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线性代数课件1习题课_图文



全排列

把 n 个不同的元素排成一列,叫做这 n 个元 素的全排列(或排列).

且 Pn ? n!.

n 个不同的元素的所有排列的种数用 Pn 表示,



逆序数

在一个排列 ?i1i2 ?it ?is ?in ?中,若数 it ? i s, 则称这两个数组成一个逆序.

一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆 序数.
逆序数为奇数的排列称为奇排列,逆序数为 偶数的排列称为偶排列.



计算排列逆序数的方法
方法1

分别计算出排在 1 ,2 ,? , n ? 1 , n 前面比它大的 数码之和,即分别算出 1 ,2 ,? , n ? 1 , n 这 n个元素 的逆序数,这 n 个元素的逆序数之总和即为所求 排列的逆序数. 方法2

分别计算出排列中每个元素前面比它大的数 码个数之和,即算出排列中每个元素的逆序数, 每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.







定义 在排列中,将任意两个元素对调,其余元 素不动,称为一次对换.将相邻两个元素对调, 叫做相邻对换.
定理 一个排列中的任意两个元素对换,排列改 变奇偶性.

推论

奇排列调成标准排列的对换次数为奇数, 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.



n阶行列式的定义
? ?? 1? a p1 1a p 2 2 ? a p n n
t

a11 a12 ? a1n a21 a22 ? a2 n D? ? ??????? an1 an 2 ? ann

p1 p 2 ? p n

其中 p1 p 2 ? p n 为自然数1,2,?, n的一个排列; t为这 个排列的逆序数; ? 表示对1,2,?, n的所有排
p1 p2? pn

列取和.

n阶行列式D亦可定义为 D?
p1 p2? pn

? ( ?1) a p11 a p2 2 ? a pn n ,

t

其中t为行标排列 p1 p 2 ? p n 的逆序数.



n阶行列式的性质
1)行列式与它的转置行列 式相等, 即D ? DT . 2)互换行列式的两行(列), 行列式变号. 3)如果行列式有两行(列)完全相同, 则此行列式

等于零. 4)行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同 一数k , 等于用数 k 乘此行列式 .

5)行列式中某一行 (列) 的所有元素的公因子可 以 提到行列式符号的外面 . 6)行列式中如果有两行 (列) 元素成比例, 则此行列 式为零. 7 )若行列式的某一列 (行) 的元素都是两数之和, 则 此行列式等于两个行列 式之和. 8)把行列式的某一列 (行) 的各元素乘以同一数 , 然 后加到另一列 (行) 对应的元素上去 , 行列式的值不变.



行列式按行(列)展开
在n阶行列式中,把元素 a ij 所在的第i行和第

1)余子式与代数余子式

j 列划去后,留下来的 n ? 1阶行列式叫做元素 a ij 的余子式,记作 M ij ;记 Aij ? ( ?1)
i? j

M ij ,

Aij 叫做元素 a ij 的代数余子式 .

2)关于代数余子式的重要性质

? D ,当i ? j; ? a ki Aki ? D ? ij ? ? k ?1 ? 0,当i ? j .
n

或 ? D ,当i ? j; ? a ik A jk ? D ? ij ? ? k ?1 ? 0,当i ? j . ?1,当i ? j; 其中    ? ij ? ? ?0,当i ? j .
n



克拉默法则

? a 11 x 1 ? a 12 x 2 ? ? ? a 1n x n ? b1 , ? ? a 21 x 1 ? a 22 x 2 ? ? ? a 2 n x n ? b 2 , 如果线性方程组 ? ??????????????? ? ? a n1 x 1 ? a n 2 x 2 ? ? ? a nn x n ? b n . 的系数行列式 D ? 0, 那么它有唯一解 Dj , j ? 1,2,? , n. xj ? D 其中 D( j j ? 1,2, ? , n)是把系数行列式 D中第 j列 换成常数项 b1 , b2, ? b n 所得到的行列式 .

