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高三高考平面向量题型总结,经典


平面向量 一、平面向量的基本概念: 1.向量:既有大小又有方向的量叫做________.我们这里的向量是自由向量,即不改变大小和方向可以平行 移动。 向量可以用_________来表示.向量的符号表示____________________. 2.向量的长度:向量的大小也是向量的长度(或_____) ,记作_________. 3.零向量:长度为 0 的向量叫做零向量,记作________. 4.单位向量:__________________________. 5.平行向量和共线向量:如果向量的基线平行或重合,则向量平行或共线;两个非零向量方向相同或相反. 记作________规定:___________________. 注意:理解好共线(平行)向量。 6.相等向量:_______________________. 例:下列说法正确的是_____ ①有向线段就是向量,向量就是有向线段; ②a

?

? ? ? ? b, b ? c, 则 a ? c ;③ a // b, b // c, a // c

④若 AB ? CD ,则 A,B,C,D 四点是平行四边形的四个顶点; ⑤所有的单位向量都相等; 二、向量的线性运算: (一)向量的加法: 1.向量的加法的运算法则:____________、_________和___________. (1)向量求和的三角形法则:适用于任何两个向量的加法,不共线向量或共线向量;模长之间的不等式关 系_______________________; “首是首,尾是尾,首尾相连” 例 1.已知 AB=8,AC=5,则 BC 的取值范围__________ 例 2.化简下列向量 (1) NQ ? MN ? QP ? PM (2) ( BP ? BC) ? (CQ ? AB) ? ( PM ? MB)

(2)平行四边形法则:适用不共线的两个向量,当两个向量是同一始点时,用平行四边形法则;

? ? ? a ? b 是以 a , b 为邻边的平行四边形的一条对角线,如图:

例 1.(09 山东)设 P 是三角形 ABC 所在平面内一点, BC ? BA ? 2BP ,则 A. PA ? PB ? 0 B. PA ? PC ? 0 C. PC ? PB ? 0 D. PA ? PB ? PC ? 0 ,则. ? ? ______

例 2.(13 四川)在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O, AB ? AD ? ? AO (3)多边形法则 2.向量的加法运算律:交换律与结合律 (二)向量的减法: 减法是加法的逆运算,A. BA ? OA ? OB ? PA ? PB (终点向量减始点向量)

1

在平行四边形中,已知以 a 、 b 为邻边的平行四边形中, a ? b, a ? b 分别为平行四边形的两条对角线,当

?

?

?

? ? a ?b ? a ?b
例 1.已知

时,此时平行四边形是矩形。 ,且

? a ? 6, b ? 8

? ? a ?b ? a ?b

,则

? ? a ?b ? a ?b

=______ ,则

例 2.设点 M 是 BC 的中点,点 A 在线段 BC 外,BC=16, 向量的加减运算:

AB ? AC ? AB ? AC

AM ? ____

例 1.(08 辽宁)已知 O、A 、 B 是平面内的三个点,直线 AB 上有一点 C ,满足CB+2AC=0,则OC=______ A.2OA-OB
→ →







B.—OA+2OB





C.

2 → 1 → OA— OB 3 3

D. —

1 → 2 → OA+ OB 3 3

例 2.(15 课标全国 I)设 D 是三角形 ABC 所在平面内一点, BC ? 3CD ,则______

1 4 AD ? ? AB ? AC A. 3 3 4 1 AD ? AB ? AC C. 3 3

1 4 AB ? AC B. 3 3 4 1 AD ? AB ? AC D. 3 3 AD ?
→ → →

例 3.(12 全国)在 ?ABC 中, AB 边上的高为 CD ,CB=a, CA=b,a ? b=0, a ? 1, b ? 2 ,则AD=______

CD 平分 ?ACB , 例 4. (10 全国) 在 ?ABC 中, 点 D 在边 AB 上, 若CB=a, CA=b, a ? 1, b ? 2 , 则CD=________
例 5.在 ?ABC 中,设 D 为边 BC 的中点, E 为边 AD 的中点,若BE= m AB+ n AC,则 m + n =___ 例 6. ( 15 北京理)在 ?ABC 中,点 M , N 满足 AM ? 2MC, BN ? NC ,若 MN ? x AB ? y AC ,则
→ → →







