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复数经典例题


经典例题透析 类型一:复数的有关概念 例 1.已知复数 z ? z 分别为: (1)实数; (2)虚数; (3)纯虚数. 思路点拨:根据复数 z 为实数、虚数及纯虚数的概念,判断实部与虚部取值情况.利用 它们的充要条件可分别求出相应的 a 值. 解析: (1)当 z 为实数时,
2 ? ? a ? 5a ? 6 ? 0 ?a ? ?1或a ? 6 有? 2 ?? ? a ? 6, ? ?a ? ?1 ?a ? 1 ? 0

a 2 ? 7a ? 6 ? (a 2 ? 5a ? 6)i (a ? R) ,试求实数 a 分别取什么值时, a2 ?1

∴当 a ? 6 时,z 为实数. (2)当 z 为虚数时,

? a 2 ? 5a ? 6 ? 0 ?a ? ?1且a ? 6 ? 有? 2 ?? ? a ? ?1且a ? 6 , ? ?a ? ?1 ?a ? 1 ? 0
∴当 a∈(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,6)∪(6,+∞)时,z 为虚数. (3)当 z 为纯虚数时,

?a 2 ? 5a ? 6 ? 0 ?a ? ?1且a ? 6 ? 有 ? a 2 ? 7a ? 6 ?? ? a ?? a ? 6 ? 0 ? ? ? a2 ?1
∴不存在实数 a 使 z 为纯虚数. 总结升华:由于 a∈R,所以复数 z 的实部与虚部分为

a 2 ? 7a ? 6 2 与 a ? 5a ? 6 . 2 a ?1

①求解第(1)小题时,仅注重虚部等于零是不够的,还需考虑它的实部是否有意义, 否则本小题将出现增解; ②求解第(2)小题时,同样要注意实部有意义的问题; ③求解第(3)小题时,既要考虑实数为 0(当然也要考虑分母不为 0) ,还需虚部不为 0, 两者缺一不可. 举一反三:

【变式 1】设复数 z=a+bi(a、b∈R),则 z 为纯虚数的必要不充分条件是( A.a=0 B.a=0 且 b≠0 C.a≠0 且 b=0 D.a≠0 且 b≠0



【答案】A;由纯虚数概念可知:a=0 且 b≠0 是复数 z=a+bi(a、b∈R)为纯虚数的充 要条件.而题中要选择的是必要不充分条件,对照各选择支的情况,应选择 A. 【变式 2】若复数 (a2 ? 3a ? 2) ? (a ?1)i 是纯虚数,则实数 a 的值为( A.1 B.2 C.1 或 2 D.-1
2 是纯虚数, ∴ a ? 3a ? 2 ? 0 且 a ? 1 ? 0 , 即a ? 2.



【答案】 B; ∵ (a 2 ? 3a ? 2 ) ( ? a 1 ) ? i

【变式 3】如果复数 (m2 ? i)(1 ? mi) 是实数,则实数 m=( A.1 【答案】B; B.-1 C. 2 D. ? 2



【变式 4】求当实数 m 取何值时,复数 z ? (m2 ? m ? 2) ? (m2 ? 3m ? 2)i 分别是: (1)实数; 【答案】 (1)当 m ? 3m ? 2 ? 0 即 m ? 1 或 m ? 2 时,复数 z 为实数;
2

(2)虚数;

(3)纯虚数.

(2)当 m ? 3m ? 2 ? 0 即 m ? 1 且 m ? 2 时,复数 z 为虚数;
2

(3)当 ?

2 ? ?m ? m ? 2 ? 0 即 m ? ?1 时,复数 z 为纯虚数. 2 ? m ? 3 m ? 2 ? 0 ?

类型二:复数的代数形式的四则运算 例 2. 计算: (1) i n

(n ? N? ) ;

(2) (1 ? i)

8

(3) (1 ? 2i) ? (1 ? 2i) ; 解析:

(4)

(1 ? 4i)(1 ? i ) ? 2 ? 4i 3 ? 4i
4 2 2

(1)∵ i ? ?1 ,∴ i ? i ? i ? ?i , i ? i ? i ? 1 ,
2 3 2

同理可得: 当 n ? 4k ? 1(k ? N? ) 时, i
4 k ?1

? i 4k ? i ? (i 4 )k ? i ? i
? i 4 k ? i 2 ? ?1 ,

当 n ? 4k ? 2(k ? N? ) 时, i

4k ?2

当 n ? 4k ? 3(k ? N? ) 时, i

4 k ?3

? i 4 k ? i 3 ? ?i

当 n ? 4k ? 4(k ? N? ) 时, i 4k ? i 4k ? i 4 ? (i 4 )k ? 1,

(n ? 4k ? 1,k ? N) ?i ??1 (n ? 4k ? 2 ,k ? N) ? ∴ in ? ? (n ? N ? ) ??i (n ? 4k ? 3 ,k ? N) ? (n ? 4k ? 4 ,k ? N) ?1
(2) (1 ? i)8 ? [(1 ? i)2 ]4 ? (2i)4 ? 24 i 4 ? 16 (3) (1 ? 2i) ? (1 ? 2i) ?

