y ) ,代入 2 4
由 PF2 ? PF 1 ? 2a ? 4 ,得 PF2 ? 6. D

∴ P( 3 , ) , PF1 ?

1 2

1 2

7 2

17 ? a? ? ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 16 a ? b ? 16 ? ? 2 解析:由椭圆的定义,得 ? ,则 ? ,得到 ? ?2a ? 2b ? 2 ?a ? b ? 1 ?b ? 15 ? 2 ?
所以 S ? ab? ? 7. C

17 15? 255? ? ? ,所以选 D。 2 2 4

用心

爱心

专心

x2 解:曲线 ? 25

x y x2 y2 y2 ? ? 1 的顶点组成的菱 ? 1整理为 ? ? 1 表示由椭圆 25 9 5 3 9

形,由数形结合知 F1 P ? F2 P ? 10 8. A 解析:P (?3,1) 关于 y ? ?2 的对称点为 P?(?3,?5) 由题意知 P?F 的方向向量为(2,5) ∴

5 5 ? 3?c 2

∴ c ?1

又 P 在准线上

a2 ? ?3 ∴ ? c

∴ a?

3

∴ e?

c 3 ? a 3

故选 A

二. 1. 解:由椭圆方程

x2 y2 c 1 ? ? 1 ,可知 a ? 4, b ? 2 3 , c ? 2, e ? ? a 2 16 12
? e ( d 是 P 点到椭圆右准线 l : x ? 8 的距离)

由椭圆定义

PF d

∴ d ? 2 PF ,故 PA ? 2 PF ? PA ? d 过点 A 作 AH⊥ l ,垂足为 H,则易知 AH 即为所求 此时 PA ? d ? 8 ?

4 20 4 6 ? , P( , 2) 3 3 3

2. 解: F1 (?3,0) 关于直线 l : x ? y ? 9 ? 0 的对称点为 F( ? 9,6 ) ,连结 F2 F 交 l 于点 M, 此点即为所求。 直线 F2 F 的方程为 y ? ? 解方程组 ?

1 ( x ? 3) ,即 x ? 2 y ? 3 ? 0 2

? x ? 2 y ? 3 ? 0 ? x ? ?5 得? ?x ? y ? 9 ? 0 ?y ? 4

故点 M 的坐标为( ? 5,4 )此时椭圆长轴长 2a ? MF1 ? MF2 ? FF2 ? 6 5
2 所以 a ? 3 5 ,因为 c ? 3 ,所以 b ? 36 ,故椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 45 36

3. 解: (1)设椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ? 1, a ? b ? 0 a2 b2

用心

爱心

专心

∴ a 2 ? b 2 ? 4 ,即椭圆的方程为 ∵ 点( ? 2,? 2 )在椭圆上 解得 b 2 ? 4 或 b 2 ? ?2 (舍)

x2 y2 ? ?1 b2 ? 4 b2
4 2 ? 2 ?1 b ?4 b
2



由此得 a 2 ? 8 ,即椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ?1 8 4

(2)证明:设直线 l 的方程为 y ? kx ? m ,与椭圆 C 的交点 A( x1 , y1 ) 、 B( x 2 , y 2 )

? y ? kx ? m ? 则有 ? x 2 解之,得 (b 2 ? a 2 k 2 ) x 2 ? 2a 2 kmx? a 2 m 2 ? a 2 b 2 ? 0 y2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a
∵ ??0
2 2 2 2 ∴ m ?b ?a k

即? b ?a k ? m? b ?a k
2 2 2 2 2

2

2a 2 km 2b 2 m , y1 ? y2 ? kx1 ? m ? kx2 ? m ? 2 则 x1 ? x2 ? ? 2 b ? a 2k 2 b ? a 2k 2
∴ AB 中点 M 的坐标为 (?

a 2 km b2m , ) b2 ? a2k 2 b2 ? a2k 2
2 2

∴ 线段 AB 的中点 M 在过原点的直线 b x ? a ky ? 0 上

用心

爱心

专心


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