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高中数学第一章空间几何体检测试题新人教A版必修2

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第一章
【选题明细表】 知识点、方法 空间几何体的结构 三视图与直观图 空间几何体的侧面积与表面积 空间几何体的体积 综合应用

检测试题

(时间:90 分钟 满分:120 分) 题号 1、2、5、13 3、4、10 7、11、14、17 6、8、9、15、16 12、18、19、20

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.下列说法中正确的是( B ) (A)棱柱的侧面可以是三角形 (B)正方体和长方体都是特殊的四棱柱 (C)所有的几何体的表面都能展成平面图形 (D)棱柱的各条棱都相等 解析:棱柱的侧面都是平行四边形,各侧棱长相等,即选项 A、D 不正确;球的表面不能展成平面 图形,即选项 C 不正确;选项 B 显然正确. 故选 B. 2.(2014 浙江台州高二期末)正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周形成的几何体可能是 ( D )

解析:正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周,形成的几何体是两个共底面的圆锥.故选 D. 3.一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可能是( D ) (A)球 (B)三棱锥 (C)正方体 (D)圆柱 解析:因为球的三视图均为圆,正方体的三视图均可以为正方形,所以排除 A、C.而三条侧棱两 两垂直且相等的正三棱锥的三视图可以为全等的直角三角形,排除 B.故选 D. 4.(2014 成都高二期末)如图,A′B′C′D′为各边与坐标轴平行的正方形 ABCD 的直观图,若 A′B′=3,则原正方形 ABCD 的面积是( A )

(A)9

(B)3

(C) (D)36

解析:由题意知,ABCD 是边长为 3 的正方形,其面积 S=9.故选 A. 2 5.(2015 太原五中高二(上)月考)已知长方体的表面积是 24 cm ,过同一顶点的三条棱长之和是 6 cm,则它的体对角线长是( D ) (A) cm (B)4 cm (C)3 cm (D)2 cm

解析:设长方体的长、宽、高分别为 a,b,c,
-1-

由题意可知,2(ab+bc+ac)=24, ① a+b+c=6, ② 2 2 2 2 ② -①可得 a +b +c =12, 所以长方体的体对角线的长为 = =2 ,故选 D.

6.(2015 安庆市石化一中高二(上)期中)某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( B )

(A)4

(B)

(C)

(D)6

解析:几何体是四棱台,下底面是边长为 2 的正方形,上底面是边长为 1 的正方形,棱台的高为 2,并且棱台的两个侧面与底面垂直,四棱台的体积为 V= ×(2 +1 +
2 2

)×2= ,故选 B.

7.(2015 唐山市高二(上)期中)已知圆台的上下底面半径分别为 1 和 2,高为 1,则该圆台的全面 积为( B ) (A)3 π (B)(5+3 )π

(C)

π

(D)

π
2 2

解析:圆台的全面积为π ×1 +π ×2 +π ×1× (5+3 )π ,故选 B.

+π ×2×

=

8.(2014 宁波高二期末)已知圆锥的母线长为 4,侧面展开图的圆心角为 90°,那么它的体积为 ( A ) (A) π (B) π (C) π (D)4π

解析:设圆锥的底面半径为 r,则 2π r= ·2π ·4,r=1,

V= π r h= π ×1 ×

2

2

=

π .故选 A.
-2-

9.(2015 运城市康杰中学高二(上)期中)一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体 积为( D )

(A)12 (B)18 (C)27 (D)54 解析:由三视图可知该几何体是一个以俯视图为底面的棱柱,棱柱的底面面积 S= ×(4+5)×3= ,棱柱的高 h=4,故棱柱的体积 V=Sh=54,故选 D. 10.(2015 蚌埠市五河高二(上)期中)如图,侧棱垂直于底面的三棱柱 ABC A1B1C1 的各棱长均为 2,其正视图如图所示,则此三棱柱侧视图的面积为( D )

(A)2

(B)4

(C)

(D)2 =2 ,故选 D.

解析:由已知三棱柱及其正视图可知此三棱柱侧视图的面积=2× 11.一个几何体的三视图如图,该几何体的表面积为( C )

(A)280 (B)292 (C)360 (D)372 解析:该几何体的直观图如图.

-3-

S 表=2(2×8+8×10+2×10)+2(8×6+8×2)=360, 故选 C. 12.(2015 太原五中高二(上)月考)已知球的半径为 5,球面被互相垂直的两个平面所截,得到的 两个圆的公共弦长为 2 (A)3 解析: (B)4 (C) ,若其中一个圆的半径为 2 (D) ,则另一个圆的半径为( B )

如图设两圆的圆心分别为 O1、O2,球心为 O,公共弦为 AB,其中点为 E, 则 OO1EO2 为矩形, AE= AB= ,O1A=2 ,

所以 O1E=

=3,

所以 AO2=

=4,选 B.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.(2015 杭州市重点中学高二联考)已知圆锥的底面半径为 1,且这个圆锥的侧面展开图形是 一个半圆,则该圆锥的母线长为 . 解析:设母线长为 x,根据题意得 2π x÷2=2π ×1, 解得 x=2. 答案:2 14.(2015 北京市房山区高二(上)期中)底面直径和高都是 4 cm 的圆柱的侧面积为 2 cm . 解析:因为圆柱的底面直径和高都是 4 cm, 所以圆柱的底面圆的周长是 2π ×2=4π , 所以圆柱的侧面积是 4π ×4=16π . 答案:16π

-4-

15.(2015 大同一中高二(上)月考)已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三棱锥的 3 体积等于 cm .

