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人教版高一数学必修二导学案:3.1.1 直线的倾斜角与斜率完美版

第三章 §3.1.1 直线的倾斜角与斜率
一、考纲要求 1、学习目标: 知识与技能:正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.理解直线的倾斜角的唯一性.掌握直线 的倾斜角与斜率的关系. 过程与方法:理解直线的斜率的存在性.斜率公式的推导过程,掌握过两点的直线的斜率公 式. 情感态度与价值观: 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示, 培 养学生观察、探索能力,运用数学语言表达能力,数学交流与评价能力.通过斜率概念的建 立和斜率公式的推导,帮助学生进一步理解数形结合思想,培养学生树立辩证统一的观点, 培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神. 2、学习重、难点 学习重点: 直线的倾斜角、斜率的概念和斜率公式的应用. 学习难点: 直线的倾斜角、斜率的对应关系,求直线的倾斜角和斜率的范围. 学习重点: 直线的倾斜角、斜率的概念和斜率公式的应用. 学习难点: 直线的倾斜角、斜率的对应关系,求直线的倾斜角和斜率的范围. 二、自主学习 阅读教材 P82-86 完成下面问题并填空 知识点一:直线的倾斜角 【提出问题】 在平面直角坐标系中,直线 l 经过点 P . 问题 1: 直线 l 的位置能够确定吗? 问题 2: 过点 P 可以作与 l 相交的直线多少条? 问题 3:上述问题中的所有直线有什么区别? 【导入新知】 1.定义:当直线 l 与 x 轴相交时,我们取 x 轴作为基准,
0 直线 l 的倾斜角 .特别地,当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 规定 ? ? 0 . ...

叫做

2.范围:倾斜角 ? 的取值范围是 轴垂直. 3.倾斜角与直线形状的关系 倾 斜 角

.特别:当

时,称直线 l 与 x

? ? 00

00 ? ? ? 900

? ? 900

900 ? ? ? 1800

直 线

知识点二:直线的斜率 【提出问题】 日常生活中,常用坡度( 坡度=

升高量 )表示倾斜程度,例如, “进 2 升 3”与“进 2 升 2” 前进量
3 2 2 2

比较,前者更陡一些,因为坡度 >

问题 1:对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度,可否借助于坡度来描述直线的倾斜程度? 问题 2: 如材料里描述的坡度为升高量与水平前进量的比值,那么对于平面直角坐标系中直 线的倾斜程度能否如此度量? 问题 3:通过坐标比,你会发现它与倾斜角有何关系? 【导入新知】 1.定义:一条直线的倾斜角 ? ( ? ≠90°)的 值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母 k 表示,即 k = ①当直线 l 与 x 轴平行或重合时, ? = , k = ; ②当直线 l 与 x 轴垂直时, ? = , k . 2. 直线的斜率公式: ①已知直线的倾斜角 ? ,则 k= ②经过两个定点 P1(x1,y1) , P2(x2,y2) 的直线: 若 x1≠x2,则直线 P1P2 的斜率存在,k= 若 x1=x2,则直线 P1P2 的斜率 3. 斜率作用:用实数反映了平面直角坐标系内的直线的 三、考点突破
0

.

.

例 1⑴若直线 l 的向上方向与 y 轴的正方向成 30 角,则直线的倾斜角为(
0 A. 30 0 B. 60 0 0 C. 30 或150



0 0 D. 60 或120

⑵下列说法中,正确的是( ) A.直线的倾斜角为 ? ,则此直线的斜率为 tan? B. 直线的斜率为 tan? ,则此直线的倾斜角为 ? C.若直线的倾斜角为 ? ,则 sin ? ? 0 D.任意直线都有倾斜角 ? ,且 ? ? 900 时,斜率为 tan? 变式训练 1. 直线 l 经过第二、四象限,则此直线 l 的倾斜角范围是( A. ) D. (0 ,180 )
0

[00 ,900 )

B. [90 ,180 )

0

0

C.

