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3.1.3 空间向量的数量积运算

3.1.3 空间向量的数量积运算 1.如图,空间四边形的各边和对角线长均相等,E 是 BC 的中点,那么( →· → <AE →· → A.AE BC CD →· → =AE →· → B.AE BC CD → → → → C.AE· BC>AE· CD →· → 与AE →· → 不能比较大小 D.AE BC CD 2.已知 PA⊥平面 ABC,垂足为 A,∠ABC=120° , PA=AB=BC=6,则 PC 等于( A.6 2 C.12 B.6 D.144 = ) )

→ +AC → +AD → |2=|AB → |2+|AC → |2+|AD → |2 B.|AB → +AD → +AC → )· → =0 C.(AB BC →· → =AC →· → =AD →· → D.AB CD BD BC →· → =0,AC →· → =0,AB →· → =0, 6.设 A、B、C、D 是空间不共面的四点,且满足AB AC AD AD 则△BCD 是( A.钝角三角形 C.直角三角形 ) B.锐角三角形 D.不确定

2 7.已知|a|=2 2,|b|= 2 ,a· b=- 2,则〈a,b〉=________. →· → =________. 8.已知在空间四边形 OABC 中,OA⊥BC,OB⊥AC,则AB OC 9.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,求异面直线 A1B 与 AC1 所成的角.

3.已知 a、b、c 是两两垂直的单位向量,则 |a-2b+3c| ( ) B. 14 D.2

A.14 C.4

π →, →〉 4. 空间四边形 OABC 中, OB=OC, ∠AOB=∠AOC=3, 则 cos 〈OA BC 等于( 1 A.2 1 C.-2 2 B. 2 D.0

)

5.在空间四边形 ABCD 中,AB、AC、AD 两两垂直,则下列结论不成立的是( → +AC → +AD → |=|AB → +AC → -AD →| A.|AB

)

3.1.3 空间向量的数量积运算
→ → 1.[答案] C[解析] 易知 AE⊥BC,∴AE· BC=0, → → → → → AE· CD=(AB+BE)· CD → → → 1→ → =AB· (BD-BC)+ BC· CD 2 1→ → → → → → =|AB|· |BD|· cos120° -|AB|· |BC|cos60° + |BC|· |CD|cos120° <0. 2 → → → → 2.[答案] C[解析] ∵PC=PA+AB+BC, → → → → → → ∴PC2=PA2+AB2+BC2+2AB· BC=36+36+36+2×36cos60° =144. → ∴|PC|=12. 3. [答案] B[解析] |a-2b+3c|2=|a|2+4|b|2+9|c|2-4a· b+6a· c-12b· c=14,∴选 B. → → → → → (OC-OB) OA· BC OA· → → 4. [答案] D[解析] cos〈OA,BC〉= = → → → → |OA||BC| |OA||BC| = → → → → → → → → OA· OC-OA· OB |OA||OC|cos∠AOC-|OA||OB|cos∠AOB = . → → → → |OA||BC| |OA||BC|

→ → → → → → → → → → → =AB· (AD-AC)=AB· AD-AB· AC=0,同理AC· BD=0,AD· BC=0,因此 D 正确. → → → → → → 6. [答案] B[解析] BD=AD-AB,BC=AC-AB, → → → → → → → → → → → → →2 →2 BD· BC=(AD-AB)· (AC-AB)=AD· AC-AD· AB-AB· AC+|AB| =|AB| >0,

→ → BC· BD → → ∴cos∠CBD=cos〈BC,BD〉= >0, → → |BC|· |BD| ∴∠CBD 为锐角,同理,∠BCD 与∠BDC 均为锐角, ∴△BCD 为锐角三角形. 7.[答案] 3π a· b 2 3π [解析] cos〈a,b〉= =- ,∴〈a,b〉= . 4 |a|· |b| 2 4

→ → → → → → 8.[答案] 0[解析] AB· OC=(OB-OA)· (OA+AC) → → → → →2 → → =OB· OA+OB· AC-|OA| -OA· AC → → → → → =OB· OA-|OA|2-OA· AC → → → → → → =OA· AB-OA· AC=OA· CB=0. 9. [证明] 如图所示,空间四边形 ABCD,E、F 分别为 AB、CD 的中点,利用多边形加法法则 可得, → → → → → → → → EF=EA+AD+DF,EF=EB+BC+CF.① 又 E、F 分别是 AB、CD 的中点,故有 → → → → EA=-EB,DF=-CF.② → → → 将②代入①后,两式相加得,2EF=AD+BC, → 1→ 1→ ∴EF= AD+ BC. 2 2 → → → 即EF与BC、AD共面, ∴EF 与 AD、BC 可平行于同一平面.

π → → 因为|OB|=|OC|,∠AOC=∠AOB= , 3 → → 所以 cos〈OA,BC〉=0. → → → → → → → → → → → 5. [答案] C[解析] A 中,由|AB+AC+AD|=|AB+AC-AD|,得(AB+AC+AD)2=(AB+AC- → → → → → → → → → → → → → → AD)2, 展开得(AB+AC)2+|AD|2+2(AB+AC)· AD=(AB+AC)2+|AD|2-2(AB+AC)· AD, 整理得(AB → → → → → → → → +AC)· AD=0,因为AB,AC,AD两两垂直,所以(AB+AC)· AD=0 成立,因此 A 正确.易得 B → → → → → → → → → → → →2 → → → → →2 正确.(AB+AD+AC)· BC=(AB+AD+AC)· (AC-AB)=AB· AC-|AB| +AD· AC-AD· AB+|AC| - → → →2 →2 → → → → → → AC· AB=|AC| -|AB| , 当|AC|=|AB|时, |AC|2-|AB|2=0, 否则不成立, 因此 C 不正确. D 中, AB· CD

→ → → 10.[解析] 不妨设正方体的棱长为 1, 设AB=a,AD=b,AA1=c, |a|=|b|=|c|=1,a· b=b· c=c· a=0, → → A1B=a-c,AC1=a+b+c. → → ∴A1B· AC=(a-c)· (a+b+c)=(a-c)(a+c)+b(a-c)=0 → → ∴<A1B,AC1>=90° .因此,异面直线 A1B 与 AC 所成的角为 90° .



[说明] 求异面直线所成的角的关键是求异面直线上两向量的数量积,而要求两向量的数量积, 必须把所求向量用空间的一组基向量来表示.


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