克拉默法则的理论价值
定理 如果线性方程组

? a 11 x 1 ? a 12 x 2 ? ? ? a 1n x n ? b1 , ? ? a 21 x 1 ? a 22 x 2 ? ? ? a 2 n x n ? b 2 , ? ??????????????? ? ? a n1 x 1 ? a n 2 x 2 ? ? ? a nn x n ? b n . 的系数行列式D ? 0, 那么它一定有解,且解 唯一.
定理 如果上述线性方程组无 解或有两个不同的
解,则它的系数行列式必为零.

定理

如果齐次线性方程组

? a 11 x 1 ? a 12 x 2 ? ? ? a 1n x n ? 0, ? ? a 21 x 1 ? a 22 x 2 ? ? ? a 2 n x n ? 0, ? ??????????????? ? ? a n1 x 1 ? a n 2 x 2 ? ? ? a nn x n ? 0. 的系数行列式D ? 0, 那么它没有非零解 .
定理

如果上述齐次线性方程 组有非零解,则

它的系数行列式必为零 .









一、计算排列的逆序数

二、计算(证明)行列式
三、克拉默法则

一、计算排列的逆序数
例1 求排列 ?2k ?1?2k ? 1?2?2k ? 2 ?3?2k ? 3 ??

?k ? 1?k 的逆序数, 并讨论奇偶性.
解 分别算出排列中每个元素前面比它大的数码之 和,即算出排列中每个元素的逆序数.
2k排在首位, 故逆序数为 0;

1的前面比1大的数有一个 (2k ), 故逆序数为 1;
( 2k ? 1)的前面比( 2k ? 1)大的数有一个( 2k ), 故 逆序数为 1;

2的前面比2大的数有两个( 2k ,2k ? 1), 故逆序 数为2; 2k ? 2的前面比2k ? 2大的数有两个 ( 2k , 2k ?

1), 故逆序数为2; ?????? k ? 1的前面比k ? 1大的数有k ? 1个( 2k ,2k ? 1, ?, k ? 2), 故逆序数为k ? 1; k ? 1的前面比k ? 1大的数有k ? 1个( 2k ,2k ? 1, ?, k ? 2), 故逆序数为k ? 1; k的前面比k大的数有k个( 2k ,2k ? 1,?, k ? 1), 故逆序数为k;

于是排列的逆序数为

t ? 0 ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? ?k ? 1? ? ?k ? 1? ? k

?

?2?1 ? k ? 1??k ? 1??
2

?k

? k2

当 k 为偶数时,排列为偶排列,

当 k 为奇数时,排列为奇排列.

二、计算(证明)行列式
1 用定义计算(证明) 用行列式定义计算
0 a12 a 21 a 22 D5 ? a 31 a 32 0 a 42 0 a 52 a13 a 23 a 33 a 43 a 53 0 0 a 24 a 25 a 34 a 35 0 0 0 0

例2

解 设 D 5中第1,2,3,4,5行的元素分别为a 1 p1 , a 2 p2 ,

a 3 p3 , a 4 p4 , a 5 p5 , 那么,由D 5中第1,2,3,4,5行可能 的非零元素分别得到
p1 ? 2,3; p3 ? 1,2,3,4,5; p ? 1,2,3,4,5; 2 p ? 2,3; 4 p5 ? 2,3.

因为 p1 , p 2 , p 3 , p 4 , p 5 在上述可能取的代码中 , 一个5元排列也不能组成, 故 D 5 ? 0.

评注 本例是从一般项入手,将行标按标准 顺序排列,讨论列标的所有可能取到的值,并注 意每一项的符号,这是用定义计算行列式的一般 方法. 注意 如果一个n阶行列式中等于零的元 素比
2 于零. n ? n还多,则此行列式必等

例3



a11 a12 ? a1n a 21 a 22 ? a 2 n , D1 ? ? ? ? ? a n1 a n 2 ? a nn

a11 a 21 b D2 ? ? a n1 b
证明: D1 ? D 2 .
n ?1

a12 b a 22 ? an2 b

?1

? a1n b1? n ? a 2 n b2 ? n , ? ? ? a nn

n? 2

证明

由行列式的定义有
D1 ? ? ( ?1) a 1 p1 a 2 p2 ? a n pn ,
t

其中t是排列 p1 p 2 ? p n 的逆序数.
1? p 2? p n? p D 2 ? ? ( ?1) (a 1 p1 b 1)( a 2 p2 b 2 )?(a n pn b n ) t

