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内蒙古包头一中2012届高三第三次模拟考试文科数学试题

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包头一中 2011——2012 学年度高三年级

校三模文科数学试题

命题人:王晓慧

审题人:王晓慧

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共计 60 分,把唯一正确的答案的

代码填在答题卡上)

1. 已 知 集 合 M ? ?1 ?, 2, N ? ?2a ?1| a ?M ? , 则 M N ?

()

A.?1?

B. ?1, 2?

C.?1, 2,3?

D.?

2.

已知

i

是虚数单位, z 1 ? 2 ? 2i , z 2

? 1? 3i

,那么复数 z

?

z

2 1

z2

在复平面内对











()

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

3. 已知 a 是函数 f (x ) ? 2x ? log1 x 的零点,若 0 ? x 0 ? a ,则 f (x 0 ) 的值满足
2
()

A. f (x 0 ) ? 0 定

B. f (x 0 ) ? 0

C. f (x 0 ) ? 0 D. f (x 0 ) 的符号不能确

4 . 若 利 用 计 算 机 在 区 间 ?0,1? 上 产 生 两 个 不 等 的 随 机 数 a 和 b , 则 方 程

x ? 2 2a ? 2b x
()

有不等实数根的概率为

A. 1 4

B. 1 2

C. 3 4

D. 2 5

5 已知球面上 A、B、C 三点,球心 O 到平面 ABC 的距离是球半径的 1 ,且 3

AB ? 2 2 , AC BC ? 0 , 则 球 的 表 面 积 是

() A. 81?

B. 9?

C. 81? 4

D. 9? 4

6. 函数 y ? f (x ) 的图像经过原点,且它的导函数 y ? f ?(x ) 的图像 y

是如图所示的一条直线,则 y ? f (x ) 的图像不经过( )

A.第一象限

B.第二象限

o

x

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C.第三象限

D.第四象限

7. 执行如图所示的程序框图,输出的 k 值是( )

开始

A4

B5

C.6

D7

8. 若将函数 f (x ) ? 3 sin x ? 1 cos x 的图像向右

4

4

平移 m ?0 ? m ? ? ? 个单位长度,得到的图像关于原

点对称,则 m ? ( )

A. 5? 6

B. ? 6

C. 2? 3

D. ? 3

9. 下图是一个几何体的三视图,其中正视图是边

长为 2 的等边三角形,侧视图是直角边长分别为 l

n=5,k=0


n?n 2

n 为偶数 否
n ? 3n ?1

k ? k ?1

与 3 的直角三角形,俯视图是半径为 1 的半圆, 则该几何体的体积等于( )


n ?1

A. 3? 6

B. 3? 3

正视图

侧视图

是 输出 k

C. 4 3?

D. ?

结束

3

2

10.

俯视图
同时具有性质“①最小正周期为? ;②图像关于直线 x

??

对称;③在

3

????

? 6

,

? 3

? ??

上是增函数”的一个函数是

()

A. y

?

sin

? ??

x 2

?

? 6

? ??

B. y

?

cos

? ??

2x

?? 3

? ??

C. y

?

sin

? ??

2x

?? 6

? ??

D.

y

?

cos

? ??

2x

?? 6

? ??

11. 已知 F 是抛物线 y 2 ? x 的焦点,A, B 是该抛物线上的两点.若线段 AB 的中

点到 y 轴的距离为 5 ,则| AF | ? | BF |? 4

A.2

B. 5 2

C.3

D.4

()

12.已知 F1, F2

分别是双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1?a

? 0,b

? 0? 的左、右焦点,过点 F1 且垂

直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点,若 ?ABF2 为锐角三角形,则该双曲线

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的离 ()
A. ?1, ???

心率 e
? B. 1, 3?

的变化范围是

C. ?1,2?

? ? D. 1,1? 2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分,将正确答案写在题中 横线上)

13. 设 向 量 a ? ?1, 2? , b ? ?2,3? , 若 向 量 ?a ?b 与 向 量 c ? ? ?4, ?7? 共 线 , 则

?? .

