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四川省普通高中数学学科学业水平考试要求及说明


四川省普通高中数学学科学业水平考试要求及说明 (试行) 试行) 一、考试性质
四川省普通高中数学学科学业水平考试是完成数学学科毕业水平学习的高中生和具有同等学力的考 生参加的全省统一的普通高中学业水平考试,是面向全体普通高中和具有同等学力的在校学生和社会青年 的达标性考试. 考试结果既是衡量学生在该课程的学习中是否达到课程标准的主要依据,也是学生学业水平认定的重 要依据. 《数学课程标准》作为学科教学的纲领性文件,它明确了高中数学课程的总体目标是“使学生在 九年义务教育数学课程的基础上,进一步提高作为未来公民所必要的数学素养,以满足个人发展与社会进 步的需要” .学业水平考试就是要全面考查和评估我省普通高中学生的数学学业水平是否达到了这个要求. 普通高中新课程实验数学学科学业水平考试是用于衡量学生实际水平的参照性测验,而不是用于确定 学生在群体中相对水平位置的甄别性选拔考试,因而测验的重点应放在数学基础知识、基本思想方法及核 心能力的形成上.

二、 指导思想

普通高中新课程实验数学学科学业水平考试的命题,是以教育部制定的《数学课程标准》为依据,参 照《四川省普通高中数学学科教学指导意见(试行)》及《四川省普通高中数学学科教学基本要求(试行)》 的精神,结合我省教学实际情况,全面考查学生是否在知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观方面 达到课程目标所规定的要求. 教师的专业素养是实现课程总体目标的重要因素.通过学业水平考试,要对我省普通高中数学教师的 专业发展状况,做出合理评价,促进教师教学方式的不断改进和完善,引导日常教学摆脱应试教育的模 式.随着社会的进步, “未来公民所必要的数学素养”在变化,学业水平考试要有利于学生学习方式的改 变,并引导社会、学校和家庭关注学生的全面发展,形成正确的质量观和人才观. 三、 考试内容和要求 数学思想方法、 1.数学思想方法、数学能力与要求 ⑴ 数学思想方法 数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括,它蕴含在数学知识发生、发展和应用的过程中.对 数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查,主要考查函数与方程的思想、数形 结合的思想、分类与整合的思想、化归与转化的思想、特殊与一般的思想、有限与无限的思想、或然与必 然的思想.对数学思想方法的考查要与数学知识的考查紧密结合进行,通过数学知识的考查,反映学生对 数学思想方法的理解和掌握程度.考查时,要从学科整体意义上考虑,注重通性通法,淡化特殊技巧,有 效地检测学生对中学数学知识中所蕴含的数学思想方法的掌握程度. ⑵ 数学能力 能力主要是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识 和创新意识. ① 空间想象能力:能根据条件作出正确的图形,根据图形想象出直观形象;能正确地分析出图形中基本 元素及其相互关系;能对图形进行分解、组合与变形;会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质. ② 抽象概括能力:对具体的实例,通过抽象概括,能发现研究对象的本质属性;并从给定的信息材料中, 概括出一般性结论,同时能将其用于解决问题或作出新的判断. ③ 推理论证能力:推理既包括演绎推理,也包括合情推理;论证方法既包括按形式划分的演绎法和归纳 法,也包括按思考方法划分的直接证法和间接证法.应学会运用合情推理进行猜想,再运用演绎推理进行 证明.会根据已知的事实和已获得的正确数学命题,论证某一数学命题真实性. ④ 运算求解能力:会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理,能根据问题的条件寻找与设计合 理、简捷的运算途径;能根据要求借助计算器对数据进行估计和近似计算.
1

⑤ 数据处理能力: 会收集、 整理、 分析数据, 能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息, 并作出判断. 数 据处理能力主要依据统计或统计案例中的方法对数据进行整理、分析,并解决给定实际问题. ⑥ 应用意识:能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题,包括解决相关学科、生产、生活中简单 的数学问题;能理解问题陈述的材料,并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类,将实际问题抽象为 数学问题;能应用相关的数学方法解决问题进而加以验证,并能用数学语言正确地表达和说明.应用的主 要过程是依据现实的生活背景,提炼相关的数量关系,将现实问题转化为数学问题,构造数学模型,并加 以解决. ⑦ 创新意识:对新颖的信息、情境和设问,选择有效的方法和手段收集信息,综合与灵活地应用所学的 数学知识、思想方法进行独立思考、探索和研究,提出解决问题的思路,创造性地解决问题. 数学探究、 2.数学探究、数学建模与数学文化 数学探究、数学建模、数学文化是贯穿于整个高中数学课程的重要内容,这些内容不单独设置,渗透在每 个模块或专题中. 《数学课程标准》要求高中阶段至少各应安排一次较为完整的数学探究、数学建模活动. 数学探究和数学建模都是高中数学课程中引入的新的学习方式.数学探究即数学探究性课题学习,是指学 生围绕某个数学问题,自主探究、学习的过程.这个过程包括:观察分析数学事实,提出有意义的数学问 题,猜测、探求适当的数学结论或规律,给出解释或证明.数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实 际问题的过程. 数学探究有助于学生初步了解数学概念和结论产生的过程,初步理解直观和严谨的关系,初步尝试数学研 究的过程,体验创造的激情,建立严谨的科学态度和不怕困难的科学精神;有助于培养学生勇于质疑和善 于反思的习惯,培养学生发现、提出、解决数学问题的能力;有助于发展学生的创新意识和实践能力. 数学建模为学生提供了自主学习的空间,有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用,体验数学 与日常生活和其他学科的联系,体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程,增强应用意识;有助于激 发学生学习数学的兴趣,发展学生的创新意识和实践能力. 数学是人类文化的重要组成部分.数学是人类社会进步的产物,也是推动社会发展的动力.通过在高中阶 段数学文化的学习,学生将初步了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用,体会数学的科学价值、应 用价值、人文价值,开阔视野,寻求数学进步的历史轨迹,激发对于数学创新原动力的认识,受到优秀文 化的熏陶,领会数学的美学价值,从而提高自身的文化素养和创新意识. 3.知识范围与要求 四川省普通高中数学学业水平考试实行文理科同卷同内容的考试方式,内容包括必修部分所有内容和选修 系列 1 与系列 2 中相同内容部分. 根据《数学课程标准》的要求,将其中所涉及的知识点的能力层级由低到高分为“了解(知道、识别、模 仿等)”“理解(描述,说明,表达,推测,想像,比较,判别,会求,会解,初步应用等)”和“掌握(掌 、 握,导出,分析,推导,证明,研究,讨论,选择,决策,解决问题等)”三个层次并分别用 A、B、C 表 示. 能力层级 了解 理解 掌握 符 号 A B C A——了解:要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识,知道这一知识内容是什么,能按照一定的程 序和步骤照样模仿,并能(或会)在有关的问题中识别和认识它. B——理解:要求对所列知识内容有较深刻的理性认识,知道知识间的逻辑关系,能够对所列知识作正确 的描述说明并用数学语言表达,能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判别、讨论,具备利用所 学知识解决简单问题的能力. C——掌握:要求能够对所列的知识内容进行推导、证明,能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨 论,并能运用所学过的知识分析日常生活或生产实践中的问题. 下面为考试内容对应的考查能力层级要求: 能力层级 模 内 容 备 注 块 A B C 集合的含义 集合之间的包含与相等的含义 全集与空集的含义 两个集合的并集与交集的含义及计算 补集的含义及求法 用 Venn 图表示集合的关系及运算
2

√ √ √ √ √ √

函数的概念 求简单函数的定义域和值域 数 函数的表示法 简单的分段函数及应用 学 1 函数的单调性、最大(小)值及其几何意 义 奇偶性的含义 利用函数的图象理解和探究函数的性 质 有理指数幂的含义 幂的运算 指数函数的概念及其意义;指数函数的 单调性与特殊点 指数函数模型的应用 对数的概念及其运算性质 换底公式的应用 对数函数的概念及其意义;对数函数的 单调性与特殊点 指数函数 y = a x 与对数函数

