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高中数学基本知识基本思想基本方法ljr


合 中 高 05 级 复 习 用 资 料

高 中 数 学 基本知识·基本思想·基本方法 一、集合与简易逻辑 1.必须弄清集合的元素是什么, 是函数关系中自变量的取值?还是因变 量的取值?还是曲线上的点?? ; 2.数形结合是解集合问题的常用方法, 解题时要尽可能地借助数轴、 直 角坐标系或韦恩图等工具,将抽象的代数问题具体化、形象化、直观 化,然后利用数形结合的思想方法解决; 3.一个语句是否为命题,关键要看能否判断真假,陈述句、反诘问句都 是命题,而祁使句、疑问句、感叹句都不是命题; 4.判断命题的真假要以真值表为依据。原命题与其逆否命题是等价命 题 ,逆命题与其否命题是等价命题 ,一真俱真,一假俱假,当一个 命题的真假不易判断时,可考虑判断其等价命题的真假; 5.判断命题充要条件的三种方法: (1)定义法; (2)利用集合间的包含 关系判断,若 A ? B ,则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件;若 A=B,则 A 是 B 的充要条件; (3)等价法:即利用等价关系 对于条件或结论是不等关系 (或否定式) 的命题, " A ? B ? B ? A" 判断, 一般运用等价法; 6.(1)含 n 个元素的集合的子集个数为 2n,真子集(非空子集)个数为 2n-1; (2) A ? B ? A ? B ? A ? A ? B ? B; (3) CI ( A ? B) ? CI A ? CI B, CI ( A ? B) ? CI A ? CI B; 二、函数: 研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。 1.复合函数的有关问题 (1)复合函数定义域求法:若已知 f(x)的定义域为[a,b],其复合函 数 f[g(x)]的定义域由不等式 a?g(x)?b 解出即可; 若已知 f[g(x)]的定义 域为[a,b],求 f(x)的定义域,相当于 x∈[a,b]时,求 g(x)的值域(即 f(x) 的定义域) ; (2)复合函数的单调性由“同增异减”判定; 2.函数的奇偶性 (1)若 f(x)是偶函数,那么 f(x)=f(-x)= f ( x ) ; (2)定义域含零的奇函数必过原点(可用于求参数) ;
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(3) 判断函数奇偶性可用定义的等价形式: f(x)±f(-x)=0 或

f (? x) ? ?( 1 f(x) f ( x)

≠0); (4)若所给函数的解析式较为复杂,应先化简,再判断其奇偶性; (5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单 调区间内有相反的单调性; 3.函数图像(或方程曲线的对称性) (1)证明函数图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称 轴)的对称点仍在图像上; (2) 证明图像 C1 与 C2 的对称性, 即证明 C1 上任意点关于对称中心 (对 称轴)的对称点仍在 C2 上,反之亦然; (3) 曲线 C1: f(x,y)=0,关于 y=x+a(y=-x+a)的对称曲线 C2 的方程为 f(y -a,x+a)=0(或 f(-y+a,-x+a)=0); (4)曲线 C1:f(x,y)=0 关于点(a,b)的对称曲线 C2 方程为:f(2a-x,2b -y)=0; (5)若函数 y=f(x)对 x∈R 时,f(a+x)=f(a-x)恒成立,则 y=f(x)图像 关于直线 x=a 对称; (6)函数 y=f(x-a)与 y=f(b-x)的图像关于直线 x=
a?b 对称; 2

4.函数的周期性 (1)y=f(x)对 x∈R 时,f(x +a)=f(x-a) 或 f(x-2a )=f(x) (a>0)恒成立,则 y=f(x)是周期为 2a 的周期函数; (2)若 y=f(x)是偶函数,其图像又关于直线 x=a 对称,则 f(x)是周期 为 2︱a︱的周期函数; (3)若 y=f(x)奇函数,其图像又关于直线 x=a 对称,则 f(x)是周期为 4︱a︱的周期函数; (4)若 y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称,则 f(x)是周期为 2 a ? b 的周期函 数; (5)y=f(x)的图象关于直线 x=a,x=b(a≠b)对称,则函数 y=f(x)是周期 为 2 a ? b 的周期函数; (6)y=f(x)对 x∈R 时,f(x+a)=-f(x)(或 f(x+a)= ? 1 ,则 y=f(x)是
f ( x)

周期为 2 a 的周期函数; 5.方程 k=f(x)有解 ? k∈D(D 为 f(x)的值域);
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6.a?f(x) ? a?[f(x)]max,;

a?f(x) ? a?[f(x)]min;

7.(1) loga b ? logan b n (a>0,a≠1,b>0,n∈R+); (2) l og a N=
logb N ( a>0,a≠1,b>0,b≠1); logb a

(3) l og a b 的符号由口诀“同正异负”记忆; (4) a log a N= N ( a>0,a≠1,N>0 ); 8.能熟练地用定义证明函数的单调性,求反函数,判断函数的奇偶性。 9.判断对应是否为映射时, 抓住两点: (1) A 中元素必须都有象且唯一; (2)B 中元素不一定都有原象,并且 A 中不同元素在 B 中可以有相同 的象; 10.对于反函数,应掌握以下一些结论: (1)定义域上的单调函数必有 反函数; (2)奇函数的反函数也是奇函数; (3)定义域为非单元素集 的偶函数不存在反函数;(4)周期函数不存在反函数; (5)互为反函数 -1 的两个函数具有相同的单调性; (5) y=f(x)与 y=f (x)互为反函数, 设 f(x) -1 -1 的定义域为 A,值域为 B,则有 f[f (x)]=x(x∈B),f [f(x)]=x(x∈A). 11.处理二次函数的问题勿忘数形结合; 二次函数在闭区间上必有最值, 求最值问题用“两看法” :一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相 对位置关系; 12.恒成立问题的处理方法: (1)分离参数法; (2)转化为一元二次方 程的根的分布列不等式(组)求解; 13.依据单调性,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的

