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函数的单调性与最值学案


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函数的单调性与最值
【知识梳理】 1.函数的单调性:(1)单调函数的定义 :
增函数 减函数

一般地, 设函数 f(x)的定义域为 I.如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意 两个自变量的值 x1,x2 定义 当 x1<x2 时,都有 ,那么就 当 x1<x2 时,都有 ,那么就

说函数 f(x)在区间 D 上是增函数

说函数 f (x )在区间 D 上是减函数

图象 描述 自左向右图象是上升的 自左向右图象是下降的

(2)单调区间的定义:若函数 f(x)在区间 D 上是增函数或减函数,则称函数 f(x)在这一区间上具有(严
格的)单调性,区间 D 叫做 f(x)的单调区间.

2.函数的最值 前提 条件 结论 ①对于 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足

x∈I,都有 f(x)≤M;

①对于任意 x∈I,都有 ②存在 x0∈I,使得 f(x0)=M.

②存在 x0∈I,使得 f(x0)=M

M 为最大值

M 为最小值

【分类解析】 :
题型一、函数的单调性的判断 1 【例题 1】? 证明:f(x)=x+ 在(-∞,-1)上是增函数. x

【例题 2】? 试讨论函数 f(x)=a +a (a>0,且 a≠1)单调性.

x

-x

【训练 1】 讨论函数 f(x)=

ax (a≠0)在(-1,1)上的单调性. x-1

【训练 2】已知函数 f(x)= x +1-ax,其中 a>0.
1

2

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(1)若 2f(1)=f(-1),求 a 的值; (2)证明:当 a≥1 时,函数 f(x)在区间[0,+∞)上为单调减函数; (3)若函数 f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,求 a 的取值范围.

题型二、利用已知函数的单调区间求参数的值(或范围) 【例 1】? ①f(x)=4x -mx+5 在[-2,+∞)为增函数,m 的取值范围是( A.(-∞,-16]
? ②已知 f ? x ? ? ?? 3a ? 1? x ? 4a ? ?log a x ?
2

) D. (-∞, 16)

B.(16,+∞)

C.[-16,+∞) )

? x ? 1? 是 R 上的减函数,则 a 的范围是( ? x ? 1?
?1 1 ? C. ? , ? ?7 3 ? ?1 ? D. ? ,1? ?7 ?

A. ? 0,1?

? 1? B. ? 0, ? ? 3?

③函数 y ? f ( x) ? ax ? log ? x ? 1 a ? 0, a ? ? 在 ?0,1? 上的最大值与最小值的和为 a ,则 1 ?? a
a?



【例 2】? 已知函数 f(x)=

x2+a (a>0)在(2,+∞)上递增,求实数 a 的取值范围. x

【训练 1】 函数 y=

x-5 在(-1,+∞)上单调递增,则 a 的取值范围是( x-a-2
C.a≤-3 D.a≥-3

).

A.a=-3 B.a<3

x 【训练 2】 已知 f(x)= (x≠a).(1)若 a=-2,试证 f(x)在(-∞,-2)内单调递增; x-a (2)若 a>0 且 f(x)在(1,+∞)内单调递减,求 a 的取值范围.

题型三、确定函数的单调区间: 【例 1】? 求下列函数的单调区间,并确定每一单调区间上的单调性.
2 ⑴ y ?| x ? 1| ? | 2 x ? 4 | ;⑵ y ? ? x2 ? 2 | x | ?3 ;(3) y ?| ? x ? 2 x ? 3|

?1? 【例 2】? (1)求函数 log 1 ( x ? 3x ? 2) 的单调区间. ?2? y ? ? ? ? 3? 2
2

x2 ? x

2

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【训练 1】函数 y ? f ( x) 的图象如图所示:则 g ( x) ? f ? log 1 x ? 的单调减区间是(

? ?

? ?



2

A. ? 1 , ? 2 ? ? D. ? ?? , 1和 ? ? ?

? 2 ? B? . 0 ? ?, 1 C? . ? 和,?1 2 ? ? 2, ??

?? 2 ,

?

Y

?

?1
? 1 2

O

X

【训练 2】求函数 y= x2+x-6的单调区间.

题型四、单调性的应用: 【例 1】? 已知 f(x)在区间(-∞,+∞)上是增函数,a、b∈R 且 a+b≤0,则下列不等式 中正确的是( ) B.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b) D.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)

A.f(a)+f(b)≤-f(a)+f(b)] C.f(a)+f(b)≥-f(a)+f(b)]

【例 2】? 已知函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且在 ? 0, ?? ? 上是增函数,令

2? ? a ? f ? sin 7 ?

5? ? ? ? , b ? f ? cos 7 ? ?

5? ? ? ? , c ? f ? tan 7 ? ?

? ? ,则( ?



Ab ? a ? c .

B.c ? b ? a

C.b ? c ? a

D. a ? b ? c

【例 3】? 函数 f(x) 对任意 a, b∈ R 都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1, 并且当 x>0 时, 有 f(x)>1. (1)求证: f(x) 是 R 上 的增函数; (2)若 f(4)=5, 解不等式 f(3m2-m-2)<3.

【训练 1】 函数 y=f(x) 在 R 上单调递增,且 f(m )>f(-m),则实数 m 的取值范围是( A. (-∞,-1 ) B. ( 0,+∞) C.(-1,0 ) D. (-∞,-1 )∪( 0,+∞) , 最小值为

2



【训练 1】 已知 x∈[0,1], 则函数 y= 2x+2- 1-x 的最大值为



【训练 1】已知 f(x)是定义在 R 上的函数,并且对任意 x, y,都有 f(x+ y)=f(x)+f(y)-1 成立,当 x>0 时,f(x)>1,(1)证明 f (x)在 R 上是增函数;(2)若 f(4)=5,求 f(2)的值; (3)若 f(4)=5,解不等式 f (3 m -m-2)<3.
2

3

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题型四、综合问题: 【例 1】 已知函数 f(x)对于任意 x, ∈R, ? y 总有 f(x)+f(y)=f(x+y), 且当 x>0 时, (x) f 2 <0,f(1)=- .(1)求证:f(x)在 R 上是减函数;(2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小 3 值.

【例题 2】?

已知定义在区间(0,+∞)上的函数 f(x)满足 f? ?=f(x1)-f(x2),且当 x> x

?x1? ? 2?

1 时,f(x)<0.(1)求 f(1)的值;(2)判断 f(x)的单调性;(3)若 f(3)=-1,求 f(x)在[2,9] 上的最小值.

【例题 3】? 定义在 R 上的函数 y=f(x) ,f(0)≠0,当 x>0 时,f(x)>1,且对任意的 a、b∈ R,有 f(a+b)=f(a)· f(b).(1)求证:f(0)=1; (2)求证:对任意的 x∈ R,恒 有 f(x)>0; (3)求证:f(x)是 R 上的增函数; (4)若 f(x)· f(2x-x2)>1,求 x 的 取值范围.

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