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2019高三一轮复习创新设计文科数学第二章 第8节


第8节
最新考纲

函数与方程、函数的应用

1.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元

二次方程根的存在性及根的个数;2.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特 征,结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含 义;3.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中 普遍使用的函数模型)的广泛应用.

知 识 梳 理 1.函数的零点 (1)函数零点的概念 对于函数 y=f(x),把使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y=f(x)的零点. (2)函数零点与方程根的关系 方程 f(x)=0 有实数根?函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点?函数 y=f(x)有零点. (3)零点存在性定理 如 果 函 数 y = f(x) 满足: ① 在区间 [a , b] 上的图象是连续不断的一条曲线; ②f(a)· f(b)<0;则函数 y=f(x)在(a,b)上存在零点,即存在 c∈(a,b),使得 f(c)= 0,这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根. 2.二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系 Δ =b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 与 x 轴的交点 零点个数 3.常见的几种函数模型 (1)一次函数模型:y=kx+b(k≠0). k (2)反比例函数模型:y=x(k≠0). (x1,0),(x2,0) 2 (x1,0) 1 无交点 0 Δ>0 Δ=0 Δ<0

(3)二次函数模型:y=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,a≠0). (4)指数函数模型:y=a· bx+c(b>0,b≠1,a≠0). (5)对数函数模型:y=mlogax+n(a>0,a≠1,m≠0). 4.指数、对数、幂函数模型性质比较 函数 性质 在(0,+∞) 上的增减性 增长速度 图象的变化 值的比较 [常用结论与微点提醒] 1.若连续不断的函数 f(x)在定义域上是单调函数, 则 f(x)至多有一个零点.函数的零 点不是一个“点”,而是方程 f(x)=0 的实根. 2.函数零点存在定理是零点存在的一个充分不必要条件. a 3. “对勾”函数模型 f(x)=x+x (a>0)在区间(-∞, - a]和[ a, +∞)上单调递增, 在区间(- a,0)和(0, a)上单调递减. 诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数 f(x)=lg x 的零点是(1,0).( ) ) y=ax (a>1) 单调递增 越来越快 随 x 的增大逐渐表 现为与 y 轴平行 y=logax (a>1) 单调递增 越来越慢 随 x 的增大逐渐表 现为与 x 轴平行 y=xn (n>0) 单调递增 相对平稳 随 n 值变化 而各有不同

存在一个 x0,当 x>x0 时,有 logax<xn<ax

(2)图象连续的函数 y=f(x)(x∈D)在区间(a,b)?D 内有零点,则 f(a)· f(b)<0.( (3)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值.( )

(4)f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当 x∈(4,+∞)时,恒有 h(x)<f(x)<g(x).( 解析 (1)f(x)=lg x 的零点是 1,故(1)错. (2)f(a)· f(b)<0 是连续函数 y=f(x)在(a,b)内有零点的充分不必要条件,故(2)错.

)

(3)二分法求零点必须满足条件:①在区间(a,b)上图象连续不间断,②f(a)f(b)<0. 因此③错. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√

2.(必修 1P88 例 1 改编)函数 f(x)=ex+3x 的零点个数是( A.0 B.1 C.2

) D.3

1 解析 由 f′(x)=ex+3>0,所以 f(x)在 R 上单调递增,又 f(-1)=e-3<0,f(0)= 1>0,因此函数 f(x)有且只有一个零点. 答案 B 3.下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( A.y=cos x C.y=ln x )

B.y=sin x D.y=x2+1

解析 由函数是偶函数,排除选项 B,C;又选项 D 中函数没有零点,排除 D;y =cos x 为偶函数且有零点. 答案 A 4.(2017· 北京卷)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361,而可观 M 测宇宙中普通物质的原子总数 N 约为 1080.则下列各数中与 N 最接近的是( (参考数据:lg 3≈0.48) A.1033 B.1053 C.1073 D.1093 M 3361 解析 M≈3361,N≈1080, N ≈1080, M 3361 则 lg N ≈lg1080=lg 3361-lg1080=361lg 3-80≈93. M ∴ N ≈1093. 答案 D 5.函数 f(x)=ax+1-2a 在区间(-1,1)上存在一个零点,则实数 a 的取值范围是 ________. 解析 因为函数 f(x)=ax+1-2a 在区间(-1,1)上是单调函数,所以若 f(x)在区 1 间(-1,1)上存在一个零点,则满足 f(-1)f(1)<0,即(-3a+1)· (1-a)<0,解得3 <a<1. ?1 ? 答案 ?3,1? ? ? )