(a ? u ? b) ? ? 范围问题: f (u) ? g ( x)u ? h( x) ? 0(或 ? 0)
14.掌握函数 y ? 函 数 定 义 域 值 域

?f(a) ? 0 ?f(a) ? 0 (或? ); ?f(b) ? 0 ?f(b) ? 0

ax ? b b ? ac c ?a? (b ? ac ? 0); y ? x ? (c ? 0) 的图象和性质; x?c x?c x ax ? b b ? ac a y? ? a? y ? x ? (a ? 0 ) x?c x?c x (b – ac≠0)

(??,?c) ? (c,??) (??, a) ? (a,??)

(??,0) ? (0,??)

(??,?2 a ] ? [2 a ,??)

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奇 偶 性

非奇非偶函数 当 b-ac>0 时: 分别在

奇函数 在 (??,? a ],[ a ,??) 上 单调递增; 在 [? a, 0),(0, a ] 上单调 递增;

单 调 性

(??,?c), (c,??) 上单调

递减; 当 b-ac<0 时: 分别在
(??,?c), (c,??) 上单调

递增;
y y



Y=a o X=-c x



o

X

三、数列 1.由 Sn 求 an,an={
S1 (n ? 1) Sn ? Sn ?1 (n ? 2, n ? N * )

注意验证 a1 是否包含在后面 an

的公式中,若不符合要单独列出。一般已知条件中含 an 与 Sn 的关系的 数列题均可考虑用上述公式; 2.等差数列
{an} ? an ? an ?1 ? d (d为常数) ? 2an ? an ?1 ? an ?1 (n ? 2, n ? N*)

? an ? an ? b ? sn ? An2 ? Bn ;

3.等比数列 {a n } ? a n ? a n-1 ? a n ?1 (n ? 2, n ? N) ? a n ? a1 ? q n-1 ; 4.首项为正 (或为负) 的递减 (或递增) 的等差数列前 n 项和的最大 (或
an ? 0 ? ?an ? 0 ? 解决; 最小)问题,转化为解不等式 ? ? 或? ? ? ? ? ?an ?1 ? 0? ?an ?1 ? 0 ?

2

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5.熟记等差、等比数列的定义,通项公式,前 n 项和公式,在用等比数 列前 n 项和公式时,勿忘分类讨论思想; 6.等差数列中, am=an+ (n-m)d, q= n ? m a n ;
am
d? am ? an m?n

; 等比数列中,an=amqn-m;

7.当 m+n=p+q (m、 n、 p、 q∈N*) 时, 对等差数列 {an} 有: am+an=ap+aq; 对等比数列{an}有:aman=apaq; 8.若{an}、{bn}是等差数列,则{kan+bbn}(k、b、a 是非零常数)是等差数 列;若{an}、{bn}是等比数列,则{kan} 、{anbn}等也是等比数列; 9.等差(或等比)数列的“间隔相等的连续等长片断和序列” (如 a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9…)仍是等差(或等比)数列; 10.对等差数列{an},当项数为 2n 时,S 偶—S 奇=nd;项数为 2n-1 时, S 奇-S 偶=a 中(n∈N*) ; 11.若一阶线性递归数列 an=kan-1+b(k≠0,k≠1),则总可以将其改写变形 成如下形式: an ? b ? k (an ?1 ? b ) (n?2),于是可依据等比数列的定义
k ?1 k ?1

求出其通项公式; 四、三角函数 1.三角函数符号规律记忆口诀:一全正,二正弦,三是切,四余弦; 2.对于诱导公式,可用“奇变偶不变,符号看象限”概括; 3.记住同角三角函数的基本关系,熟练掌握三角函数的定义、图像、性 质; 4.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式,正余弦定理,处理三角形 内的三角函数问题勿忘三内角和等于 1800,一般用正余弦定理实施边 角互化; 5.正弦型函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的对称轴为 x ? 中心为 (
k? ?

?
2

??

?

对称 (k ? Z ) ;

k? ? ? ,0)( k ? Z ) ;类似可得余弦函数型的对称轴和对称中心; ?
2 S ?ABC ; (3)三角形的外接圆直径 a?b?c

6.(1)正弦平方差公式:sin2A-sin2B=sin(A+B)sin(A-B);(2)三角 形的内切圆半径 r=

2R=

a b c ? ? ; sin A sin B sin C
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五、平面向量 1.两个向量平行的充要条件,设 a=(x1,y1),b=(x2,y2), ? 为实数。 (1)向量 式:a∥b(b≠0) ? a= ? b;(2)坐标式:a∥b(b≠0) ? x1y2-x2y1=0; 2.两个向量垂直的充要条件, 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2), (1)向量式:a⊥ b(b≠0) ? a ? b=0; (2)坐标式:a⊥b ? x1x2+y1y2=0; 3.设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a ? b= a b cos? =x1x2+y1y2;其几何意义是 a ? b 等于 a 的长度与 b 在 a 的方向上的投影的乘积; 4.设 A(x1,x2) 、B(x2,y2),则 S⊿AOB= 1 x1 y 2 ? x 2 y1 ;
2

5.平面向量数量积的坐标表示: (1)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a ? b=x1x2+y1y2; AB ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ;
? (2)若 a=(x,y),则 a2=a ? a=x2+y2, a ? x2 ? y2 ;

