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2018年高考数学考前冲刺 立体几何与空间向量_图文

2018 年高考数学考前冲刺——立体几何与空间向量 考纲解读 平面的基本性质(I) 空间点、线、面的位置关系(II) 空间直线、平面平行的判定定理与性质定理(II) 空间直线、平面垂直的判定定理与性质定理(II) 空间向量在立体几何中的应用(II) 高考预测 1.从考查题型来看, 涉及本知识点的选择题、 填空题一般从宏观的角度, 结合实际观察、 判断空间点、线、面的位置关系,确定命题的真假;解答题中则从微观的角度,严密 推导线面平行、垂直,利用空间向量的有关形式表示、求解空间的距离、夹角等. 2.从考查内容来看,主要考查空间点、线、面位置关系的命题的判断及证明,重点是根 据平行、垂直的判定定理与性质定理证明线面平行、垂直,难点则是如何计算空间中 有关角与距离的问题. 3.从考查热点来看,证明空间线面平行、垂直是高考命题的热点,结合平行、垂直的判 定定理及性质定理,通过添加辅助线的方式证明是常考的方式.要注意结合空间几何体 的特征严格推理论证. 应试技巧 1.平面的基本性质 (1)熟悉三个公理的三种语言的描述(自然语言、图形语言、符号语言) ,明白各自的作 用,能够依据这三个公理及其推论对点与平面、直线与平面、平面与平面的位置关 系作简单的判断. (2)掌握确定一个平面的依据:不共线的三点确定一个平面、直线与直线外一点确定一 个平面、两相交直线确定一个平面、两平行直线确定一个平面. 2.空间直线、平面的位置关系 (1)空间两条直线与直线的位置关系:相交、平行、异面. 判断依据:是否在同一个平面上;公共点的个数情况. 理解平行公理与等角定理: 平行公理:平行于同一条直线的两条直线平行; 等角定理:空间中如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. (2)直线与平面的位置关系:直线在平面内、直线与平面平行或相交 判断依据:直线与平面的公共点的个数. 理解直线与平面平行的定义. (3)空间两个平面的位置关系:相交、平行 判断依据:没有公共点则平行,有一条公共直线则相交. 3.空间直线、平面平行的判定定理与性质定理 (1)线面平行的判定定理与性质定理 1)线面平行的判定定理: 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行, 则直线与平面平 行. 符号语言: a ? ? , b ? ? , a // b ? a // ? . 要判定直线与平面平行,只需证明直线平行于平面内的一条直线. 2)线面平行的性质定理: 一条直线与一个平面平行, 则过这条直线的平面与已知平面的 交线与该直线平行. 符号语言: a // ? , a ? ? , ? ? ? b ? a // b . 当直线与平面平行时,直线与平面内的直线不一定平行,只有在两条直线共面时才平 行. 3)面面平行的判定定理: 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行, 则这两个平面 平行. 符号语言: a // ? , b // ? , a ? ? , b ? ? , a b ? P ? ? // ? . 要使两个平面平行,只需证明其中一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行即 可,这里的直线需是相交直线. 4)面面平行的性质定理: 如果两个平行平面同时与第三个平面相交, 那么它们的交线平 行. 符号语言: ? // ? , ? 5)平行关系的转化 判定 判定 ??? ? 线面平行 ??? ??? ? 面面平行 线线平行 ??? ? ? 性质 性质 ? ? m, ? ? ? n ? m // n . (2)直线、平面垂直的判定定理与性质定理 1)线面垂直的判定定理:如果直线垂直于平面内的两条相交直线,则直线与平面垂直. 符号语言: l ? a, l ? b, a ? ? , b ? ? , a b ? P ?l ?? . 要判定直线与平面垂直,只需判定直线垂直于平面内的两条相交直线即可. 2)线面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行. 符号语言: a ? ? , b ? ? ? a // b . 此性质反映了平行、垂直之间的关系,也可以获得以下推论:两直线平行,若其中一 条直线与一个平面垂直,则另一条直线也与该平面垂直. 3)面面垂直的判定定理:若直线垂直于平面,则过该直线的平面与已知平面垂直. 符号语言: a ? ? , a ? ? ? ? ? ? . 要证明平面与平面垂直, 关键是在其中一个平面内找到一条与另一个平面垂直的直线. 4)面面垂直的性质定理: 两个平面垂直, 则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面 垂直. 符号语言: ? ? ? , ? ? ? m, n ? ? , n ? m ? n ? ? . 要通过平面与平面垂直推理得到直线与平面垂直,必须满足直线垂直于这两个平面的 交线. 5)垂直关系的转化 ??? ? 线面垂直 ??? ??? ? 面面垂直 线线垂直 ??? ? ? 判定 性质 判定 性质 4.空间向量在立体几何中的应用 (1)空间向量的坐标运算 设 a ? (a1 , a2 , a3 ), b ? (b1 , b2 , b3 ) ,则 a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) , ?a ? (?a1, ?a2 , ?a3 )(? ? R) , a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 , a b ? b ? ?a ? b1 ? ?a1 , b2 ? ?a2 , b3 ? ?a3 (? ? R) , a ? b ? a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0 , 2 2 a ? a 2 ? a12 ? a2 ? a3 , cos a, b ? 空 间 a1b1 ? a2b2 ? a3b3 a ?b . ? 2 2 2 a b a12 ? a2 ? a3 b12 ? b2 ? b32 A( x1 , y1 , z1 ), B( x2 , y2 , z2 ) 两 点 间 的 距 离 为 d AB ? ( x1

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