考点一 函数零点的判断与求解(多维探究) 命题角度 1 判断函数零点所在的区间

6 【例 1-1】 (1)已知函数 f(x)= x -log2x,在下列区间中,包含 f(x)零点的区间是 ( ) B.(1,2) D.(4,+∞)

A.(0,1) C.(2,4)

?1?x-2 (2)设函数 y=x3 与 y=?2? 的图象的交点为(x0,y0),若 x0∈(n,n+1),n∈N, ? ? 则 x0 所在的区间是________. 6 3 1 解析 (1)因为 f(2)=2-log22=2>0,f(4)=2-log24=-2<0,故 f(x)零点所在的区 间为(2,4). ?1?x-2 (2)设 f(x)=x3-?2? ,则 x0 是函数 f(x)的零点,在同一坐标系下画出函数 y=x3 ? ? ?1?x-2 与 y=?2? 的图象如图所示. ? ?

?1?-1 ?1?0 因为 f(1)=1-?2? =-1<0,f(2)=8-?2? =7>0,所以 f(1)f(2)<0,所以 x0∈(1, ? ? ? ? 2). 答案 (1)C (2)(1,2)

规律方法 确定函数 f(x)的零点所在区间的常用方法: (1)利用函数零点的存在性定理:首先看函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连 续,再看是否有 f(a)· f(b)<0.若有,则函数 y=f(x)在区间(a,b)内必有零点. (2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判

断. 命题角度 2 确定函数零点个数 )

2 ?x +x-2,x≤0, 【例 1-2】 (1)(一题多解)函数 f(x)=? 的零点个数为( ?-1+ln x,x>0

A.3

B.2

C.1

D.0 )

(2)(2018· 天津河东一模)函数 f(x)=|x-2|-ln x 在定义域内的零点的个数为( A.0 解析 (1)法一 ?x>0, ? ?-1+ln x=0, 解得 x=-2 或 x=e. 因此函数 f(x)共有 2 个零点. 法二 函数 f(x)的图象如图所示, 由图象知函数 f(x)共有 2 个零点. B.1 C.2 D.3

?x≤0, 由 f(x)=0 得? 2 或 ?x +x-2=0

(2)由题意可知 f(x)的定义域为(0,+∞),在同一直角坐标系中画出函数 y1=|x- 2|(x>0),y2=ln x(x>0)的图象,如图所示.

由图可知函数 f(x)在定义域内的零点个数为 2. 答案 (1)B (2)C

规律方法 函数零点个数的判断方法: (1)直接求零点,令 f(x)=0,有几个解就有几个零点; (2)零点存在性定理,要求函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且 f(a)· f(b)<0, 再结合函数的图象与性质确定函数零点个数; (3)利用图象交点个数,作出两函数图象,观察其交点个数即得零点个数. 1 1 【训练 1】 (1)(2018· 太原一模)函数 f(x)=2ln x+x- x -2 的零点所在的区间是 ( )

?1 ? A.?e,1? ? ?

B.(1,2)

C.(2,e)

D.(e,3)

x ?π ? (2)(2017· 武汉二模)函数 f(x)=4cos22cos? -x?-2sin x-|ln(x+1)|的零点个数为 ?2 ? ________. 1 1 1 解析 (1)易知 f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,且 f(2)=2ln 2-2<0,f(e)=2+e 1 - e-2>0.∴f(2)f(e)<0,故 f(x)的零点在区间(2,e)内. x x ? ? (2)f(x)=4cos22sin x-2sin x-|ln(x+1)|=2sin x·?2cos22-1?-|ln(x+1)|=sin 2x- ? ? |ln(x+1)|,令 f(x)=0,得 sin 2x=|ln(x+1)|. 在同一坐标系中作出两个函数 y=sin 2x 与函数 y=|ln(x+1)|的大致图象如图所示.

