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1.1正弦定理和余弦定理


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课题:正弦定理和余弦定理 教 学 目 标 重 点 教学重点:突出本章重、难点内容 难 教学难点:定理定理和余弦定理 点
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知识点归纳 1.正弦定理、三角形面积公式 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,并且都等于该三角形外 a b c 接圆的直径,即: = = =2R. sin A sin B sin C 1 1 1 面积公式:S△= bcsinA= absinC= acsinB. 2 2 2 2.正弦定理的变形及应用 变形:(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC (2)sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c a b c (3)sinA= ,sinB= ,sinC= . 2R 2R 2R
特级教师 王新敞
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教 学 内 容

应用(1)利用正弦定理和三角形内角和定理,可以解决以下两类解斜三角形问题: a.已知两角和任一边,求其他两边和一角. b.已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角. 一般地,已知两边和其中一边的对角解三角形,有两解、一解、无解三种情况. ①A 为锐角时



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②A 为直角或钝角时.

(2)正弦定理,可以用来判断三角形的形状 .其主要功能是实现三角形中边角关系转化. 例如:在判断三角形形状时,经常把 a、b、c 分别用 2RsinA、2RsinB、2RsinC 来代替. 3.余弦定理 在△ABC 中,有 a2=b2+c2-2bccosA; b2=c2+a2-2accosB; c2=a2+b2-2abcosC; 变形公式: cosA=
b2 ? c2 ? a2 c2 ? a2 ? b2 a2 ? b2 ? c2 ,cosB= ,cosC= 2bc 2ac 2ab

在三角形中,我们把三条边(a、b、c)和三个内角(A、B、C)称为六个基本元素,只要已 知其中的三个元素(至少一个是边),便可以求出其余的三个未知元素(可能有两解、一解、 无解),这个过程叫做解三角形,余弦定理的主要作用是解斜三角形. 4.解三角形问题时,须注意的三角关系式:A+B+C=π 0<A,B,C<π A? B ? ?C C sin =sin =cos 2 2 2 sin(A+B)=sinC 特别地,在锐角三角形中,sinA<cosB,sinB<cosC,sinC<cosA. 【重点难点解析】 【命题趋势分析】 本节主要考查:1.根据已知条件,求三角形的末知元素,或判断三角形的形状. 2.运用正、余弦定理及关系式 A+B+C=π 解决三角形中的计算和证明问题. 3.利用所学的三角知识解决与三角形有关的三角函数问题和简单的实际问题. 根据考试的方向,可以预见,利用正、余弦定理解斜三角形问题将会与三角函数、数列、 方程、向量等知识相结合,尤其是与生活、生产、科学实验实际相结合,考查综合运用数学 知识的能力. 【典型热点考题】
例题 1 △ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,B= (1)求 sinC 的值;


? 4 ,cosA= ,b= 3 . 3 5

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(2)求△ ABC 的面积.

例题 2 如图所示,在△ ABC 中,AC=2,BC=1,cosC= (1)求 AB 的值; (2)求 sin(2A+C)的值.

3 . 4

A

B

C

例题 3 已知 A、B、C 为△ ABC 的三个内角,它们的对边分别为 a、b、c,若 m=(cosB,sinC) ,n=(cosC,

? sinB) ,且 m·n=
(1)求 A;

1 . 2

(2)若 a= 2 3 ,△ ABC 的面积 S= 3 ,求 b+c 的值.

例题 4 在△ ABC 中,cosB= ? (1)求 sinA 的值; (2)设△ ABC 的面积为

5 4 ,cosC= . 13 5

33 ,求 BC 的长. 2



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例题 5 三角形 ABC 中的三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 a 2 ? c 2 ? b 2 ? ac ,且 a:c= ( 3 +1) :2,求角 C 的大小.

课堂习题 一、选择题 1. 在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,A= A. 1 B. 2 C.

? ,a= 3 ,b=1,则 c 等于( 3
D.



3 ?1

3
) D.
2

2. 已知△ ABC 中,a=1,b= 3 ,A= 30? ,则角 B 等于( A.

60?

B.

60? 或 120 ?

C.

30? 或 150 ?
2 2

120 ?


3. 在△ ABC 中,a、b、c 分别是 A、B、C 的对边,且 b ? c ? 3bc ? a ,则 A 等于( A.

60?

B.
2

30?
2 2

C.

120 ?
) D.

D.

150 ?

4. 在△ ABC 中,已知 a ? b ? bc ? c ,则角 A 为( A.

? 3

B.

? 6

C.

