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高三数学(文)一轮复习讲解与练习6.1不等关系与不等式(含答案解析)

第一节 不等关系与不等式 [备考方向要明了] 考 什 么 1.了解现实世界和日常生活 中的不等关系. 2.了解不等式(组)的实际背 景. 3.掌握不等式的性质及应 用. 怎 么 考 本节内容在高考中多与其他知识进行综合命题, 一般是以选择 题或填空题的形式出现: (1)依据不等式的性质,判断不等式或有关结论是否成立; (2)利用不等式的性质进行大小关系的比较. (3)不等式的性质在不等式的证明或求解中的应用. [归纳· 知识整合] 1.比较两个实数大小的法则 设 a,b∈R,则 (1)a>b?a-b>0; (2)a=b?a-b=0; (3)a<b?a-b<0. 2.不等式的基本性质 性质 对称性 传递性 可加性 性质内容 a>b?b<a a>b,b>c?a>c a>b?a+c>b+c 注意 ? ? ? a>b? 可乘性 c>0 ? a>b? c<0 ? 同向可加性 ??ac>bc c 的符号 ??ac<bc a>b? ??a+c>b+d c>d ? a>b>0? ??ac>bd c>d>0 ? a>b>0?an>bn(n∈N,n≥2) n n a>b>0? a> b(n∈N,n≥2) ? 同向同正可乘性 可乘方性 可开方性 ? 同正 [探究] 1.同向不等式相加与相乘的条件是否一致? 提示:不一致.同向不等式相加,对两边字母无条件限制,而同向不等式相乘必须两边 字母为正,否则不一定成立. 1 1 2.(1)a>b? < 成立吗? a b (2)a>b?an>bn(n∈N,且 n>1)对吗? 提示:(1)不成立,当 a,b 同号时成立,异号时不成立. (2)不对,若 n 为奇数,成立,若 n 为偶数,则不一定成立. [自测· 牛刀小试] 1.(教材习题改编)给出下列命题:①a>b?ac2>bc2;②a>|b|?a2>b2;③a>b?a3>b3;④ |a|>b?a2>b2.其中正确的命题是( A.①② C.③④ ) B.②③ D.①④ 解析:选 B 当 c=0 时,①不成立;当|a|=1,b=-2 时,④不成立. 2.如果 a∈R,且 a2+a<0,那么 a,a2,-a,-a2 的大小关系是( A.a >a>-a >-a C.-a>a2>a>-a2 解析:选 B ∵a2+a<0,∴-1<a<0. 2 2 ) B.-a>a >-a >a D.a2>-a>a>-a2 2 2 1 不妨令 a=- ,易知选项 B 正确. 2 3.已知 a>b,c>d,且 c,d 不为 0,那么下列不等式成立的是( ) A.ad>bc C.a-c>b-d B.ac>bd D.a+c>b+d 解析:选 D 由不等式的性质知,a>b,c>d?a+c>b+d. 4.(教材习题改编)已知 a>b>0,c>d>0,则 1 1 解析:∵c>d>0,∴ > >0. d c a b 又∵a>b>0,∴ > >0.∴ d c 答案: a > d b c a > d b . c a 与 d b 的大小关系为________. c 5.已知 12<x<60,15<y<36,则 x-y 的取值范围是________. 解析:∵15<y<36, ∴-36<-y<-15. 又∵12<x<60 ∴12-36<x-y<60-15, 即-24<x-y<45. 答案:(-24,45) 用不等式(组)表示不等关系 [例 1] 某商人如果将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元销售,每天可销售 100 件,现 在他采用提高售价,减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每提高 1 元,销售量 就可能相应减少 10 件.若把提价后商品的售价设为 x 元,怎样用不等式表示每天的利润不 低于 300 元? x-10 [自主解答] 若提价后商品的售价为 x 元,则销售量减少 ×10 件,因此,每天的 1 利润为(x-8)[100-10(x-10)]元,则“每天的利润不低于 300 元”可以表示为不等式(x- 8)[100-10(x-10)]≥300. ————— —————————————— 实际应用中不等关系与数学语言间的关系 将实际问题中的不等关系写成相应的不等式(组)时,应注意关键性的文字语言与对应数 学符号之间的正确转换,常见的文字语言及其转换关系如下表: 文字语言 符号语言 大于,高于, 超过 > 小于, 低于, 少于 < 大于等于,至少, 小于等于,至 不低于 ≥ 多,不超过 ≤ 1.某厂拟生产甲、乙两种适销产品,甲、乙产品都需要在 A,B 两种设备上加工,在 每台 A,B 设备上加工一件甲产品所需工时分别为 1 小时和 2 小时,加工一件乙产品所需工 时分别为 2 小时和 1 小时,A,B 两种设备每月有效使用台时数分别为 400 和 500.写出满足 上述所有不等关系的不等式. 解:设甲、乙两种产品的产量分别为 x,y, x+2y≤400, ? ?2x+y≤500, 则由题意可知? x≥0,x∈N, ? ?y≥0,y∈N. 比较大小 [例 2] (1)已知 a1, a2∈(0,1), 记 M=a1a2, N=a1+a2-1, 则 M 与 N 的大小关系是( A.M<N C.M=N B.M>N D.不确定 ) (2)甲、乙两人同时从寝室到教室,甲一半路程步行,一半路程跑步,乙一半时间步行, 一半时间跑步,如果两人步行速度、跑步速度均相同,则( A.甲先到教室 C.两人同时到教室 B.乙先到教室 D.谁先到教室不确定 ) [自主解答] (1)M-N=a1a2-(a1+a2-1) =a1a2-a1-a2+1 =a1(a2-1)-(a2-1)=(a1-1)(a2-1), 又∵a1∈(0,1),a2∈(0,1), ∴a1-1<0,a2-1<0. ∴(a1-1)(a2-1)>0,即 M-N>0. ∴M>N. s 2 (2)设甲用时间为 T,乙用时间为 2t,步行速度为 a,跑步速度为 b,距离为 s,则

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