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高中函数求值域解法详解


在函数的三要素中,定义域和值域起决定作用,而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的 值域,不但要重视对应法则的作用,而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究 函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域,是学生感到头痛的问题,它所涉及到的知识面广,方 法灵活多样,在高考中经常出现,占有一定的地位,若方法运用适当,就能起到简化运算过程,避繁就简, 事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下,供参考。 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。

例 1. 求函数 解:∵

的值域。



显然函数的值域是:

例 2. 求函数 解:∵

的值域。

故函数的值域是:

2. 配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例 3. 求函数 解:将函数配方得: ∵ 由二次函数的性质可知:当 x=1 时, 故函数的值域是:[4,8] 3. 判别式法 的值域。

,当

时,

例 4. 求函数

的值域。

解:原函数化为关于 x 的一元二次方程

(1)当

时,

解得:

(2)当 y=1 时,

,而

故函数的值域为

例 5. 求函数 解:两边平方整理得: ∵ ∴ 解得: 但此时的函数的定义域由

的值域。 (1)

,得 在实数集 R 有实根,而不能确保其实 求出的范围可能比 y 的实际范围大,故不能



,仅保证关于 x 的方程:

根在区间[0,2]上,即不能确保方程(1)有实根,由

确定此函数的值域为



可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵

代入方程(1)

解得:

即当

时,

原函数的值域为:

注:由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩 大的部分剔除。 4. 反函数法 直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

例 6. 求函数

值域。

解:由原函数式可得:

则其反函数为:

,其定义域为:

故所求函数的值域为:

5. 函数有界性法 直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域。

例 7. 求函数

的值域。

解:由原函数式可得: ∵

∴ 解得: 故所求函数的值域为

例 8. 求函数 解:由原函数式可得:

的值域。

,可化为:

即 ∵ ∴



解得:

故函数的值域为

6. 函数单调性法 例 9. 求函数 解:令 则 所以 在[2,10]上都是增函数 在[2,10]上是增函数 的值域。

当 x=2 时, 当 x=10 时,

故所求函数的值域为:

例 10. 求函数

的值域。

解:原函数可化为:

令 所以 , 在

,显然



上为无上界的增函数

上也为无上界的增函数

所以当 x=1 时, 显然

有最小值

,原函数有最大值

,故原函数的值域为

7. 换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型, 换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用。

例 11. 求函数 解:令 ,

的值域。



∵ 又 当 当 ,由二次函数的性质可知 时, 时,

故函数的值域为

例 12. 求函数 解:因 即 故可令

的值域。





故所求函数的值域为

例 13. 求函数

的值域。

解:原函数可变形为:

可令

,则有



时,



时,

而此时

有意义。

故所求函数的值域为

例 14. 求函数 解:



的值域。



,则





可得:

∴当

时,

,当

时,

故所求函数的值域为



例 15. 求函数 解:由 故可令 ,可得

的值域。



当 当

时, 时,

故所求函数的值域为:

8. 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数 形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。 例 16. 求函数 的值域。

解:原函数可化简得: 上式可以看成数轴上点 P(x)到定点 A(2), 间的距离之和。

由上图可知,当点 P 在线段 AB 上时, 当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时, 故所求函数的值域为:

例 17. 求函数 解:原函数可变形为:

的值域。

上式可看成 x 轴上的点

到两定点

的距离之和,

由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时, 故所求函数的值域为



例 18. 求函数 解:将函数变形为:

的值域。

上式可看成定点 A(3,2)到点 P(x,0)的距离与定点 即:

到点

的距离之差。

由图可知:(1)当点 P 在 x 轴上且不是直线 AB 与 x 轴的交点时,如点 三角形两边之差小于第三边,有 即: (2)当点 P 恰好为直线 AB 与 x 轴的交点时,有 综上所述,可知函数的值域为:

,则构成

,根据

注:由例 17,18 可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使 A、B 两点在 x 轴的两侧,而求两距 离之差时,则要使 A,B 两点在 x 轴的同侧。 如:例 17 的 A,B 两点坐标分别为:(3,2), 分别为(3,2), ,在 x 轴的同侧。 ,在 x 轴的同侧;例 18 的 A,B 两点坐标

9. 不等式法 利用基本不等式 ,求函数的最值,其题型特征解

析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技 巧。

例 19. 求函数 解:原函数变形为:

的值域。

当且仅当

即当



,等号成立

故原函数的值域为:

例 20. 求函数 解:

的值域。

当且仅当

,即当

时,等号成立。



可得:

故原函数的值域为:

10. 一一映射法

原理:因为 围,就可以求另一个变量范围。

在定义域上 x 与 y 是一一对应的。故两个变量中,若知道一个变量范

例 21. 求函数

的值域。

解:∵定义域为









解得

故函数的值域为

11. 多种方法综合运用

例 22. 求函数

的值域。

解:令

,则

(1)当

时,

,当且仅当 t=1,即

时取等号,所以

(2)当 t=0 时,y=0。

综上所述,函数的值域为: 注:先换元,后用不等式法

例 23. 求函数

的值域。

解:



,则

∴当

时,



时,

此时

都存在,故函数的值域为 的有界性。

注:此题先用换元法,后用配方法,然后再运用

总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一 般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。


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