x ? ____ y ? _____
例 7.(13 江苏)设 D 、 E 分别是 ?ABC 的边 AB 、 BC 上的点,若 AD ? + ?2 AC( ? 1 , ?2 为实数),则 ? 1 + ?2 =_________ 例 8.(12 东北四市一摸)在 ?ABC 中,设 P 为边 BC 的中点,内角 A, B, C 的对边 a , b, c ,若 c AC+ a PA+ b PB=0,则 ?ABC 的形状为________
→ → → → → → 1 2 AB , BE ? BC ,若DE= ? 1 AB 2 3

2

(三)实数与向量的积: ? ? 1. 定 义 : 实 数 ? 与 非 零 向 量 a 的 乘 积 ? a 是 一 个 向 量 , 它 的 长 度 是 __________. 它 的 方 向 是 _________________________________________________________.当 ? ? 0 时,_______ 2.数乘向量的几何意义是把向量同方向或反方向扩大或缩小。 3.运算律:设 a 、 b 是任意向量, ? , ? 是实数,则实数与向量的积适合以下运算:

?

?

4.向量共线的判断: (平行向量的基本定理) ①如果 a ? ? b ,则 a // b ;若 a // b , b ? 0 ,则存在唯一的实数 ? ,使得 a ? ? b .

?

?

?

?

b 是两个不共线的非零向量, ②若 a 、 则它们共线的充要条件是存在两个均不是零的实数 ? , ? , 使________.

?

?

?1 ?1 ? ? ? ?2 ③若 a ? ?1 e1 ? ?1 e2 , b ? ?2 e1 ? ?2 e2 , e1 , e 2 不共线, a // b ,则在有意义的前提下, ? 2
例 1.(15 课标全国 II)设向量若 a 、 b 是两个不平行的向量,向量 ?a ? b 与 a ? 2b 平行,则 ? ? ____ 例 2.(09 湖南)对于非零向量 a, b, “ a ? b ? 0 ”是“ a / / b ”的___ A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

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例 3.(12 四川)设 a,b 都是非零向量,下列四个条件中,使 A.a=-b B.a∥b C.a=2b

a b ? 成立的充分条件是 |a| |b|

D.a∥b 且|a|=|b|

5.单位向量 ? ? ? 给定一个向量 a ,与 a 同方向且长度为 1 的向量叫做 a 的单位向量,即_______________ 重要结论: 已知 ?ABC , O 为定点, P 为平面内任意一点. ①PA+PB+PC=0 ? ________________________ ? _______________________. ②若OP=
→ → → →

1 → → → OA+OB+OC,则 P 为 ?ABC __________________________ 3
→ →

③若OP=OA+ ? (AB+AC) , ? ? (0,??) ,则 P 点的轨迹__________________. ④若OP=OA+ ? _________, ? ? (0,??) ,则 P 点的轨迹通过 ?ABC 的内心 ⑤若__________________________,则 P 点的轨迹是 ?ABC 的外心 ⑥若__________________________,则 P 点的轨迹是 ?ABC 的垂心 例 1.(10 湖北)在 ?ABC 中,点 M 满足MA+MB+MC=0,若存在实数 m ,使得AB+AC= m AM,则 m =________. 例 2.在 ?ABC 中,重心为 G,若 2 sin
→ → → → → → → →

→ →

AGA ? 3 sin BGB ? 3sin CGC ? 0 ,则 cos B ? _____
3

例 3.在 ?ABC 中,重心为 G,若 三、平面向量的基本定理 (一)平面向量基本定理内容:

aGA ? bGB ?