14. 在 ?ABC 中, sin2 B ? sin2 C ? 2 sin B sinC ? sin2 A ,则内角 A 的取值范围



.

15.曲线 f (x ) ? x 在 x ? e 处的切线方程为_______. ln x

?x ? y ? 0 16. 若变量 x,y 满足条件 ??x ? y ? 4 ,且 z ? 2x ? y 的最大值比最小值大 3,则
??x ? a

a 的值为

.

三、解答题(本大题共 6 小题,共计 70 分,解答应写出必要的文字说明和解题

步骤)

17.(本小题满分 12 分)

设数列 ?an? 是公比大于 1 的等比数列, Sn 为数列 ?an? 的前 n 项和.已知 S3 ? 7 ,且 a1 ? 3 , 3a2 , a3 ? 4 构成等差数列.求数列?an? 的通项公式.
P

18.(本小题满分 12 分)

在四棱锥 P ? ABCD 中, AB // CD , AB ? AD , AB ? 4 ,

AD ? 2 2 , CD ? 2, PA ?平面 ABCD, PA ? 4 .

?E

(I)设平面 PAB 平面 PCD ? m ,求证: CD // m ;

A

D

(II)求证: BD ? 平面 PAC ;
C
(III)若 E 是 PA 的中点,求四面体 PBEC 的体积.
B

19.(本小题满分 12 分)

班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析,决定从全班 25 名女同学,15

名男同学中随机抽取一个容量为 8 的样本进行分析.

(I)如果按性别比例分层抽样,男、女生各抽取多少名才符合抽样要求?

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(II)随机抽出 8 名,他们的数学、物理分数对应如下表:

学生编号 1

2

3

4

5

6

7

8

数学分数 x 60

65

70

75

80

85

90

95

物理分数 y 72

77

80

84

88

90

93

95

(i)若规定 85 分以上(包括 85 分)为优秀,在该班随机调查一名同学,他的数

学和物理分数均为优秀的概率是多少?

(ii)根据上表数据,用变量 y 与 x 的相关系数或散点图说明物理成绩 y 与数学成

绩 x 之间线性相关关系的强弱.如果有较强的线性相关关系,求 y 与 x 的线性回

归方程(系数精确到 0.01);如果不具有线性相关关系,说明理由.

参考公式:相关系数 r ?

n
?? xi ? x?? yi ? y?

i ?1



? ? ? ? ? ? n

2n

2

xi ? x

yi ? y

i ?1

i ?1

n
?? xi ? x?? yi ? y?

? ? ? 回归直线的方程是: y? ? bx ? a ,其中 b ? i?1 n

2

xi ? x

,a ? y ?bx ,

i ?1

y?i 是与 xi 对应的回归估计值.

参考数据: x ? 77.5, y ? 84.875 ,

? ? ? ? ? ? 8 xi ? x 2 ? 1050 , 8 yi ? y 2 ? 457 ,

i ?1

i ?1

8
? ?? ? ? xi ? x yi ? y ? 688 , 1050 ? 32.4 , 457 ? 21.4 , 550 ? 23.5 .
i ?1
20.(本小题满分 12 分)

已知椭圆

C:

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

? 0) ,的离心率为 e

?

3 ,A、B 分别为椭圆的 2

长轴和短轴的端点,M 为 AB 的中点,O 为坐标原点,且| OM |? 5 . 2
(I)求椭圆的方程; (II)过(-1,0)的直线 l 与椭圆交于 P、Q 两点,求 ? POQ 的面积的最大时直线 l 的方程。

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21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f (x) ? x ln x . (I)求 f (x ) 的最小值; (II)若对所有 x ?1都有 f (x) ? ax ?1,求实数 a 的取值范围.

请考生在第 22 和第 23 题中任选一题作答,只能选做一道. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 已知 AB 为半圆 O 的直径, AB ? 4 , C 为半圆上一点, 过点 C 作半圆的切线 CD ,过点 A 作 AD ? CD 于 D , A 交半圆于点 E , DE ?1. (I)求证: AC 平分 ?BAD; (II)求 BC 的长.

