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2013中考数学压轴题 函数等腰三角形问题精选解析(三)

2013 中考数学压轴题函数等腰三角形问题精选解析(三) 例 1 .如图,已知一次函数 y = - x +7 与正比例函数 y = 4 x 的图象交于点 A,且与 x 3 轴交于点 B. (1)求点 A 和点 B 的坐标; (2)过点 A 作 AC⊥y 轴于点 C,过点 B 作直线 l∥y 轴.动点 P 从点 O 出发,以每秒 1 个单位长的速度,沿 O— C— A 的路线 向点 A 运动;同时直线 l 从点 B 出发,以相 同速度向左平移,在平移过程中,直线 l 交 x 轴于点 R,交线段 BA 或线段 AO 于 点 Q.当点 P 到达点 A 时,点 P 和直线 l 都停止运动.在运动过程中,设动点 P 运动的时间为 t 秒. ①当 t 为何值时,以 A、 P、 R 为顶点的三角形的面积为 8? ②是否存在以 A、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求 t 的值;若不 存在,请说明理由. y y y=-x+7 A 4 y= x 3 y=-x+7 A 4 y= x 3 B O x B O x (备用 图) ?y=-x+7 ? ?x=3 解析:(1)根据题意,得? 4 ,解得 ? ,∴A(3,4) . ?y=4 ?y=3x ? 令 y=-x+7=0,得 x=7.∴B(7,0). (2)①当 P 在 OC 上运动时,0≤t<4. 由 S△APR=S 梯形 COBA-S△ACP-S△POR-S△ARB=8,得 1 1 1 1 (3+7)×4- ×3×(4-t)- t(7-t)- t×4=8 2 2 2 2 整理,得 t -8t+12=0, 解之得 t1=2,t2=6(舍) 当 P 在 CA 上运动,4≤t<7. 1 由 S△APR= ×(7-t) ×4=8,得 t=3(舍) 2 ∴当 t=2 时,以 A、P、R 为顶点的三角形的面积为 8. ②当 P 在 OC 上运动时,0≤t<4. 2 2 ∴AP= (4-t) +3 ,AQ= 2t,PQ=7-t 2 2 2 当 AP =AQ 时, (4-t) +3 =2(4-t) , 2 整理得,t -8t+7=0. ∴t=1, t=7(舍) 2 2 2 当 AP=PQ 时,(4-t) +3 =(7-t) , 整理得,6t=24. ∴t=4(舍去) 2 y l A C P B O y C P l A R x B O R x y l A C P Q B O R x 1 当 AQ=PQ 时,2(4-t) =(7-t) 2 整理得,t -2t-17=0 ∴t=1±3 2 (舍) 当 P 在 CA 上运动时,4≤t<7. 过 A 作 AD⊥OB 于 D,则 AD=BD=4. 设直线 l 交 AC 于 E,则 QE⊥AC,AE=RD=t-4,AP=7-t. AE AC 5 由 cos∠OAC= = ,得 AQ = (t-4). AQ AO 3 5 41 当 AP=AQ 时,7-t = (t-4),解得 t = . y l 3 8 1 A 当 AQ=PQ 时,AE=PE,即 AE= AP C P E 2 1 得 t-4= (7-t),解得 t =5. 2 当 AP=PQ 时,过 P 作 PF⊥AQ 于 F 1 1 5 AF= AQ = × (t-4). 2 2 3 在 Rt△APF 中,由 cos∠PAF= O Q F B R D x 2 2 AF 3 3 = ,得 AF= AP AP 5 5 1 5 3 226 即 × (t-4)= ×(7-t),解得 t= . 2 3 5 43 41 226 ∴综上所述,t=1 或 或 5 或 时,△APQ 是等腰三角形. 8 43 例2 , 已知两直线 l 1 , l 2 分别经过点 A(1,0),点 B (?3 0) ,并且当两直线同时相交于 y 正 半轴的点 C 时,恰好有 l1 ? l 2 ,经过点 A、B、C 的抛物线的对称轴与直线 l 2 交于点 K,如图 所示。 (1)求点 C 的坐标,并求出抛物线的函数解析式; (2)抛物线的对称轴被直线 l 1 ,抛物线,直线 l 2 和 x 轴依次截得三条线段,问这三条线段有 何数量关系?请说明理由。 y (3)当直线 l 2 绕点 C 旋转时, 与抛物线的另一个交点为 M, 请找出使△MCK 为等腰三角形的点 M,简述理由,并写出点 M 的坐标。 D K l2 解析 (1)解法 1:由题意易知:△BOC∽△COA CO 1 ∴ CO ? AO ,即 ∴ CO ? 3 ? 3 CO BO CO C: // E w B FOwA w. gz sx w. ne t/ ∴点 C 的坐标是(0, 3C ) x l1 2 由题意,可设抛物线的函数解析式为 y ? ax 2 ? bx ? 3 把 A(1,0),B( ? 3 ,0)的坐标分别代入 y ? ax2 ? bx ? 3 ,得 ? a ? b ? 3 ? 0 ? 解这个方程组,得 ? a ? ? 3 ? ? 3 ? ?b ? ? 2 3 ? 3 ? 2 ∴抛物线的函数解析式为 y ? ? 3 2 2 3 x ? x? 3 3 3 ?9a ? 3b ? 3 ? 0 解法 2:由勾股定理,得 (OC ? OB2 ) ? (OC2 ? OA2 ) ? BC2 ? AC2 ? AB2 又∵OB=3,OA=1,AB=4 ∴ OC ? 3 ∴点 C 的坐标是(0, 3 ) 由题意可设抛物线的函数解析式为 y ? a (x ? 1)(x ? 3) ,把 C(0, 3 )代入 函数解析式得 a ? ? 3 3 所以,抛物线的函数解析式为 y ? ? 3 ( x ? 1)(x ? 3) 3 (2)解法 1:截得三条线段的数量关系为 KD=DE=EF 理由如下: 可求得直线 l 1 的解析式为 y ? ? 3x ? 3 ,直线 l 2 的解析式为 y ? 抛物线的对称轴为直线 x ? 1

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