3 GC ? 0 ,则 A ? _____ 3
?

如果 e1 、 那么对这一平面内的任一向量 a , 有且只有一对实数 ?1 , ? 2 , e 2 是同一平面内的两个不共线的向量, 使__________________,其中 e1 、 e 2 是一组基底,记作_______._____________叫做向量 a 关于基底的分解 式。平面向量基本定理是向量正交分解的依据,是向量坐标运算的基础。 注意:只要是不共线的两个向量都可以作为基底,因为零向量与任一向量都平行,所以零向量一定不能作 为基底;基底不唯一;任一向量可以由一组基底来表示,但表示方法是唯一的。 例 1.(14 福建)在下列向量组中,可以把向量 a ? (3,2) 表示出来的是______ A. e1 ? (0,0), e 2 ? (1,2) C. e1 ? (3,5), e 2 ? (6,10) B. e1 ? (?1,2), e 2 ? (5,?2) D. e1 ? (2,?3), e 2 ? (?2,3)

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?

_ _ _ _ 例 2. (09 安徽) 在平行四边形 ABCD 中, E, F 分别是 CD, BC 的中点, 若 AC ? ? AE ? ? AF , 则? ? ? ? _
(二)平面向量基本定理与向量共线条件的综合应用 设 A, B 是 直 线 l 上 两 点 , O 是 直 线 外 一 点 , 对 于 直 线 上 任 意 一 点 P , 存 在 t ? R , 使 ___________________________成立.反之,满足上式的点 P 在直线 l 上. 特别地,当 P 为 A, B 的中点时,则_________________________. 例 1.已知 O、A 、 B 是平面内的三个点,线段 BA 的延长线上有一点 C ,满足 3AC+CB=0 则OC=____ A.3OA-2OB
→ → → → →

B.—2OA+3OB





C.

3 → 1 → OA— OB 2 2

D. —

1 → 3 → OA+ OB 2 2
→ → → → →

例 2.数列 ?a n ?是等差数列, 其前 n 项和为 S n , 若平面上的三个不共线的向量OA、 OB、 OC满足OB= a 1 OA+ a 2006 OC,且 A, B, C 三点共线,则 S 2006 ? _____ 例 3.已知向量 i , j 不共线,且AB= i ? mj ,AD ? ni ? j ,若 A, B, D 三点共线,则实数 m, n 应满足的条件 _____ A. m ? n ? 1 B. m ? n ? ?1 C. mn ? 1 D. mn ? ?1


? ?



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AC 于不同两点 M , N . 例 4. (07 江西) 如图, 在 ?ABC 中, 设 O 为边 BC 的中点, 过点 O 的直线交直线 AB 、
若AB= m AM,AC= n AN,则 m + n =___ mn 的最大值为_______
→ → → →

4

例 5.在 ?ABC 中,设 M 为边 BC 的任意点, N 为 AM 中点,AN= ? AB+ ? AC,则 ? + ? =_____. 例 6.在 ?ABC 中,设 M 为边 BC 的中点, N 为 AM 中点,AN= ? AB+ ? AC,则 ? + ? =_____. 例 7.如图,在 ?ABC 中,设 D 为边 BC 的中点,G 为 AD 中点,过 G 任作一条直线 MN 分别交 AB 、 AC 于 M , N 两点,若AM= x AB,AN= y AC,试问
→ → → → → → →