(900 ,1800 )

0

0

2.设直线 l 过原点, 其倾斜角为 ? , 将直线 l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转 45 , 得到直线 l1 , 则直线 l1 的倾斜角为( )

A. ? ? 450

B. ? ? 1350

C. 1350 ? ?

D.当 00 ? ? ? 1350 时为 ? ? 450 ,当 1350 ? ? ? 1800 时为 ? ? 1350 例 2 ⑴已知过两点 A(4, y), B(2, ?3) 的直线的倾斜角为 1350 ,则 y ? ⑵已知过 A(3,1), B(m, ?2) 的直线的斜率为 1,则 m 的值为 ⑶过点 P(?2, m), Q(m, 4) 的直线的斜率为 1,则 m 的值为 变式训练 3.若直线过点 (1, 2),(4, 2 ? 3) ,则此直线的倾斜角是( A. 30 0 B. 450 C. 60 0 D. 90 0 )

例 3 已知实数 x, y 满足 y ? ?2 x ? 8 ,且 2 ? x ? 3 ,求

y 的最大值与最小值. x

变式训练 4.点 M ( x, y ) 在函数 y ? ?2 x ? 8 的图像上,当 x ? [2,5] 时,求

y ?1 的取值范围. x ?1

四、考点巩固 1.关于直线的倾斜角和斜率,下列说法正确的是( A.任一直线都有倾斜角,都存在斜率。 B. 倾斜角为 135 的直线的斜率为 1. C.若一条直线的倾斜角为 ? ,则它的斜率为 k ? tan ? D.直线斜率的取值范围是 (??, ??)
0



y

l2 l3 x l1

2..如图,图中的直线 l1、l 2、l3 、的斜率分别为 k1, k2 ,k3,则(

)

A. k1< k2 <k3

B. k3< k1 <k2

C. k3< k2 <k1 )

D. k1< k3 <k2

3.、直线 ? 经过原点和(-1,1) ,则它的倾斜角为( A、45° B、135° C、45°或 135°

D、-45° )

4、若 A(3,-2) ,B(-9,4) ,C(x,0)三点共线,则 x=( A、1 B、-1 C、0 D、7 5、若经过 A(4, y), B(2, ?3) 的直线的斜率为 1,则 y ? ( )

A、 ?

3 2

B、

3 2

C、-1

D、1

6、若经过 A(2,1), B(1, m2 ) 的直线的倾斜角为锐角,则 m 的取值的范围是( A、 m ? 1 B、 m ? ? 1 C、 ?1 ? m ? 1



D、 m ? 1或m<-1

7.已知直线 l 过点 A(1, 2), B(m,3) ,求直线 l 的斜率和倾斜角的取值范围

8、已知 A(3,3), B(?4, 2), C (0, ?2) ,

⑴求直线 AB 和 AC 的斜率 ⑵若点 D 在线段 BC (包括端点)上移动时,求直线 AD 的斜率的变化范围

3.1.2

两条直线平行与垂直的判定

一.考纲要求 1.学习目标: 知识与技能:理解直线的倾斜角和斜率的概念.理解并掌握两条直线平行与垂直的条件,能 用直线的倾斜角与斜率的关系来判定两条直线平行与垂直。 过程与方法: 通过两条直线的位置去研究它们的倾斜角与斜率的关系, 实现用代数方法解决 几何问题 情感态度与价值观:(1) 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭 示,培养学生观察、探索能力,运用数学语言表达能力,数学交流与评价能力.(2) 通过斜 率概念的建立和斜率公式的推导, 帮助学生进一步理解数形结合思想, 培养学生树立辩证统 一的观点,培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神. 2.学习重、难点 学习重点:两条直线平行和垂直的判定,要求学生能熟练掌握,并灵活运用. 学习难点: 直线的倾斜角、斜率的对应关系,求直线的倾斜角和斜率的范围 二、自主学习 阅读教材 P86-89 完成下面问题并填空 知识点一:两条直线平行 【提出问题】 平面几何中,两条直线平行同位角相等。 问题 1.在平面直角坐标系中,若 l1

l2 ,则它们的倾斜角 ?1 与 ? 2 有什麽关系?

问题 2.若 l1

l2 ,则 l1 , l2 的斜率相等吗?