六、不等式 1.掌握不等式性质,注意使用条件; 2.掌握几类不等式(一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对 数不等式)的解法,尤其注意用分类讨论的思想解含参数的不等式; 勿忘数轴标根法,零点分区间法; 3.掌握用均值不等式求最值的方法,在使用 a+b? 2 ab (a>0,b>0)时要 符合“一正二定三相等” ;注意均值不等式的一些变形,如
a2 ? b2 a?b 2 a?b 2 ?( ) ; ab ? ( ) ; 2 2 2

七、直线和圆的方程 1.设三角形的三个顶点是 A(x1,y1) 、B(x2,y2)、C(x3,y3),则⊿ABC 的 重心 G 为( x1 ? x2 ? x3 , y1 ? y 2 ? y3 ) ;
3 3

2.直线 l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2: A2x+B2y+C2=0 垂直的充要条件是 A1A2+B1B2=0; 3.两条平行线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 的距离是 d ? C1 ? C 2 ; 2 2
A ?B

4.Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件 :A=C≠0 且 B=0 且 D2+E2-4AF>0; 5.过圆 x2+y2=r2 上的点 M(x0,y0)的切线方程为:x0x+y0y=r2;
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6.以 A(x1,y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y -y2)=0; 7.求解线性规划问题的步骤是: (1) 根据实际问题的约束条件列出不等 式; (2)作出可行域,写出目标函数; (3)确定目标函数的最优位置, 从而获得最优解; 八、圆锥曲线方程
2 2 1.椭圆焦半径公式:设 P(x0,y0)为椭圆 x 2 ? y 2 ? 1(a>b>0)上任一点,

a

b

焦点为 F1(-c,0),F2(c,0),则 PF ; 1 ? a ? ex0 , PF 2 ? a ? ex0 (e 为离心率) 2.双曲线焦半径公式:设 P(x0,y0)为双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 (a>0,b>0)上
a b
2 2

任一点,焦点为 F1(-c,0),F2(c,0),则: (1)当 P 点在右支上时, PF 1 ? a ? ex0 , PF 2 ? ?a ? ex0 ; (2) 当 P 点在左支上时, PF (e 为离心率) ; 1 ? ?a ? ex0 , PF 2 ? a ? ex0 ;
2 2 2 2 另:双曲线 x 2 ? y 2 ? 1(a>0,b>0)的渐进线方程为 x 2 ? y 2 ? 0 ;

a

b

a

b

3.抛物线焦半径公式:设 P(x0,y0)为抛物线 y =2px(p>0)上任意一点, p F 为焦点,则 PF ? x 0 ? ;y2=2px(p<0)上任意一点,F 为焦点,则 2 p PF ? ? x0 ? ; 2 4.涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题; 5.共渐进线 y ? ? x 的双曲线标准方程为 x 2 ? y 2 ? ? (? 为参数, ? ≠0) ;
a b

2

b a

2

2

6.计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式, 一般地,若斜率为 k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为 AB, A、B 两点分别为 A(x1,y1)、B(x2,y2),则弦长
AB ? 1 ? k 2 ? x2 ? x1 ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ]

? 1?

1 1 ? y2 ? y1 ? (1 ? 2 ) ? [( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ] ,这里体现了解析几何 k2 k
2

“设而不求”的解题思想; 7.椭圆、双曲线的通径(最短弦)为 2b ,焦准距为 p= b ,抛物线的
a
2

c

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通径为 2p,焦准距为 p; 双曲线 x 2 ? y 2 ? 1(a>0,b>0)的焦点到渐进
a b

2

2

线的距离为 b; 8.中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆,双曲线方程可设为 Ax2+Bx2 =1; 9.抛物线 y2=2px(p>0)的焦点弦 (过焦点的弦) 为 AB, A (x1,y1) 、 B(x2,y2),
2 则有如下结论: (1) AB =x1+x2+p;(2)y1y2=-p2,x1x2= p ;

4

10.过椭圆 x 2 ? y 2 ? 1 (a>b>0)左焦点的焦点弦为 AB,则
a b

2

2

AB ? 2a ? e( x1 ? x 2 ) ,过右焦点的弦 AB ? 2a ? e( x1 ? x 2 ) ;
11.对于 y2=2px(p≠0)抛物线上的点的坐标可设为(
2 y0 ,y0),以简化计 2p

算; 12.处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法,设 A(x1,
2 2 y1)、B(x2,y2)为椭圆 x 2 ? y 2 ? 1 (a>b>0)上不同的两点,M(x0,y0)是 AB

a

b
2

的中点,则 KABKOM= ? b 2 ;对于双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 (a>0,b>0) ,类似
2