观察图象可知,两函数图象有 2 个交点,故函数 f(x)有 2 个零点. 答案 (1)C (2)2

考点二 函数零点的应用
x ?e +a,x≤0, 【例 2】 (1)(2018· 贵阳一中检测)已知函数 f(x)=? (a∈R),若函数 ?3x-1,x>0

f(x)在 R 上有两个零点,则 a 的取值范围是( A.(-∞,-1) C.(-1,0)

)

B.(-∞,0) D.[-1,0)

2 ?x +(4a-3)x+3a,x<0, (2)(2016· 天津卷)已知函数 f(x)=? ?loga(x+1)+1,x≥0

x (a>0, 且 a≠1)在 R 上单调递减, 且关于 x 的方程|f(x)|=2-3恰有两个不相等的实 数解,则 a 的取值范围是________. 1 解析 (1)当 x>0 时,f(x)=3x-1 有一个零点 x=3. 因此当 x≤0 时,f(x)=ex+a=0 只有一个实根, ∴a=-ex(x≤0),则-1≤a<0. (2)y=x2+(4a-3)x+3a,x<0,对称轴为 x=- ∵f(x)为 R 上的单调递减函数. 4a-3 3-4a 2 = 2 .

3-4a ? ? 2 ≥0, 1 3 ∴? 解得3≤a≤4. 0<a<1, ? ?3a≥1, x 又∵|f(x)|=2-3恰有两个不相等的实数解, x 令 y1=2-3,则其与 y 轴的交点为(0,2),函数|f(x)|的大致图 x 象如图, 要使 y1=2-3与 y=|f(x)|的图象有 2 个交点, 需 3a<2, 2 1 2 即 a< .∴ ≤a< . 3 3 3
? 1 2? 答案 (1)D (2)?a|3≤a<3? ? ?

规律方法 已知函数有零点(方根有根)求参数值常用的方法: (1)直接法,直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围; (2)分离参数法,先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决; (3)数形结合,先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然 后观察求解.
x ?2 -a,x≤0, 【训练 2】 (1)若函数 f(x)=? 有两个不同的零点,则实数 a 的取值 ?ln x,x>0

范围是________. (2)(2017· 全国 Ⅲ 卷 ) 已知函数 f(x) = x2 - 2x + a(ex - 1 + e - x + 1) 有唯一零点,则 a = ( ) 1 B.3 1 C.2 D.1

1 A.-2

解析 (1)当 x>0 时,由 f(x)=ln x=0,得 x=1. 因为函数 f(x)有两个不同的零点, 则当 x≤0 时,函数 f(x)=2x-a 有一个零点, 令 f(x)=0 得 a=2x, 因为 0<2x≤20=1,所以 0<a≤1, 所以实数 a 的取值范围是(0,1]. (2)f(x)=(x-1)2+a(ex-1+e1-x)-1, 令 t=x-1,则 g(t)=f(t+1)=t2+a(et+e-t)-1.

∵g(-t)=(-t)2+a(e-t+et)-1=g(t), ∴函数 g(t)为偶函数. ∵f(x)有唯一零点,∴g(t)也有唯一零点. 又 g(t)为偶函数,由偶函数的性质知 g(0)=0, 1 ∴2a-1=0,解得 a=2. 答案 (1)(0,1] (2)C

考点三 函数的实际应用(易错警示) 【例 3】 (1)(2016· 四川卷)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入,若该 公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元, 在此基础上, 每年投入的研发资金比上 一年增长 12%, 则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是(参考数 据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)( A.2018 年 C.2020 年 B.2019 年 D.2021 年 )

解析 设 2015 年后的第 n 年该公司投入的研发资金为 y 万元, 则 y=130(1+12%)n. 20 依题意 130(1+12%)n>200,得 1.12n>13. 两边取对数,得 n· lg1.12>lg 2-lg 1.3, lg 2-lg 1.3 0.30-0.11 19 ∴n> lg 1.12 ≈ 0.05 = 5 ,∴n≥4, ∴从 2019 年开始,该公司投入的研发资金开始超过 200 万元. 答案 B (2)(2018· 河南省实验中学期中)为了降低能源损耗,某体育馆的外墙需要建造隔热 层,体育馆要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元. 该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位: 万元)与隔热层厚度 x(单位: cm)满足关系: C(x)= k (0≤x≤10,k 为常数),若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元, 3x+5

