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高考文科数学试题分类汇编----函数与导数


函数与导数
一 选择题
(11)函数 f (x) 的定义域为 R , f (?1) = 2 ,对任意 x ∈ R , f ′( x) > 2 ,则 ( 辽宁文 )

f ( x) > 2 x + 4 的解集为
(A) ? 1 ,1) ( (B) ? 1 ,+ ∞ ) (C) ? ∞ , ? 1 ) (D) ? ∞ ,+ ∞ ) ( ( (
2 2

(重庆文)3.曲线 y = ? x + 3 x 在点(1,2)处的切线方程为 重庆文) A. y = 3 x ? 1 C. y = 3 x + 5 ( 重 庆 文 ) 6 . 设 a = log 1
3

B. y = ?3 x + 5 D. y = 2 x

1 2 4 , b = log 1 , c = log3 , 则a, b, c 的 大 小 关 系 是 2 3 3 3
C. b < a < c D. b < c < a

A. a < b < c

B. c < b < a

( 重 庆 文 ) 7 . 若 函 数 f ( x) = x + A. 1 + 2 B. 1 + 3

1 (n > 2) 在 x = a 处 取 最 小 值 , 则 a = n?2
C.3 D.4

(6)若函数 f ( x) = (辽宁文) 辽宁文)

x 为奇函数,则 a= ( 2 x + 1)( x ? a)

(A)

1 2

(B)

2 3

(C)

3 4

(D)1

(上海文)15.下列函数中,既是偶函数,又是在区间 (0, +∞ ) 上单调递减的函数为 上海文) A. y = x ?2 B. y = x ?1 C. y = x 2 D. y = x 3
1

(3)下列函数中,既是偶函数又在 (0, +∞) 单调递增的函数是 (全国新课标文) 全国新课标文) (A) y = x 3 (B) y =| x | +1 (C) y = ? x 2 + 1 (D) y = 2 ?|x|

(10)在下列区间中,函数 f ( x ) = e x + 4 x ? 3 的零点所在的区间为 (全国新课标文) 全国新课标文) (A) ( ? , 0)

1 4

(B) (0, )

1 4

(C) ( , )

1 1 4 2

(D) ( , )

1 3 2 4

(12)已知函数 y = f ( x) 的周期为 2,当 x ∈ [ ?1,1] 时 f ( x ) = x 2 ,那么函 (全国新课标文) 全国新课标文) 数 y = f ( x) 的图象与函数 y =| lg x | 的图象的交点共有 (A)10 个 (B)9 个 (C)8 个 (D)1 个 (全国大纲文)2.函数 y = 2 x ( x≥0) 的反函数为 全国大纲文)

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A. y =

x2 ( x ∈ R) 4

B. y =

x2 ( x≥0) 4

C. y = 4 x 2 ( x ∈ R )

D. y = 4 x 2 ( x≥0)

10. 当 则 (全国大纲文) 设 f ( x ) 是周期为 2 的奇函数, 0≤x≤1 时,f ( x ) = 2 x (1 ? x ) , f ( ? ) = 全国大纲文) A.-

5 2

1 2

B. ?

1 4

C.

1 4

D.

1 2

(湖北文) 若定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 和奇函数 g ( x ) 满足 f ( x ) + g ( x) = e x , g ( x ) = 湖北文) 3. 则 A. e ? e
x
?x

B.

?x 1 x (e + e ) 2

C.

1 ?x (e ? e x ) 2

D.

?x 1 x (e ? e ) 2

(福建文)6.若关于 x 的方程 x2+mx+1=0 有两个不相等的实数根,则实数 m 的取值范围 建文) A. (-1,1) B. (-2,2) C. (-∞,-2)∪(2,+∞) D. (-∞,-1)∪(1,+∞)

(福建文)8.已知函数 f(x)= 福建文) A.-3 B.-1
3

。若 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值等于 C.1
2

D.3

(福建文)10.若 a>0,b>0,且函数 f(x)= 4 x ? ax ? 2bx 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大 福建文) 值等于 A.2

B.3

C.6

D.9

x (山东文)3.若点(a,9)在函数 y = 3 的图象上,则 tan= 山东文)

aπ 的值为 6

(A)0

(B)

3 3

(C) 1

(D)

3

2 (山东文)4.曲线 y = x + 11 在点 P(1,12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是 山东文)

(A)-9

(B)-3

(C)9

(D)15

(山东文)10.函数 y = 山东文)

x ? 2sin x 的图象大致是 2

第 2 页 共 11 页

(陕西文)4. 函数 y = x 3 的图像是 陕西文)