问题 3.若 l1 , l2 的斜率相等,则 l1与l2 一定平行吗? 【导入新知】 对于两条不重合的直线 l1 , l2 ,其斜率分别为 k1 , k2 ,有 l1 知识点二:两条直线垂直 【提出问题】 已知两条直线 l1 , l2 ,若 l1 的倾斜角为 30 , l1 ? l2 .
0

l2 ?

问题 1.上述问题中, l1 , l2 的斜率是多少?

问题 2. 上述问题中两直线 l1 , l2 的斜率有何关系? 问题 3.若两条直线垂直且都有斜率,它们的斜率之积一定为-1 吗?

【导入新知】 如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率之积等于 的斜率之积等于 三、考点突破 例 1 根据下列给定的条件,判断直线 l1 与直线 l2 是否平行。 ⑴ l1 经过点 A(2,1), B(?3,5) , l2 经过点 C (3, ?3), D(8, ?7); ⑵ l1 经过点 E (0,1), F (?2, ?1) , l2 经过点 G(3, 4), H (2,3); ⑶ l1 的倾斜角为 60 0 , l2 经过点 M (1, 3), N (?2, ?2 3); ⑷ l1 平行于 y 轴, l2 经过点 P(0, ?2), Q(0,5). ,那么它们互相垂直,即 l1 ? l2 . ?

;反之,如果它们 。

变式训练 1. 试确定 m 的值,使过点 A(m ? 1,0), B(?5, m) 的直线与过点 C (?4,3), D(0,5) 的直线平 行.

例 2

已知直线 l1 经过点 A(3, a ), B (a ? 2,? 3),直线 l2 经过点 C (2, 3),D (? 1,a ? 2),,如果

l1 ? l2 . ,求 a 的值

变式训练 2. 已知定点 A(?1,3), B (4, 2) ,以 A、B 为直径作圆,与 x 轴有交点 C ,则交点 C 的坐标 是 例 3. . 已知 A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0) 四点,若顺次连接 A,B,C,D 四点,试判断图形

ABCD 的形状.

变式训练 3.已知 A(1,0), B(3, 2), C (0, 4), 点 D 满足 AB ? CD ,且 AD BC ,试求点 D 的坐标.

四、考点巩固 1.下列说法中正确的有( ) ①若两条直线的斜率相等,则着两条直线平行; ②若 l1

l2 ,则 k1 ? k2 ;

③若两条直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则这两条直线垂直; ④若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合,则这两条直线平行。 A.1 个 B.2 个 C. 3 个 D.4 个
2 2.直线 l1 , l2 的斜率是方程 x ? 3x ? 1 ? 0 的两根,则 l1 , l2 的位置关系是(



A.平行

B. 重合

C. 相交但不垂直 )

D.垂直

3.以 A(?1,1), B(2, ?1), C (1, 4) 为顶点的三角形是(

A. 锐角三角形 C. 以 A 点为直角顶点的直角三角形

B. 钝角三角形 D. 以 B 点为直角顶点的直角三角形 )

4.已知点 A(?2, ?5), B(6, 6) ,点 P 在 y 轴上,且 ?APB ? 900 ,则点 P 的坐标为( A. (0, ?6) B. (0, 7) C. (0, ?6) 或 (0, 7) D. (?6, 0) 或 (7, 0)

5. 已知 ?ABC 中, A(0,3), B(2, ?1) , E、F 分别为 AC、BC 的中点,则直线 EF 的斜率 为 .

6..经过点 (m,3) 和 (2, m) 的直线 l 与斜率为-4 的直线互相垂直,则 m 的值是 7. 直线 l1 经过点 A(m,1), B(?3, 4), 直线 l2 经过点 C (1, m), D(?1, m ? 1), ,当 l1 时,分别求实数 m 的值。

l2 或 l1 ? l2

8.当 m 为何值时,过两点 A(1,1), B(2m ? 1, m ? 2) 的直线:
2

⑴倾斜角为 135 ; ⑵与过两点 (3, 2), (0, ?7) 的直线垂直; ⑶与过两点 (2, ?3), (?4,9) 的直线平行?