解析:由三视图知,几何体是一个三棱锥,底面是直角边长为 1 cm 和 3 cm 的直角三角形, 面积是 ×1×3= (cm ), 三棱锥的一条侧棱与底面垂直,且长度是 2 cm,这是三棱锥的高,所以三棱锥的体积是 × ×2=1(cm ). 答案:1 16.(2014 马鞍山四校联考)在棱长为 a 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中,EF 是棱 AB 上的一条线段,且 EF=b(b<a).若 Q 是 CD 上的动点,则三棱锥 Q D1EF 的体积为 .
3 2

解析:

=

= S△QEF·DD1

= × b×a×a

= a b.

2

答案: a b 三、解答题(本大题共 4 小题,共 40 分) 17.(本小题满分 10 分) (2015 河源市高二(上)期中)已知一个圆柱的侧面展开图是边长为 6π 和 8π 的矩形,求该圆柱的表面积.

2

-5-

解:如图所示,以 AB 边为底面周长的圆柱时,底面圆半径 r1= =3,高 h1=8π ,所以 S 表=2π π r1h1=2π ·3 +2π ·3·8π =18π +48π . 以 AD 边为底面周长的圆柱时,底面圆半径 r2= =4,高 h2=6π ,
2 2

+2

所以 S 表=2π
2

+2π r2h2=2π ·4 +2π ·4·6π

2

=32π +48π . 2 2 综上,所求圆柱的表面积是 48π +32π 或 48π +18π . 18.(本小题满分 10 分) 有一个倒圆锥形的容器,它的轴截面是正三角形,在这个容器内注入水,并且放入一个半径是 r 的钢球,这时球面恰好与水面相切,那么将球从圆锥形容器中取出后,水面高是多少? 解:如图,作出截面,因轴截面是一个正三角形,根据切线的性质知当球在容器内时,水面的深 度为 3r,水面半径为 r,则容器内水的体积为 V=V 圆锥-V 球= π ·( r) ·3r- π r = π r .将球
2 3 3

取出后,设容器中水的深度为 h,则水面圆的半径为

,从而容器内水的体积为

V′= π · 由 V=V′, 可得 h= r.

·h= π h ,

3

19.(本小题满分 10 分) (2014 湖南师大附中高一期末)某工厂为了制造一个实心工件,先画出了这个工件的三视图(如 图),其中正视图与侧视图为两个全等的等腰三角形,俯视图为一个圆,三视图尺寸如图所示 (单位 cm).

(1)求出这个工件的体积;

-6-

(2)工件做好后,要给表面喷漆,已知喷漆费用是每平方厘米 1 元,现要制作 10 个这样的工件, 请计算喷漆总费用(精确到整数部分). 解:(1)由三视图可知,几何体为圆锥,底面直径为 4, 母线长为 3, 设圆锥高为 h,则 h= = ,

则 V= Sh= π R h= π ×4×

2

=

π (cm ).

3

(2)圆锥的侧面积 S1=π Rl=6π , 2 则表面积=侧面积+底面积=6π +4π =10π (cm ), 喷漆总费用=10π ×10=100π ≈314(元). 20.(本小题满分 10 分) (2014 葫芦岛高一期末)已知圆柱 OO1 的底面半径为 2,高为 4. (1)求从下底面出发环绕圆柱侧面一周到达上底面的最短路径长; (2)若平行于轴 OO1 的截面 ABCD 将底面圆周截去四分之一,求截面 面积; (3)在(2)的条件下,设截面将圆柱分成的两部分中较小部分为Ⅰ,较大部分为Ⅱ,求 VⅠ∶VⅡ(体 积之比). 解:(1)将侧面沿某条母线剪开铺平得到一个矩形,邻边长分别是 4π 和 4, 则从下底面出发环绕侧面一周到达上底面的最短路径长即为此矩形的对角线长 4 .

(2)连接 OA,OB,因为截面 ABCD 将底面圆周截去 ,所以∠AOB=90°,

因为 OA=OB=2,所以 AB=2

,

而截面 ABCD 是矩形且 AD=4, 所以 SABCD=8 .

(3)依题知 V 圆柱=Sh=16π , 三棱柱 AOB DO1C 的体积是 8, 则 VⅠ+8= V 圆柱=4π ,所以 VⅠ=4π -8,

而 VⅡ=V 圆柱-VⅠ=12π +8,于是 VⅠ∶VⅡ=

.
-7-


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