1 1 ? 是否为定值? x y
A N
M

A

G

N

B O M C
B D C

四、平面向量的正交分解与向量的直角坐标运算: (一)向量的正交分解与向量的直角坐标 1.向量的垂直:如果两个向量的基线互相垂直,那么这两个向量互相垂直; 2.向量的正交分解:如果基底的两个基向量互相垂直,则称这个基底为正交基底,在正交基底下分解向量, 叫做正交分解。 ? 3.在平面直角坐标系下,分别取与 x 轴,y 轴方向相同的两个单位向量作为基底,对于平面内任一向量 a , 有且只有一对实数 x,y,使得 a ? xe1 ? ye2 .有序数对 ( x, y ) 叫做 a 的坐标,记作 a ? ( x, y) 注意: (1)每一个向量都可以用一对有序实数对来表示,向量有代数法和几何法两种表示。 (2)符号 ( x, y ) 有了双重的意义,既可以表示固定的点,又可以表示向量;平面向量的坐标只与始点和终 点坐标有关,只有点始点在原点时,向量的坐标才与终点的坐标相等。 (二)向量的坐标运算 1.若 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y 2 ) ,则 a ? b ? __________ _____. 2.若 A ? ( x1 , y1 ), B ? ( x 2 , y 2 ) ,则AB=_______________|AB|=__________________
→ →

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__ 3.若 a ? ( x, y ), ? ? R ,则 ?a ? __________
4.若 a ? ( x1 , y1 ),b ? ( x2 , y2 ) , a // b ,则有________________. 5.三角形 ABC 的重心坐标公式为____________________________

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5

五、平面向量的数量积: 1.平面向量数量积的定义 ①向量 a , b 的夹角 已知两个非零向量 a , b ,过点 O 作 OA ? a, OB ? b ,则 ?AOB ? ? ( ________),叫作向量 a , b 的夹角. 当________________时, a 与 b 垂直,记作_________. 当________________时, a 与 b 平行或共线.注意:理解什么是两向量的夹角?以及两向量夹角的范围。 ②向量 a , b 的数量积 已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角为 ? ,则把 _____________ 叫做向量 a , b 的数量积(内积) ,记作 __________________. ? ③规定 0 ? a =0 ④向量数量积的几何意义 _______________________________________________________. 2.向量数量积的性质 设 a , b 是非零向量, e 是与 b 方向相同的单位向量, ? 是 a 与 e 的夹角,则 ① e ? a ? a ? e ? a ? cos? ② a ? b ? _______________________ ③当 a , b 同向时, a ? b ? __________ .当 a , b 反向时, a ? b ? __________

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_ 特别地, a ? a ? __________

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____ ④ cos? ? __________
⑤ a ?b ? a ? b

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3.向量的数量积的运算律:

注意:向量的数量积无______律,无_______律. 4.数量积的坐标运算 ①若 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y 2 ) ,则 a ? b ? __________ _____
2 ②若 a ? ( x, y) ,则 a ? a ? a ? a

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?2

? ? _________ a ? _________
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③若 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y 2 ) ,则 a // b 的充要条件为______________

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6

④ a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y 2 ) ,则 a ? b 的充要条件为______________ ⑤求角问题:若非零向量 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y 2 ) , ? 是 a , b 的夹角,则

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cos? ? __________ __ ? __________ _________
注意:向量有几何法和坐标法两种表示,它的运算也有两种方式即基于几何表示的几何法和基于坐标表示 的代数法. 典型例题(一)向量数量积的几何运算,注意两个向量的夹角,利用平面向量的基本定理选好基底 例 1.对任意向量 a, b ,下列关系式中不恒成立的是______

? ?

? ? ? ? A. a ? b ? a b

? ? ? ? a ? b ? a ?b B.

C. a ? b

?? ? ?
?

2

? ?2 ? a ?b

D. a ? b a ? b ? a 2 ? b 2

?? ???? ??

?

?

例 2.已知向量 a, b , c ,满足 a ? 1, b ? 2 , c ? a ? b ,且c ? a ,则向量 a与b 的夹角为______ 例 3.(11 江西)已知 a ? b ? 2, (a ? 2b ) ? (a ? b ) ? ?2 ,则 a , b 的夹角为______ 例 4.(13 全国)已知两个单位向量 a , b 的夹角为 60 , c ? ta ? (1 ? t )b ,若 b ? c ? 0 则 t ? ____ 例 5.(13 江西)设 e1 、 e 2 为单位向量, e1 与 e 2 的夹角为 的射影为___ 例 6.已知向量 a, b , c ,满足 a ? b ? c ? 0 , (a ? b ) ? c , a ? b , 若 a ? 1, 则 a

? ? ?