1 ? 2i (1 ? 2i)(1 ? 2i) 12 ? (2i) 2 ? 4i ?3 ? 4i 3 4 ? ? 2 ? ?? ? i 2 1 ? 2i (1 ? 2i)(1 ? 2i) 1 ? (2i) 5 5 5

(4)

7 ? i (7 ? i )(3 ? 4i) (1 ? 4i )(1 ? i ) ? 2 ? 4i 1 ? 4 ? 3i ? 2 ? 4i ? ? ? 3 ? 4i 3 ? 4i 3 ? 4i 32 ? 42 21 ? 4 ? 3i ? 28i 25 ? 25i ? ? ? 1 ? i. 25 25
1) i 的“周期性” ( n ? N? )
n

总结升华:熟练运用常见结论:

2) (1 ? i)2 ? ?2i 3) (a ? bi)(a ? bi) ? a2 ? b2 举一反三: 【变式 1】计算: (1)(5―6i)+(―2―i)―(3+4i) (2) (1 ? 2i)(3 ? 4i)(2 ? i) (3) i ? i ? i ?? ? i
2 3 100

(4)

(1 ? i)3 ? (1 ? i)3 ; (1 ? i)2 ? (1 ? i) 2

【答案】 (1)(5―6i)+(―2―i)―(3+4i) =[(5―2)+(―6―1)i]―(3+4i) =(3―7i)―(3+4i) =(3―3)+(―7―4)i=―11i. (2) (1 ? 2i)(3 ? 4i)(2 ? i) ? (11 ? 2i)(2 ? i) ? 24 ? 7i

(3) i ? i 2 ? i3 ??? i100 ? i1?2???100 ? i5050 ? (i 4 )1262 ? i 2 ? i 2 ? ?1

(4)

(1 ? i)3 ? (1 ? i)3 (1 ? i)2 ? (1 ? i) ? (1 ? i)2 (1 ? i) 2i(1 ? i) ? 2i(1 ? i) 2i ? 2 ? ?1 ? ? 4i (1 ? i)2 ? (1 ? i)2 2i ? (?2i) 4i
2

【变式 2】复数 2i ?1 ? i ? ? ( A. ?4 B. 4
2

) C. ? 4i D. 4i

2 【答案】A; 2i ?1 ? i ? ? 2i ?1 ? 2i ? 1? ? 2i ? 2i ? 4i ? ?4

【变式 3】复数 A. i 【答案】A;

1 ? 3i 3 -i
B. -i

等于( C.

)

3 ?i

D.

3 -i

1 ? 3i 3 -i
1 i

?
3

1 ? 3i -i(1 ? 3i)

?
)

1 ? i ,故选 A -i

【变式 4】复数 (i ? ) 等于( A.8 B.-8

C.8i

D.-8i

【答案】D; (i ? ) ? (i ?
3

1 i

?1 3 ) ? (2i )3 ? 8i 3 ? ?8i . i

类型三:复数相等的充要条件 例 3、已知 x 是实数,y 是纯虚数,且满足(2x―1)+(3―y)i=y―i,求 x、y. 思路点拨:因 x∈R,y 是纯虚数,所以可设 y=bi(b∈R 且 b≠0) ,代入原式,由复数相 等的充要条件可得方程组,解之即得所求结果. 解析:∵y 是纯虚数,可设 y=bi(b∈R,且 b≠0) , 则(2x―1)+(3―y)i=(2x―1)+(3―bi )i=(2x-1+b)+3i, y―i =bi-i=(b-1)i 由(2x―1)+(3―y)i=y―i 得(2x―1+b)+3i=(b―1)i,

?b ? 4 ?2 x ? 1 ? b ? 0 ? ?? 由复数相等的充要条件得 ? 3, x ? ? ?b ? 1 ? 3 ? ? 2
∴x??