√ √ √ √ 关注学科内综合 √ √ 关注探究过程 √ √ √ √ √ √ √ √ 关注实践应用

y = log a x (a > 0, a ≠ 1) 互为反函数
幂函数的概念 函数的零点与方程根的联系 用二分法求方程的近似解 函数的模型及其应用 柱、锥、台、球及其简单组合体的结构 特征 简单空间图形的三视图的画法及三视 图的识别 斜二测法画空间图形的直观图 应用平行投影与中心投影画空间图形 的视图与直观图 球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的 计算公式 空间点、线、面的位置关系的四个公理 和一个定理 直线与平面、平面与平面的平行或垂直 的判定和性质 运用已获得的结论证明一些空间位置 关系的简单命题 直线的倾斜角及斜率的概念 过两点的直线的斜率的计算公式 利用斜率判断直线的平行与垂直 直线方程的三种形式:点斜式、两点式 和一般式 两直线交点坐标的求法 两点之间的距离公式、点到直线的距离 公式,两平行线间的距离 圆的标准方程和一般方程
3

√ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 关注探究过程 √ √ √ √ 关注探究过程 关注实践应用

数 学 2

直线与圆以及圆与圆的位置关系 直线和圆的方程的简单应用 空间直角坐标系的概念 用空间直角坐标系刻划点的位置 空间两点间的距离公式 算法的思想和含义 程序框图的三种基本逻辑结构 五种基本算法语句 随机抽样的必要性和重要性 数 学 3 用简单随机抽样方法从总体中抽取样 本 分层抽样和系统抽样方法 列频率分布表、画频率分布直方图、频 率折线图、茎叶图 样本数据标准差的意义和作用 合理选取样本,从样本数据中提取基本 的数字特征,并能做出合理的解释 用样本的频率分布估计总体分布,用样 本的数字特征估计总体的数字特征 随机抽样的基本方法和样本估计总体 的基本思想的实际应用 散点图的作法 利用散点图直观认识变量之间的相关 关系 最小二乘法 根据给出的线性回归方程系数公式建 立线性回归方程 概率的意义及频率和概率的区别 两个互斥事件的概率加法公式及应用 古典概型及其概率的计算公式,用列举 法计算概率 几何概型的意义 任意角的概念和弧度制 弧度与角度的互化 任意角三角函数的定义 正弦、余弦、正切函数的诱导公式 正弦、余弦、正切函数的图象画法及性 质的运用 三角函数的周期性 同角三角函数的基本关系式 √ √ √ √ √ √

√ √

关注学科内综合 关注实践应用

√ √

关注探究过程

√ √ 关注实践应用 √ √ √ √ 关注实践应用 √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 关注实践应用

√ 关注探究过程 √ √ √ √ √ √ √ √ √ 关注实践应用

y = A sin (ωx + ? ) 的实际意义
三角函数模型的简单应用 平面向量和向量相等的含义及向量的 几何表示 向量加、减法的运算及其几何意义 向量数乘的运算 向量数乘运算的几何意义及两向量共
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数 学

4

线的含义 向量的线性运算性质及其几何意义 平面向量的基本定理及其意义 平面向量的正交分解及其坐标表示 用坐标表示平面向量的加、减及数乘运 算 用坐标表示平面向量共线的条件 平面向量数量积的含义及其物理意义 平面向量的数量积与向量投影的关系 平面向量数量积的坐标表达式及其运 算 运用数量积表示两个向量的夹角,并判 断两个平面向量的垂直关系 平面向量的应用 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 二倍角的正弦、余弦、正切公式 运用相关公式进行简单的三角恒等变 换 正弦定理、余弦定理及其运用 数列的概念和简单的表示法

√ √ √ √ √ √ √ √ 关注学科内综合 √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 关注学科内综合 关注学科内综合 关注实践应用 关注学科间联系 关注探究过程

数 等差数列、等比数列的概念 学 5 一元二次不等式的概念 解一元二次不等式 二元一次不等式的几何意义 用平面区域表示二元一次不等式组 两个正数的基本不等式 两个正数的基本不等式的简单应用 命题的逆命题、否命题与逆 √ 否命题、四种命题的关系 必要条件、充分条件与充要 条件 逻辑联结词“或” “且” “非” √ 的含义 全称量词与存在量词的意义 椭圆的定义、标准方程及简 单几何性质 抛物线、双曲线的定义、几 何图形、标准方程和简单几 何性质 圆锥曲线的简单应用 导数的概念 选 导数的几何意义 由导数定义求函数 √ √ 关注实践应用 等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和公式 数列方法的应用

关注学科内综合 √

常用逻 辑用语

√ 关注学科内综合 √

圆锥曲 线与方 程



√ √

关注学科内综合

5



y = c , y = x, y = x 2 y =

1 x

的导数 用给出的基本初等函数的导 数公式和导数的四则运算法 则求简单函数的导数 导数公式表 用导数研究函数的单调性 导数及 应用 求不超过三次的多项式函数 的单调区间 求不超过三次的多项式函数 的极大值、极小值以及在给 定区间上不超过三次的多项 式函数的极大值、极小值 数系的扩充 复数的基本概念以及复数相 等的充要条件 复数的代数表示法及其几何 意义 复数代数形式的四则运算 复数代数形式的加、减运算 的几何意义 √



√ √ 关注学科内综合 √

√ √ √ √ √

数系的 扩充与 复数的 引入

4.情感态度与价值观要求 学生个体的情感、态度和价值观是学生的个性品质.要求学生具有一定的数学视野,认识数学的科学价值 和人文价值,崇尚数学的理性精神,形成审慎思维的习惯,体会数学的美学意义.对学生情感、态度和价 值观的具体考察方法与内容融入试题之中. 四、考试形式及试卷结构 1.考试形式、考试时间及试卷满分 考试形式、考试时间及试卷满分 考试方式 纸笔测试;闭卷 考试时间 90 分钟 试卷满分 100 分 2.试卷结构 试卷内容大至 大至比例 ⑴ 试卷内容大至比例 基本原则:注重基础,注重教材,注重能力,注重应用,突出主干知识,突出数学思想方法,知识覆盖面 达到 75%左右. ⑵ 试卷题型比例 题 型 题 量 分 值 选择题 10 小题 40 分 填空题 4 小题 16 分

解答题 5 小题 44 分 ⑶ 试题难易比例 全卷总体难度系数大致控制在 0.75 左右.各题型难度系数及大致比例如下: 难度级别 难度系数 约占比例 容易题 0.8 以上 70%
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稍难题 0.65—0.8 20%

难题 0.50—0.65 10%

五、题型示例 1.选择题:在每小题列出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 选择题:在每小题列出的四个选项中, .... 是符合题目要求的. 【例 1】 cos1110°的值是 (A) -

3 2

(B)

3 2

(C) -

1 2

(D)

1 2

【分析】 根据诱导公式,将 1110°转化为(0°,360°)或(0°,90°):cos1110°= cos(3×360° +30°)=cos30°=

3 . 2

【答案】 (B). 【说明】 本题主要考查诱导公式(终边相同的角的关系)、特殊角的三角函数值,能力要求层次为了解, 属于容易题. 【例 2】 复数 (A) 2 ? i

5i = 1 ? 2i (B) 1 ? 2i

(C) ?2 + i

【分析】 复数的四则运算,按法则进行:

5i 5i (1 + 2i ) = = ?2 + i . 1 ? 2i (1 ? 2i )(1 + 2i )

(D) ?1 + 2i

【答案】 (C). 【说明】 本题主要考查复数的代数运算,能力要求层次为了解,属于容易题. 【例 3】 下列函数中,定义域为 R 的是 (A) y= x
3

(B) y=log2x

(C) y=x

(D) y=

1 x

【分析】 由于各选项给出的均是具体的基本初等函数,考察函数自变量的取值范围即可. 【答案】 (C). 【说明】 本题主要考查基本初等函数的定义域,能力要求层次为了解,属于容易题. 【例 4】 若 P = {x x < 1}, Q{x x > 1} ,则 (A) P ? Q (B) Q ? P (C) ? R P ? Q (D) Q ? ? R P 【分析】 判断给定两个数集的关系,可以结合数轴直观.显然,(A)(B)不正确,由 P = x x < 1

?RP = x x ≥1

{

{

}得

} ,∴ Q ? ? R P ,故选(D).
1 ,则 S5 = n(n + 1) 1 (C) 6

【答案】 (D). 【说明】 本题主要考查集合与集合的关系,补集的求法,能力要求层次为理解,属于容易题. 【例 5】 数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 an = (A)

5 6

(B)

4 5

(D)

