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【精品资料】等差数列的前n项和2_图文

等差数列的 前n项和 新疆奎屯市一中 王新敞 复习数列的有关概念1 按一定的次序排列的一列数叫做数列。 数列中的每一个数叫做这个数列的项。 数列中的各项依次叫做这个数列的 第1项(或首项)用 a1 表示, 第2项用 a 2 表示,…, 第n项用 a n 表示,…, 数列的一般形式可以写成: a1 , a2 , a3 , …, an , …, 简记作: ?an ? 复习数列的有关概念2 如果数列 ?an ? 的第n项 a n 与n之间的关 系可以用一个公式来表示,这个公式就叫做 这个数列的通项公式。 S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? an 叫做数列 ?an ? 的前n项和。 ? S1 (n ? 1) an ? ? ?S n ? S n ?1 (n ? 2) 复习等差数列的有关概念 定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等 于同一个常数(指与n无关的数),这个数列就叫做等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。 an?1 ? an ? d (是与n无关的数或式子) 等差数列 an ? a1 ? (n ? 1)d ?an ? 的通项公式为 当d≠0时,这是关于n的 一个一次函数。 如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列, 那么A叫做a与b的等差中项。 a?b A? 2 等差数列的前n项和公式的推导 由等差数列 a1 , a2 , a3 , S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ?1 ? an …, an , …, 的前n项和 得 S n ? a1 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 2d ) ? ? ? [a1 ? (n ? 1)d ] S n ? an ? (an ? d ) ? (an ? 2d ) ? ? ? [an ? (n ? 1)d ] n个 ?????? ? ? ?????? ? 2S n ? (a1 ? an ) ? (a1 ? an ) ? ? ? (a1 ? an ) ? n(a1 ? an ) n(a1 ? an ) Sn ? 2 等差数列的前n项和公式的其它形式 n(a1 ? an ) Sn ? 2 an ? a1 ? ( n ?1) d n(n ? 1) d ???? ?? Sn ? na1 ? 2 n ( n ? 1 ) a1 ? an ?( n ?1) d d ???? ?? S n ? nan ? 2 等差数列的前n项和例题1 例1 一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔,往上 每一层都比它下面一层多放一支,最上面一层放120支. 这个V 形架上共放着多少支铅笔? 解:由题意可知,这个V形架上共放着120层铅笔, 且自下而上各层的铅笔数组成等差数 列,记为 a ? a1 ? 1, a120 ? 120 , n ? 120 ? n? 120 ? (1 ? 120 ) ? S120 ? ? 7260 . 2 答:V形架上共放着7260支铅笔. n(a1 ? an ) Sn ? 2 等差数列的前n项和例题2 例2 求集合 M ? ?m | m ? 7n, n ? N , 且m ? 100? 的元素个数,并求这些元素的和. 解: 所以集合M中的元素共有14个. 100 2 ? 14 ? 7n ? 100 ? n ? 7 7 将它们从小到大列出,得 7, 2 ? 7, 3 ? 7, 4 ? 7, 即 ?, 14 ? 7, n(a1 ? an ) Sn ? 2 7,14,21,28,…,98 这个数列是成等差数列,记为 ?an ? ? a1 ? 7, a14 ? 98, n ? 14 14 ? (7 ? 98) ? S14 ? ? 735 . 2 答:集合M共有14个元素,它们的和等于735. 等差数列的前n项和例题3 例6 已知一个直角三角形的三条边的长成等差数列,求 证它们的比是3:4:5. 证明: 将成等差数列的三条边的长从小到大排列, 它们可以表示为 a-d, a, a+d (这里a-d>0,d>0) 由勾股定理,得到 (a ? d ) ? a ? (a ? d ) 2 2 2 解得 a ? 4d 3d, 4d, 5d, 从而这三边的长是 因此,这三条边的长的比是3:4:5 等差数列的前n项和练习1 1. 根据下列条件,求相应的等差数列 ?an ? 的 S n (1)a1 ? 5, an ? 95, n ? 10; ? S10 10 ? (5 ? 95) ? ? 500 . 2 n(a1 ? an ) Sn ? 2 (2)a1 ? 100 , d ? ?2, n ? 50; (4)a1 ? 14.5, d ? 0.7, an ? 32. 32 ? 14.5 n? ? 1 ? 26, ? S 26 0.7 50 (50 ? 1) S50 ? 50 ?100 ? ? (?2) ? 2550 2 2 3 Sn (3) a1 ? , an ? ? , n ? 14; 3 2 14 ? [2 / 3 ? (?3 / 2)] 35 ? S14 ? ?? . 2 6 n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2 n(a1 ? an ) ? 2 26 ? (14.5 ? 32) an ? ? a1604 ? (n ? .5? . 1)d 2 等差数列的前n项和练习2-3 2. 求自然数中前n个数的和. n(a1 ? an ) Sn ? n( a ? a ) 1 n 2 S ? n n ? (1 ? n) n(n ? 1) 2 ? Sn ? ? . 2 2 3. 求自然数中前n个偶数的和. n ? (2 ? 2n) ? Sn ? ? n(n ? 1). 2 等差数列的的作业 P47习题十七: 8,12,13 祝同学们学习愉快, 人人成绩优异!

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