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辽宁省2008-2009学年第一学期期末模拟试题分类汇编——06不等式


辽宁省 2008-2009 学年第一学期期末模拟试题分类汇编 第 6 部分:不等式
一、选择题 1.(沈阳市回民中学 2008-2009 学年度上学期高三第二次阶段测试) 若函数 f ( x ) 是定义在(0,+ ? )上的增函数,且对一切 x>0,y>0 满足 f ( xy ) ? f ( x ) ? f ( y ) , 则不等式 f ( x ? 6 ) ? f ( x ) ? 2 f ( 4 ) 的解集为( A. (0,2) 答案:A. B. (2,+ ? ) ) D. (0,+ ? )

C. (-8,2)

2.(沈阳二中 2009 届高三期末数学试题)
?x ? y ? 2 ? 0 ? 设实数 x , y 满足 ? x ? 2 y ? 5 ? 0 ?y ?2 ? 0 ?

,则 u ?

x ? y
2

2

的取值范围是

xy
10 3 1

A. [ 2 , ]
2

5

B. [ ,
2

5 10 3

]

C. [ 2,

]

D. [ , 4 ]
4

答案:C. 3.(沈阳二中 2009 届高三期末数学试题)
?x ? y ? 2 ? 0 ? 设实数 x , y 满足 ? x ? 2 y ? 5 ? 0 ?y ?2 ? 0 ?
x? y x

,则 u ?

的最小值是

A.

1 3

B.2

C.3

D.

4 3

答案:D. 4.(沈阳二中 2009 届高三期末数学试题) 已 知 函 数 f ( x ) ? ( ) ? log
x

1

3

2

x ,正实数 a 、 b 、 c 成公差为正数的等差数列,且满足

f ( a ) ? f ( b ) ? f ( c ) ? 0 ,若实数 x 0 是方程 f ( x ) ? 0 的一个解,那么下列不等式中不可能成立的

是 A. x 0 ? a 答案:D.

B. x 0 ? b

C. x 0 ? c

D. x 0 ? c y

5.(抚州一中 2009 届高三第四次同步考试) 在如下图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且 包括边界) ,目标函数:z=x+ay取得最小值的最优 解有无数个,则
y x?a

1 , 3 , 5 C(4,2)

A(1,1)

B(5,1) x

的最大值是 O

第 1 页 共 5 页

A.2 答案:C.

B.

1 2

C.

2 7

D.

1 4

6.(辽宁省抚顺一中 2009 届高三数学上学期第一次月考)
?x ? 1 ? 已知变量 x、y 满足条件 ? x ? y ? 0 则 x+y 的最大值是 ?x ? 2 y ? 9 ? 0 ?

A 2 答案:C.

B

5

C

6

D

8

二、填空题 1.(沈阳市回民中学 2008-2009 学年度上学期高三第二次阶段测试)
? 2 x ? y ? 40, ? ? x ? 2 y ? 50, 若变量 x,y 满足 ? 则 z=3x+2y 的最大值是________。 ? x ? 0, ? y ? 0, ?

答案:70. 2.(辽宁省沈阳二中 2008—2009 学年上学期高三期中考试)
?x ? 4 y ? 3 ? 0 ? 设O为坐标原点,A(2,1) ,P(x,y)坐标满足 ? 3 x ? 5 y ? 25 , 则 | OP | cos ? AOP 的最大值 ?x ? 1 ? 0 ?

为 答案:
12 5 5

。 .

3.(2008 年东北三省三校高三第一次联合模拟考试)
? x ? y ? 5 ? 0, ? , 且 z ? 2 x ? 4 y 的最小值为-6,则常数 k= 已知 x、y 满足约束条件 ? x ? 3 ?x ? y ? k ? 0 ?

.

答案:0. 4.(辽宁省部分重点中学协作体 2008 年高考模拟)
?y ? x ?1 ? , 则 z ? x ? y 的最大值为 已知 x,y 满足条件 ? y ? 2 ?2 x ? y ? 7 ?



答案:5.
第 2 页 共 5 页

5. (抚顺一中 2009 届高三第一次模拟考试)
? 2 e x ?1 , ( x ? 2 ) ? 函数 f(x)= ? ,不等式 f(x)>2 的解集为 2 ? log 3 ( x ? 1), ( x ? 2 ) ?



答案: (1,2)∪( 10 ,+∞).

6.(抚顺一中 2009 届高三第一次模拟考试)
?x ? y ? 1 ? 0 ? 满足约束条件: ? 2 x ? y ? 0 ,则 z=3x-6y 的 ?y ? 2 ?

最大值是 答案:-3.



