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2013天津高考第三次六校联考数学试卷

2013 届第三次六校联考(理) 数学试卷
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷两部分,共 4 页,总分 150 分.考试时间 150 分钟。答题时,将Ⅰ 卷答案填涂在答题卡上,将Ⅱ卷答案填写在答题纸上,答在试卷上的无效。

第Ⅰ卷 选择题 (共 40 分)
注意事项: 1.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干 净后,再选涂其他答案标号。 2.本试卷共 8 小题,每小题 5 分, 40 分。 共 在每列出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1. i 是虚数单位,复数 A. 2
2i 1? i

的实部为(

) C. 1 ) D. ? 1

B. ? 2

2 2.若命题 p : ?x0 ? ?- 3,3?, x0 ? 2 x0 ? 1 ? 0 ,则对命题 p 的否定是(

2 A. ?x0 ? ?- 3,3?, x0 ? 2 x0 ? 1 ? 0

2 B. ?x0 ? ?- ?,-3? U ?3,?? ?, x0 ? 2 x0 ? 1 ? 0

2 C. ?x0 ? ?- ?,-3? U ?3,?? ?, x0 ? 2 x0 ? 1 ? 0

2 D. ?x0 ? ?- 3,3?, x0 ? 2 x0 ? 1 ? 0

3.已知数列 { a n } 中, a 1 ? 1 , a n ? 1 ? a n ? n ,若利用如图所示的程 序框图计算该数列的第 10 项,则判断框内的条件是( A. n ? 8 ? B. n ? 9 ? C. n ? 10 ? ) D. n ? 11 ?
1 x

4.已知 f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 4 | 的最小值为 n ,则二项式 ( x ? ) n 展开式中 x 2 项的系数为( A. 15 B. ?15 C. 30
2 2



D. ?30

5.在平 面直角坐标系 xo y 中,圆 C 的方程为 x ? y ? 8 x ? 1 5 ? 0 ,若直线 y ? k x ? 2 上至少存 在一点,使得以该点为圆心, 1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值为( A. 2 B.
4 3



C.

2 3

D. 3

第 1 页 共 4 页

? 6.在 ? A B C 中,内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,其中 A ? 1 2 0 , b ? 1 ,且 ? A B C 面积为 3 ,



a ?b s in A ? s in B

?(


2 39 3

A. 2 1

B.

C. 2 2 1

D. 2 7

7.在 ? A B C 中,点 D 在线段 BC 的延长线上,且 BC ? 3 CD ,点 O 在线段 CD 上(与点 C,D 不重合) 若 AO ? x AB ? (1 ? x ) AC 则 x 的取值范围( A. ? 0 ,
? ? 1 ? ? 2 ?

) C. ? ?
? ? 1 ? ,0 ? 2 ?

B. ? 0 ,
?

?

1 ? ? 3?

D. ? ?
?
2

?

1

? ,0 ? 3 ?

? x ? x, x ? ? 0,1? , ? ? 3 x? 8.定义域为 R 的函数 f ? x ? 满足 f ? x ? 2 ? ? 2 f ? x ? , 当x ? ? 0, 2 ? 时, f ? x ? ? ? ?1? 2 ?? ? ? , x ? ?1, 2 ? , ? ?2? ?

若 x ? ? ?4, ?2 ? 时, f ? x ? ? A. ? ?2, 0 ? ? ? 0,1?

t 4

?

1 2t

恒成立,则实数 t 的取值范围是( C. ? ?2,1?

) D. ? ??, ?2? ? ? 0,1?

B. ? ?2, 0 ? ? ?1, ?? ?

第Ⅱ卷 非选择题 (共 110 分)
二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9.某商场在庆元宵促销活动中,对元宵节 9 时至 14 时的销售额进行统计,其频率分布直方图 如图所示,已知 9 时至 10 时的销售额为 2.5 万元,则 11 时至 12 时的销售额为______万元.

10. 一个几何体的三视图如上图所示,且其左视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为_____. .. 11.已知直线 C1: ?
?
3
第 2 页 共 4 页

? x ? 1 ? t cos ? ? y ? t sin ?