0

3.1.1 倾斜角与斜率 自主学习 知识点一 问题 1:提示:不能;问题 2:无数条;问题 3:倾斜程度不同; 导入新知 1.

x 轴正方向与直线 l 向上方向之间所形成的角;2. [00 ,1800 ) , ? ? 900

3.省略 知识点二 问题 1:提示:可以;问题 2:可以;问题 3:与倾斜角的正切值相等; 导入新知 1. 正切, tan ? ; ? ? 00 , k ? 0; ? ? 900 ,不存在 2.

tan ? ,

y2 ? y1 ,不存在 x2 ? x1

3. 倾斜程度 三.考点突破 例 1(1)D (2)D 变式训练 1.C 2.D 例 2: (1)-5, (2)0, (3)1 变式训练 3.A 例 3 最大值为 2;最小值为 变式训练 4. [? , ]

2 . 3

1 5 6 3

四、考点巩固 1. D 2.D 3.B

4. B

5. C

6. C
0 0 0 0

7.当 m ? 1 时, k ? (0, ??) ? (??,0) ;此时 ? ? (0 ,90 ) ? (90 ,180 ) 。 当 m ? 1 时,斜率不存在, ? ? 900 。 8. (1) k AB ? (2) [ , ] 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 自主学习 知识点一 问题 1:提示:相等;问题 2:不一定,可能相等,也可能都不存在;问题 3:不一定,可 能平行也可能重合; 导入新知

1 5 , k AC ? 7 3

1 5 7 3

k1 ? k2

知识点二 问题 1:提示: k1 ? 导入新知 -1,-1, k1k2 ? ?1 三、考点突破 例 1(1) l1 l2 , (2)直线 l1 与直线 l2 重合, (3)直线 l1 与直线 l2 平行或重合, (4) l1 l2 变式训练 例2 变式训练 1. m ? ?2 a 的值为 5 或-6 2. (1, 0) 或 (2, 0)

3 , k2 ? ? 3 ;问题 2: k1k2 ? ?1;问题 3:一定; 3

例3 四边形 ABCD 为直角梯形 变式训练 四、考点巩固 1. A 2.D 3.C 4. C 5. ?2 ; 6. 3. D(10, ?6)

14 5 9 2

7. l1 l2 时, m 的值为 3; l1 ? l2 时, m 的值为 ? 8. ⑴ m ? ?

