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新人教A版必修5高中数学第二章数列习题课(1)导学案

第二章 数列习题课(1)检测试题 新人教 A 版必修 5 课时目标 1.熟练掌握等差数列的概念、通项公式、前 n 项和公式,并能 综合运用这些知识解决一些问题. 2.熟练掌握等差数列的性质、等差数列前 n 项和的性质,并能 综合运用这些性质解决相关问题. 要点回顾 1.若 Sn 是数列{an}的前 n 项和,则 Sn=a1+a2+…+an,an= ? ?S1, ? ?Sn-Sn-1, ? n=1, n≥2. 2.若数列{an}为等差数列,则有: (1)通项公式:an=a1+(n-1)d; n n- d n a1+an (2)前 n 项和:Sn=na1+ = . 2 2 3.等差数列的常用性质 (1)若{an}为等差数列,且 m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则 am +an=ap+aq. (2)若 Sn 表示等差数列{an}的前 n 项和,则 Sk,S2k-Sk,S3k-S2k 成等差数列. ( ( 一、选择题 1 .在等差数列 {an}中, a1 + 3a8 + a15 = 120 ,则 2a9 - a10 的值为 ) A.24 B.22 C.20 D.-8 答案 A 2.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a3+a7+a11=6,则 S13 等于 ) A.24 B.25 C.26 D.27 答案 C 解析 ∵a3+a7+a11=6,∴a7=2, a1+a13 ∴S13= =13a7=26. 2 3.设数列{an}、{bn}都是等差数列,且 a1=25,b1=75,a2+b2 1 =100,则 a37+b37 等于( ) A.0 B.37 C.100 D.-37 答案 C 解析 设数列{an},{bn}的公差分别为 d,d′, 则 a2+b2=(a1+d)+(b1+d′) =(a1+b1)+(d+d′) =100. 又∵a1+b1=100,∴d+d′=0. ∴a37+b37=(a1+36d)+(b1+36d′) =(a1+b1)+36(d+d′)=100. 4.设{an}是公差为正数的等差数列,若 a1+a2+a3=15,a1a2a3 =80,则 a11+a12+a13 等于( ) A.120 B.105 C.90 D.75 答案 B 解析 ∵a1+a2+a3=3a2=15,∴a2=5. ∵a1=5-d,a3=5+d,d>0, ∴a1a2a3=(5-d)·5·(5+d)=80, ∴d=3,a1=2. ∴a11+a12+a13=3a12=3(a1+11d) =3a1+33d=3×2+33×3=105. 5.若{an}为等差数列,Sn 为其前 n 项和,若 a1>0,d<0,S4=S8, 则 Sn>0 成立的最大自然数 n 为( ) A.11 B.12 C.13 D.14 答案 A 解析 S4=S8? a5+a6+a7+a8=0? a6+a7=0,又 a1>0,d<0,S12 a1+a12 = =0,n<12 时, 2 Sn>0. 6.在等差数列{an}中,a1=-2 008,其前 n 项和为 Sn,若 2 008 - =2,则 S2 012 等于( 2 006 A.-2 012 C.6 033 答案 D S2 008 S2 006 ) B.2 012 D.6 036 2 Sn n- d =a1+ , n 2 S2 008 S2 006 2 008-1 2 006-1 ∴ - =a1+ d-a1- d 解析 2 008 2 006 =d=2. 2 2 2 012×2 011 ∴S2 012=2 012×(-2 008)+ ×2 2 =2 012×3=6 036. 二、填空题 7.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2+n+1,则 a6+a7+…+a10 的值为________. 答案 80 解析 a6+a7+…+a10=S10-S5=111-31=80. 8. 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 Sp=Sq(p, q∈N*且 p≠q), 则 Sp+q=________. 答案 0 解析 设 Sn=an2+bn,由 Sp=Sq. 知 ap2+bp=aq2+bq,∴p+q=- . ∴Sp+q=a(p+q)2+b(p+q) b a b a 2 b b2 = - =0. a a =a(- )2+b(- ) b a 9.等差数列{an}中,|a3|=|a9|,公差 d<0,则使前 n 项和 Sn 取 得最大值的自然数 n 是______. 答案 5 或 6 解析 d<0,|a3|=|a9|,∴a3>0,a9<0 且 a3+a9=0, ∴a6=0,∴a1>a2>…>a5>0,a6=0,0>a7>a8>…. ∴当 n=5 或 6 时,Sn 取到最大值. 10.已知数列{an}中,a1=20,an+1=an+2n-1,n∈N*,则数列 {an}的通项公式 an=________. 答案 n2-2n+21 解析 ∵an+1-an=2n-1, ∴a2-a1=1,a3-a2=3,…, an-an-1=2n-3,n≥2. ∴an-a1=1+3+5+…+(2n-3). 3 ∴an=20+ n- 2 n- =n2-2n+21. 三、解答题 11.甲、乙两物体分别从相距 70 m 的两处同时相向运动,甲第 1 分钟走 2 m,以后每分钟比前 1 分钟多走 1 m,乙每分钟走 5 m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇? (2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回,甲继续每分钟比前 1 分钟多走 1 m,乙继续每分钟走 5 m,那么开始运动几分钟后第二次 相遇? 解 (1)设 n 分钟后第 1 次相遇,依题意, n n- 有 2n+ +5n=70, 2 整理得 n2+13n-140=0. 解之得 n=7,n=-20(舍去). 第 1 次相遇是在开始运动后 7 分钟. (2)设 n 分钟后第 2 次相遇,依题意,有 n n- 2n+ +5n=3×70, 2 整理得 n

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