2

a

a

b

2 可得:KAB.KOM= b 2 ;对于 y2=2px(p≠0)抛物线有 KAB= 2 p

a

y1 ? y 2

13.求轨迹的常用方法: (1)直接法:直接通过建立 x、y 之间的关系,构成 F(x,y)=0,是求 轨迹的最基本的方法; (2)待定系数法:所求曲线是所学过的曲线:如直线,圆锥曲线等, 可先根据条件列出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回 所列的方程即可; (3) 代入法 (相关点法或转移法) : 若动点 P(x,y)依赖于另一动点 Q(x1,y1) 的变化而变化,并且 Q(x1,y1)又在某已知曲线上,则可先用 x、y 的代 数式表示 x1、y1,再将 x1、y1 带入已知曲线得要求的轨迹方程; (4)定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可 由曲线的定义直接写出方程; (5)参数法:当动点 P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到,也没有 相关动点可用时,可考虑将 x、y 均用一中间变量(参数)表示,得参 数方程,再消去参数得普通方程。
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九、直线、平面、简单几何体 1.从一点 O 出发的三条射线 OA、OB、OC,若∠AOB=∠AOC,则点 A 在平面∠BOC 上的射影在∠BOC 的平分线上; 2. 已知:直二面角 M-AB-N 中,AE ? M,BF ? N,∠EAB= ? 1 ,∠ ABF= ? 2 ,异面直线 AE 与 BF 所成的角为 ? ,则 cos? ? cos?1 cos? 2; 3.立平斜公式:如图,AB 和平面所成的角是 ? 1 ,AC 在平面内,AC 和 AB 的射影 AB 成 ? 2 ,设∠BAC= ? 3 ,则 cos ? 1 cos ? 2 =cos ? 3 ; 4.异面直线所成角的求法: (1)平移法:在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,作另一条的 平行线; (2)补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平 行六面体、长方体等,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系; 5.直线与平面所成的角 斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角,它的三条边分别是平 面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。通常通过斜线上某个 特殊点作出平面的垂线段,垂足和斜足的连线,是产生线面角的关键; 6.二面角的求法 (1)定义法:直接在二面角的棱上取一点(特殊点) ,分别在两个半 平面内作棱的垂线,得出平面角,用定义法时,要认真观察图形的特 性; (2)三垂线法:已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线,用三 垂线定理或逆定理作出二面角的平面角; (3)垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面 与两个半平面的交线所成的角即为平面角,由此可知,二面角的平面 角所在的平面与棱垂直; (4) 射影法: 利用面积射影公式 S 射=S 原 cos ? ,其中 ? 为平面角的大小, 此方法不必在图形中画出平面角; 特别:对于一类没有给出棱的二面角,应先延伸两个半平面,使之相 交出现棱,然后再选用上述方法(尤其要考虑射影法) 。 7.空间距离的求法 (1)两异面直线间的距离,高考要求是给出公垂线,所以一般先利用 垂直作出公垂线,然后再进行计算; (2)求点到直线的距离,一般用三垂线定理作出垂线再求解; (3)求点到平面的距离,一是用垂面法,借助面面垂直的性质来作,
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因此,确定已知面的垂面是关键;二是不作出公垂线,转化为求三棱 锥的高,利用等体积法列方程求解; 8.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等,记为 ? ,则 S 侧 cos ? =S 底; 9.已知:长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为 ? , ? , ? , 因此有 cos2 ? +cos2 ? +cos2 ? =1; 若长方体的体对角线与过同一顶点的三 侧面所成的角分别为 ? , ? , ? , 则有 cos2 ? +cos2 ? +cos2 ? =2; 10.正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长; 11.欧拉公式: 如果简单多面体的顶点数为 V,面数为 F,棱数为 E.那么 V+F -E=2; 并且棱数 E=各顶点连着的棱数和的一半=各面边数和的一半; 12.球的体积公式 V= ?R 3 , 表面积公式 S ? 4?R 2 ; 掌握球面上两点 A、 B 间的距离求法: (1)计算线段 AB 的长, (2)计算球心角∠AOB 的 弧度数;(3)用弧长公式计算劣弧 AB 的长; 十、排列组合和概率
m 1.排列数公式: An =n(n-1)(n-2)?(n-m+1)= ( n?m)! (m?n,m、n∈N*),当

4 3

n!

n m=n 时为全排列 An =n(n-1)(n-2)?3.2.1;

Am m 2.组合数公式: Cn ? n ? m!

0 n n ? (n ? 1) ? ? ? (n ? m ? 1) (m?n) , Cn ? Cn ? 1; m ? (m ? 1) ? (m ? 2) ? ? ? 3 ? 2 ? 1

m n ?m r r ?1 r 3.组合数性质: Cn ? Cn ; Cn ? Cn ? Cn?1 ;

4.常用性质:n.n!=(n+1)!-n!;即
r r r r ?1 n n?1 n nAn ? An ?1 ? An ; Cr ? Cr ?1 ? ? ? ? ? Cn ? Cr ?1 ; (1?r?n);

5. 二 项 式 定 理 :( 1 ) 掌 握 二 项 展 开 式 的 通 项 :
r n ?r r Tr ?1 ? Cn a b (r ? 0,1,2,...,n);

(2)注意第 r+1 项二项式系数与第 r+1 系数的区别; 6.二项式系数具有下列性质: (1) 与首末两端等距离的二项式系数相等; n (2) 若 n 为偶数,中间一项(第 +1 项)的二项式系数最大;若 n 为 2 n ?1 n ?1 奇数,中间两项(第 和 +1 项)的二项式系数最大; 2 2
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0 1 2 n 0 2 1 3 (3) Cn ? Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? 2n ; Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? Cn ? ? ? ? ? 2n?1 ;

7.F(x)=(ax+b)n 展开式的各项系数和为 f(1);奇数项系数和为 1 1 [ f (1) ? f ( ?1)] ;偶数项的系数和为 [ f (1) ? f (?1)] ; 2 2 8.等可能事件的概率公式: (1)P(A)= n ; (2)互斥事件分别发生
m

的概率公式为:P(A+B)=P(A)+P(B); (3)相互独立事件同时发生的概 率公式为 P(AB)=P(A)P(B); (4)独立重复试验概率公式
k Pn(k)= Cn ? p k (1 ? p) n?k ; (5)如果事件 A、B 互斥,那么事件 A 与 B 、 A

与 B 及事件 A 与 B 也都是互斥事件; (6)如果事件 A、B 相互独立, 那么事件 A、 B 至少有一个不发生的概率是 1-P (AB) =1-P(A)P(B); (6)如果事件 A、B 相互独立,那么事件 A、B 至少有一个发生的概 率是 1-P( A ? B )=1-P( A )P( B ); 理科选修内容基本知识 十、概率与统计 1.理解随机变量,离散型随机变量的定义,能够写出离散型随机变量的 分布列,由概率的性质可知,任意离散型随机变量的分布列都具有下述 两个性质: (1)pi?0,i=1,2,?; (2) p1+p2+?=1;
k k n?k 2.二项分布:记作 ? ~B(n,p),其中 n,p 为参数, P(? ? k ) ? Cn p q , k k n ?k 并记 Cn p q ? b(k; n, p) ;

3.记住以下重要公式和结论:

?
P

x1 P1

X2 P2

? ?

xn Pn

? ?