3 3 3 或m=1 ; ⑵ m ? 或m= ? 3 ; ⑶ m ? 或m= ? 1 2 2 4

风,没有衣裳;时间,没有居所;它们是拥有全世界的两个穷人生活不只眼前的苟且,还有诗和远方的田野。你赤手空拳来到人世间,为了心中的那片海不顾一切。 运动太多和太少,同样的 损伤体力;饮食过多与过少,同样的损伤健康;唯有适度可以产生、增进、保持体力和健康。 秋水无痕聆听落叶的情愫红尘往事呢喃起涟漪无数心口无语奢望灿烂的孤独明月黄昏遍遍不再少 年路岁月极美,在于它必然的流逝。 春花、秋月、夏日、冬雪。 你必汗流满面才得糊口,直到你归了土;因为你是从土而出的。你本是尘土,仍要归于尘土。 我始终相信,开始在内心生活得更严肃的人,也会在外表上开始生 活得更朴素。在一个奢华浪费的年代,我希望能向世界表明,人类真正需要的的东西是非常之微少的。世界上的事情,最忌讳的就是个十全十美,你看那天上的月亮,一旦圆满了,马上就要 亏厌;树上的果子,一旦熟透了,马上就要坠落。凡事总要稍留欠缺,才能持恒。 只有经历过地狱般的磨砺,才能练就创造天堂的力量;只有流过血的手指,才能弹出世间的绝响。时光只顾 催人老,不解多情,长恨离亭,滴泪春衫酒易醒。梧桐昨夜西风急,淡月朦胧,好梦频惊,何处高楼雁一声? 如果你长时间盯着深渊,深渊也会盯着你。 所有的结局都已写好 所有的泪水也 都已启程 却忽然忘了是怎么样的一个开始 在那个古老的不再回来的夏日 无论我如何地去追索 年轻的你只如云影掠过 而你微笑的面容极浅极淡 逐渐隐没在日落后的群岚 遂翻开那发黄的 扉页 命运将它装订得极为拙劣 含着泪 我一读再读 却不得不承认青春是一本太仓促的书 记忆是无花的蔷薇,永远不会败落。 我也要求你读书用功,不是因为我要你跟别人比成就,而是因 为,我希望你将来会拥有选择的权利,选择有意义,有时间的工作,而不是被迫谋生。 尽管心很累 很疲倦 我却没有理由后退 或滞留在过去与未来之间 三千年读史,不外功名利禄;九万里悟道,终归诗酒田园。 这是一个最好的时代,这是一个最坏的时代这是一个智慧的年代,这是一个愚蠢的年代;这是一个光明的季节,这是一个黑暗的季 节;这是希望之春,这是失望之冬;人们面前应有尽有,人们面前一无所有;人们正踏上天堂之路,人们正走向地狱之门。 我有所感事,结在深深肠。 你一定要“离开”才能开展你自己。 所谓父母,就是那不断对着背影既欣喜又悲伤,想追回拥抱又不敢声张的人。 心之所向 素履以往 生如逆旅 一个人的行走范围,就是他的世界。因为爱过,所以慈悲;因为懂得,所以宽容。 刻意去找的东西,往往是找不到的。天下万物的来和去,都有他的时间。 与善人居,如入芝兰之室,久而自芳也;与恶人居,如入鲍鱼之肆,久而自臭也。 曾经沧海难为水,除却巫山不是 云。 回首向来萧瑟处,归去,也无风雨也无晴。 半生闯荡,带来家业丰厚,儿孙满堂,行走一生的脚步,起点,终点,归根到底,都是家所在的地方,这是中国人秉持千年的信仰,朴素, 但有力量。风吹不倒有根的树我能承受多少磨难,就可以问老天要多少人生。心,若没有栖息的地方,到哪里都是流浪...如果有来生,要做一只鸟,飞越永恒,没有迷途的苦恼。东方有火红 的希望,南方有温暖的巢床,向西逐退残阳,向北唤醒芬芳。如果有来生,希望每次相遇,都能化为永恒。不乱于心,不困于情。不畏将来,不念过往。如此,安好。 笑,全世界便与你同声 笑,哭,你便独自哭。 一辈子,不说后悔,不诉离伤。上帝作证,我是真的想忘记,但上帝也知道,我是真的忘不了 如果其中一半是百分百的话那就不是选择了而是正确答案了,一半一半, 选哪一半都很困难,所以这才是选择。跟着你,在哪里,做什么,都好。眠。我倾尽一生,囚你无期。择一人深爱,等一人终老。痴一人情深,留一世繁华。断一根琴弦,歌一曲离别。我背