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? ? ? ? ? ? ? ? ,若 a ? e1 ? 3e2 , b ? 2e1 ,则向量 a 在 b 方向 3

? ? ?

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?2

?2 ?2 ? b ? c ? _____

例 7.(14 课标全国)已知 A,B,C 为圆 O 上的三点,若
?

AO ?

1 ( AB ? AC ) ,则 AB 与 AC 的夹角为_____ 2
→ →

例 8.(10 湖南)在直角三角形 ABC 中, ?C ? 90 , AC ? 4, 则AB ? AC=_____ 例 9.(15 湖北)已知向量 OA ? AB, OA ? 3 ,则 OA ? OB ? _____ 例 10.如图,在平行四边形 ABCD 中,AP⊥BD,垂足为 P,且 AP =3,则 AP ? AC ?

??? ? ??? ?

例 11.在三角形 ABC 中, ?A ? 60 , AB ? 2, AC ? 1 , E , F 为边 BC 的三等分点, 则AE ? AF=_____
7
→ →

?

例 12.(12 天津)已知三角形 ABC 为等边三角形, AB ? 2 ,点 P, Q 满足AP= ? AB, AQ=(1- ? )AC, ? ? R ,若BQ ? CP= ?
→ → → → → →





3 ,则 ? ? _____ 2
?

例 13.(13 山东)已知向量AB与AC夹角 120 , AB ? 3, AC ? 2 ,AP= ? AB+AC,且AP ? BC=0 则实数 ? 的值____
→ →



→ →





例 14. (13 天津) 在平行四边形 ABCD 中, AD ? 1, ?BAD ? 60? ,E 为边 CD 的中点, 若AC ? BE=1, 则 AB 的长为___ 例 15.已知 a , b 夹角为


? ?
?

? → ? ? ? ? , a ? 3, b ? 2 ,在三角形 ABC 中,AB ? 2m ? 2n , 6

AC ? 2m ? 6n , D 为边 BC 的中点,则 AD ? ____
? 例 16. AD 与 BE 分别是 ?ABC 的中线,若 AD=BE=1, AD 与BE 的夹角为120 ,则AB ? AC=_____

?





例 17.(15 四川)设四边形 ABCD 为平行四边形,AB=6,AD=4,若 M,N 满足 BM ? 3MC, DN ? 2NC , 则 AM ? NM ? _____ 例 18.(12 浙江)在三角形 ABC 中,点 M 为 BC 的中点, AM ? 3, BC ? 10, 则AB ? AC=_____ 例 19.(09 陕西)设 M 为 ?ABC 边 BC 的中点, AM ? 1 ,点 P 在 AM 上,满足AP=2PM,则PA(PB+PC) =_______ 例 20. 设 O 是三角形 ABC 的外心, OD ? BC, AB ? 3, AC ? 1 ,则AD ? (AB-AC)=___ 例 21.在三角形 OAB 中,已知 OA ? 4, OB ? 2 ,点 P 是 AB 的垂直平分线 l 上任一点,则 AB ? OP=_____ 例 22.已知 O 是三角形 ABC 的外心,若 AB ? 3, AC ? 5 ,则AO ? BC=_____ 例 23.若三角形 ABC 内接于 O 以为圆心,1 为半径的圆,3OA+4OB+5OC=0,则OC ? AB=___
→ → → → → → → → → → → → → → → → → → →

例 24.已知非零向量 a , b , a ? 3 b , f ( x) ? 范围为___

? ?

?

?