设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和. ①求 k 的值及 f(x)的表达式; ②隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小?并求最小值. 解 ①当 x=0 时,C=8,∴k=40, ∴C(x)= 40 (0≤x≤10), 3x+5

∴f(x)=6x+

20×40 800 =6x+ (0≤x≤10). 3x+5 3x+5 800 -10. 3x+5

②由①得 f(x)=2(3x+5)+

令 3x+5=t,t∈[5,35], 800 800 则 y=2t+ t -10,∴y′=2- t2 , 800 当 5≤t<20 时,y′<0,y=2t+ t -10 为减函数; 800 当 20<t≤35 时,y′>0,y=2t+ t -10 为增函数. 800 ∴函数 y=2t+ t -10 在 t=20 时取得最小值,此时 x=5, 因此 f(x)的最小值为 70. ∴隔热层修建 5 cm 厚时,总费用 f(x)达到最小,最小值为 70 万元. 规律方法 解决函数实际应用题的两个关键点: (1)认真读题,缜密审题,准确理解题意,明确问题的实际背景,然后进行科学地 抽象概括,将实际问题归纳为相应的数学问题. (2)要合理选取参变量,设定变量之后,就要寻找它们之间的内在联系,选用恰当 的代数式表示问题中的关系,建立相应的函数模型,最终求解数学模型使实际问 题获解. 易错警示 求解过程中不要忽视实际问题是对自变量的限制. 【训练 3】 (2018· 西安质检)我国加入 WTO 后,根据达成的协议,若干年内某产 品的关税与市场供应量 P 的关系近似满足:y=P(x)=2(1-kt)(x-b)2(其中 t 为关 1? 1 ? 税的税率,且 t∈?0,2?,x 为市场价格,b,k 为正常数),当 t=8时的市场供应 ? ? 量曲线如图:

(1)根据图象求 b,k 的值; x (2)若市场需求量为 Q, 它近似满足 Q(x)=211-2.当 P=Q 时的市场价格称为市场 平衡价格.为使市场平衡价格控制在不低于 9 元的范围内,求税率 t 的最小值.

解 (1)由图象知函数图象过(5,1),(7,2).

? ?2 所以? ? ?2

(1- )(5-b)2

k

8 k

(1- )(7-b)

8

k? ? 1 - ? ? (5-b)2=0, ?? 8? ? 所以? 2 k? ? =2, 1 - ? (7-b)2=1, ? ?? 8? ? =1,

?k=6, 解得? ?b=5. (2)当 P=Q 时,2(1-6t)(x-5) =211-2, x 则(1-6t)(x-5)2=11-2, 所以 1-6t= x 11-2
2= 2 x

(x-5) 17 1 ? 1 ? =2·?(x-5)2-x-5?. ? ? 1? 1 ? 令 m= (x≥9),m∈?0,4?. ? ? x-5 1? ? 设 f(m)=17m2-m,m∈?0,4?, ? ? 1 ?1? 13 对称轴为 m=34,所以 f(m)max=f ?4?=16, ? ? 1 1 13 所以,当 m=4,即 x=9 时,1-6t 取得最大值为2×16, 1 13 19 19 则 1-6t≤2×16,解得 t≥192,所以税率的最小值为192.

22-x 1 · 2 (x-5)2

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题
x ?2 -1,x≤1, 1.已知函数 f(x)=? 则函数 f(x)的零点为( ?1+log2x,x>1,

) D.0

1 A.2,0

B.-2,0

1 C.2

解析 当 x≤1 时,由 f(x)=2x-1=0,解得 x=0; 1 当 x>1 时,由 f(x)=1+log2x=0,解得 x=2, 又因为 x>1,所以此时方程无解.