3 , y ? 4i . 2

总结升华: 1. 复数定义: “形如 z ? a ? bi ( a, b ? R )的数叫复数”就意味凡是复数都能写成这 一形式,求一个复数,使用一个复数都可通过这一形式将问题化虚为实,把复数问题转化为

实数问题来研究.这是解决复数问题的常用方法. 2.复数相等是复数问题实数化的有效途径之一,由两复数 a+bi 与 c+di(a,b,c,d ∈R)相等的充要条件是 a=c 且 b=d,可得到两个实数等式. 3.注意左式中的 3―y 并非是(2x―1)+(3―y)i 的虚部,同样,在右边的 y―i 中 y 也并 非是实部. 举一反三:

x y 5 ? ? ,则x ? y ? ______ 1- i 1- 2i 1- 3i x y 5 x y 5 ? ? (1 ? 3i) 【答案】由 得 (1 ? i ) ? (1 ? 2i) ? 1- i 1- 2i 1- 3i 2 5 10
【变式 1】设 x、y 为实数,且 即 5x(1+i)+2y(1+2i)=5(1+3i), 即(5x+2y-5)+(5x+4y-15)i=0, 故?

?5 x ? 2 y - 5 ? 0 ? x ? -1 ,解得 ? ?5 x ? 4 y -15 ? 0 ?y ? 5

∴x? y ? 4 【变式 2】若 z∈C 且(3+z)i=1(i 为虚数单位),则 z=____. 【答案】设 z=a+bi(a,b∈R),则(3+z)i=-b+(3+a)i=1 由复数相等的充要条件得 b=-1 且 a=-3,即 z=-3-i.

1 ? 2i ? i ,则 z ? ( ) z A. ?2 ? i B. ?2 ? i C. 2 ? i D. 2 ? i 1 ? 2i i (1 ? 2i ) i ? 2 ? ? ? 2 ? i ,故选 C. 【答案】 z ? i ?1 ?1
【变式 3】设复数 z 满足 类型四:共轭复数 例 4:求证:复数 z 为实数的充要条件是 z ? z 思路点拨:需要明确两个复数相等的条件以及共轭复数的概念 解析:设 z ? a ? bi (a,b∈R) ,则 z ? a ? bi 充分性:? z ? z ? a ? bi ? a - bi ? b ? -b ? b ? 0 ? z ? R; 必要性:? z ? R, b ? 0 ? a ? bi ? a - bi ? z ? z 综上,复数 z 为实数的充要条件为 z ? z 举一反三: 【变式 1】 x, y ? R ,复数 (3x ? 2 y) ? 5xi 与复数 ( y ? 2)i ? 18 的共轭复数相等,求 x,

y. 【答案】 ( y ? 2)i ? 18 ? 18 ? (2 ? y)i

?3x ? 2 y ? 18 ? x ? -2 ?18 - ( y - 2)i ? (3x ? 2 y) ? 5 xi ? ? ?? ?2 - y ? 5 x ? y ? 12
【变式 2】若复数 z 同时满足 z ? z ? 2i , z ? iz (i 为虚数单位) ,则 z=________. 【答案】―1+i 【变式 3】已知复数 z=1+i,求实数 a、b 使 az ? 2bz ? (a ? 2z)2 . 【答案】∵z=1+i,∴ az ? 2bz ? (a ? 2b) ? (a ? 2b)i ,

(a ? 2z)2 ? (a ? 2)2 ? 4 ? 4(a ? 2)i ? (a2 ? 4a) ? 4(a ? 2)i
∵a、b 都是实数,∴由 az ? 2bz ? (a ? 2z)2 得

?a ? 2b ? a 2 ? 4a, ? ?a ? 2b ? 4(a ? 2).
两式相加,整理得 a +6a+8=0 解得 a1=―2,a2=―4, 对应得 b1=-1,b2=2. ∴所求实数为 a=―2,b=―1 或 a=-4,b=2. 类型五:复数的模的概念 例 5、已知数 z 满足 z+|z|=2+8i,求复数 z. 法一:设 z=a+bi(a,b∈R),则 | z |? 代入方程得 a ? bi ? a2 ? b2 ? 2 ? 8i .
2

a 2 ? b2 ,

? ?a ? ?15 ?a ? a 2 ? b 2 ? 2 ∴? ,解得 ? ? ?b ? 8 ?b ? 8
∴z=-15+8i 法二:原式可化为:z=2-|z|+8i, ∵|z|∈R,∴2-|z|是 z 的实部. 于是 | z |?

