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高一数学必修四课件1.2.1任意角的三角函数修改


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摩天轮相信同学 们都不陌生吧,好多 同学都坐过,当你坐 上摩天轮后,你就开 始绕中心不停地旋转, 这样就形成了各种各 样的角。

问题1:如图,摩天 轮的半径为10m,中心O 离地面为20m,现在小明 坐上了摩天轮,并从点P 开始以每秒1度的速度逆 时针转动,当转动30秒 后小明离地面的高度是 多少?60秒后呢?

10m

300

O
20m

P.

P1
问题2:设 转动?度后小明 离地面的高度为 h, ?为00~900, 试着写出h和?的 关系式。

?
O

. P

1.2.1任意角的三角函数

教学目标
知识与能力
掌握任意角的三角函数的定义; 已知角α 终边上一点,会求角α 的 各三角函数值; 记住三角函数的定义域、值域,诱 导公式(一)。

过程与方法
1、理解并掌握任意角的三角函数 的定义; 2、树立映射观点,正确理解三角 函数是以实数为自变量的函数; 3、通过对定义域,三角函数值的 符号,诱导公式一的推导,提高学生分 析、探究、解决问题的能力。

情感态度与价值观
1、使学生认识到事物之间是有联系 的,三角函数就是角度(自变量)与比值 (函数值)的一种联系方式; 2、学习转化的思想,培养学生严谨 治学、一丝不苟的科学精神。

教学重难点
重点:
任意角的正弦、余弦、正切的定义 (包括这三种三角函数的定义域和函数值 在各象限的符号),以及这三种函数的第 一组诱导公式。

难点:
用单位圆上点的坐标刻画三角函数, 学生熟悉的函数y=f(x)的实数到实数 的对应,而这里给出的函数首先是实数 (弧度制)到点的坐标的对应,然后才 是实数(弧度制)到实数(横坐标或纵 坐标)的对应.这就会给学生理解造成一 定的困难。

锐角三角函数定义

y ?的终边

r?

x2 ? y2
o
?

r

P(x,y) x

y sin α ? r x cos ? ? r y tan ? ? x

在终边上移动点 P的位置,这三个 比值会改变吗?

锐角三角函数定义

y ?的终边

r=1
o ?

P(x,y) x

y sin α ? r x cos ? ? r y tan ? ? x

sin α ? y
r=1

cos? ? x
y tan ? ? x

在直角坐标系中,以原点O为 圆心,以单位长度为半径的圆叫单 位圆。

P(x,y)

sin ? ? y

cos? ? x
y tan ? ? x

锐角三角函数 可以用单位圆 上的点的坐标 来表示

推广:
我们也可以利用单位圆定义

任意角三角函数(正弦,余弦,正
切)。

任意角的三角函数定义:

设α 是一个任意角,它的终 边与单位圆交于点P(x,y)则: y 叫α 的正弦 x叫α的余弦

y

sin α ? y

P ( x, y )
O

y 叫α的正切 x
y tan ? ? x

cos? ? x

x

y 对应关系sin ? ? y, ? ? x , ? ? ( x ? 0) tan cos x 都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标或坐标
的比值为函数值的函数,分别称为正弦函数、余弦 函数和正切函数,并统称为三角函数,在弧度制中, 这三个三角函数的定义域分别是什么? 正、余弦函数的定义域为R, 定义域 正切函数的定义域是

思考:

{a 喂R | a

p + k p, k 2

Z }.

?如何求α角的三角函数值?
求α角的三角函数值,即可求α终边

与单位圆交于点的纵横坐标或坐标的比
值。

5 例1:求 ? ? ? 的正弦,余弦,正切的值. 3 y
1 3 x ? , y?? , r ?1 2 2

5 3 sin ? ? y ? ? 3 2

5 ? 3

O

1 2

5 1 cos ? ? x ? 3 2
5 y tan ? ? ? ? 3 3 x

1

3 2

x

?1 3? P ? ,? ? ?2 2 ? ? ?