? ? ( ?1) a 1 p1 a 2 p2 ? a n pn b (1 ? 2 ? ?? n ) ? ( p1 ? p2 ? ?? pn ) , 其中t是排列 p1 p 2 ? p n 的逆序数.

t



p1 ? p2 ? ? ? pn ? 1 ? 2 ? ? ? n,
t

所以   D2 ? ? ( ?1) a1 p1 a2 p2?an pn ? D1 .
评注 本题证明两个行列式相等,即证明两 点,一是两个行列式有完全相同的项,二是每一 项所带的符号相同.这也是用定义证明两个行列 式相等的常用方法.



利用范德蒙行列式计算

利用范德蒙行列式计算行列式,应根据范德 蒙行列式的特点,将所给行列式化为范德蒙行列 式,然后根据范德蒙行列式计算出结果。

例4

计算

1

1

?

1

2 n 2 2 ? 2 2 n ? ? Dn 3 3 3 . ? ? ? ?

n

n

2

? nn

解 D n 中各行元素分别是一个 数的不同方幂, 方幂
次数自左至右按递升次 序排列,但不是从 0变到 n ? 1, 而是由1递升至n.若提取各行的公因子, 则方 幂次数便从0增至n ? 1,于是得到 ? 1 1 1

1 2 n ?1 3 . ? n
n ?1 n ?1

1 Dn ? n! 1 ? 1

2 3 ? n

2 2 3 ? n
2

2

? ? ? ?

上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式,由 范德蒙行列式知
D n ? n! ? ( xi ? x j)

n? i ? j ?1

? n! ( 2 ? 1)( 3 ? 1)?( n ? 1) ? ( 3 ? 2)( 4 ? 2)?( n ? 2)?[n ? ( n ? 1)] ? n! ( n ? 1)! ( n ? 2)!? 2!1!.

评注 本题所给行列式各行(列)都是某元 素的不同方幂,而其方幂次数或其排列与范德蒙 行列式不完全相同,需要利用行列式的性质(如 提取公因子、调换各行(列)的次序等)将此行 列式化成范德蒙行列式.

3 例5

用化三角形行列式计算 计算

x

a1

a2

a1 x a 2 D n ? 1 ? a1 a 2 x a 3 ? a n . ? ? ? ? ? ? a1 a 2 a 3 a 4 ? x

a3 ? an a3 ? an

解 将第2,3,?, n ? 1列都加到第一列,得

x ? ? ai x ? ? ai
i ?1 n i ?1 n i ?1 n

n

a1 a 2 ? a n x a2 ? an x ? ? an ? x

Dn?1 ? x ? ? ai a2 ?
i ?1

?

x ? ? ai a2 a3 ?

提取第一列的公因子,得

a1 a 2 ? a n x a2 ? an n D n ?1 ? ( x ? ? a i ) 1 a 2 x ? a n . i ?1 ? ? ? ? ? 1 a2 a3 ? x
将第1列的( ? a 1)倍加到第2列,将第1列的 ( ? a2)倍加到第3列, ? , 将第1列的( ? a n )倍加到最 后一列,得

1 1

1 0 0 1 x ? a1 0 n D n ?1 ? ( x ? ? a i ) 1 a 2 ? a1 x ? a 2 i ?1 ? ? ? 1 a 2 ? a1 a 3 ? a 2

? ? ?

0 0

0 ? ? x ? an

? ( x ? ? a i )? ( x ? a i ).
i ?1 i ?1

n

n

评注 本题利用行列式的性质,采用“化零” 的方法,逐步将所给行列式化为三角形行列式. 化零时一般尽量选含有1的行(列)及含零较多 的行(列);若没有1,则可适当选取便于化零 的数,或利用行列式性质将某行(列)中的某数 化为1;若所给行列式中元素间具有某些特点,则 应充分利用这些特点,应用行列式性质,以达到 化为三角形行列式之目的.