(1)期望值 E ? = x1p1 + x2p2 + ? + xnpn + ? ; (2)方差 D ? = ( x1 ? E? )2 p1 ? ( x2 ? E? )2 p2 ? ? ? ? ? ( xn ? E? )2 pn ? ? ? ? ; (3)标准差 ?? ? D? ; E(a? ? b) ? aE? ? b; D(a? ? b) ? a2 D? ;
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(4)若 ? ~B(n,p),则 E ? =np, D ? =npq,这里 q=1- p; 4.掌握抽样的三种方法: (1) 简单随机抽样 (包括抽签法和随机数表法) ; (2)系统抽样,也叫等距离抽样; (3)分层抽样,常用于某个总体由 差异明显的几部分组成的情形; 5.总体分布的估计: 用样本估计总体, 是研究统计问题的一个基本思想 方法,一般地,样本容量越大,这种估计就越精确,要求能画出频率 分布表和频率分布直方图; 6.正态总体的概率密度函数:f ( x) ? 分别表示总体的平均数与标准差; 7.正态曲线的性质: (1)曲线在 x= ? 时处于最高点,由这一点向左、 向右两边延伸时,曲线逐渐降低; (2)曲线的对称轴位置由确定;曲 线的形状由确定,越大,曲线越矮胖;反过来曲线越高瘦; (3)曲线 在 x 轴上方,并且关于直线 x= ? 对称; 8.利用标准正态分布的分布函数数值表计算一般正态分布 N (?,? 2 ) 的 概率 P(x1< ? <x2),可由变换 (x1< ? <x2)= ? (
x2 ? ? ) ? ?(
x??
1 2? ?
( x?? )2

e

2? 2

, x ? R, 式中 ? , ? 是参数,

?

? t 而得 F ( x) ? ? (

x??

?

) ,于是有 P

?

x1 ? ?

?

);

9.假设检验的基本思想: (1)提出统计假设,确定随机变量服从正态分 布 N (?, ? 2 ) ; (2)确定一次试验中的取值 a 是否落入范围
(? ? 3? , ? ? 3? ) ; (3)作出推断:如果 a∈ (? ? 3? , ? ? 3? ) ,接受统计

假设;如果 a ? (? ? 3? , ? ? 3? ) ,由于这是小概率事件,就拒绝假设; 十一、极限 1.与自然数有关的命题常用数学归纳法证明,其步骤是: (1)验证命题 对于第一个自然数 n=n0 (k?n0)时成立;(2)假设 n=k 时成立,从而证 明当 n=k+1 时命题也成立, (3)得出结论。数学归纳法是一种完全归 纳法,其中两步在推理中的作用是:第一步是递推的基础,第二步是 递推的依据,二者缺一不可。第二步证明时要一凑假设,二凑结论;
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2. 数列极限(1)掌握数列极限的直观描述性定义; (2)掌握数列极限 的四则运算法则, 注意其适用条件:一是数列{an}{bn}的极限都存在; 二是仅适用于有限个数列的和、差、积、商,对于无限个数列的和(或 积) , 应先求和 (或积) , 再求极限; (3) 常用的几个数列极限:lim C ? C
n ??

(C 为常数) ; lim
n ??

1 ?0 n

, lim q n ? 0 ( a <1,q 为常数); (4)无穷递缩
n ??

等比数列各项和公式 S ? lim Sn ?
n ??

a1 1? q

(0< q ? 1 );

3.函数的极限: (1) 当 x 趋向于无穷大时, 函数的极限为 a ? lim f ( x) ? lim f ( x) ? a
n ? ?? n ? ??

f ( x) ? lim f ( x) ? a : (2)当 x ? x0 时函数的极限为 a ? lim ? ?
x ? x0 x ? x0

(3)掌握函数极限的四则运算法则; 4.函数的连续性: (1)如果对函数 f(x)在点 x=x0 处及其附近有定义,而 且还有 lim f ( x) ? f ( x0 ) ,就说函数 f(x)在点 x0 处连续; (2)若 f(x)与
x ? x0

g(x)都在点 x0 处连续,则 f(x)±g(x),f(x)g(x),

f ( x) (g(x)≠0)也在点 x0 处 g ( x)

连续; (3)若 u(x)在点 x0 处连续,且 f(u)在 u0=u(x0)处连续,则复合函 数 f[u(x)]在点 x0 处也连续; 5.初等函数的连续性:①指数函数、对数函数、三角函数等都属于基初 等函数,基本初等函数在定义域内每一点处都连续;②基本初等函数及常 数函数经有限次四则运算和复合后所得到的函数,都是初等函数.初等函 数在定义域内每一点处都连续;③连续函数的极限运算:如果函数在点 x0 处有极限,那么 lim f ( x) ? f ( x0 ) ;
x ? x0