(t 为参数),C2: ?

? x ? cos ? ? y ? sin ?

(θ 为参数).

当? ?

时,则 C1 与 C2 的交点坐标为________.

x ? 2 ? ? x ? y ? 4 12.已知 x , y 满足 ? ,且目标函数 z ? 3 x ? y 的最小值是 5,则 z 的最大值是____. ?? 2 x ? y ? c ? 0 ?
A

13.如图,AB 是圆 O 的切线,切点为 A , D 点在圆内,
DB

与圆相交于 C ,若 B C .

? DC ? 3 ,OD ? 2

, AB

? 6



D O

C

B

则圆 O 的半径为

14.已知关于 x 的实系数一元二次不等式 a x 2 的最小值是 .

? b x ? c≥ 0 ( a ? b )

的解集为 R ,则 M

?

a ? 2b ? 4c b ? a

三、解答题(本大题共 80 分) 15.(本题满分 13 分)已知函数 (Ⅰ)求
f (x)
f ( x ) ? s in
2

x ? 2

3 s in x c o s x ? s in x ?

?

π π s in x ? , ? R x 4 4

? ?

?



的最小正周期和值域;

(Ⅱ)若 x

? x0

?0

≤ x0 ≤

π 2

? 为 f ( x ) 的一个零点,求 s in 2 x

0

的值.

16.(本题满分 13 分)现有长分别为 1 m , 2 m , 3 m 的钢管各 3 根(每根钢管质地均匀、粗细相同 且附有不同的编号) ,从中随机抽取 n 根(假设各钢管被抽取的可能性是均等的, 1 ? n ? 9 ) , 再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根. (Ⅰ)当 n ? 3 时,记事件 A ? {抽取的 3 根钢管中恰有 2 根长度相等},求 P ( A) ; (Ⅱ)当 n ? 2 时,若用 ? 表示新焊成的钢管的长度(焊接误差不计),求 ? 的分布列即数学期望.

第 3 页 共 4 页

17.(本题满分 13 分)如图, AC 是圆 O 的直径,点 B 在圆 O 上, ? BAC ? 30 ,
o

BM ? AC 交 AC 于点 M , EA ? 平面 ABC , FC // EA , AC ? 4 , EA ? 3 , FC ? 1 .

(Ⅰ)证明: EM ? BF ; (Ⅱ)求平面 BEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值; (Ⅲ)求点 C 到平面 EBM 的距离.

E

F A O B M C

(第 17 题图)
x x?3

18.(本题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)求数列 ?a n ? 的通项公式 a n ; (Ⅱ)若数列 ?bn ?满足, b n ?
3
n

,数列 ?a n ? 满足 a1 ? 1 , a n ?1 ? f (a n ) (n ? N ? )

2

a n a n ? 1 , S n ? b 1 ? b 2 ? ..... ? b n ,求证: S n <

1 2

.

19.(本题满分 14 分)已知椭圆 C :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0) 的离心率为

1 2

,以原点为圆心,椭圆的短半

轴长为半径的圆与直线 x ? y ? 6 ? 0 相切,过点 P (4,0)且不垂直于 x 轴的直线 l 与椭圆 C 相 交于 A 、 B 两点。 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求 OA ? OB 的取值范围; (Ⅲ)若 B 点关于 x 轴的对称点是 E ,证明:直线 AE 与 x 轴相交于定点。

20.(本题满分 14 分)设函数 f ( x) ? ln x ? (Ⅰ)当 a ? b ?
1 2

1 2

ax ? bx.
2

时,求函数 f (x) 的最大值;
1 2 ax ? bx ?
2

(Ⅱ)令 F ( x) ? f ( x) ?

a x

( 0 ? x ? 3 )其图象上任意一点 P ( x0 , y0 ) 处切线的斜率 k ≤

1 2

恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)当 a ? 0 , b ? ?1 ,方程 2mf ( x) ? x 有唯一实数解,求正数 m 的值.
2

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