2? 3

? 2? 或 3 3


5. 在△ ABC 中, 角 A、 B、 C 的对边分别是 a、 b、 c, 若 (a 2 ? c 2 ? b2 ) tan B ? 3ac, 则角 B 的值为 (



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A.

? 6

B.

? 3

C.

? 5? 或 6 6

D.

? 2? 或 3 3
) D. 等边三角形 )

6. 在△ ABC 中,已知 a=7,b=10,c=6,则△ ABC 的形状是( A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 7. 在△ ABC 中,若

a b c ? ? ,则△ ABC 是( cos A cos B cos C

A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 8. 在△ ABC 中,2cosBsinA=sinC,则△ ABC 的形状一定是 ( ) A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 9. 在△ ABC 中,若 sinA:sinB:sinC=5:7:8,则 B 的大小是( ) A.

? 3
2 3
B.

B.

? 6
C.

C.

2? 3
D.

D.

? 2? 或 3 3
)

10. 在△ ABC 中,若 sinA:sinB:sinC=3:2:4,则 cosC 的值为 ( A.

?

2 3

1 4

?

1 4
)

11. 满足条件 a=4,b= 3 2 ,A= 45? 的△ ABC 的个数是 ( A. 1 个 B. 2 个 C. 无数个 D. 不存在

12. △ ABC 的周长为 20,面积为 10 3 ,A= 60? ,则 BC 边长为( A. 5 B. 6 C. 7 D. 8



14.在△ ABC 中,A= 60? ,b=1,且面积为 3 ,则

a?b?c ?( sin A ? sin B ? sin C
D.



A.

8 3 3

B.

2 39 3

C.

26 3 3

2 3

二、填空题 13 在△ ABC 中,若 B= 30? ,AB= 2 3 ,AC=2,则△ ABC 的面积是 17. 在△ ABC 中,已知 BC=8,AC=5,△ ABC 的面积为 12,则 cos2C= 15 在△ ABC 中,a:b:c=2: 6 :( 3 +1),则△ ABC 的三个内角的度数为 . . .

20. 在△ ABC 中,三个角 A,B,C 的对边边长分别为 a=3,b=4,c=6,则 bccosA+cacosB+abcosC 的值 为 .



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【同步达纲练习】 一、选择题 1.在△ABC 中,已知 a=5 2 ,c=10,A=30°,则 B 等于( A.105° B.60° C.15° ) D.105°或 15° )

2.在△ABC 中,若 b=2 2 ,a=2,且三角形有解,则 A 的取值范围是( A.0°<A<30° A.0°<A<90° B.0°<A≤45° D.30°<A<60° a b c 3.在△ABC 中,若 = = ,则△ABC 的形状是( A B C cos cos cos 2 2 2 A.等腰三角形 C.直角三角形 B.等边三角形 D.等腰直角三角形 )

)

4.在△ABC 中,若 a=2,b=2 2 ,c= 6 + 2 ,则∠A 的度数是(

(

A.30° B.45° C.60° D.75° 5.设 m、m+1、m+2 是钝角三角形的三边长,则实数 m 的取值范围是( ) A.0<m<3 B.1<m<3 C.3<m<4 D.4<m<6 6.在△ABC 中,已知 sinA ∶sinB ∶sinC=3 ∶ 5 ∶ 7,则此三角形的最大内角的度数等于 ) A.75° B.120° C.135° D.150° 7.△ABC 中,若 c= a 2 ? b 2 ? ab ,则角 C 的度数是( A.60° B.120° )

C.60°或 120° D.45° )

8.在△ABC 中,若 A=60°,b=16,且此三角形的面积 S=220 3 ,则 a 的值是( A.

2400

B.25

C.55

D.49

9.在△ABC 中,若 acosA=bcosB,则△ABC 是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角 10.在钝角三角形 ABC 中,三边长是连续自然数,则这样的三角形( A.不存在 B.有无数多个 C.仅有一个 D.仅有两个 二、填空题 1.在△ABC 中,A=120°,B=30°,a=8,则 c= . 1 2.在△ABC 中,已知 a=3 2 ,cosC= ,S△ABC=4 3 ,则 b= 3 3.已知锐角三角形边长分别为 2、3、x,则 x 的取值范围是

)

. . ,

4. 在 △ ABC 中 , A=60 ° ,b ∶ c=8 ∶ 5, 其 内 切 圆 关 径 r=2 3 , 则 a=



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b=

,c=

.
a?b?c = sin A ? sin B ? sin C

5.在△ABC 中,A=60°,b=1,面积为 3 ,则

.

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