1 30

【分析】 已知 {an } ,求 Sn (或具体的前 n 项和),可以直接运用公式,或观察 an 的特征,选用相应的方 法.这里采用裂项相消处理. 【答案】 (A). 【说明】 本题主要考查数列通项和前 n 项和的关系(求法),能力要求层次为了解,属于容易题.因为问 题要求的是 S5 ,除采用根据通项求和的方法外,还可以采用逐一求出 S1 、 S2 、…、 S5 的方法获得答案. 【例 6】 函数 f ( x ) = x 3 ? 2 的零点所在的区间是 (A) ( ?2, 0) (B) (0,1) (C) (1, 2) (D) (2,3) 【分析】 由零点存在性定理,若零点所在区间为(a,b),则 f(a)f(b)<0.于是,从判断区间端点函数值 的符号入手解题.Q f (1) = (1)3 ? 2 = ?1 < 0 , f (2) = (2)3 ? 2 = 6 > 0 ,故选(C). 【答案】 (C). 【说明】 本题主要考查函数零点存在性定理的运用,能力要求层次为了解,属于容易题.在这里,函数
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f(x)单调递增,有且仅有一个零点.
【例 7】 已知向量 a = ( ?2, ? 1) , a ? b = ( ?4, 3) ,则 | b |= (B) 2 10 (C) 20 (D) 40 (A) 2 5 【分析】 根据已知,先由坐标运算求出向量 b=(2,-4),再求其模. 【答案】 (A). 【说明】 本题主要考查向量的坐标运算及向量的模,能力要求层次为了解,属于容易题. 【例 8】 将函数 y = sin x,x ∈ R 的图象上所有点的横坐标缩小为原来的一半,纵坐标不变,所得图象 对应的函数的最小正周期为

π
(A) 4π (B) 2π (C) π (D)

2
【分析】 根据函数图象变换与解析式相应变化的关系, “横坐标缩小为原来的一半,纵坐标不变”对应 “2x 代换 x” ,函数变为 y = sin 2 x,x ∈ R ,选(C). 【答案】 (C). 【说明】 本题主要考查三角函数图象(变换)与性质(周期),能力要求层次为了解,属于容易题. 【例 9】若一个几何体的三视图都是三角形,则这个几何体是 (A) 圆锥 (B) 四棱锥 (C) 三棱锥 (D) 三棱台 【分析】 由正视图与侧视图都是三角形,说明几何体为锥体,再由俯视图也是三角形,说明底面是三角 形,所以几何体为三棱锥. 【答案】 选择(C). 【说明】 本题主要考查三视图,对几何体的形状进行判断,考查学生的空间想象能力,能力层次要求为 了解,属于容易题. 【例 10】 两条直线 x + 2 y + 1 = 0 与 2 x ? y + 1 = 0 的位置关系是 (A) 平行 (B) 垂直 (C) 相交且不垂直 (D) 重合 【分析】 由两直线方程的系数关系判断其位置关系,因为对应系数的积之和: 1× 2 + 2 × ( ?1) = 0 ,所以 这两条直线是垂直的. 【答案】 (B). 【说明】 本题主要考查两条直线垂直的判定,应用意识,能力层次要求为理解,属于容易题.
2 2 【例 11】 已知 θ 是第四象限角,则方程 x sin θ + y = 1 表示的曲线是 (A) 焦点在 x 轴上的椭圆 (B)焦点在 y 轴上的椭圆 (D)焦点在 y 轴上的双曲线 (C) 焦点在 x 轴上的双曲线

【分析】 根据 θ 所在象限,确定出 sin θ 的符号,再根据方程的形式判断属于那类曲线.因为 θ 是第四象

限角,所以 sin θ <0,所以方程 x 2 sin θ + y 2 = 1 表示焦点在 y 轴上的双曲线. 【答案】 (D). 【说明】 本题主要考查三角函数的符号,双曲线的定义,特殊与一般的思想,能力层次要求为了解,属 于容易题.

【例 12】 已知抛物线 y 2 = 4 x 上的一点 P 到 y 轴的距离为 2,则点 P 到此抛物线的焦点的距离是 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 【分析】 已知抛物线上的点,求焦点弦问题,都是根据抛物线的定义解决问题.根据抛物线的定义知, 点 P 到焦点的距离等于点 P 到准线的距离,而准线到 y 轴的距离为 1,点 P 到 y 轴距离为 2,所以点 P 到 准线的距离 3. 【答案】 (C). 【说明】 本题主要考查抛物线的定义,数形结合的思想,化归与转化的思想,应用意识,能力层次要求 为理解,属于容易题.

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【例 13】 如图所示的程序框图,如果输入三个实数 a,b,c,要求输出这三个数中最大的数,那么在空 白处的判断框中,应该填入下面四个选项中的(注:框 图中的赋值符号“=”也可以写成“ ← ”或“:=”) 开始 (A) c>x (B) x>c (C) c>b (D) b>c 【分析】 正确理解“输入三个实数 a,b,c,要求输 输入三个实数 输入 a,b,c 出这三个数中最大的数”的含义是解决本题的关键. 出这三个数中最大的数 【答案】 (A). 【说明】 本题主要考查框图中的条件结构,识图能力 x=a 以及观察、推理的能力,能力要求层次为理解,属于容 易题. 【例 14】 下列说法正确的是 是 b>x? (A) 事件 A,B 中至少有一个发生的概率一定比 A,B 中 恰有一个发生的概率大 x=b (B) 事件 A,B 同时发生的概率一定比 A,B 中恰有一个 否 发生的概率小 是 (C) 互斥事件一定是对立事件,对立事件不一定是互斥 事件 (D) 互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥 x=c 否 事件 【分析】 根据并事件、交事件、互斥事件和对立事件 的定义进行判断. 【答案】 (D). 输出 x 【说明】 本题主要考查并事件、交事件、互斥事件和 对立事件的定义,能力要求层次为了解,属于容易题. 【例 15】 函数 y = ( ) + 1 的图象关于直线 y=x 对称
x

1 2

结束

的图象大致是

【分析】

1 y = ( ) x + 1 的图象过点 (0, 2) ,且单调递减,故它关于直线 y=x 对称的图象过点 (2, 0) 且单调 2

递减,选(A). 【答案】 (A). 【说明】 本题主要考查指数函数的图象及图象的对称变换,能力要求层次为理解,属于中档题.解答本

1 x 2 的图象关系(其反函数为 y = log 1 ( x ? 1) ).
2

题还有两种思路:一是作出函数 y = ( ) + 1 的图象,再作其对称图形;二是利用互为反函数的两个函数

【例 16】 若 a, b 为实数,则“ 0 < ab < 1 ”是“ b <

1 ”的 a

(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 【分析】 充分必要条件的判断,应注意分析“甲”能否推出“乙”“乙”能否推出“甲” 、 ,进行推证时, 有 还应充分运用到特例和反例. 对于本例, 0 < ab < 1 ,a < 0, b < 0 时, b > 当
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1 1 ; 反过来, b < ,a < 0 当 a a

时,则有 ab > 1 ,∴“ 0 < ab < 1 ”是“ b <

1 ”的既不充分也不必要的条件. a

【答案】 (D). 【说明】 本题主要考查充要条件的概念及其判断,能力要求层次为理解,属于中档题. 【例 17】 若 l1 , l2 , l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是 (A) l1 ⊥ l2 , l2 ⊥ l3 ? l1 / / l3 (C) l1 / / l2 / / l3 ? l1 , l2 , l3 共面 (B) l1 ⊥ l2 , l2 / / l3 ? l1 ⊥ l3 (D) l1 , l2 , l3 共点 ? l1 , l2 , l3 共面

【分析】 借助正方体各棱的位置关系,可举出 A,C,D 三个选项的反例,说明不成立,如 l1 , l2 , l3 共面, B 选项显然成立,如不共面,由 l1 ⊥ l2 , l2 / / l3 ,根据异面直线所成角知 l1 与 l3 所成角为 90°. 【答案】 (B). 【说明】 本题主要考查空间直线的位置关系,化归与转化的思想,空间想象能力和推理论证能力,能力 层次要求为理解,属于中档题. 填空题:将答案直接填在题中横线上. 2.填空题:将答案直接填在题中横线上. 【例 18】 已知集合 M = {1, 2,3, 4} ,集合 N = {1,3, 5} ,则 M I N 的一个非空子集是___________.