(2? | z |) 2 ? 82 ,即|z|2=68-4|z|+|z|2,

∴|z|=17,代入 z=2-|z|+8i 得 z=-15+8i. 举一反三: 【变式】已知 z=1+i,a,b 为实数. (1)若 ? ? z ? 3z ? 4 ,求 | ? | ;
2

z 2 ? az ? b ? 1 ? i ,求 a,b 的值. (2)若 2 z ? z ?1
【答案】 (1) ? ? (1 ? i)2 ? 3(1 ? i) ? 4 ? 2i ? 3 ? i ? 4 ? i ? 1 ∴ | ? |?

2

z 2 ? az ? b (1 ? i)2 ? (1 ? i)a ? b (2 ? a)i ? b ? a ? ? (a ? 2) ? (b ? a)i (2)∵ 2 ? i z ? z ?1 (1 ? i)2 ? (1 ? i) ? 1
∴ (a ? 2) ? (a ? b)i ? 1 ? i

∴?

?a ? 2 ? 1 ?a ? ?1 ?? ?a ? b ? 1 ?b ? 2

类型六:复数的几何意义 例 6、已知复数 z ? (m ? 2m ? 3) ? (m ? 4m ? 3) i (m∈R)在复平面上对应的点为 Z,
2 2

求实数 m 取什么值时,点 Z(1)在实轴上; (2)在虚轴上; (3)在第一象限. 思路点拨:根据点 Z 的位置确定复数 z 实部与虚部取值情况. 解析: (1)点 Z 在实轴上,即复数 z 为实数, 由 m - 4m ? 3 ? 0 ? m ? 3或m ? 1
2

∴当 m ? 3或m ? 1 时,点 Z 在实轴上. (2)点 Z 在虚轴上,即复数 z 为纯虚数或 0,
2 故 m ? 2m ? 3 ? 0 ? m ? -1或m ? 3

∴当 m ? -1或m ? 3 时,点 Z 在虚轴上. 3)点 Z 在第一象限,即复数 z 的实部虚部均大于 0

? m 2 ? 2m ? 3 ? 0 ? 由? 2 ,解得 m<―1 或 m>3 ? ? m ? 4m ? 3 ? 0

∴当 m<―1 或 m>3 时,点 Z 在第一象限. 终结升华:复平面上的点与复数是一一对应的,点的坐标的特点即为复数实部、虚部的 特征. 举一反三: 【变式 1】在复平面内,复数 z ? sin 2 ? i cos 2 对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 )

【答案】∵

?
2

? 2 ? ? ,∴ sin 2 ? 0 , cos 2 ? 0 ,故相应的点在第四象限,选 D.

【变式 2】已知复数 z ? (3m2 ? 5m ? 2) ? (m ?1)i ( m ? R ),若 z 所对应的点在第四象 限,求 m 的取值范围. 【答案】∵ z ? (3m2 ? 5m ? 2) ? (m ?1)i ∴?

?3m 2 ? 5m ? 2 ? 0 ,解得 m ? 1 . ? ( m ? 1 ) ? 0 ?

∴ m 的取值范围为 m ? (1, ??) . 【变式 3】已知 z 是复数, z ? 2i 和 限,求实数 a 的取值范围. 【答案】设 z ? x ? yi ( x, y ? R ),∴ z ? 2i ? z ? x ? (2 ? y)i , 由题意得 y ? ?2 ,

z 2 均为实数,且复数 ( z ? ai) 对应的点在第一象 z ?i

z x ? 2i 1 1 1 ? ? ( x ? 2i )(2 ? i ) ? (2 x ? 2) ? ( x ? 4)i , 2?i 2?i 5 5 5
由题意得 x ? 4 , ∴ z ? 4 ? 2i ∵ ( z ? ai) ? (12 ? 4a ? a ) ? 8(a ? 2)i ,
2 2

?12 ? 4a ? a 2 ? 0 根据已知条件有 ? ,解得 2 ? a ? 6 , 8( a ? 2) ? 0 ?
∴实数 a 的取值范围是 a ? (2, 6) . 【变式 4】 已知复数 z 对应的点在第一象限的角平分线上, 求复数 ? ? z ?

1 在复平面上 z

对应的点的轨迹方程. 【答案】设 z=a+ai(a>0) 则? ? z ?

1 1 1 1 ? (a ? ai ) ? ? a? ? (a ? )i z a ? ai 2a 2a

1 ? x?a? ? ? 2a 2 2 令? ,消 a 得 x -y =2( x ? 2 ). ?y ? a ? 1 ? 2a ?


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