4 例6

用降阶法计算 计算

a

b

c d a b

d c . b a

b a D4 ? c d d c

解 将 D 4的第2、 3、 4行都加到第 1行,并从第 1行中
提取公因子a ? b ? c ? d,得

1

1

1 1

b a d c , D4 ? ( a ? b ? c ? d ) c d a b d c b a
再将第2、 3、 4列都减去第 1列,得

1

0

0

0

b a?b d ?b c?b , D4 ? ( a ? b ? c ? d ) c d ?c a?c b?c d c?d b?d a?d

按第1行展开,得

a?b d ?b

c?b b?c. a?d

D4 ? ( a ? b ? c ? d ) d ? c a ? c c?d b?d
中提取公因子a ? b ? c ? d,得

把上面右端行列式第 2行加到第 1行,再从第 1行

D4 ? (a ? b ? c ? d )( a ? b ? c ? d ) 1 ? d ?c c?d 1 a?c b?d 0 b?c, a?d

再将第2列减去第1列,得 D 4 ? (a ? b ? c ? d )( a ? b ? c ? d )

1

0

0 b?c ,

? d ?c a?d

c?d b?c a?d 按第1行展开,得 a?d D4 ? (a ? b ? c ? d )(a ? b ? c ? d ) b?c
? (a ? b ? c ? d )(a ? b ? c ? d ) ? [(a ? d ) ? (b ? c ) ]
2 2

b?c a?d

? (a ? b ? c ? d )(a ? b ? c ? d ) ? (a ? b ? c ? d )(a ? b ? c ? d )

评注 本题是利用行列式的性质将所给行列 式的某行(列)化成只含有一个非零元素,然后 按此行(列)展开,每展开一次,行列式的阶数 可降低 1阶,如此继续进行,直到行列式能直接 计算出来为止(一般展开成二阶行列式).这种 方法对阶数不高的数字行列式比较适用.



用拆成行列式之和(积)计算 证明

例7

sin 2?

sin(? ? ? ) sin(? ? ? )

sin(? ? ? ) sin 2 ? sin(? ? ? ) ? 0. sin(? ? ? ) sin(? ? ? ) sin 2?


sin?

cos? cos ? cos ?

0

cos?

cos ? sin ? 0

cos ? sin? ? 0. 0

左边 ? sin ? sin?

0 ? sin? 0 0

6 例8

用递推法计算 计算

? a ? x1 a a a ? x2 ? Dn ? ? ? ? ? a a a

a a . ? ? xn

解 依第n列把 D n 拆成两个行列式之和

a ? x1 Dn ? a ? a a a ? x1 ? a ? a a

a a ? x2 ? a a a a ? x2 ? a a

? ? ? ? ? ? ? ? ?

a a ? a ? x n ?1 a a a ? a ? x n ?1 a

a a ? a a 0 0 ?. 0 xn

右端的第一个行列式 , 将第n列的( ?1)倍分别 加到第1,2,? , n ? 1列, 右端的第二个行列式按 第n 列展开, 得 x1 0 ? 0 0 x2 ? 0 Dn ? ? ? ? ? 0 0 ? x n ?1 0 0 ? 0
a a ? ? x n D n ?1 , a a

从而 Dn ? x1 x 2? x n?1 a ? x n Dn?1 .

由此递推,得
D n ? 1 ? x 1 x 2 ? x n ? 2 a ? x n ? 1 D n ? 2 , 于是 D n ? x 1 x 2 ? x n ?1a ? x 1 x 2 ? x n ? 2 a x n ? x n x n ?1 D n ? 2 .

如此继续下去,可得

D n ? x 1 x 2 ? x n ?1a ? x 1 x 2 ? x n ? 2 a x n ? ? ? x 1 x 2 a x 4 ? x n ? x n x n ? 1? x 3 D 2

? x1 x 2? x n?1a ? x1 x 2? x n? 2 a x n ? ? ? x1 x 2 a x 4 ? x n ? x n x n ?1? x 3 ( a x 1 ? a x 2 ? x 1 x 2 )

? x1 x 2? x n ? a( x1 x 2? x n?1 ? ? ? x1 x 3? x n ? x 2 x 3? x n ).
当 x1 x 2? x n ? 0时,还可改写成

D n ? x 1 x 2 ? x n [1 ? a(

1 x1

?