十二、导数 1.导数的定义:f(x)在点 x0 处的导数记作
y?
x ? x0

? f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ; ?x

2.根据导数的定义,求函数的导数步骤为: (1)求函数的增量 (2) ?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x); (2)求平均变化率 ?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x) ;
?x ?x

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(3)取极限,得导数 f ?( x) ? lim ?y ; ?x ? 0
?x

3.可导与连续的关系:如果函数 y=f(x)在点 x0 处可导,那么函数 y=f(x) 在点 x0 处连续;但是 y=f(x)在点 x0 处连续却不一定可导; 4.导数的几何意义:曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线的斜率 是 f ?( x0 ).相应地,切线方程是 y ? y0 ? f ?( x0 )(x ? x0 ); 5.导数的四则运算法则: (u ? v)? ? u ? ? v ?; (uv )? ? u ?v ? uv ?; ( )? ? 6.常见函数的导数公 式: C? ? 0(C为常数);(xm )? ? mxm-1 (m ? Q);(sinx)? ? cosx;
?? (cosx )? ? -sinx; (e x )? ? e x ; (a x ) ? a x l n a(;l n)x 1 1 x e ;( l oa g )? ? l o g a; x x

u v

u ?v ? uv ? ; v2

? ? 7.复合函数的导数: y ? x ? yu ? u x ;

8.导数的应用: (1)利用导数判断函数的单调性:设函数 y=f(x)在某个区间内可 导,如果 f ?( x) ? 0, 那么 f(x)为增函数;如果 f ?( x) ? 0, 那么 f(x)为减函 数;如果在某个区间内恒有 f ?( x) ? 0, 那么 f(x)为常数; (2)求可导函数极值的步骤:①求导数 f ?( x) ;②求方程 f ?( x) ? 0 的 根;③检验 f ?( x) 在方程 f ?( x) ? 0 根的左右的符号,如果左正右负,那 么函数 y=f(x)在这个根处取得最大值;如果左负右正,那么函数 y=f(x) 在这个根处取得最小值; (3)求可导函数最大值与最小值的步骤:①求 y=f(x)在(a,b)内的极值; ②将 y=f(x)在各极值点的极值与 f(a) 、f(b)比较,其中最大的一个 为最大值,最小的一个是最小值。 十四、复数 1.理解复数、实数、虚数、纯虚数、模、辐角、辐角主值、共轭复数的 概念和复数的几何表示; 2.熟练掌握、灵活运用以下结论:(1)a+bi=c+di ? a=c 且 c=d(a,b,c,d∈ R);(2)复数是实数的条件: ①z=a+bi∈R ? b=0 (a,b∈R);②z∈R ? z= z ; 2 ③z∈R ? z ?0; 3.复数是纯虚数的条件: ①z=a+bi 是纯虚数 ? a=0 且 b≠0(a,b∈R); ②
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z 是纯虚数 ? z+ z =0(z≠0);③z 是纯虚数 ? z2<0; 4.解答复数问题, 要学会从整体的角度出发去分析和求解 (整体思想贯 穿整个复数内容) 。如果遇到复数就设 z=a+bi(a,b∈R),则有时会给问题 的解答带来不必要的运算上困难,若能把握住复数的整体性质,充分 运用整体思想,则能事半功倍; 5.复数的代数形式及其运算: (1)复数的加、减、乘、除运算按以下法 则进行,设 z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R) ; z 1± z2 = (a + b) ± (c + d)i. z1.z2 = (a+bi)·
? bd bc ? ad (z ≠0) ; (c+di)=(ac-bd)+ (ad+bc)I ; z1÷z2 = ac ? 2 i 2 2 2 2 c ?d c ?d

6.几个重要的结论:
(1) z1 ? z 2
2

? z1 ? z 2

2

? 2( z1 ? z 2 ); (2) z ? z ? z ? z ; (3)若z为虚数,则 z ? z 2 ;

2

2

2

2

2

6.运算律仍然成立: (1)
z m ? z n ? z m?n ; (2)(z m ) n ? z mn ; (3)(z1 ? z 2 ) m ? z1 z 2 (m, n ? N );
m m

7.进行复数的运算时,常要注意 i, ?的性质, 或适当变形创造条件,从而 转化为关于 i, ?的 计算问题.注意以下结论的灵活应用:

?1?(1 ? i) 2 ? ?2i; ?2? 1 ? i ? i; 1 ? i ? ?i;
1? i 1? i

(3)? n ? ? n ?1 ? ? n ? 2 ? 0(n ? N ); (4)i n ? i n ?1 ? i n ? 2 ? i n ? 3 ? 0(n ? N );

1 8. z ? 1 ? z z ? 1 ? z ? ; z 文科选修内容基本知识 十、抽样方法、总体分布的估计与总体的期望和方差 1.掌握抽样的二种方法: (1) 简单随机抽样 (包括抽签符和随机数表法) ; (2)分层抽样,常用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形; 2.总体分布的估计: 用样本估计总体, 是研究统计问题的一个基本思想 方法,一般地,样本容量越大,这种估计就越精确,要求能画出频率 分布表和频率分布直方图; 3.总体特征数的估计: (1)学会用样本平均数
x? 1 1 n (2)学会用样本方差 ( x1 ? x 2 ? ? ? ? ? x n ) ? ? x i 去估计总体平均数; n n i ?1
1 [( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? ? ? ? ? ( xn ? x ) 2 ] n
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S2 ?

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?