→ 【分析】 由已知, M I N = {1, 2,3, 4} I {1, 3,5} ???? M I N = {1, 3} .
取公共元素

【答案】 {1} 、 {3} 或 {1,3} (填其中一个即可). 【说明】 本题主要考查集合的运算(求交集)、对给定集合子集的识别,能力层次要求为理解,属于容易 题. 【例 19】 已知函数 f ( x) = ?

?2 x , x ≤ 0, ?log 2 x, x > 0,
那么 f(4)的值为____________

【分析】 求各段函数已知的分段函数的函数值,基本方法是根据自变量的范围代入相应解析式.∵4>0, ∴ f (4) = log 2 4 = 2 . 【答案】 2. 【说明】 本题主要考查(分段)函数值的求法、简单的对数运算,能力要求层次为了解,属于容易题. 【例 20】 某校高中一、二、三年级的学生分别有 800 名,1200 名,1000 名,现用分层抽样的方法从其 中抽取一个容量为 750 的样本,则从高中二年级抽取的人数为____________ . 【分析】 总体是由差异明显的部分组成,根据问题要求采用的抽样方法为分层抽样,故按比例计算各年 级抽取的人数. 【答案】

750 1 × 1200 = × 1200 = 300 . 800 + 1200 + 1000 4

【说明】 本题主要考查分层抽样的方法及相关计算,抽样方法的合理性及统计的思想,能力要求层次为 了解,属于容易题. 【例 21】 命题“如果函数 f(x)是偶函数,那么它的图象关于 y 轴对称”的逆命题是____________. 【分析】 构造简单命题的逆命题,只需交换命题的条件和结论. 【答案】 如果函数 f(x)的图象关于 y 轴对称,那么它是偶函数. 【说明】 本题主要考查命题的几种形式的关系,能力要求层次为了解,属于容易题. 【例 22】 如图是某中学高二年级举办的演讲比赛上,七位 评委为某选手 打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后, 所剩数据的中 位数为 . 【分析】 去掉一个最高分 93 分和一个最低分 79 分后,余 下的五个分数 依次是:84,84,85,86,87,中位数是 85. 【答案】 85. 【说明】 本题主要考查用茎叶图分析问题的方法,阅读图表的能力,能力要求层次为了解,属于容易题. 【例 23】 某人早上醒来的时候发现表停了,如果他打开收音机收听电台报时,他等待的时间不多于 10 分钟的概率是____________. 【分析】 利用几何概型的定义和几何概型公式求解. 【答案】

1 . 6
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【说明】 本考查古典概型和几何概型的识别,解决应用问题的意识和能力,能力要求层次为了解,属于 容易题. 【例 24】 若角 α 的终边经过点 P ( m,m + 4) ,且 tan α = ?3 ,则 m = ______. 【分析】 已知角的终边上的点和三角函数值,运用定义建立关系:tan α =

y m+4 = = ?3 ,解得 m=-1. x m

【答案】 -1. 【说明】 本题主要考查三角函数的定义,能力要求层次为了解,属于容易题.在课标及教材中,强调单 位圆在理解定义、性质中的作用,三角函数的定义是以角的终边和单位圆的交点建立的.解答中根据定义 得到等式时运用了: tan α =

y0 y = (其中,(1,y0)为角的终边与单位圆的交点,(x,y)为终边上异于 1 x

原点的点). 【例 25 】 当输入的 x 的值为-5,下列程序运行的结果等于_________. 【分析】 该程序用了输入语句、条件语句、赋值语句和输出语句 INPUT x 进行算法描述. IF x>=0 THEN 【答案】 5. 【说明】 本题主要考查输入语句、条件语句、赋值语句和输出语 PRINT x 句的功能和数学阅读理解的能力,能力要求层次为了解,属于容易 ELSE 题. PRINT –x o 【例 26】 向量 | a |= 5 , | b |= 4 , a 与 b 的夹角为 120 ,则 END IF a ? b = ________. END 【分析】 由联系题设各量的向量数量积公式变形即得. 【答案】 -10. 【分析】 本题主要考查向量数乘的运算,能力要求层次为了解,属于容易题. 【例 27】 若变量 x,y 满足约束条件 ? 【分析】 【答案】 【说明】 【例 28】 【分析】

?3 ≤ 2 x + y ≤ 9 ,则 z = x + 2 y 的最小值是_________. ?6 ≤ x ? y ≤ 9

根据已知的约束条件画出可行域,结合图形即得答案. -6. 本题主要考查基本的线性规划问题,能力要求层次为理解,属于中档题. 经过点 P(3,0)且长轴长是短轴长的 3 倍的椭圆的标准方程为________________. 由于焦点位置不确定,需要分情况讨论,再根据 P 点坐标得出 a 或者 b,从而得出椭圆的标准

方程.当焦点在 x 轴上时,有 a=3,b=1,此时椭圆方程为

x2 + y 2 = 1 ,当焦点在 y 轴上时,有 b=3,a=9, 9

此时椭圆方程为

【答案】

x2 y 2 + = 1. 9 81 x2 x2 y 2 + y 2 = 1, + = 1. 9 9 81

【说明】 本题主要考查椭圆的标准方程,分类与整合的思想,应用意识,能力层次要求为理解,属于中 档题. 【例 29】 函数 f ( x) = sin( x +

【分析】 根据正弦函数的单调性解答.令 z=

1 π x + ,而函数 y=sinz 的单调递增区间是 2 3 π 1 π π 5π π π ? π ? ? ? 2 + 2kπ , 2 + 2kπ ? .由 ? 2 + 2kπ ≤ 2 x + 3 ≤ 2 + 2kπ ,得 ? 3 + 4kπ ≤ x ≤ 3 + 4kπ , k ∈ Z . ? ? ? 5π π ? 【答案】 ? ? . , ? 3 3? ?

1 2

π
3

) , x ∈ [?2π , 2π ] 的单调递增区间是________.

【说明】 本题主要考查三角函数的单调性,能力要求层次为理解,属于中档题. 【例 30】 如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB = 2 ,点 E 为 AD 的中点,点 F 在 CD 上,若 EF∥
11

平面 AB1C,则线段 EF 的长度等于_____________. 【分析】 由线面平行得出线线平行,知 EF 为三角形 DAC 的中位线,再根据中位线定理求值.因为 EF / / 平面AB1C , EF ? 平面ABCD ,且平面 AB1C 与平面 ABCD 的交线为 AC ,所以 EF / / AC ,又 点 E 为 AD 的中点,所以 EF 为 ?DAC 的中位线,所以

1 AC .因为 AB = 2 , ABCD 为正方形,所以 AC = 2 2 , 2 所以 EF = 2 . 【答案】 2. EF =
【说明】 本题主要考查线面平行的性质,三角形中位线定理,化归 与转化的思想, 空间想象能力与推理论证能力, 能力层次要求为理解, 属于中档题. 【例 31】 已知一隧道的截面是半径为 4 m 的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为 2.7 m, 高为 3 m 的货车能不能驶入这个隧道?你作出的判断是________(填“能”或“不能”). 【分析】 建立坐标系,根据圆的方程求出对应点的纵坐标,再与车 的高度进行比较,作出合理判断.如图,以半圆的圆心为坐标原点, 其直径所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系,则半圆的方程为:

x 2 + y 2 = 16 ( y ≥ 0) .令 x=2.7,则 y 2 = 8.71 .
∵ y = 8.71 < 3 ,∴货车不能驶入此隧道. 【答案】 不能. 【说明】 本题主要考查建立适当的坐标系解决实际问题,圆的标准方程,数形结合的思想,数据处理能 力和应用意识.能力层次要求为理解,属于中档题.这个题目的特点是紧密联系学生的生活,情境简单符 合学生的认知水平,通过对复杂的实际事物适当简化,使得题目即有趣味又具有思想性(坐标法思想),这 是解析几何的核心思想方法. ′ ≥0,则 f(0)+f(2)与 2f(1)的大小关系为 【例 32】 对于 R 上可导的任意函数 f(x),若满足(x-1) f(x) _________________. 【分析】 研究函数值的大小关系,从单调性入手.依题意,当 x≥1 时,f ′(x)≥0,函数 f(x)在(1,+∞) 上是增函数;当 x<1 时,f ′(x)≤0,f(x)在(-∞,1)上是减函数,故 f(x)当 x=1 时取得最小值,即有 f(0)≥f(1),f(2)≥f(1),故 f(0)+f(2)≥2f(1). 【答案】 f(0)+f(2)≥2f(1). 【说明】 本题主要考查导数性质的应用(导函数的函数值取值与单调性的关系),能力要求层次为掌握, 属于较难题. 【例 33】 若函数 f ( x ) 的定义域为 A,当 x1 , x2 ∈ A 且 f ( x1 ) = f ( x2 ) 时,总有 x1 = x2 ,则称 f ( x ) 为单 函数.例如,函数 f ( x ) =2x+1( x ∈ R )是单函数.给出下列命题:①函数 f ( x ) = x 2 (x ∈ R)是单函数;② 指数函数 f ( x ) = 2 x (x ∈ R)是单函数;③若 f ( x ) 为单函数, x1 , x2 ∈ A 且 x1 ≠ x2 ,则 f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) ;④ 在定义域上具有单调性的函数一定是单函数.其中所有真命题的序号是___________. 【分析】 这是 “多选多” 型填空题, 一般需要逐一分析判断. 在判断中, 应注意特例和反例的灵活运用. 对 于①,若 f ( x1 ) = f ( x2 ) ,则 x1 = ± x2 ,不满足;②是单函数;命题③实际上是单函数命题的逆否命题, 故为真命题;根据定义,命题④为真. 【答案】 ②、③、④. 【说明】 本题以数学新概念为背景,从单函数概念出发,考查学生的阅读能力、理解能力、思维能力、 推理能力和创新意识.能力要求层次为掌握,属于较难题. 解答题: 解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤. 文字说明、 3.解答题: 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 【例 34】 某人有 4 把钥匙,其中有两把能够打开房门.现随机地取一把钥匙试着开门,不能打开的就扔 掉,问第二次才能打开门的概率是多少?如果试过的钥匙不扔掉,这个概率又是多少? 【分析】 每把钥匙打开门的概率都是相同的,并且试验结果是有限的,故本题是古典型概率问题. 【答案】

1 1 , . 3 4

【说明】 本考查古典概型的识别及学生的实际应用意识,能力要求层次为理解,属于中档题. 【例 35】 在等差数列 {an } 中, a1 + a3 + a5 = 21 , a4 = 9 .求:
12

(Ⅰ) 数列 {an } 的通项公式 an ; (Ⅱ) 求 a2 + a4 + a6 + L + a20 的值. 【分析】 已知等差数列的两个等式,利用等差数列的基本关系建立方程即可得到等差数列的基本量,从 而求得通项公式等. 【答案】 (Ⅰ) 方法一:设数列 {an } 的公差为 d, 方法一 则?

?a1 + (a1 + 2d ) + (a1 + 4d ) = 21, 解得 a1 =3, d = 2 . a1 + 3d = 9, ?

故数列 {an } 的通项公式 an = 2n + 1 . 方法二:由 a1 + a3 + a5 = 21 ,得 3a3 = 21 ,∴ a3 = 7 . 方法二 又∵ a4 = 9 ,∴公差 d = a4 ? a3 = 2 .由 a3 = a1 + 2d = a1 + 4 = 7 ,∴ a1 =3. 故数列 {an } 的通项公式 an = 2n + 1 . (Ⅱ) 方法一:由题知 a2 、 a4 、 a6 、…、 a20 是以 a2 为首项,公差为 4 的等差数列,则 方法一

10(a2 + a20 ) 10(5 + 41) = = 230 . 2 2 方法二:由题知 a2 、 a4 、 a6 、…、 a20 是以 a2 为首项,公差为 4 的等差数列,则 方法二 10 × 9 a2 + a4 + a6 + L + a20 = 10 × 5 + × 4 = 230 . 2 a2 + a4 + a6 + L + a20 =
【说明】 本题主要考查等差数列的通项公式、前 n 项和公式及相关概念、性质,能力要求层次为理解, 属于中档题.在解决本问题时,对已知条件的不同表示、对结论(如(Ⅱ)的求和)的不同表达,即产生对问 题的不同解法. 【例 36】 如图,在平行四边形 ABCD 中, M 是 AB 边的中点,点 N 在对角线 BD 上,且 DN = 2 NB . (Ⅰ) 记 AB = a , AD = b ,试用向量 a 、 b 表示 MN ; (Ⅱ) 证明: M 、N、C 三点共线. 【分析】 根据向量及其运算的几何意义,联系平面向量共线

uuu r

uuur

uuuu r

uuu uuur uuu r r 【答案】 (Ⅰ) ∵ BD = AD ? AB = b ? a , uuur 1 uuu 1 r BN = BD = (b ? a ) , 3 3 uuuu uuur uuur 1 r 1 1 1 ∴ MN = MB + BN = a + (b ? a ) = a + b . 2 3 6 3 uuuu uuur uuu 1 r r 1 (Ⅱ) 证明: MC = MB + BC = a + b = a + b . 2 2 uuuu 1 r r 1 1 1 1 uuuu ∴ MN = a + b = × ( a + b) = MC .故 M、N、C 三点共线. 6 3 3 2 3
【例 37】 已知 0 < α <

的表示求解.

【说明】 本题主要考查向量及其运算的几何意义、向量共线的表示,能力要求层次为理解,属于中档题.

π
2

< β < π ,且 sin α =

(I) 求 tan 2α ; (II) 求 cos β . 【分析】 三角恒等变换,抓住相关的角、函数名和式子的结构(即角、名、形)关系入手.

3 1 , cos(α ? β ) = . 3 2

3 6 2 ,知 cos α = 1 ? sin α = , 2 3 3 sin α 2 2 tan α 2 ∴ tan α = = . ∴ tan 2α = = =2 2. 2 cos α 2 1 ? tan α 1 ? 1 2
【答案】 (I) 由 0 < α < , sin α =
13

π

(或: tan 2α =

sin 2α 2sin α cos α = =2 2) cos 2α 1 ? 2sin 2 α

(II) 由 0 < α <

π

2

< β < π 可知, 0 < α <

π

π
2



2

< β < π , ?π < ? β < ?

π


2

1 3 ,∴ sin(α ? β ) = ? . 2 2 ∴ cos β = cos[α ? (α ? β )] = cos α cos(α ? β ) + sin α sin(α ? β )
∴ ?π < α ? β < 0 . 又 cos(α ? β ) =

=

6 1 3 3 6 1 × + × (? ) = ? . 3 3 3 2 6 2

【说明】 本题主要考查三角恒等变换(和差角的正弦、余弦,倍角公式),能力要求层次为理解,属于中 档题. 【例 38】 已知函数 f ( x ) =

(I) 证明: f ( x ) 是 (0, ∞) 上的增函数; +

1 1 ? ( a ≠ 0,x > 0 ). a x
1 2

(II) 若 f ( x ) 在 [ , 上的值域是 [ , ,求 a 的值. 2] 2] 【分析】 证明函数的单调性,可以考虑运用定义或导数知识;对于连续函数,在单调性确定之后,函数 在给定闭区间上的值域容易由已知区间的端点函数值表示. 【答案】 (I) 法一: 设 x1、x2 ∈ (0, ∞) ,且 x1 < x2 , +

1 2

1 1 1 1 ? ,f ( x2 ) = ? , a x1 a x2 1 1 1 1 1 1 x1 ? x2 ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) = ( ? ) ? ( ? ) = ? = . a x1 a x2 x2 x1 x1 x2 ∵ 0 < x1 < x2 ,则 x1 ? x2 < 0,x1 x2 > 0 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) < 0 ,
则 f ( x1 ) = ∴ f ( x1 ) < f ( x2 ) , f ( x ) 是 (0, ∞) 上的增函数. + 法二: 由已知,当 x>0 时, f ′( x ) = ? ∴ f ( x ) 是 (0, ∞) 上的增函数. +

0 × x ? 1× 1 1 = 2 >0, x2 x

1 ? 1 1 1 1 ?f( )= , (II) 由(I)知, f ( x ) 在 [ , 上单调递增,当 f ( x ) 在 [ , 上的值域是 [ , 时,有 ? 2 2] 2] 2] 2 即 2 2 2 ? f (2) = 2, ? 1 ?1 ?a ? 2 = 2 , 2 ? ?a= . ? 5 ?1 ? 1 = 2 ?a 2 ?
【说明】 本题主要考查函数的单调性证明及其应用,能力要求层次为掌握,属于中档题.函数的单调性 是函数的重要性质,与不等式、最值(值域)等有密切联系.研究函数的单调性,定义是基础,导数是重要 工具. 【例 39】 为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录了小李某月 1 号到 5 号每天打时间 x(单位:小时)与当于投篮命中率 y 之间的关系: 时间 x 1 2 3 4 5 命中率 y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4 (Ⅰ) 求小李这 5 天的平均投篮命中率为; (Ⅱ) 用线性回归分析的方法,预测小李该月 6 号打 6 小时篮球的投篮命中率. 【分析】 (Ⅰ)用平均数的定义可求解;(Ⅱ)先利用表格给出的数据求出线性回归方程,再以此为基础求 第六天的命中率.
14