1 x2

? ??

1 xn

)].

  评注 本题是利用行列式的性 质把所给的n阶 行列式 D n 用同样形式的 n ? 1阶行列式表示出来 , 建立了 D n 与n ? 1阶行列式 D n ? 1 之间的递推关系 .有 时,还可以把给定的 n阶行列式 D n 用同样形式的 比 n ? 1阶更低阶的行列式表示 ,建立比 n ? 1阶行 列式更低阶行列式之间 的递推关系.

7 例9

用数学归纳法 证明

cos? 1 Dn ? 0 ? 0 0 ? cos n? .

1 2 cos? 1 ? 0 0

0 1 ? 0 0

? ?

0 0 0

0 0 0 ?

2 cos? ?

? ?

? ? 1 ? 1 2 cos?

证 对阶数n用数学归纳法
因为 D1 ? cos ? , cos ? D2 ? 1 1 ? 2 cos 2 ? ? 1 ? cos 2? , cos 2?

所以,当n ? 1, n ? 2时, 结论成立. 假设对阶数小于 n的行列式结论成立 , 下证对
于阶数等于n的行列式也成立 .现将 D n 按最后一行 展开, 得

Dn ? 2 cos? Dn?1 ? Dn? 2 .

由归纳假设,

D n ? 1 ? cos(n ? 1)? , D ? cos(n ? 2)? ,
n? 2

Dn ? 2 cos? cos(n ? 1)? ? cos(n ? 2)? ? [cos n? ? cos(n ? 2)? ] ? cos(n ? 2)? ? cos n? ;

所以对一切自然数 n结论成立.

评注 为了将 D n 展开成能用其同型的D n ? 1 ,

D n ? 2 表示, 本例必须按第n行(或第n列)展开, 不能 按第1行(或第1列)展开, 否则所得的低阶行列式 不 是与 D n同型的行列式.
一般来讲,当行列式已告诉其结果 , 而要我们 证明是与自然数有关的 结论时, 可考虑用数学归 纳法来证明 .如果未告诉结果 , 也可先猜想其结果 , 然后用数学归纳法证明 其猜想结果成立 .

小结 计算行列式的方法比较灵活,同一行列式可 以有多种计算方法;有的行列式计算需要几种方 法综合应用.在计算时,首先要仔细考察行列式 在构造上的特点,利用行列式的性质对它进行变 换后,再考察它是否能用常用的几种方法.

三、克拉默法则
当线性方程组方程个数与未知数个数相等、 且系数行列式不等于零时,可用克莱姆法则.为 了避免在计算中出现分数,可对有的方程乘以适 当整数,把原方程组变成系数及常数项都是整数 的线性方程组后再求解.

例10

求一个二次多项式 f ( x ), 使 f (1) ? 0, f ( 2) ? 3, f ( ?3) ? 28.



设所求的二次多项式为

f ( x ) ? a x2 ? bx ? c,
由题意得
f (1) ? a ? b ? c ? 0, f ( 2 ) ? 4a ? 2b ? c ? 3 , f ( ?3) ? 9a ? 3b ? c ? 28,

这是一个关于三个未知 数 a , b, c的线性方程组.

D ? ?20 ? 0, D2 ? 60,

D1 ? ?40, D3 ? ?20.

由克莱姆法则,得 D D D a ? 1 ? 2, b ? 2 ? ?3, c ? 3 ? 1. D D D 于是,所求的多项式为

f ( x ) ? 2 x 2 ? 3 x ? 1.

例11

证明平面上三条不同的 直线

ax ? by ? c ? 0, bx ? cy ? a ? 0, cx ? ay ? b ? 0 相交于一点的充分必要 条件是a ? b ? c ? 0.