弃一切,共度朝夕。 人总是在接近幸福时倍感幸福,在幸福进行时却患得患失。路过的已经路过,留下的且当珍惜 我相信,真正在乎我的人是不会被别人抢走的,无论是友情,还是爱情。 我还是相信,星星会说话,石头会开花,穿过夏天的木栅栏和冬天的风雪之后,你终会抵达! 每一个不曾起舞的日子,都是对生命的辜负。 每个清晨都像一记响亮的耳光,提醒我,若不学 会遗忘,就背负绝望。 那一年夏天的雨,像天上的星星一样多,给我美丽的晴空,我们都有小小的伤口,把年轻的爱缝缝又补补,我会一直站在你左右,陪你到最后的最后。 如果一开始就知道是这样 的结局,我不知道自己是不是会那样的奋不顾身。 黄昏是一天最美丽的时刻,愿每一颗流浪的心,在一盏灯光下,得到永远的归宿。 因为有了因为,所以有了所以。既然已成既然,何必再 说何必。想念是人最无奈的时候唯一能做的事情。你受的苦,会照亮你的路。 我希望有个如你一般的人。 如这山间清晨一般明亮清爽的人,如奔赴古城道路上阳光一般的人,温暖而不炙热,覆盖我所有肌肤。由起点到夜晚,由山野到书房,一切问题的答案都很简单。我希望有个如你一般的人, 贯彻未来,数遍生命的公路牌。 岁月极美,在于它必然的流逝。春花、秋月、夏日、冬雪说并用程这为再年余生,风雪是你,成多每内淡是你,清贫是你,荣华是你,心底温柔是你,并用光 所内为界,也是你。个人的遭遇,命运的多舛都使我被迫成熟,这一切的代价都当是日后活下去的力量。送你的白色沙漏,是一个关于成长的礼物,如果能给你爱和感动,我是多么的幸福,我有过 很多的朋友,没有谁像你一样的温柔,每当你牵起我的手,我就忘掉什么是忧愁。很多故事不就是因为没有结局才有了继续等下去的理由。 有些人,有些事,是不是你想忘记,就真的能忘记?也许有 那么一个时侯,你忽然会觉得很绝望,觉得全世界都背弃了你,活着就是承担屈辱和痛苦。这个时候你要对自己说,没关系,很多人都是这样长大的。风平浪静的人生是中年以后的追求。当 你尚在年少,你受的苦,吃的亏,担的责,扛的罪,忍的痛,到最后都会变成光,照亮你的路。 你要做一个不动声色的大人了。不准情绪化,不准偷偷想念,不准回头看。去过自己另外的生 活。你要听话,不是所有的鱼都会生活在同一片海里。有人说,鲁迅是杂文,胡适是评论;鲁迅是酒,胡适是水。酒让人看到真性情,也看到癫狂,唯有水,才是日常所需,是真生活。有时 候会很自豪地觉得,我唯一的优势就是,比你卑微。于是自由。再也读不到传世的檄文,只剩下廊柱上龙飞凤舞的楹联。再也找不见慷慨的遗恨,只剩下几座既可凭吊也可休息的亭台。再也 不去期待历史的震颤,只有凛然安坐着的万古湖山。 呼兰河这小城里边,以前住着我的祖父,现在埋着我的祖父。 诗意上来时,文字不要破坏它。 水,看似柔顺无骨,却能变得气势滚滚, 波涌浪叠,无比强大;看似无色无味,却能挥洒出茫茫绿野,累累硕果,万紫千红;看似自处低下,却能蒸腾九霄,为云为雨,为虹为霞…… 一切达观,都是对悲苦的省略 我们孩还发多夫 道知道了,就得看不我们后心回的”家“,不是起用看把一个有邮递区号、邮差找得到的家,后心天能们后心回的”家“,不是空于而,风每都到小是一段时光。 它们能够躲过所有凝视的目 光,却躲不过那些出其不意投来的目光。 中国人对待自然环境与外国人截然不同,外国人注意到的是人如何改变土地,而中国人关注的是土地怎样改变了人。 、堂皇转眼凋零,喧腾是短命的别名。在流光溢彩的日子里,生命被铸上妖 冶的印记。托尔斯泰说: “忧来无方,窗外下雨,坐沙发,吃巧克力,读狄更斯,心情又会好起来,和世界妥协。 ” 成熟是一种明亮而不刺眼的光辉,一种圆润而不腻耳的声响,一种不再需要 对别人察言观色的从容,一种终于停止向周围申诉求告的大气,一种不理会喧闹的微笑,一种洗刷了偏激的淡漠,一种无需声张的厚实,一种能够看的很远却并不陡峭的高度。我不要天堂, 我只要底线。因为没有底线,就没有自由。 宠辱不惊,看庭前花开花落;去留无意,望天上云卷云舒。 如果你想知道周围有多么黑暗,你就得留意远处的微弱光线。如果我没有刀,我就不能保护你。如果我有刀,我就不能拥抱你。 “今 天比昨天慈悲,今天比昨天智慧,今天比昨天快乐。这就是成功。 ” 没有悲剧就没有悲壮,没有悲壮就没有崇高 我们都在阴沟里,但仍有人仰望星空。 没有人性的觉醒,权力与财富只使人 更粗鄙堕落。 满地都是六便士,他却抬头看见了月亮。走出酒吧的那一刹,我被遽然刺来的阳光下了一跳。闭上眼,我想起了我的收音机。它已经很旧很老,退役多年了。


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