【答案】 0.5;0.53. 【说明】 本题主要考查平均数和线性回归方程等基本知识, 数据统计中最常用的回归分析以及运算能力, 能力要求层次为理解,属于较难题. 【例 40】 锐角 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 3a = 2b sin A . (Ⅰ) 求角 B; (Ⅱ) 若 c = 2 ,且 BC ? BA = 3 ,求 b. 【分析】 3a = 2b sin A 的结构,加上解题目标“求 ?ABC 中的角”的导向,考虑运用正弦定理.对于 (Ⅱ),表示向量的数量积之后,根据已知条件选择关系解三角形即可. 【答案】 (Ⅰ) 由 3a = 2b sin A 及正弦定理,得

uuu uuu r r

3 × 2 R sin A = 2 × 2 R sin B ? sin A ,
即 3 sin A = 2 sin B ? sin A ,Q sin A ≠ 0 ,∴ sin B =

Q ?ABC 是锐角三角形, 0 < B <
(Ⅱ) ∵ BC ? BA = 3 ,∴ ac ? cos

π
2

,∴ B =

π


3 . 2

uuu uuu r r

π

3

∴ ac = 6 .又∵ c = 2 ,∴ a = 3 . ∴ b = a + c ? 2ac cos B = 3 + 2 ? 2 × 3 × 2 cos B = 7 . 【说明】 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,能力要求层次为掌握,属于较难题. 【例 41】如图,在三棱锥 P ? ABC 中, AB = AC , D 为 BC 的中点, PO ⊥平面 ABC ,垂足 O 落在线 段 AD 上. (Ⅰ) 证明: AP ⊥ BC ; (Ⅱ) 已知 BC = 8 , PO = 4 , AO = 3 , OD = 2 .求二面角 B ? AP ? C 的大小. 【分析】 (Ⅰ)欲证 AP ⊥ BC ,转化为证明 BC ⊥ 平面 APD, 即证明 AD⊥BC,PO⊥BC;(Ⅱ)欲求二面角 B ? AP ? C 的大小, 即求其二面角的平面角的大小,因此,需作出二面角的平面角 ∠BMC,再利用已知条件解三角形 BMC,求得平面角∠BMC. 【答案】 (Ⅰ) 由 AB=AC,D 是 BC 的中点,得 AD⊥BC.又 PO ⊥平面 ABC,得 PO⊥BC.因为 PO∩AD=O,所以 BC⊥平面 PAD, 故 BC⊥PA. (Ⅱ) 如图,在平面 PAB 内作 BM⊥PA 于 M,连 CM. 因为 BC⊥PA.,得 AP⊥平面 BMC.所以 AP⊥CM.故∠BMC 为二面角 B-AP-C 的平面角.
2 2 2 2

3

= 3,

在 Rt△ADB 中,AB =AD +BD =41,得 AB= 41 , 2 2 2 在 Rt△POD 中, PD =PO +OD , 2 2 2 在 Rt△PDB 中, PB =PD +BD , 2 2 2 2 所以 PB =PO +OD +BD =36,得 PB=6. 2 2 2 在 Rt△POA 中, PA =AO +OP =25,得 PA=5.
2 2 2

PA2 + PB 2 ? AB 2 1 = , 2 PA ? PB 3 2 2 从而 sin ∠BPA = , 所以 BM = PB sin ∠BPA = 4 2 . 同 3 理 CM = 4 2 . 2 2 2 因为 BM +MC =BC ,所以 ∠BPA =90°,即二面角 B-AP-C 的大小为 90°.
又 cos ∠BPA = 【说明】 本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系,二面角等基础知识,同时考查化归与转化的思 想,空间想象能力和推理论证能力,能力层次要求为掌握,属于较难题. 与 其中 O 【例 42】 若以点 C (t, ) ( t ∈ R ,t ≠ 0 )为圆心的圆与 x 轴交于点 O、A , y 轴交于点 O、B ,
15

2 t

为原点. (Ⅰ) 求证: ?AOB 的面积为定值; (Ⅱ) 若直线 y = ?2 x + 4 与 C 交于点 M 、N ,且 OM = ON ,求 C 的方程. 【分析】 (Ⅰ)欲求三角形 AOB 的面积,需要求得两直角边 OA,OB 的长,通过求圆与坐标轴的交点解决 问题;(Ⅱ)关键抓住 OM=ON 这一条件,得出点 O 在 MN 的中垂线上,同时圆心 C 必在弦 MN 的中垂线上,从 而 OC 为 MN 的中垂线,根据两直线垂直斜率互为负倒数解决问题. 【答案】 (Ⅰ) 由题意知,

C 的半径 r = t 2 +

4 ( t ≠ 0 ),则 C 方程为 t2

2 4 ( x ? t )2 + ( y ? )2 = t 2 + 2 . t t ? y = 0, ? x = 0, ? x = 2t , ? 由? 或? 2 2 2 4 ?? 2 ?( x ? t ) + ( y ? t ) = t + t 2 , ? y = 0, ? y = 0. ? ? x = 0, ? x = 0, ? x = 0, ? ? 由? 或? 2 2 2 4 ?? 4 2 ?( x ? t ) + ( y ? t ) = t + t 2 , ? y = 0, ? y = t . ? ? 1 4 ∴ S ?AOB = ? | 2t | ? | |= 4 (定值). 2 t
(Ⅱ) 由 OM = ON 知,线段 MN 的中垂线经过原点 O,且经过圆心 C (t, ) . ∴ OC 的斜率等于 MN 的斜率的负倒数,即 kOC = ?

2 t

1 1 = , ?2 2

2 ?0 1 t 即 = ? t = 2或t = ?2 . t ?0 2 ∴ C 的方程为 ( x ? 2)2 + ( y ? 1) 2 = 5 或 ( x + 2) 2 + ( y + 1) 2 = 5 .
【说明】 本题主要考查圆的方程,三角形面积,定值问题,垂径定理,两直线垂直的性质,数形结合的 思想和化归与转化的思想,抽象概括能力与运算求解能力,能力层次要求为掌握,属于较难题. 【例 43】 已知点 P 在椭圆

x2 y 2 + = 1 上,且以点 P 及该椭圆的两个焦点 F1,F2 为顶点的三角形的面积 5 4

等于 1,求点 P 的坐标. 【分析】 由椭圆方程易得椭圆的两个焦点坐标,从而得出焦距 | F1 F2 | ,由点 P 的纵坐标的绝对值为

?PF1 F2 的一条高的长,可得 ?PF1 F2 的面积的表达式,进而得出点 P 的纵坐标,由点 P 在椭圆上,求出点
P 的坐标. 【答案】 由椭圆方程 则 S ?PF1F2 =

x2 y 2 + = 1 得两焦点坐标为 F1 (?1, 0) , F2 (1, 0) ,所以 | F1 F2 |= 2 . 设点 P(x,y), 5 4

1 | F1 F2 | ? | y |=| y |= 1 ,所以 y = ±1 . 2 x2 y 2 x 2 (±1)2 因为点 P 在椭圆 + = 1 上,所以 + = 1 ,解得 x = ± 5 4 5 4 15 15 15 所以所求点 P 有四个,分别为 ( ,1), (? ,1), (? , ?1), ( 2 2 2

15 . 2 15 , ?1). 2

【说明】 本题主要考查椭圆的焦点坐标,焦距,点在曲线上,三角形面积求法,数形结合的思想,分类 与整合的思想,化归与转化的思想,运算求解能力,应用意识,能力要求层次为掌握,属于较难题. 【例 44】 已知 a ∈ R ,函数 f ( x ) = a ?