1 n 1 n ( xi ? x ) 2 ? ? ( xi2 ? nx 2 ) 去估计总体方差 ? ? n i ?1 n i ?1

2

及总体标准差; (2) 学会

用修正的样本方差 S * 2 ? 1 [( x1 ? x ) 2 ? ( x 2 ? x ) 2 ? ? ? ? ? ( x n ? x ) 2 ] 去估计
n ?1

总体方差 ? 2 ,会用 S * 去估计 ? ; 十一、导数及应用 1.导数的定义:f(x)在点 x0 处的导数记作
y?
x ? x0

? f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ; ?x

2.根据导数的定义,求函数的导数步骤为: (1)求函数的增量 ?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x); (2)求平均变化率 ?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x) ;
?x ?x

(3)取极限,得导数 f ?( x) ? lim ?y ; ?x ? 0
?x

3.导数的几何意义:曲线 y=f(x) 在点 P(x0,f(x0))处的切线的斜率 是 f ?( x0 ).相应地,切线方程是 y ? y0 ? f ?( x0 )(x ? x0 ); 4.常见函数的导数公式: C ? ? 0(C为常数); (x m )? ? mxm-1 (m ? Q); 5.导数的应用: (1)利用导数判断函数的单调性:设函数 y=f(x)在 某个区间内可导,如果 f ?( x) ? 0, 那么 f(x)为增函数;如果 f ?( x) ? 0, 那 么 f(x)为减函数;如果在某个区间内恒有 f ?( x) ? 0, 那么 f(x)为常数; (2) 求可导函数极值的步骤: ①求导数 f ?( x) ; ②求方程 f ?( x) ? 0 的根; ③检验 f ?( x) 在方程 f ?( x) ? 0 根的左右的符号,如果左正右负,那么函 数 y=f(x)在这个根处取得最大值;如果左负右正,那么函数 y=f(x)在这 个根处取得最小值; (3)求可导函数最大值与最小值的步骤:①求 y=f(x)在(a,b)内的极值; ②将 y=f(x)在各极值点的极值与 f(a) 、f(b)比较,其中最大的一个 为最大值,最小的一个是最小值。 中学数学重要数学思想 一、 函数方程思想
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函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处理变量或未知数之间的关 系,从而解决问题的一种思维方式,是很重要的数学思想。 1.函数思想:把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来, 并研究这些量间的相互制约关系,最后解决问题,这就是函数思想; 2.应用函数思想解题, 确立变量之间的函数关系是一关键步骤, 大体可分为 下面两个步骤: (1)根据题意建立变量之间的函数关系式,把问题转化为 相应的函数问题; (2)根据需要构造函数,利用函数的相关知识解决问题; (3)方程思想:在某变化过程中,往往需要根据一些要求,确定某些变量 的值,这时常常列出这些变量的方程或(方程组) ,通过解方程(或方程组) 求出它们,这就是方程思想; 3.函数与方程是两个有着密切联系的数学概念, 它们之间相互渗透, 很多方 程的问题需要用函数的知识和方法解决,很多函数的问题也需要用方程的 方法的支援,函数与方程之间的辩证关系,形成了函数方程思想。 二、 数形结合思想 数形结合是中学数学中四种重要思想方法之一,对于所研究的代数问题, 有时可研究其对应几何的性质使问题得以解决(以形助数) ;或者对于所研 究的几何问题, 可借助于对应图形的数量关系使问题得以解决 (以数助形) , 这种解决问题的方法称之为数形结合。 1.数形结合与数形转化的目的是为了发挥形的生动性和直观性, 发挥数的思 路的规范性与严密性,两者相辅相成,扬长避短。 2.恩格斯是这样来定义数学的: “数学是研究现实世界的量的关系与空间形 式的科学” 。这就是说:数形结合是数学的本质特征,宇宙间万事万物无不 是数和形的和谐的统一。因此,数学学习中突出数形结合思想正是充分把 握住了数学的精髓和灵魂。 3.数形结合的本质是: 几何图形的性质反映了数量关系, 数量关系决定了几 何图形的性质。 4.华罗庚先生曾指出: “数缺性时少直观,形少数时难入微;数形结合百般 好,隔裂分家万事非。 ”数形结合作为一种数学思想方法的应用大致分为两 种情形:或借助于数的精确性来阐明形的某些属性,或者借助于形的几何直 观性来阐明数之间的某种关系. 5.把数作为手段的数形结合主要体现在解析几何中, 历年高考的解答题都有 关于这个方面的考查(即用代数方法研究几何问题) 。而以形为手段的数形 结合在高考客观题中体现。 6.我们要抓住以下几点数形结合的解题要领: (1) 对于研究距离、 角或面积的问题, 可直接从几何图形入手进行求解即可; (2) 对于研究函数、方程或不等式(最值)的问题,可通过函数的图象求解 (函数的零点,顶点是关键点) ,作好知识的迁移与综合运用; (3) 对于以下类型的问题需要注意:
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y?a ; (3) Ax ? By ; (4) F (cos? , sin? );(5)a2 ? ab ? b2 ; x?b 可分别通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆 x2+y2=1 上的点 (1) ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ; (2)