综上函数 f(x)的零点只有 0. 答案 D 2.(2018· 长郡中学模拟)函数 f(x)=ln x+ex(e 为自然对数的底数)的零点所在的区间 是( ) ?1 ? B.? e,1? ? ? D.(e,+∞)

1? ? A.?0,e? ? ? C.(1,e)

解析 函数 f(x)=ln x+ex 在(0,+∞)上单调递增,因此函数 f(x)最多只有一个零 点. 当 x→0+时,f(x)→-∞; 1 ?1? 又 f ? e?=lne +ee=ee-1>0, ? ? 1? ? ∴函数 f(x)=ln x+ex(e 为自然对数的底数)的零点所在的区间是?0,e?. ? ? 答案 A 2 3.函数 f(x)=2x-x -a 的一个零点在区间(1,2)内,则实数 a 的取值范围是( A.(1,3) C.(0,3) B.(1,2) D.(0,2) )
1 1

2 2 解析 因为函数 f(x)=2x-x -a 在区间(1,2)上单调递增,又函数 f(x)=2x-x -a 的一个零点在区间(1, 2)内, 则有 f(1)· f(2)<0, 所以(-a)(4-1-a)<0, 即 a(a-3)<0, 所以 0<a<3. 答案 C 4.将甲桶中的 a L 水缓慢注入空桶乙中,t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减 曲线 y=aent.假设过 5 min 后甲桶和乙桶的水量相等, 若再过 m min 甲桶中的水只 a 有4 L,则 m 的值为( A.5 B.8 ) C.9 D.10

解析 ∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等, 1 ∴函数 y=f(t)=aent 满足 f(5)=ae5n=2a,

t

1 1 ?2? , 可得 n=5ln2,∴f(t)=a· ? ? a 因此,当 k min 后甲桶中的水只有4 L 时,
k k

?1?5

?1?5 1 ?1?5 1 ?2? = a,即?2? = , f(k)=a· ? ? 4 ? ? 4 ∴k=10,由题可知 m=k-5=5. 答案 A 5.(2018· 湖北七校联考)已知 f(x)是奇函数且是 R 上的单调函数,若函数 y=f(2x2 +1)+f(λ-x)只有一个零点,则实数 λ 的值是( 1 A.4 7 C.-8 1 B.8 3 D.-8 )

解析 令 y=f(2x2+1)+f(λ-x)=0,则 f(2x2+1)=-f(λ-x)=f(x-λ),因为 f(x)是 R 上的单调函数,所以 2x2+1=x-λ,即 2x2-x+1+λ=0 只有一个实根,则 Δ 7 =1-8(1+λ)=0,解得 λ=-8. 答案 C 二、填空题 6.(2017· 江苏卷)某公司一年购买某种货物 600 吨,每次购买 x 吨,运费为 6 万元/ 次,一年的总存储费用为 4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x 的值是________. 解析 4x≥2 600 3 600 一 年 的 总 运 费 与 总 存 储 费 用 之 和 为 y = 6× x + 4x = x + 3 600 3 600 x ×4x=240,当且仅当 x =4x,即 x=30 时,y 有最小值 240.

答案 30 7.在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 y=2a 与函数 y=|x-a|-1 的图象只有一个 交点,则 a 的值为________. 解析 函数 y=|x-a|-1 的图象如图所示, 因为直线 y=2a 与函数 1 y=|x-a|-1 的图象只有一个交点,故 2a=-1,解得 a=-2. 1 答案 -2

8.(2018· 南阳一模)已知函数 f(x)=x+2x,g(x)=x+ln x,h(x)=x- x-1 的零点分 别为 x1,x2,x3,则 x1,x2,x3 的大小关系是________(由小到大). 解析 令 y1=2x,y2=ln x,y3=- x-1,y=-x, ∵函数 f(x)=x+2x,g(x)=x+ln x,h(x)=x- x-1 的零点分别为 x1,x2,x3,即 函数 y1=2x,y2=ln x,y3=- x-1 与函数 y=-x 交点的横坐标分别为 x1,x2, x3. 分别作出函数的图象,结合图象可得 x1<x2<x3.

答案 x1<x2<x3 三、解答题 1? ? 9.设函数 f(x)=?1-x?(x>0). ? ? (1)作出函数 f(x)的图象; 1 1 (2)当 0<a<b,且 f(a)=f(b)时,求a+b的值; (3)若方程 f(x)=m 有两个不相等的正根,求 m 的取值范围. 解 (1)如图所示.