1





(陕西文)6.方程 x = cos x 在 ( ?∞, +∞ ) 内 陕西文) (A)没有根 (C) 有且仅有两个根 (B)有且仅有一个根 (D)有无穷多个根

( )

1 (四川文)4.函数 y = ( ) x + 1 的图象关于直线 y=x 对称的图象像大致是 四川文) 2

(四川文)11.在抛物线 y = x 2 + ax ? 5(a ≠ 0) 上取横坐标为 x1 = ?4 , x2 = 2 的两点,过这两 四川文) 点引一条割线,有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 5 x 2 + 5 y 2 = 36 相切,则抛 物线顶点的坐标为 (A) (?2, ?9) (B) (0, ?5) (C) (2, ?9) (D) (1, ?6) (天津文)5.已知 a = log 2 3.6, b = log 4 3.2, c = log 4 3.6 则 天津文)
A. a > b > c B. a > c > b C. b > a > c D. c > a > b

( 天 津 文 ) 8 . 对 实 数 a 和b , 定 义 运 算 “ ? ” : a ? b = ?

? a, a ? b ≤ 1, 设函数 ?b, a ? b > 1.

f ( x) = ( x 2 ? 2) ? ( x ? 1), x ∈ R 。若函数 y = f ( x) ? c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,
则实数 c 的取值范围是 (
A. (?1,1] ∪ (2, +∞ ) C. (?∞, ?2) ∪ (1, 2]


B. ( ?2, ?1] ∪ (1, 2] D.[-2,-1]

第 3 页 共 11 页

(10)设函数 f ( x ) = ax + bx + c ( a, b, c ∈ R ) ,若 x = ?1 为函数 f ( x ) e 的一个 (浙江文) 浙江文)
2 2

极值点,则下列图象不可能为 y = f ( x ) 的图象是

(江西文)3.若 f ( x) = 江西文)

1 ,则 f ( x ) 的定义域为( log 1 (2 x + 1)
2

)

A. (?

1 , 0) 2

B. (?

1 1 1 , +∞) C. (? , 0) ∪ (0, +∞) D. (? , 2) 2 2 2 log 1 (2 x + 1) ≠ 0,∴ 2 x + 1 > 0,2 x + 1 ≠ 1
2

答案:C

解析:

? 1 ? ∴ x ∈ ? ? ,0 ? ∪ (0,+∞ ) ? 2 ?


x (江西文)4.曲线 y = e 在点 A(0,1)处的切线斜率为( 江西文)

A.1

1 e sin x 1 π 湖南文) ? 在点 M ( , 0) 处的切线的斜率为( (湖南文)7.曲线 y = sin x + cos x 2 4
B.2 C. e D.



A. ?

1 2

B.

1 2

C. ?

2 2

D.

2 2

(湖南文) 已知函数 f ( x) = e x ? 1, g ( x) = ? x 2 + 4 x ? 3, 若有 f ( a ) = g (b), 则 b 的取值范 湖南文) 8. 围为 A. [2 ? 2, 2 + 2] B. (2 ? 2, 2 + 2) C. [1,3] D. (1,3)

(3)如果 log 1 x < log 1 y < 0 ,那么 (北京文) 北京文)
2 2

(A) y < x < 1

(B) x < y < 1

(C) 1 < x < y

(D) 1 < y < x

(7) 某车间分批生产某种产品, 每批的生产准备费用为 800 元。 若每批生产 x 件, (北京文) 北京文) 则平均仓储时间为

x 天,且每件产品每天的仓储费用为 1 元。为使平均到每件产品的 8

生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品 (A)60 件 (B)80 件 (C)100 件 (D)120 件

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(5)若 点( a,b )在 y = lg x 图像上 , a ≠ 1 ,则 下列 点也在此 图像上的 是 ( 安 徽文 ) (A) (

1 ,b) a

(B) (10a,1 ? b)

(C) (

10 ,b+1) a

(D) 2,2b) (a

(10)函数 f ( x) = ax n (1 ? x) 2 在区间〔0,1〕 (安徽文) 安徽文) 上的图像如图所示,则 n 可能是 A (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

(广东文)4.函数 f ( x) = 广东文) A. (?∞, ?1)

1 + lg(1 + x) 的定义域是 1? x
C. (?1,1) ∪ (1, +∞ ) D. ( ?∞, +∞ )