? ? 1 3 ? 2 ? ? x ? a x ? 2a ? b x ? 1 在 R 上有极值,则 ? a, b ? 的取值 3

例 25.(10 全国)已知圆 O 的半径为 1, PA, PB 为该圆的两条切线, A, B 为切点, 则PA ? PB的最小值为___
→ →

8

典型例题(二) :对于有明显的直角关系的向量问题------建立平面直角坐标系(与线性规划问题联系),向量的 几何法与代数法的转化 例 1.(13 湖北)已知点 A(—1,1) ,B(1,2)C(—2,—1) ,D(3,4) ,则向量AB在CD方向上的投影为_____ 例 2.(12 重庆)设 x, y ? R ,向量 a ? ( x,1), b ? (1, y), c ? (2,?4), a ? b , b // c ,则 a ? b ? ______
→ →

?

?

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?

? ? ?

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? 3x ? y ? 0 ? → → ? 例 3.已知点 A 3, 3 , O 是坐标原点,点 P ( x, y ) 的坐标满足 ? x ? 3 y ? 2 ? 0 ,设 z 为OA在OP上的投影, ?y ? 0 ? ?

?

?

则 z 的取值范围_____ 例 4.(13 福建)在四边形 ABCD 中,AC=(1,2) , BD=(-4,2) ,则四边形的面积为_____ 例 5.(09 湖南)如图,两块斜边长相等的直角三角板在一起,若AD= x AB+ y AC,则 x =____, y =_____
→ → → → →

例 6.已知 OA ? 1,OB ? k , ?AOB ?
→ → → →

2 ?, 点 C 在 ?AOB 3

内 , OC ?



OA=0,若OC= 2 m OA+ m OB, OC ? 2 3 ,则 k ? ______ 例 7.(09 天津)若等边三角形的边长为 2 3 ,平面上一点 M ,满足CM= 则MA ? MB=________. 例 8.(11 天津)已知直角梯形 ABCD 中, AD // BC, ?ADC ? 90? , AD ? 2, BC ? 1 , P 是腰 DC 上的动 点,则|PA+3PB|的最小值为_______ 例 9.(12 江苏)如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 2 , BC ? 2 ,点 E 为 BC 的中点,点 F 在边 CD 上,若AB ? AF ? 2 , ,则AE ? BF=_______
→ → → → → → → → →

1 → 2 → CB+ CA, 6 3

例 10. 在 直 角 三 角 形 ABC 中 , 点 D 是 斜 边 AB 的 中 点 , 点 P 是 线 段 CD 的 中 点 , 则

9

PA ? PB PC
2

2

2

? _______
→ →

例 11.(13 全国)已知正方形 ABCD 的边长为 2, E 为 CD 的中点,则AE ? BD=_______ 例 12.(13 重庆)在平面上, 值范围是_________

AB1 ? AB2 , OB1 ? OB2 ? 1, AP ? AB1 ? AB2

,若


OP ?

1 OA 的取 2 ,则

例 13.(12 北京)已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 为 AB 边上的动点,则DE ? CB=_______ DE ? DC的最大值为_______ 例 14.平面上三个向量OA、OB、OC,满足 OA ? 1, OB ? 3, OC ? 1, OA ? OB=0 则CA ? CB的最大值为_______ 例 15.已知三角形 ABC 中,?C ? 60? , AC ? 2, BC ? 1, 点 M 是 ?ABC 内部或边界上一动点,N 是边 BC 的中点,则AN ? AM的最大值为______ 例 16. ( 15 福 建 ) 已 知
→ → → → → → → → → → →



AB ? AC , AB ? t , AC ?

1 t , 若 点 P 是 三 角 形 ABC 所 在 平 面 内 一 点 , 且

AP ?

AB AB

?

4 AC AC

,则 PB ? PC 的最大值为_________ 例 17.(09 全国)设是 a,b,c 单位向量,a ? b=0,则(a--c) ? (b--c)的最小值为_____ 例 18.(13 湖南)已知 a,b 是单位向量,a ? b=0,若向量 c 满足|c--a--b|=1,则|c|的取值范围______ 例 19.(11 辽宁)若 a,b,c 单位向量,a ? b=0, (a--c) ? (b--c) ? 0 ,则|a+b--c|的最大值为____ 例 20.(11 全国)设向量 a,b,c,满足|a|=|b|=1, a ? b= ?