D

E

C

?O

B

23.(本小题分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点 O 处,极轴与 x 轴的正半轴重合,且

长度单位相同.直线 l 的极坐标方程为: ??

10

,点

2

sin

????

?

? 4

? ??

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P?2cos?,2sin? ? 2? ,参数? ??0,2? ? .
(I)求点 P 轨迹的直角坐标方程; (II)求点 P 到直线 l 距离的最大值.

包头一中 2011——2012 学年度高三年级

校三模文科数学试题答案

二、选择题 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 号 答 ABCBBBBAAC CD 案 二、填空题

13.

2

;14.

? ??

0,

? 4

? ??

;15.

y=e;16.1

三、解答题

17.解:由已知得:

??a1 ? a2 ? a3 ?

??a1 ? 3? ? ?a3

??

2

7 ?

4?

?

3a2

…………………………2



解得: a2 ? 2 .…………………………………………………4 分

设数列?an? 公比为 q ,由 a2 ? 2 ,可得:

a1

?

2 q



a3

?

2q

.



S3

?

7

,可知:

2 q

?

2

?

2q

?

7



2q2

?

5q

?

2

?

0 .………………8



解得:

q1

?

2



q2

?

1 2

…………………………………………9



由题意: q ? 1,所以 q ? 2 ,所以 a1 ? 1.……………11 分

故数列?an? 的通项公式为 an ? 2n?1.……………………12 分

18.(Ⅰ)证明: 因为 AB // CD , CD ? 平面 PAB , AB ? 平面 PAB ,

所以 CD //平面 PAB .

………………2 分

P

因为 CD ? 平面 PCD ,平面 PAB 平面 PCD ? m ,

所以 CD // m .

………………………4 分 ?E

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A

D

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(Ⅱ)证明:因为 PA ?平面 ABCD, BD ? 面 ABCD, 所以 BD ? PA ,

又可证得 BD ? AC ,且 PA AC ? A

所以 BD ? 平面 PAC .………………………………8 分

(III)解:

S

PBE

?

1 2

S

PBA

?

1 ? 1 ? PA? 22

AB

?

4

过点 C 作 CM 垂直于 AB,可证得 CM ? 面 PBE,

且有 CM= AD ? 2 2

所以 VPBEC

?

1S 3

PBE

CM

? 1?4?2 3

2?8 3

2 …………12 分

19.解:(Ⅰ)应选女生 25? 8 ? 5 名,男生15? 8 ? 3 名…………2 分

40

40

(Ⅱ) (i)由表中可以看出,所选的 8 名同学中,数学和物理分数均为优秀的有 3

人,故所求概率是 3 .…………………………………………………7 分 8
(ii)变量 y 与 x 的相关系数是 r ? 688 ? 0.99 . 32.4? 21.4
可以看出,物理与数学成绩高度正相关.也可以数学成绩 x 为横坐标,物理成绩

y 为纵坐标做散点图(略).从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近,

并且在逐步上升,故物理与数学成绩高度正相关.……………………10 分

设 y 与 x 的线性回归方程是 y? ? bx ? a ,

根据所给数据可以计算出b ? 688 ? 0.66 , 1050
a ? 84.875? 0.66?77.5 ? 33.73 ,
所以 y 与 x 的线性回归方程是 y? ? 0.66x ? 33.73 .……………………12 分

?

?a2 ? b2 ? c2

20.解:(Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c

,则

?? ?

a

2

?

b2

?

5

,解得 a ? 2,b ? 1, c ?

3,

? ?

c

?

3

?? a 2

所以椭圆的方程为 x2 ? y2 ? 1. 4
(Ⅱ)方法一:设交点 P(x1, y1) , Q(x2 , y2 ) ,

……………4 分

当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x ? ?1 ,则易得 S ? 3 ……6 分 2
当 直 线 l 的 斜 率 存 在 时 , 设 其 方 程 为 y ? k(x ?1) ( k ? 0 ), 联 立 椭 圆 方 程

x2 4

?

y2

? 1,得 (4k 2

? 1) x 2

? 8k 2 x

?