(cos? , sin ? ) 及余弦定理进行转化达到解题目的。

三、 分类讨论的数学思想 分类讨论是一种重要的数学思想方法, 当问题的对象不能进行统一研究时, 就需要对研究的对象进行分类,然后对每一类分别研究,给出每一类的结 果,最终综合各类结果得到整个问题的解答。 1.有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决, 引起分类讨论的 原因大致可归纳为如下几种: (1)涉及的数学概念是分类讨论的; (2)运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的; (3)求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性; (4)数学问题中含有参变量,这些参变量的不同取值导致不同的结果的; (5) 较复杂或非常规的数学问题, 需要采取分类讨论的解题策略来解决的。 2.分类讨论是一种逻辑方法, 在中学数学中有极广泛的应用。 根据不同标准 可以有不同的分类方法,但分类必须从同一标准出发,做到不重复,不遗 漏 ,包含各种情况,同时要有利于问题研究。 四、 化归与转化思想 所谓化归思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问 题通过变换使之转化,进而达到解决的一种方法。一般总是将复杂的问题 通过变化转化为简单的问题, 将难解问题通过变换转化为容易求解的问题, 将未解决的问题转化为已解决的问题。 立体几何中常用的转化手段有 1.通过辅助平面转化为平面问题,把已知元素和未知元素聚集在一个平面 内,实现点线、线线、线面、面面位置关系的转化; 2.平移和射影, 通过平移或射影达到将立体几何问题转化为平面问题, 化未 知为已知的目的; 3.等积与割补; 4.类比和联想; 5.曲与直的转化; 6.体积比,面积比,长度比的转化; 7.解析几何本身的创建过程就是“数”与“形”之间互相转化的过程。解析 几何把数学的主要研究对象数量关系与几何图形联系起来,把代数与几何 融合为一体。 中学数学常用解题方法 1. 配方法
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配方法是指将一代数形式变形成一个或几个代数式平方的形式,其基 本形式是:ax2+bx+c= a( x ? b ) 2 ? 4ac ? b (a ? 0) .高考中常见的基本配方
2

2a

4a

形式有: (1) a2+b2= (a + b)2- 2a b = (a -b) 2+ 2 ab; (2) (2) a2+ b2+ ab = (a ? 1 b) 2 ? ( 3 b) 2 ;
2 2

(3) (3)a + b +c = (a+b + c) - 2 ab – 2 a c – 2 bc; (4) (4) a2+ b2+ c2- a b – bc – a c =
1 1 ? ( x ? )2 ? 2 ; 2 x x 1 [(a 2

2

2

2

2

- b)2 + (b - c)2 + (a - c)2];

(5) x 2 ?

配方法主要适用于与二次项有关的函数、方程、等式、不等式的讨论, 求解与证明及二次曲线的讨论。 2.待定系数法 ㈠ 待定系数法是把具有某种确定性时的数学问题, 通过引入一些待定的系 数,转化为方程组来解决。待定系数法的主要理论依据是: (1)多项式 f(x)=g(x)的充要条件是:对于任意一个值 a,都有 f(a)=g(a); (2)多项式 f(x) ≡g(x)的充要条件是:两个多项式各同类项的系数对应相 等; ㈡ 运用待定系数法的步骤是: (1)确定所给问题含待定系数的解析式(或曲线方程等) ; (2)根据恒等条件,列出一组含待定系数的方程; (3)解方程或消去待定系数,从而使问题得到解决; ㈢ 待定系数法主要适用于: 求函数的解析式, 求曲线的方程, 因式分解等。 3.换元法 换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量(或代数 式) ,对新的变量求出结果之后,返回去求原变量的结果。换元法通过引入 新的元素将分散的条件联系起来,或者把隐含的条件显示出来,或者把条 件与结论联系起来,或者变为熟悉的问题。其理论根据是等量代换。高中 数学中换元法主要有以下两类: (1)整体换元:以“元”换“式” ; (2)三角换元 ,以“式”换 “元” ; (3)此外,还有对称换元、均值换元、万能换元等;换元法应用比较广泛。 如解方程,解不等式,证明不等式,求函数的值域,求数列的通项与和等, 另外在解析几何中也有广泛的应用。运用换元法解题时要注意新元的约束 条件和整体置换的策略。 4.向量法
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向量法是运用向量知识解决问题的一种方法,解题常用下列知识: (1)向量的几何表示,两个向量共线的充要条件; (2)平面向量基本定理 及其理论; (3)利用向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题; (4)两点间距离公式、线段的定比分点公式、平移公式; 5.分析法、综合法 (1)分析法是从所求证的结果出发,逐步推出能使它成立的条件,直至已 知的事实为止;分析法是一种“执果索因”的直接证法。 (2)综合法是从已经证明的结论、公式出发,逐步推出所要求证的结论。 综合法是一种“由因导果” ,叙述流畅的直接证法。 (3)分析法、 综合法是证明数学问题的两大最基本的方法。分析法“执 果索因”的分析方法,思路清晰,容易找到解题路子,但书写格式要求较 高,不容易叙述清楚,所以分析法、综合法常常交替使用。分析法、 综合 法应用很广,几乎所有题都可以用这两个方法来解。 6.反证法 反证法是数学证明的一种重要方法,因为命题 p 与它的否定非 p 的真 假相反,所以要证一个命题为真,只要证它的否定为假即可。这种从证明 矛盾命题(即命题的否定)为假进而证明命题为真的证明方法叫做反证法。 ㈠ 反证法证明的一般步骤是: (1)反设:假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立; (2)归谬:从命题的条件和所作的结论出发,经过正确的推理论证,得出矛 盾的结果; (3)结论:有矛盾判定假设不正确,从而肯定的结论正确; ㈡ 反证法的适用范围: (1)已知条件很少或由已知条件能推得的结论很少 时的命题; (2)结论的反面是比原结论更具体、更简单的命题,特别是结论是否定形 式( “不是” 、 “不可能” 、 “不可得” )等的命题; (3)涉及各种无限结论的 命题; (4)以“最多(少) 、若干个”为结论的命题; (5)存在性命题; (6) 唯一性命题; (7)某些定理的逆定理; (8)一般关系不明确或难于直接证明的不等式等。 ㈢ 反证法的逻辑依据是“矛盾律”和“排中律” 。 7.另外:还有数学归纳法、同一法、整体代换法等.

(合江中学高 05 级数学备课组

选编)

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