根据上述方法否能求得特殊角三角函数值?
角α(角度) 角α(弧度) 0° 0 90° π/2 180° π 270° 3π/2 360° 2π

sinα cosα
tanα

0 1
0

1 0
不存在

0 -1
0

-1 0
不存在

0 1
0

例2:已知α的终边经过点P0 (-4,-3),求 α角的正弦,余弦,正切的值。

y
M0

M P

o

x

分析:由 △OMP∽△OM0P0, 可求出相应的三角函数 值。

P0(-4,-3)

MP0 y - MP 3 解: sina = y = = ==r OP OP0 5 OM0 x - OM 4 cosα = x = = ==r OP OP0 5

y sinα 3 tanα = = = x cosα 4

例3:如图所示,已知角a终边上一点P的坐 标为(4,-3),求角a的三角函数值。 解:∵ x=4,y=-3
∴r= =5
y
2

x + y =

2

2

4 + (- 3)
3 5

2

0

x

y \   a= = sin r x    a = = cos r y    a = = tan x

- 3 =5 4 5 - 3 =4

P(4,-3) a的终边

3 4

事实上: 三角函数也可定义为
设α是一个任意角,它的终边经过点P(x,y),则

y sin α ? r x cos ? ? r
y tan ? ? x

?的终边

P(x,y)

y
?

r
o

x

(r ?

x2 ? y2 )

探究
根据三角函数的定义能否确 定正弦,余弦,正切的值在四个象限 内的符号?

y 1、正弦函数值 sin ? ? r
y 第一象限:y ? 0, r ? 0, 故 为正值; r y 第二象限:y ? 0, r ? 0, 故 为正值; r
y

y 第三象限:y ? 0, r ? 0, 故 为负值; r y 第四象限:y ? 0, r ? 0, 故 为负值. r

o

x

x 2、余弦函数值 cos ? ? r
x 第一象限:x ? 0, r ? 0, 故 为正值; r
y

x 第二象限:x ? 0, r ? 0, 故 为负值; r

x 第三象限:x ? 0, r ? 0, 故 为负值; r x 第四象限:x ? 0, r ? 0, 故 为正值. r

o

x

y 3、正切函数值 tan ? ? x
y 第一象限:x ? 0, y ? 0, 故 为正值; x y 第二象限:x ? 0, y ? 0, 故 为负值; x y 第三象限:x ? 0, y ? 0, 故 为正值; x y 第四象限:x ? 0, y ? 0, 故 为负值. x
y

o

x

y

y

y

o
sin ?

x

o

x

o

x

cos?

tan ?

规律:
“一全正、二正弦正、三正切正、四余弦正”.

例4:确定下列三角函数值的符号。

? ?? ?1? cos 260 ???????????????????? 2 ? sin ? ? ? ; ? 6? 15 ° ? 3? tan ? ?702 ???????????????? 4 ? tan ? . 4
°

(+ ) ( )

(+ ) ( )

( )

-

(+ )

( )

-

(+ )

-

-

( )

-

(+ )

(+ )

( )

-

sin ?
解: ∵

260 ? ?
°

?
6

cos?

15? ? ?702 ? ?
°

tan ?

分别位于第三象限、第四象限、第一 象限、第四象限。 ∴ (1)负 (2)负 (3)正 (4)负

例5:
求证:当且仅当不等式组下列不等式组成立 时,角θ 为第三象限角。

?sinθ < 0 ? ?tanθ > 0

解: 因为sinθ<0,所以θ在第三象限或第四象 限,或θ的终边落在y轴的负半轴上。 因为tanθ>0.所以θ在第一象限或第三象 限。

由于sinθ<0与tanθ>0同时成立,所以θ在 第三象限。

直角三角中的锐角三角函数

象限角中的锐角三角函数
单位圆上点的坐标表示的锐角三角函数

单位圆上点的坐标表示的任意角三角函数
任意角终边上任一点坐标定义三角函数

探究
根据三角函数的定义:
终边相同的角的同一三角函数值 是否相等?