4(k 2

?1)

?

0

,两个根为

x1, x2

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?

?

0 恒成立,

x1

?

x2

?

?

8k2 , 4k2 ?1

x1

? x2

?

4(k 2 4k2

?1) ?1



…………7

则| PQ |?

1? k 2 | x1 ? x2 |?

1? k2

4 3k 2 ?1 4k 2 ?1

(k

?

0) ,

又原点到直线 l 的距离 d = | k | , 1? k2



…………8

所以 S ? 1 | PQ | ?d ? 1

2

2

1?

k2

4 3k 2 ?1 4k 2 ?1

|k| ?2
1? k2

(3k 2 ?1)k 2 4k 2 ?1 (k ? 0)

? 2 3k4 ? k2 ? 2 3 ?

8k2 ? 3

16k4 ? 8k2 ?1 16 16(16k4 ? 8k2 ?1)

? 2? 3 ? 3 42
所以,当直线 l 的方程为 x ? ?1 时, ?POQ 面积最大. 分 方法二:设交点 P(x1, y1) , Q(x2 , y2 ) ,
当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x ? ?1 ,

…………11 分 …………12

则易得 S ? 3 . 2

…………6 分

当 直 线 l 的 斜 率 存 在 时 , 设 其 方 程 为 y ? k( x? 1)( k ? 0 ), 联 立 椭 圆 方 程

x2 ? y2 ? 1,得 4

(4

?

1 k2

) y2

?

2 k

y

?

3

?

0

,两个根为

y1 ,

y2



?

?

0 恒成立,

y1

?

y2

?

2k

4k

2

, ?1

y1

?

y2

?

?3k 2 4k 2 ?1



…………7 分

y1 ? y2 ?

( y1 ? y2 )2 ? 4y1 ? y2 ? 4

3k 4 ? k 2 16k 4 ? 8k 2 ?1

? ? ? ? 1

1

? S?POQ

? S?POT

? S?QOT

?

? 2

OT

?

y1 ? y2

?? 2

y1 ? y2

= 1 3 ? 8k2 ? 3 2 16k4 ? 8k2 ?1

? 2? 3 ? 3 42
所以,当直线 l 的方程为 x ? ?1 时, ?POQ 面积最大.

…………8 分
…………11 分 …………12 分

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21. 解:(1)f (x ) 的定义域为 ?0, ???,f (x ) 的导数 f ?(x) ?1? ln x ,令 f ?(x) ?0 ,

解得: x

?

1 e

.当

0

?

x

?

1 e

时,

f

?(x)

?

0

,从而

f

(

x)



? ??

0,

1 e

? ??

上单调递减;当

x

?

1 e

时,

f

?(x)

?

0

,从而

f

(x)



? ??

1 e

,

??

? ??

上单调递增.因此,当

x

?

1 e

时,

f

(x)

取得最

小值 ? 1 . e

(2)依题意得: f (x) ? ax ?1 在 ?1, ??? 上恒成立,即不等式 a ? ln x ? 1 对于
x

x ??1, ???

恒成立.令

g(x) ? ln x ? 1 x

,则

g?(x)

?

1 x

?

1 x2

?

x ?1 x2

.当

x ?1

时,

g?(x )? 0,故 g(x) 在 ?1, ???上单调递增,因此,g(x) 的最小值是 g(1) ? 1,从而 a

的取值范围是 ???,1? .

22. 解:(Ⅰ)因为

,所以

………………………………2 分 因为 为半圆的切线,所以 ,所以 ∥ ,

, ,又因为

所以



,所以 平分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

, 6分

连结 ,因为

四点共圆,

8分

,所以△

. …………4 分 ∽△ ,…………

所以

,所以

. …………10 分

23.解:(Ⅰ)

且参数



所以点 的轨迹方程为

. …………3 分

(Ⅱ)因为

,所以



所以

,所以直线 的直角坐标方程为



…………6 分

由(Ⅰ) 点 的轨迹方程为

,圆心为 ,半径为 2.

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10 分

,所以点 到直线 距离的最大值

.… … … …

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