证 必要性 设所给三条直线交于一 点M ( x 0 , y 0 ),

则x ? x 0 , y ? y 0 , z ? 1可视为齐次线性方程组 ?ax ? by ? cz ? 0, ? ?bx ? cy ? az ? 0, ? cx ? ay ? bz ? 0 ? 的非零解.从而有系数行列式 .

a b c

1 b c a ? ( ? )(a ? b ? c ) 2 c a b ? [(a ? b) ? (b ? c ) ? (c ? a ) ] ? 0. 因为三条直线互不相同 , 所以a , b, c也不全相
2 2 2

同, 故a ? b ? c ? 0. 充分性 如果a ? b ? c ? 0, 将方程组 ?ax ? by ? ? c , ? (1) ?bx ? cy ? ? a , ? cx ? ay ? ? b ?

的第一、二两个方程加 到第三个方程,得 ?ax ? by ? ? c , ? ?bx ? cy ? ? a , ? 0 ? 0. ? (2)

下证此方程组(2)有 唯一解.

a b 如果 ? ac ? b 2 ? 0,则ac ? b 2 ? 0。由 b c b ? ?(a ? c )得ac ? [?(a ? c )] ? a 2 ? 2ac ? c 2,于是 ac ? ?(a 2 ? c 2 ) ? 0,从而有ac ? 0.
2

不妨设a ? 0,由 b 2 ? ac得b ? 0.再由a ? b ? c ? 0 得c ? 0,与题设矛盾.故 a b b c ? 0.

由克莱姆法则知,方程 组( 2)有唯一解.从而知 方程组(1)有唯一解,即三条不同 直线交于一点 .

例12 有甲、乙、丙三种化肥,甲种化肥每千 克含氮70克,磷8克,钾2克;乙种化肥每千克含 氮64克,磷10克,钾0.6克;丙种化肥每千克含氮 70克,磷5克,钾1.4克.若把此三种化肥混合,要 求总重量23千克且含磷149克,钾30克,问三种化 肥各需多少千克? 解 设甲、乙、丙三种化肥 各需 x 1、 x2、 x3千克, 依

题意得方程组 ? x 1 ? x 2 ? x 3 ? 23, ? ? 8 x 1 ? 10 x 2 ? 5 x 3 ? 149, ? 2 x ? 0.6 x ? 1.4 x ? 30. 2 3 ? 1

27 此方程组的系数行列式 D?? , 5 81 又 D1 ? ? , D 2 ? ?27, D 3 ? ?81 5

由克莱姆法则,此方程 组有唯一解 x1 ? 3,
15千克.

x 2 ? 5,

x 3 ? 15.

即甲、乙、丙三种化肥 各需3千克,5千克,

例13

设水银密度h与温度t的关系为 h( t ) ? a 0 ? a 1 t ? a 2 t 2 ? a 3 t 3 .

由实验测得以下数据: 0 10 20 30 h 13.60 13.57 13.55 13.52 求t ? 150 , 400 时水银密度(准确到小数两位 ). t
0 0 0 0



将测得的数据分别代入 h( t ), 得方程组 ? a 0 ? 13.6, ? ? a 0 ? 10 a1 ? 100 a 2 ? 1000a 3 ? 13.57, (1) ? ? a 0 ? 20 a1 ? 400 a 2 ? 8000a 3 ? 13.55, ? ?a 0 ? 30 a1 ? 900 a 2 ? 27000a 3 ? 13.52.

将 a 0 ? 13.60分别代入其余三个方程 , 得方程组 ? a1 ? 10 a 2 ? 100a 3 ? ?0.003, ? ? 2 a1 ? 40 a 2 ? 800a 3 ? ?0.005, ? 3 a ? 90 a ? 2700a ? ?0.008. 2 3 ? 1 ( 2)

此方程组的系数行列式 D ? 12000,
又 D1 ? ?50, D 2 ? 1.8, D 3 ? ?0.04,

由克莱姆法则 , 得方程组( 2)的唯一解 a 1 ? ?0.0042, a 2 ? 0.00015, a 3 ? ?0.0000033.

又 a 0 ? 13.60, 将以上四个数代入 h( t ), 得

h( t ) ? 13.60 ? 0.0042 t ? 0.00015t 2 ? 0.0000033t 3 .
由此得
h(15 ) ? 13.56, h(40 ) ? 13.46.