B. (1, +∞)

(广东文)10.设 f ( x), g ( x), h( x) 是 R 上的任意实值函数,如下定义两个函数 ( f o g ) ( x) 广东文) 和 ( f g ) ( x) :对任意 x ∈ R , ( f o g ) ( x) = f ( g ( x)) ; ( f g ) ( x) = f ( x) g ( x) ,则 下列等式恒成立的是 A. ( ( f o g )   ) ( x) = ( ( f h )  ( g h) ) ( x)   h o B. ( ( f g )  h ) ( x) = ( ( f o h )   g o h) ) ( x) o   ( C. ( ( f o g ) o h ) ( x) = ( ( f   )  ( g   ) ) ( x) o g o oh D. ( ( f g )   ) ( x) = ( ( f g )   g h) ) ( x) h   ( ( 天 津 文 ) 8 . 对 实 数 a和 b , 定 义 运 算 “ ? ” : a ? b = ?

? a, a ? b ≤ 1, 设函数 ?b, a ? b > 1.

f ( x) = ( x 2 ? 2) ? ( x ? 1), x ∈ R 。若函数 y = f ( x) ? c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,
则实数 c 的取值范围是 ( A. (?1,1] ∪ (2, +∞ ) C. (?∞, ?2) ∪ (1, 2] ) B. ( ?2, ?1] ∪ (1, 2] D.[-2,-1]

(二)填空题
(16)已知函数 f ( x) = e x ? 2 x + a 有零点,则 a 的取值范围是_———— (辽宁文) 辽宁文) = (山东文)16.已知函数 f(x) log a x + x ? b( a>0,且a ≠ 1). 当 2<a<3<b<4 时,函数 山东文)

f(x) 的零点 x0 ∈ ( n, n + 1), n ∈ N * , 则n=

.

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(上海文)3.若函数 f ( x ) = 2 x + 1 的反函数为 f 上海文)

?1

( x) ,则 f ?1 (?2) =

(上海文)14.设 g ( x) 是定义在 R 上.以 1 为周期的函数,若 f ( x ) = x + g ( x ) 在 [0,1] 上 上海文) 的值域为 [ ?2, 5] ,则 f ( x ) 在区间 [0, 3] 上的值域为 16. 若 则称 f ( x) (四川文) 函数 f ( x) 的定义域为 A, x1 , x2 ∈ A 且 f ( x1 ) = f ( x2 ) 时总有 x1 = x2 , 四川文) 为单函数.例如,函数 f ( x) =2x+1( x ∈ R )是单函数.下列命题: ①函数 f ( x) = x 2 (x ∈ R)是单函数; ②指数函数 f ( x) = 2 x (x ∈ R)是单函数; ③若 f ( x) 为单函数, x1 , x2 ∈ A 且 x1 ≠ x2 ,则 f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) ; ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数. 其中的真命题是_________. (写出所有真命题的编号) (陕西文)11.设 f ( x) = ? 陕西文)

?lg x, x > 0
x ?10 , x ? 0

,则 f ( f ( ?2)) = ______.

( 设函数 k f ( x ) = (浙江文) 11) 浙江文)

4 ,若 f ( a ) = 2 ,则实数 a =________________________ 1+ x


(湖南文)12.已知 f ( x ) 为奇函数, g ( x) = f ( x) + 9, g ( ?2) = 3, 则f (2) = 湖南文)
*

* * 湖南文) ( 湖南文 ) 16 、给定 k ∈ N ,设函数 f : N → N 满足:对于任意大于 k 的正整数 n ,

f (n) = n ? k
(1)设 k = 1 ,则其中一个函数 f 在 n = 1 处的函数值为 ; 。

(2)设 k = 4 ,且当 n ≤ 4 时, 2 ≤ f ( n) ≤ 3 ,则不同的函数 f 的个数为

(湖北文)15.里氏震级 M 的计算公式为: M = lg A ? lg A0 ,其中 A 是测震仪记录的地 湖北文) 震曲线的最大振幅, A0 是相应的标准地震的振幅。假设在一次地震中,测震仪记录的 最大振幅是 1000,此时标准地震的振幅为 0.001,则此次地震的震级为 级地震的最大振幅是 5 级地震最大振幅的 级;9

?2 x≥2 ? , 北京文) 若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实 (北京文)13.已知函数 f ( x ) = ? x ?( x ? 1)3 , x < 2 ?
根,则实数 k 的取值范围是_______
3 (广东文)12.设函数 f ( x ) = x cos x + 1 .若 f ( a ) = 11 ,则 f ( ? a ) = 广东文)


2

( (安徽文) 11)设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时, f ( x ) = 2x ? x ,则 f (1) = 安徽文)

第 6 页 共 11 页

(13)函数 y = (安徽文) 安徽文)

1 6 ? x ? x2

的定义域是

(三)解答题
(18) (本小题满分 13 分) (安徽文) 安徽文) 设 f ( x) =

ex ,其中 a 为正实数. 1 + ax 2
4 时,求 f ( x ) 的极值点; 3

(Ⅰ)当 a =

(Ⅱ)若 f ( x ) 为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围.