1 ? ? x -1,x∈(0,1], 1? ? (2)∵f(x)=?1-x?=? ? ? 1 ?1-x,x∈(1,+∞), ? 故 f(x)在(0,1]上是减函数,而在(1,+∞)上是增函数. 由 0<a<b 且 f(a)=f(b), 得 0<a<1<b,

1 1 1 1 且a-1=1-b,∴a+b=2. (3)由函数 f(x)的图象可知, 当 0<m<1 时, 函数 f(x)的图象与直线 y=m 有两个不同 的交点,即方程 f(x)=m 有两个不相等的正根. 10.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙,研究某种鸟类的专家发现, Q 该种鸟类的飞行速度 v(单位:m/s)与其耗氧量 Q 之间的关系为 v=a+blog310(其 中 a,b 是实数).据统计,该种鸟类在静止时其耗氧量为 30 个单位,而其耗氧量 为 90 个单位时,其飞行速度为 1 m/s. (1)求出 a,b 的值; (2)若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于 2 m/s,则其耗氧量至少要多少个 单位? 解 (1)由题意可知,当这种鸟类静止时,它的速度为 0 m/s,此时耗氧量为 30 个 30 单位,故有 a+blog310=0, 90 即 a+b=0;当耗氧量为 90 个单位时,速度为 1 m/s,故有 a+blog310=1,整理 得 a+2b=1. ?a+b=0, ?a=-1, 解方程组? 得? ?a+2b=1, ?b=1. Q (2)由(1)知,v=-1+log310.所以要使飞行速度不低于 2 m/s,则有 v≥2,即-1 Q Q +log310≥2,即 log310≥3,解得 Q≥270.所以若这种鸟类为赶路程,飞行的速度 不能低于 2 m/s,则其耗氧量至少要 270 个单位. 能力提升题组 (建议用时:20 分钟) 11.(2018· 成都七中质检)某食品的保鲜时间 y(单位:小时)与储藏温度 x(单位:℃) 满足函数关系 y=ekx+b(e=2.718?为自然对数的底数,k,b 为常数).若该食品在 0 ℃的保鲜时间是 192 小时,在 22 ℃的保鲜时间是 48 小时,则该食品在 33 ℃ 的保鲜时间是( A.16 小时 ) B.20 小时 C.24 小时 D.28 小时

解析 由已知条件,得 192=eb,

又 48=e22k+b=eb·(e11k)2,
1 1

? 48 ?1?2 1 ∴e11k=?192? =?4? =2. ? ? ? ? ?2 设该食品在 33 ℃的保鲜时间是 t 小时, ?1?3 则 t=e33k+b=192 e33k=192(e11k)3=192×?2? =24. ? ? 答案 C ?ln(-x-1),x<-1, 12.(2018· 北京燕博园研究中心)函数 f(x)=? 若函数 g(x)= ?2x+1,x≥-1, f(f(x))-a 有三个不同的零点,则实数 a 的取值范围是________. 解析 设 t=f(x),令 f(f(x))-a=0,则 a=f(t).在同一坐标系内 作 y=a,y=f(t)的图象(如图). 当 a≥-1 时, y=a 与 y=f(t)的图象有两个交点.设交点的横坐 标为 t1,t2(不妨设 t2>t1)且 t1<-1,t2≥-1,当 t1<-1 时,t1 =f(x)有一解;当 t2≥-1 时,t2=f(x)有两解.综合当 a≥-1 时,函数 g(x)=f[f(x)] -a 有三个不同的零点. 答案 [-1,+∞) 13.(2017· 山东卷改编)已知当 x∈[0,1]时,函数 y=(mx-1)2 的图象与 y= x+m 的图象有且只有一个交点,求正实数 m 的取值范围. 1 ?2 1 ? 解 y=(mx-1)2=m2?x-m? ,相当于 y=x2 向右平移m个单位,再将函数值放大 ? ? m2 倍得到的; y= x+m 相当于 y= x向上平移 m 个单位. (1)若 0<m≤1,两函数的图象如图 1 所示,可知两函数在 x∈[0,1]上有且只有 1 个交点,符合题意.

(2)若 m>1,两函数的大致图象如图 2 所示. 为使两函数在 x∈[0,1]上有且只有 1 个交点,只需(m-1)2≥1+m,得 m≥3 或 m≤0(舍去). 综上,正实数 m 的取值范围是 m∈(0,1]∪[3,+∞).


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