7.(辽宁省抚顺一中 2009 届高三数学上学期第一次月考) 不等式 x ? px ? 1 ? 2 x ? p ,当|p|≤2 时恒成立,则 x 的取值范围是
2



答案:x<-1 或 x>3. 三、解答题 1.(沈阳市回民中学 2008-2009 学年度上学期高三第二次阶段测试) 甲、乙两大超市同时开业,第一年的全年销售额均为 a 万元,由于经营方式不同,甲超市 前 n 年的总销售额为
2 n ?1 ( ) a 万元。 3

a 2

( n ? n ? 2 ) 万元,乙超市第 n 年的销售额比前一年销售额多
2

(I)求甲、乙两超市第 n 年销售额的表达式; (II) 若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的 50%, 则该超市将被另一超市收购, 判断哪一超市有可能被收购?如果有这种情况,将会出现在第几年。 答案: (I)设甲、乙两超市第 n 年销售额分别为 a n , b n ,又设甲超市前 n 年总销售额为 S n ,
则 Sn ? a 2 ( n ? n ? 2 )( n ? 2 )
2

因 n ? 1时 , a1 ? a , 则 n ? 2时 , a n ? S n ? S n ? 1 ?
? a ( n ? 1) ? ( n ? 1) a ( n ? 2 )

a 2

(n ? n ? 2) ?
2

a 2

[( n ? 1) ? ( n ? 1) ? 2 ] ? a ( n ? 1),
2

故an ? ?

…………3 分
2 3

又因 b1 ? a , n ? 2时 b n ? b n ?1 ? ( )

n ?1

a

…………4 分

第 3 页 共 5 页

故 b n ? b1 ? ( b 2 ? b1 ) ? ( b 3 ? b 2 ) ? ? ? ( b n ? b n ? 1 ) ? a? 2 2 2 2 n ?1 2 2 2 2 n ?1 a ? ( ) a ? ? ? ( ) a ? [1 ? ? ( ) ? ? ? ( ) ] a 3 3 3 3 3 3

2 n 1? ( ) 2 n ?1 3 ? a ? [ 3 ? 2 ? ( ) ]a 2 3 1? 3

…………6 分

显然 n=1 也适合,故 b n ? [3 ? 2 ? ( )
3

2

n ?1

] a , ( n ? N ).
*

…………7 分

(II)当 n=2 时, a 2 ? a , b 2 ?
n ? 3时 , a 3 ? 2 a , b 3 ? 19 9

5 3

a, 有 a2 ? 1 2

1 2

b2 ;

a, 有 a3 ?

b3 ;

当 n ? 4时 , a n ? 3 a , 而 b n ? 3 a ,故乙超市有可能被收购。
当 n ? 4时 , 令 则 1 2 1 2 a n ? bn ,

…………9 分


2
n ?1

( n ? 1) a ? [ 3 ? 2 ? ( ) 3
2 3
n ?1

]a ? n ? 1 ? 6 ? 4 ? ( ) 3

2

n ?1

即n ? 7 ? 4 ?( )

.

…………10 分

2 n ?1 又当 n ? 7时 0 ? 4 ? ( ) ? 1, 3 2 n ?1 * 故当 n ? N 且 n ? 7时 , 必有 n ? 7 ? 4 ? ( ) . 3

即第 7 年乙超市的年销售额不足甲超市的一半,乙超市将被甲超市收购…………12 分 2.(辽宁省沈阳二中 2008—2009 学年上学期高三期中考试) 2 某森林出现火灾, 火势正以每分钟 100m 的速度顺风蔓延, 消防站接到报警立即派消防队员前去, 2 在火灾发生后 5 分钟到达救火现场并开始灭火 。 已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火 50m , 所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟 125 元,另附加每次救火所消耗的车辆、器材 和装备等费用平均每人 100 元,而烧毁一平方米森林损失费为 60 元。问应该派多少消防队员前 去救火,才能使总损失最少? 答案:设派 x 名消防队员前去救火,用 t 分钟将火扑灭,总损失为 y 元,则
t ? 5 ? 100 50 x ? 100 ? 10 x?2



y=灭火劳务费+车辆、器材和装备费+森林损失费
? 125 tx ? 100 x ? 60 ( 500 ? 100 t ) ? 125 x ? ? 1250 x?2?2 x?2 10 x?2 60000 ? 100 ( x ? 2 ? 2 ) ? 30000 ? x?2 ? 100 x ? 30000 ? 60000 x?2

第 4 页 共 5 页

? 31540 ? 100 ( x ? 2 ) ?

62500

当且仅当 100 ( x ? 2 ) ?

x?2 62500 x?2

? 31450 ? 2 100 ? 62500 ? 36450 . , 即 x ? 27 时 , y 有最小值 36450 .

故派 27 消防队员去救火损失最少,最少损失为 36450。 3.(辽宁省抚顺一中 2009 届高三数学上学期第一次月考) f(x)=lg
10 ? 10
x ?x

,比较 f(x+1)与 f(x)+f(1)的大小。

2

答案:f(x+1)-[ f(x)+ f(1)]

=lg

10

x ?1

? 10 2

? x ?1

-lg(

10 ? 10
x

?x

·

10 ? 10 2

?1



-------------------------2 分

2 10
x ?1

真 数 作 差 得 :

? 10 2

? x ?1

-

10 ? 10
x

?x

·

10 ? 10 2

?1

=

99 4

( 10

X — 1

-10

-X — 1



2

-------------------------------------6 分 ∴①x=0 时,f(x+1)=[ f(x)+ f(1)]; -------------------------------8 分 ②x>0 时,f(x+1)>[ f(x)+ f(1)]; -------------------------------10 分 ③x<0 时,f(x+1)<[ f(x)+ f(1)]。 -------------------------------12 分

第 5 页 共 5 页


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