∵终边相同的角的集合为:

{? ? ? ? ? k 2? , k ? Z }
∴ 终边相同
点的坐标相同 同一三角函数值

终边相同的角的同一三角函数值相 等,由此得到一组公式(公式一):

sin(α + k ? 2π) = sinα; cos(α + k ? 2π) = cosα; tan(α + k ? 2π) = tanα (k ? z)。
利用公式一,作用在于可将求任意角的 三角函数值,转化为求0~2π (或0°~ 360°)范围内的三角函数值。

例6:求下列三角函数的值。

17π (1)cos ; 4

9π 7π (2)sin ? tan 。 4 3

17π π 1 = cos = 解:(1)cos 4 4 2 9π 7π π π (2)sin gtan = sin gtan 4 3 4 3 1 3 = g 3= 2 2

前面我们学习了任意角的三 角函数,它主要从数上研究了它 们,能否从图形上来研究呢?

思考1:如图,设角α为第一象限角,其终边与 单位圆的交点为P(x,y),则 sin ? ? y ,

cosα = x 都是正数,你能分别用一条线段表
示角α的正弦值和余弦值吗?

y

| MP |= y = sinα
| OM |= x = cosα
O
M

P(x,y)

x

思考2:若角α为第三象限角,其终边与单位圆 sin ? ? y 的交点为P(x,y),则 ,

cos ? ? x 都是负数,此时角α的正弦值和余弦
值分别用哪条线段表示?

y M

? | MP |? y ? sin ?
? | OM |? x ? cos ?
O x

P(x,y)

思考3:为了简化上述表示,我们设想将线 段的两个端点规定一个为始点,另一个为终 点,使得线段具有方向性,带有正负值符号。 根据实际需要,应如何规定线段的正方向和 负方向?

规定:线段从始点到终点与坐标轴同向 时为正方向,反向时为负方向。

一、有向线段

y
M

y α终边
p(x , y)

o

x

o

M

x

p(x , y)
α终边

象OM、MP这种被看 作带有方向的线段, 叫做有向线段。

我们规定OM与x轴同向时,OM的方向 是正向,x为正值;OM与x轴反向时, OM 的方向是负向,x为负值;无论是那种情况 都有:OM=x=cosα。 我们规定MP与y轴同向时,MP的方向 是正向,y为正值;MP与y轴反向时,MP的 方向是负向,y为负值;无论是那种情况都 有:MP =y=sinα。

二、正弦线、余弦线 设任意角α与单位圆交于点 p(x , y),则r = |op| = 1.

y
p(x , y)
α

sinα= y cosα = x

o

x

因此,p(x , y)坐标也表示为p(cosα , sinα).

p
M

y

y α 终边
p(x , y)

o y
M

x
正弦线

o

M

x

余弦线 x o

y
M

o
p

x
p

三、正切线 过A(1,0)作圆的切线, 称AT为角α的正切线.

y α 终边
p T A x

o

α 终边

p

y

y 过A(1,0)作圆的切线 p

T
α 终边

M

o

A(1,0) x

o

A(1,0) x M

T y T M y

o
α 终边

A(1,0) x

o

M A(1,0) x p
α 终边

p

T

例7:不查表,比较大小。

2? 4? ⑴ sin 和 sin 3 5
解: 由图形得到

y 1

2π 4π sin > sin 3 5

o

1x

2? 4? (2)cos 和 cos 3 5
解: 由图形得到

y

1

2π 4π cos > cos 3 5

o

1x

2? 4? ⑶ tan 和 tan 3 5
解: 由图形得到

y 1

2π 4π tan < tan 3 5

o

x

结论
三角函数线是三角函 数的几何表示,它可 以直观刻画三角函数 的概念与三角函数的 定义结合起来,可以 从数与形两方面认识 三角函数的定义.

1、正弦线

2、余弦线
3、正切线

注意:正弦线、余弦线、正切 线都是有向线段,有正负之分.

课堂小结
1、任意角的三角函数定义 三角函数(正弦,余弦,正切)都是以角为自变量,以单 位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数.
(由于角的集合与实数集合之间可以建立一一对应 关系,三角函数可以看成是自变量为实数的函数.) 所以三角函数可以记为:

y ? sin x y ? cos x y ? tan x

定义域为R;

π 定义域为 {x | x ? kπ + , k ? Z}. 2

定义域为R;

2、三角函数在象限内的符号 -

(+ )

(+ )

( )

(+ )

( )

-

(+ )

( )

-

( )

-

( )

-

(+ )

(+ )

( )

-

sinα

cosα

tanα

3、公式一(诱导公式)

sin(? ? k ? 2? ) ? sin ? ; cos(? ? k ? 2? ) ? cos ? ; tan(? ? k ? 2? ) ? tan ? ( k ? z ).
应用 (1)判断符号 ?