2 . 2 +1
x

16

(I) 是否存在实数 a 使 f ( x ) 为奇函数; (II) 探索方程 f(x)=0 的实根个数. 【分析】 对于(I),利用奇函数定义,根据 f(-x)=-f(x)建立 a 的等式得结论;对于(II),可考虑运用零 点存在性定理或者函数的图象解答. 【答案】 (I) 函数的定义域为 R,设 x ∈ R ,则 ? f ( ? x) = ? a + 令 a?

2 2 × 2x = ?a + x . 2? x + 1 2 +1

2 2 × 2x = ?a + x ,得 a=1.因此,存在实数 a=1,使 f ( x ) 为奇函数. 2x + 1 2 +1 2 (II) 方程 f(x)=0 即 a ? x =0, 2 +1
x

当 a≤0 时,f(x)<0 恒成立,方程显然无解; 当 a>0 时,方程变形得 2 ?

2 2 + 1 = 0 ,设 g ( x) = 2 x ? + 1 .此时,若 a≥2,则 g(x)>0 恒成立,方程无 a a

解;若 0<a<2,方程 g(x)=0 有且仅有一个实数根. 所以,当 a≤0 或 a≥2 时,方程 f(x)=0 实根的个数为 0;当 0<a<2 时,方程 f(x)=0 有且仅有一个实根. 【说明】 本题主要考查函数的性质、方程的根(函数零点)的个数的确定和分类讨论思想,能力要求层次 为掌握,属于较难题.以上解答中,结论“当 0<a<2 时,方程 g(x)=0 有且仅有一个实数根”的获得,可 以运用零点存在性定理,也可以运用函数的图象(对于函数的问题,利用函数的图象直观,数形结合进行 思考,往往使问题的解决更加简洁.). 【例 45】 现需要围建一个面积为 360 m 2 的矩形场地,场地的一面利用旧墙(但旧墙必须维修),其它三 面全部新建,并在旧墙对面的新墙上留一个宽为 2 m 的进出口(如图所示). 已知旧墙的维修费用为 45 元 / m ,新墙的建造价为 180 元/ m .设利用旧墙的长度为 x ( m ),修建此矩形场地围墙的总费用为 y (元). (Ⅰ) 将 y 表示为 x 的函数,并写出定义域; (Ⅱ) 试确定 x ,使修建此矩形场地围墙的 旧新 总费用最小,并求出这个最小值. 【分析】 对于实际应用型的问题,应注意 阅读审题、分析题意、建立关系,根据建立 的关系(数学模型)的特征联系相应的数学 新新 新新 (场场场场场) 方法解决问题. 【答案】 (Ⅰ) 当旧墙的长度为 x 时,矩 形场地的宽度为

360 ,则新墙的总长度为 x

进进进

新新

新新

( x ? 2) +

360 ×2 . x 360 × 2] ×180 . x

∴ 旧墙的维修费用 y1 = 45 x ,新墙的修建费用为 y2 = [( x ? 2) + 总费用 y = y1 + y2 = 45 x + [( x ? 2) +

360 × 2] × 180 ,化简得 x

y = 225 x +

由于要在旧墙对面的新墙上要留一个宽为 2 m 的进出口,所以 x > 2 .

360 2 ? 360 . x

360 2 ? 360 , x ∈ (2, ∞) . + x 360 2 (Ⅱ) 由 y = 225 x + ? 360 及 x > 2 ,知 x
故 y = 225 x +

y = 225 x +

360 2 360 2 ? 360 ≥ 2 225 x ? ? 360 = 10440 , x x
17

其中,当且仅当 225x =

3602 ,即 x = 24 时, “=”成立. x ∴ 当 x = 24 m 时,总费用的最小值为 10440 元.

【说明】 本题主要考查运用函数、不等式知识解决实际问题以及分析问题、解决问题的能力,能力要求 层次为掌握,属于较难题. 【例 46】 已知函数 f ( x ) = (I) 求 a,b 的值; (II) 证明:当 x>0,且 x ≠ 1 时, f ( x ) >

a ln x b + ,曲线 y = f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x + 2 y ? 3 = 0 . x +1 x
ln x . x ?1

【分析】 曲线的切线问题,从导数的几何意义入手;涉及函数的不等关系,基本思路是考虑函数的单调 性(导函数的函数值符号). 【答案】 (Ⅰ) 显然,f '( x) =

α(

x +1 ? ln x) b 1 x ? 2. 由于直线 x + 2 y ? 3 = 0 的斜率为 ? , 且过点 (1,1) , 2 ( x + 1) x 2

? f (1) = 1, ?b = 1, ? ? 故? 1 即 ?a 1 解得 a = 1 , b = 1 . ? f '(1) = ? 2 , ? 2 ? b = ? 2 , ? ? ln x 1 ln x 1 x2 ? 1 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知 f ( x ) = + ,所以 f ( x) = = (2 ln x + ). x +1 x x ? 1 1 ? x2 x x2 ? 1 ( x > 0) ,则 x 2 2 x 2 ? ( x 2 ? 1) ( x ? 1)2 h′( x) = ? =? . x x2 x2 所以当 x ≠ 1 时, h′( x ) < 0 ,即 h(x)在(0,1)和(1,+∞)上是减函数,而 h(1) = 0 ,故 1 当 x ∈ (0,1) 时, h( x ) > h(1) = 0 ,可得 h( x) > 0 ; 1 ? x2 1 当 x ∈ (1, +∞) 时, h( x ) < h(1) = 0 ,可得 h( x) > 0 ; 1 ? x2 ln x ln x 从而当 x > 0, 且x ≠ 1, f ( x ) ? > 0, 即f ( x) > . x ?1 x ?1
考虑函数 h( x ) = 2 ln x + 【说明】 本题主要考查导数的几何意义(与直线相切于曲线的联系)、导数的应用(导函数的函数值取值 与单调性的关系),推理与运算能力,能力要求层次为掌握,属于较难题. 六、样题及参考答案

18

四川省普通高中学业水平考试(样卷) 数 学 本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 第Ⅰ卷 1 至 2 页, 第Ⅱ卷 3 至 6 页. 全卷满分 100 分,考试时间为 90 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动,用橡皮擦干净后,再选 涂其它答案,不能答在试题卷上. 3.考试结束时,将本试卷和答题卡一并收回. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,只有一项是符合题 选择题 .... 目要求的. 1.若直线 Ax-2y-1=0 与直线 6x-4y+1=0 互相平行,则 A 的值为 (A) ?3 (B) 3 (C) 6 (D) ?
4 3

2.一元二次不等式 x 2 + 5 x + 6 > 0 的解集是 (A) (2,3) (C) (?∞ , 2) U (3 , + ∞)

(B) (-3,-2) (D) (?∞ , ? 3) U (?2 , + ∞ )

3.设集合 U = {1, 2,3, 4,5} ,集合 A = {1,3,5} ,集合 B = {3, 4,5} ,则 ?U A) B 等于 ( I (A) ? (B){4} (C) {1,3, 4,5} (D){2,3, 4,5} 4.将一枚质地均匀的硬币抛掷两次,出现“一次正面朝上、一次正面朝下”的概率是 1 1 (A) 0 (B) (C) (D) 1 2 4 1 α 5.设α∈{-1,1, ,3},则使函数 y=x 的定义域为 R 且为奇函数的所有α的值为 2 1 (A) 1 (B) 1,3 (C) -1, (D) -1,1,3 2 6.从某项综合能力测试中抽取 100 人的成绩,统计如表:
分数 人数 5 20 4 10 3 30 2 30 1 10

则这 100 人成绩的标准差为 (A) 3 (B) 3 (C) 10 5 (D) 2 10 5

7.已知 a = ( ?3, 2 ) , b = ( ?1, 0 ) ,向量 λ a + b 与 a ? 2b 垂直,则实数 λ 的值是 (A) ?

1 7

(B)

1 7

(C) ?