(18) (本小题共 13 分) (北京文) 北京文) 已知函数 f ( x ) = ( x ? k )e 。
x

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 [0,1] 上的最小值。

(广东文)19. 广东文) (本小题满分 14 分) 设 a > 0 ,讨论函数 f ( x ) = ln x + a (1 ? a ) x 2 ? 2(1 ? a ) x 的单调性. (湖南文)22. 湖南文) (本小题 13 分) 设函数 f ( x ) = x ?

1 ? a ln x(a ∈ R ). x

(I)讨论 f ( x ) 的单调性; (II) f ( x ) 有两个极值点 x1和x2 , 若 记过点 A( x1 , f ( x1 )), B ( x2 , f ( x2 )) 的直线的斜率为 k , 问:是否存在 a ,使得 k = 2 ? a ? 若存在,求出 a 的值,若不存在,请说明理由. 江西文) (江西文)20.(本小题满分 13 分) 设 f (x ) =

1 3 x + mx 2 + nx . 3

(1)如果 g ( x ) = f ′( x ) ? 2 x ? 3 在 x = ?2 处取得最小值 ? 5 ,求 f ( x ) 的解析式; (2)如果 m + n < 10(m, n ∈ N + ) , f ( x ) 的单调递减区间的长度是正整数,试求 m 和 n 的值.(注:区间 (a, b ) 的长度为 b ? a )

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(21) (本小题满分 15 分)设函数 f ( x) = a ln x ? x + ax , a > 0 (浙江文) 浙江文)
2 2

(Ⅰ)求 f (x ) 的单调区间; (Ⅱ)求所有实数 a ,使 e ? 1 ≤ f ( x ) ≤ e 2 对 x ∈ [1, e] 恒成立. 注: e 为自然对数的底数. ( (天津文)19. 天津文) (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x ) = 4 x + 3tx ? 6tx + t ? 1, x ∈ R ,其中
3 2

t∈R.
(Ⅰ)当 t = 1 时,求曲线 y = f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)当 t ≠ 0 时,求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)证明:对任意的 t ∈ (0, +∞ ), f ( x ) 在区间 (0,1) 内均存在零点.

(四川文)22. 四川文) (本小题共 l4 分) 2 1 已知 函数 f ( x) = x + , h( x) = x . 3 2 (Ⅰ)设函数 F(x)=18f(x)-x2[h(x)]2,求 F(x)的单调区间与极值; 3 3 (Ⅱ)设 a ∈ R ,解关于 x 的方程 lg[ f ( x ? 1) ? ] = 2lg h(a ? x) ? 2 lg h(4 ? x) ; 2 4 1 * (Ⅲ)设 n ∈ N ,证明: f (n)h(n) ? [h(1) + h(2) + L + h(n)] ≥ . 6

(陕西文)19.(本小题满分 12 分) 陕西文) 如图,从点 P (0, 0) 做 x 轴的垂线交曲线 y = e x 于点 Q1 (0,1), 曲线在 Q1 点处的切线与 x 轴交 1 于点 P2 ,再从 P2 做 x 轴的垂线交曲线于点 Q2 ,依次重复上述过程得到一系列点:

P 1 , Q1 ; P 2 , Q2 ......; Pn , Qn , 记 P k 点的坐标为 ( xk , 0)(k = 1, 2,..., n) .
(Ⅰ)试求 x1 与 xk ?1 的关系 (2 ≤ k ≤ n) ( Ⅱ)求 PQ1 + P2Q2 + PQ3 + ... + Pn Qn . 1 3

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(陕西文)21.(本小题满分 14 分) 陕西文) 设 f ( x ) = ln x , g ( x ) = f ( x ) + f ′( x ) . (1)求 g ( x ) 的单调区间和最小值; (2)讨论 g ( x ) 与 g ( ) 的大小关系; (3)求 a 的取值范围,使得 g ( a ) ? g ( x ) <

1 x

1 对任意 x >0 成立. a

(山东文)21.(本小题满分 12 分) 山东文) 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米) ,其中容器的中间为圆柱形, 左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为

80π 立方米,且 l≥2r .假设该容器的建 3

造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元,半球形部分每平方 米建造费用为 c (c>3) .设该容器的建造费用为 y 千元. (Ⅰ)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的 r .