1 ? , ? a ? c, b ? c ?? 60 ,则|c|的最大值为_______ 2

例 21.(14 安徽)在平面直角坐标系 xOy 中,已知 a,b 是单位向量,a ? b=0,若 Q 点满足 OQ ?

2 (a ? b) ,

? ? P 0 ? r ? PQ ? R, r ? R 曲线 C ? P OP ? a cos ? ? b sin ? ,0 ? ? ? 2? ,区域 ,若 C ? ? 为两段
分离的曲线,则________ A. 1 ? r ? R ? 3 B. 1 ? r ? 3 ? R C. r ? 1 ? R ? 3 D. 1 ? r ? 3 ? R

?

?

?

?

典型例题(三) :注意数量积与三角形面积、余弦定理、正弦定理的联系与三角函数的联系,与均值不等式 的联系 例 1.(10 辽宁)平面上三点 O, A, B 不共线,设OA ? a ,OB ? b ,则 ?ABC 的面积等于___ A. C.


?



?

? ? ?2 2 a b ? (a ? b ) 2
1 2 ? ? ?2 2 a b ? (a ? b ) 2

B. D.

? ? ?2 2 a b ? (a ? b ) 2
1 2 ? ? ?2 2 a b ? (a ? b ) 2

10

3 → → ,AB ? AC ? 0 ,则 ?BAC ? ____ 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 例 3.(11 浙江)若平面向量 ? , ? , ? ? 1, ? ? 1 ,以向量 ? , ? 为邻边的平行四边形面积为 ,则 ? , ? 夹角 2 ? 的取值范围为_________ 1 cos B ? , b ? 3 例 4.(14 辽宁)在 ?ABC 中,已知 a ? c , BA ? BC ? 2 , 3
例 2.在 ?ABC 中, AB ? 2, AC ? 3, S ?ABC ? ①求 a, c 的值; ②求 cos(B ? C )

a ? ? ? ______ ? ? ? ? ? ? 例 5.设 a , b 为向量,若 a 与 a ? b 的夹角为 3 , a ? b 与 b 的夹角为 4 ,则 b
例 6.在三角形 ABC 中,若 A ? 120 , AB ? AC ? ?1 ,则
?

BC

的最小值为________

例 7.在三角形 ABC 中,AB=2,AC=4,若点 P 为三角形 ABC 的外心,则 AP ? BC ? ______ 例 8.设 O 是 ?ABC 内部一点,且OA+OC=-2OB,则 ?AOB 与 ?AOC 的面积之比为_____ 例 9.设 O 是 ?ABC 内部一点,且OA+3OC=-2OB,则 ?ABC 与 ?AOC 的面积之比为_____ 例 10.已知向量 a ? ? cos
→ → → → → →

?

? ?

3 3 ? ? ? x x, sin x ? 与 b ? ? cos ,? sin 2 2 ? 2 ?

x? ? ? ? ?? ? , c ? (1,?1) ,其中 x ? ?? , ? 2? ? 2 2?

⑴求证: (a ? b ) ? (a ? b ) ⑵设函数 f ( x) ? ( a ? c

?

?

?

?

?

?2

? ?2 ? 3)( b ? c ? 3) ,求 f ( x) 的最大值和最小值
? ?

例 11.(09 上海)已知 ?ABC 的角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,设向量 m ? (a, b) , n ? (sin B, sin A) ,

? p ? (b ? 2, a ? 2) ? ? ⑴若 m // n ,求证: ?ABC 为等腰三角形 ? ? ? ⑵若 m ? p , c ? 2, C ? ,求 ?ABC 的面积 3

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