所以,当t ? 150 , 400 时, 水银密度分别为 13.56,13.46.

第一章

测试题

一、填空题(每小题4分,共40分)

1. 若Dn ? aij ? a , 则D ? ? aij ?
2. 设x1 , x2 , x3是方程x ? px ? q ? 0的三个根, 则行
3

x1 列式 x3 x2
3. 行列式

x2 x1 x3

x3 x2 ? x1

0 0 ?

0 0 ?

? 0 1 0 ? 2 0 0 ? ? ? ?

D?

0 1997 ? 0 0 0 1998 0 ? 0 0 0 0 0 ? 0 0 1

?

a1 0 4. 四阶行列式 0 b4

0 a2 b3 0

0 b2 a3 0

b1 0 ? 0 a4

5. 设四阶行列式D4 ?

a b c c b d d b c a b d

d a a c

,

则A14 ? A24 ? A34 ? A44 ?
6. 在五阶行列式中a12a53a41a24a35的符号为
2x 1 ?1 x 中x 3的系数是 x 7. 在函数f ? x ? ? ? x ? x 1 2

a

b

c

d c ? ?b a

?b a ?d 8. 四阶行列式 ?c d a ?d ?c b

9. 若a , b为实数, 则当a ?
a b 0

且b ?

时,

?b a 0 ?0 ?1 0 ?1

10. 排列 i1i2 ? in ? 1in可经 in in ? 1 ? i2 i1 .

次对换后变为排列

二、计算下列行列式(每小题9分,共18分).

1 3 1. D5 ? 2 1 ?2

1 2 ?1 ?1 3 2 2 3 1

3 2 0 1

1 2 1 0

?1 ?1 0

x z 2. Dn ? z ? z

y x z ? z

y ? y ? x ? ? ?

y y y ?

z ? x

三、解答题(9 分). 问? , ?取何值, 齐次方程组

? ?x1 ? x2 ? x3 ? 0 ? ? x1 ? ?x2 ? x3 ? 0 ? x ? 2 ?x ? x ? 0 ? 1 2 3

有非零解?

四、证明(每小题8分,共24分).
a2 b2 c2 d2 ? 0;

1.

?a ? 1?2 2 ?b ? 1? ?c ? 1?2 2 ?d ? 1?

?a ? 2?2 2 ?b ? 2 ? ?c ? 2?2 2 ?d ? 2 ?

?a ? 3?2 2 ?b ? 3? ?c ? 3?2 2 ?d ? 3 ?

2 cos ? 1 2. Dn ?

1 2 cos ? 1 1 ? ? ? ? 1 1 2 cos ? 1 1 2 cos ?

sin?n ? 1?? ? ; sin?

3. 用数学归纳法证明

1 x1 2 x1 Dn ? ? n? 2 x1
n x1

1 x2 2 x2 ? n? 2 x2
n x2

1 x3 2 x3 ? n? 2 x3
n x3

?

1

? xn 2 ? xn ? ? n? 2 ? xn ?

? ? x1 ? x2 ? ? ? xn ? ?

1? j ? i ? n

?x

n xn
i

? x j ?, ?n ? 2?

五、(9分) 设 n 行列式

1 2 3 ? n 1 2 0 ? 0 Dn ? 1 0 3 ? 0 ? ? ? ? ? 1 0 0 ? n
求第一行各元素的代数余子式之和

A11 ? A12 ? ? ? A1n .

测试题答案
一、 1. ?? 1? a;
n

  4. ?a2 a3 ? b2 b3 ??a1a4 ? b1b4 ?; 5. 0; 7. ? 2;
2 2

2. 0;

3. ? 1998!;
2 2 2

  6. ?;   9. 0,0;

8. ?a ? b ? c ? d n ? n ? 1? 10. . 2
n n ? ? ? ? y x?z ?z x? y

?;

二、 1. ? 170;

2.

三、 ? ? 0或? ? 0.

y?z n 1? ? 五、 n! ? 1 ? ? ? . j?2 j ? ?

.


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