(福建文)22. 福建文) (本小题满分 14 分) 已知 a,b 为常数,且 a≠0,函数 f(x)=-ax+b+axlnx,f(e)=2(e=2.71828…是自然 对数的底数) 。 (I)求实数 b 的值; (II)求函数 f(x)的单调区间; (III)当 a=1 时,是否同时存在实数 m 和 M(m<M) ,使得对每一个 t∈[m,M],直线 y=t 与曲线 y=f(x) ∈[ (x

1 ,e])都有公共点?若存在,求出最小的实数 m 和最 e

大的实数 M;若不存在,说明理由。

(湖北文)19. 湖北文) (本小题满分 12 分) 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况, 在一般情况下, 大桥上的车 流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆 /千米)的函数,当桥上的车流 密度达到 200 辆 /千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆 / 千米时,车流速度为 60 千米/小时,研究表明:当 20 ≤ x ≤ 200 时,车流速度 v 是车流 密度 x 的一次函数。 (I)当 0 ≤ x ≤ 200 时,求函数 v(x)的表达式;
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(II)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位: (精确到 1 辆/小时) 。 辆/小时) f ( x ) = x ? v ( x) 可以达到最大,并求出最大值。

(湖北文)20. 湖北文) (本小题满分 13 分) 设函数 f ( x) = x + 2ax + bx + a , g ( x) = x ? 3 x + 2 ,其中 x ∈ R ,a、b 为常数,已
3 2 2

知曲线 y = f ( x) 与 y = g ( x ) 在点(2,0)处有相同的切线 l。 (I) 求 a、b 的值,并写出切线 l 的方程; (II)若方程 f ( x ) + g ( x ) = mx 有三个互不相同的实根 0、 x1 、 x2 ,其中 x1 < x2 ,且对 任意的 x ∈ [ x1 , x2 ] , f ( x ) + g ( x ) < m( x ? 1) 恒成立,求实数 m 的取值范围。 (注意:在试题卷上作答无效) (全国大纲文)21. 全国大纲文) (本小题满分 l2 分) ......... 已知函数

f ( x) = x3 + 3ax 2 + (3 ? 6a) x ? 12a ? 4 {a ∈ R}

(I)证明:曲线 y = f ( x)在x = 0 处的切线过点(2,2) ; (II)若 f ( x )在x = x0 处取得极小值, x0 ∈ (1, 3) ,求 a 的取值范围。

(21) (本小题满分 12 分) (全国新课标文) 全国新课标文) 已 知 函 数 f ( x) =

a ln x b + , 曲 线 y = f ( x) 在 点 (1, f (1)) 处 的 切 线 方 程 为 x +1 x

x + 2y ?3 = 0.
(I)求 a,b 的值; (II)证明:当 x>0,且 x ≠ 1 时, f ( x ) >

ln x . x ?1

x x (上海文)21. 上海文) (14 分)已知函数 f ( x ) = a ? 2 + b ? 3 ,其中常数 a, b 满足 ab ≠ 0 。

(1)若 ab > 0 ,判断函数 f ( x ) 的单调性; (2)若 ab < 0 ,求 f ( x + 1) > f ( x ) 时 x 的取值范围。

(20) (本小题满分 12 分) (辽宁文) 辽宁文) 设函数 f (x) =x+ax2+blnx,曲线 y= f (x) 过 P(1,0) ,且在 P 点处的切斜线率为 2. (I)求 a,b 的值;
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(II)证明: f (x) ≤2x-2.

(Ⅰ)小题 5 分, (Ⅱ)小题 7 分) (重庆文)19. 重庆文) (本小题满分 12 分, 设 f ( x) = 2 x + ax + bx + 1 的导数为 f ′( x ) ,若函数 y = f ′( x ) 的图像关于直线
3. 2

1 x = ? 对称,且 f ′(1) = 0 . 2
(Ⅰ)求实数 a, b 的值 (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的极值

(江西文)18.(本小题满分 12 分) 江西文) 如图,在 ?ABC中,∠B =

π
2

,AB = BC = 2, P为AB边上一动点,PD//BC 交 AC 于

点 D,现将 ?PDA沿PD翻折至?PDA' , 使平面PDA ' ⊥ 平面PBCD. (1)当棱锥 A ? PBCD 的体积最大时,求 PA 的长;
'

(2)若点 P 为 AB 的中点,E 为 A C的中点,求证:A B ⊥ DE.
' '

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