1 6

(D)

1 6

8.已知在△ABC 中,sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7,那么这个三角形的最大角是 (A) 60° (B) 90° (C) 120° (D) 150° 9.若右图是一个棱锥的正视图、侧视图和俯视图,且图中三角形是直角边长均为 1 的直角三角形,四边 形是边长为 1 的正方形,则此棱锥的体积等于 1 (A) 1 (B) 2 1 1 (D) (C) 3 4
19

10.阅读下面的程序框图,当输入变量 x = 8 时,输出的结果是 (A) 3 (B) 8 1 开 始 (D) (C) ?3 3
输入 x

x ≥ 1?




y = log 2 x

y = 2x

输出

y

结 束

20

四川省普通高中学业水平考试(样卷) 数 学 第Ⅱ卷(非选择题 共 60 分)

三 题号 二 15 得分 16 17 18 19 总分 总分人

注意事项: 1.第Ⅱ卷共 4 页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上. 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚. 二、填空题 填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,请将答案直接填在题中横线上. 填空题
?1+ i ? 11.计算: ? ? = __________. ?1? i ? x2 y2 12.椭圆 + = 1 的右焦点的坐标为_____________. 9 5 7 13.已知 (1 + 2x ) 展开式中第四项的系数为__________.
4

14.若函数 f ( x) = x3 + ax 2 + bx + a 2 在 x = 1 时有极值 10,则 a, b 的值分别为__________. 三、解答题 解答题:本大题共 5 小题,共 44 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 解答题 15.(本题 8 分) 用定义证明:函数 f ( x) = x +
1 在区间 [1, +∞ ) 上是增函数. x

21

16.(本题 8 分) 如图,已知圆 C 与 x 轴和 y 轴都相切,圆心 C 的坐标为(2,2). (Ⅰ) 写出圆 C 的标准方程,并化为一般方程; (Ⅱ) 求与圆 C 相切,且在 x 轴和 y 轴上的截距相等的直线方程.

17.(本题 8 分) 如图,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1,AD1 与 A1D 相交于点 O. (Ⅰ) 判断 AD1 与平面 A1B1CD 的位置关系,并证明; (Ⅱ) 求直线 AB1 与平面 A1B1CD 所成的角.

22

tan α tan 2α + 3(sin 2 α ? cos 2 α ) , tan 2α ? tan α (Ⅰ) 把 f ( x) 的表达式化简为 A sin(ω x + ? ) 的形式; (Ⅱ) 指出 f ( x) 在区间 [0, 2π ] 上的单调区间、最大值及相应的 x 的值.

18.(本题 10 分) 已知函数 f ( x) =

23

19.(本题 10 分) 已知等差数列 {an } 的公差 d 不为 0,设 Sn = a1 + a2 q + L + an q n ?1 ,
Tn = a1 ? a2 q + L + ( ?1)
n ?1

an q n ?1 ,q ≠ 0, n ∈ N? .

(Ⅰ) 若 q=1,a1=1,S3=15,求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ) 若 a1=d,且 S1,S2,S3 成等比数列,求 q 的值; (Ⅲ) 若 q ≠ ±1 ,证明: (1 ? q ) S2 n ? (1 + q ) T2 n =

2dq (1 ? q 2 n ) 1 ? q2

( n ∈ N? ).

24

四川省普通高中学业水平考试(样卷)数学试题 参考答案及评分意见 选择题( 个小题, 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 (B) (D) (B) (C) (B) (D) (A) 填空题( 个小题, 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分) 11.1;12.(2,0);13.280;14. 4, ?11 . 个小题, 三、解答题(本大题共 5 个小题,共 44 分) 解答题( 15.(本题 8 分) 设 1 ≤ x1 < x2 , ···························· 2 分
? 1? ? 1? 1 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) = ? x1 + ? ? ? x2 + ? = ( x1 ? x2 )(1 ? ) < 0 , ········ 4 分 x1 ? ? x2 ? x1 x2 ? 即 f ( x1 ) < f ( x2 ) , ··························· 6 分 1 ∴ 函数 f ( x) = x + 在区间 [1, +∞ ) 上是增函数. ·············· 8 分 x 16.(本题 8 分) (Ⅰ) 由已知,圆心 C 的坐标为(2,2), ·················· 1 分 又 圆 C 与 x 轴和 y 轴都相切,可得圆 C 的半径 r = 2 . ············ 2 分

8 (C)

9 (C)

10 (A)

所以,圆 C 的标准方程是 ( x ? 2 ) + ( y ? 2 ) = 4 . ·············· 3 分
2 2

圆的一般方程为 x 2 + y 2 ? 4 x ? 4 y + 4 = 0 . ················· 4 分 (Ⅱ) 由已知,直线在 x 轴和 y 轴上的截距相等,可设直线方程为 x + y ? a = 0 .
2+2?a

又该直线与圆 C 相切,所以

12 + 12

= 2 ,解得 a = 4 ± 2 2 . ········ 6 分

故所求直线方程为: x + y ? 4 + 2 2 = 0 或 x + y ? 4 ? 2 2 = 0 . ········ 8 分 17.(本题 8 分) (Ⅰ) AD1 ⊥ 平面A1 B1CD .························ 2 分
∵ 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, A1 B1 ⊥ AD1 , AD1 ⊥ A1 D, A1 D I A1 B1 = A1 , ∴ AD1 ⊥ 平面A1 B1CD .························· 4 分 (Ⅱ)连结 B1O .∵ AD1 ⊥ 平面A1 B1CD 于点 O, ∴ 直线 B1O 是直线 AB1 在平面 A1 B1CD 上的射影. ∴ ∠AB1O 为直线 AB1 与平面 A1 B1CD 所成的角. ·············· 6 分 AO 1 = , ∵ AB1 = 2 AO ,∴ sin ∠AB1O = AB1 2 ∴ ∠AB1O = 30 °. ·························· 8 分 18.(本题 8 分)

sin x sin 2 x tan x tan 2 x 2 2 cos x cos 2 x ? 3 cos 2 x (Ⅰ) f ( x) = + 3(sin x ? cos x) = sin 2 x sin x tan 2 x ? tan x ? cos 2 x cos x sin x sin 2 x = ? 3 cos 2 x =sin2x ? 3 cos 2x ········ 2 分 2 2sin x cos x ? sin x(cos 2 x ? sin 2 x)
∴ f ( x) =2sin(2x ? (Ⅱ) 设 x ∈ [0,

π
). ························· 3 分

2π π π ] ,则 u=2x ? ∈ [? , π ] . 3 3 3
25

3

根据正弦函数的单调性可知, 函数 g(x)=2sinu 在 u ∈ [?

π π

g(x)min= ? 3 ;当 u=
所以,当 x ∈ [0,

π
2

, ] 时递增, u ∈ [ , π ) 时递减; 在 且当 u= ? 时, 3 2 2 3

π

π

时,g(x)max=2. ·················· 6 分

2π 5π 5π 2π ] 时, f ( x) 的单调递增区间是 [0, ] ,单调递减区间是 [ , ] ; f ( x) 的最小值为 3 12 12 3 5π f(x)min= ? 3 ,相应的 x=0; f ( x) 的最大值为 f(x)max=2,相应的 x= . 12 ··································· 8 分 19.(本题 10 分) (Ⅰ) 由题设, S3 = a1 + a2 q + a3 q 2 = a1 + ( a1 + d ) q + (a1 + 2d )q 2 , 将 q=1,a1=1,S3=15 代入,解得 d=4, 所以数列 {an } 的通项公式为: a n = 4n ? 3 an = 4n ? 3,n ∈ N? . ········ 3 分
2

(Ⅱ) 由已知,a1=d,且 S1,S2,S3 成等比数列,所以 S2 = S1S3,即 (d + 2dq) 2 = d (d + 2dq + 3dq 2 ) , 注意到 d≠0,q≠0,解得 q=-2. ····················· 6 分 (Ⅲ) 由题设,有 bn= q n ?1 ,则
S2 n = a1 + a2 q + a3 q 2 + L + a2 n q 2 n ?1 T2 n = a1 ? a2 q + a3 q ? L ? a2 n q
2 2 n ?1

① ②
2 n ?1

①-②得, S2 n ? T2 n = 2( a2 q + a4 q + L + a2 n q
3

) ··············· 8 分 ③
3

①+②得, S2 n + T2 n = 2(a1 + a3 q 2 + L + a2 n ?1q 2 n ? 2 ) 所以, (1 ? q ) S2 n ? (1 + q ) T2 n = S2 n ? T2 n ? q( S 2 n + T2 n )
2dq (1 ? q 2 n ) 1 ? q2

③式两边同乘以 q,得 q ( S2 n + T2 n ) = 2(a1q + a3 q + L + a2 n ?1q 2 n ?1 )

= 2(a2 q + a4 q 3 + L + a2 n q 2 n ?1 ) - 2(a1q + a3 q3 + L + a2 n ?1q 2 n ?1 ) =2d( q + q 3 + L + q 2 n ?1 ) = .··················· 10 分

26


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