(2)求值

? ?? ? ?

高考链接
1.(2009全国)
2 A. ? 2

的值为(
3 C. ? 2

A

)

2 B. 2

3 D. 2

解析:
本题主要考察诱导公式:

2.(2009陕西) B.



的值为( B
D.



A. 0

C. 1

解析:
本题考查同角三角函数的基本关系式和运 算能力,以及转化与化归的思想。因

tan ? ? 2

故选B。

4 tan 3. (2007江西)若tan ? ? 3, ? ? 则 tan(? ? ? ) 3 等于( D )
A. -3
1 B. ? 3

C. 3

1 D. 3

解析:
4 3? tan ? ? tan ? 3 ?1 tan(? ? ? ) ? ? 1 ? tan ? tan ? 1 ? 3 ? 4 3 3
故选D

课堂练习
1. 以下四个命题中,正确的是(

C

)

A.在定义域内,只有终边相同的角的三 角函数值才相等。
π π ? ? ? ? B. ?α | α = kπ + ,k ? Ζ ? ? ?β | β = kπ + ,k ? Ζ ?。 6 6 ? ? ? ?

C.若a是第二象限的角,则 sin 2? ? 0 。 D.第四象限的角可表示为:
3π ? ? α | 2kπ + < α < 2kπ,k ? Ζ ?。 ? 2 ? ?

2. 若角a的终边过点(-3,-2),则( C )

A.sina tana>0 C.sina cosa>0

B.cosa tana>0 D.sina cota>0

3.角α的终经过点P(2,3),则有( C 2 13 A. sinα = 13 13 B. cosα = 2

)

3 13 3 C. sinα = D. tanα = 13 2 4.若角α的终边在直线y = 2x上,则sinα等于( C ) 1 A. ? 5 5 B. ? 5 2 5 C. ? 5 1 D. ? 2

3 5.α的终边经过P(-b,4),且cosα = - ,则 5 3 b的值为_____。

6.已知角α的终边在y = x上,则 sinα + cosα = ± 2 _______。

7.若sinαtanα > 0,则α的终边在( D A.第一象限 C.第二或第三象限 A. sin(-660 ) C. cos(-740 )
o o

)

B. 第四象限 D.第一或第四象限
B )
o

8.下列各三角函数值中,取负值的是( B.tan160
o o

D.sin(-420 )? cos570

教材习题答案
7π 1 7π 3 7π 3 1.sin = - ,cos = - ,tan = 6 2 6 2 6 3
5 12 5 2.sinθ = ,cosθ = - , tanθ = 13 13 12

4. 当α为钝角时,cosα和tanα取负值。

5.(1)正(2)负(3)零(4)负(5)正(6) 正

6. (1)①③或①⑤或③⑤ (2)①④或①⑥或④⑥ (3)②④或②⑤或④⑤ (4)②③或②⑥或③⑥ 7. (1)0.8746 (2) 3(3) 0.5 (4) 1

1. 终边在不同位置的角对应的三角函数值的 情况,包括三角函数值的符号情况,终边相 同的角的同一三角函数的值相等。

2.(1)如图所示(2)、(3)、(4)略。
3. 225°角的正弦、余弦、正切线的长分别 为2.5米,4.3米,2.9米,期中5,2.5是准确 数,其余都是近似数(图略)。
3.5 3.5 ° sin225 = = -0.7,cos225 = = -0.7, 5 5 4.3 ° ° ° tan225 = 1;sin330 = -0.5;cos330 = = 0.86, 5 ° 2.9 tan330 = -0.58 5
°

4、三角函数线是三角函数的几何表示,它直 观地刻画了三角函数的概念.与三角函数的定 义结合起来,可以从数与形两方面认识三角函 数的定义,并使得对三角函数的定义域、函数 值符号的变化规律、公式一得理解容易了。


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