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2012年塞尔维亚数学奥林匹克试题

1. 在平行四边形中, 为对角线上的一点, 且∠ = ∠, △的外接圆交于和。证明:∠ = ∠。 2. 找出所有的自然数组(, ),使得:| 2 , |2 且 + 1| 2 + 1。 3. 已知苍蝇和只蜘蛛被放置在2012 × 2012方格表的一些交点处。 然后每只蜘蛛移动到相邻交点处或原地不动 (同一交点可同时停留多 只蜘蛛) ,每只蜘蛛和苍蝇总是知道其它蜘蛛和苍蝇的位置, (1)找 置无关; (2)在2012 × 2012 × 2012的三维格中,回答相同的问题。 出最小的,使得能在有限次操作内,蜘蛛抓住苍蝇,且与其初始位

2012 年塞尔维亚数学奥林匹克试题

一次操作包括以下步骤: 首先, 苍蝇移动到相邻的交点处或原地不动;

(注:一个交点仅有一个坐标与另一个交点的同一坐标不同,且其差

值为1,则称该两个交点相邻。若一蜘蛛和苍蝇位于同一交点视为蜘 4. 找 出 所 有 的 自 然 数 , 使 得 存 在 数 组 (1,2, ? , ) 的 一 个 置 换 蛛抓住苍蝇。 )

2, ? , ? 是摸的完全剩余系。

对所有不同整数, , , 有(, , ) > 1 ? (), (), ()不共线。 6. 有(> 1)堆硬币,它们是两类不同的硬币:真硬币和假硬币,它 们外表相同。同一类型的硬币质量相同,不同类型的硬币质量不同; 同一堆中的硬币属同一类型。已知真硬币的质量,找出用电子天平称 量次数的最小值, 使得我们能确定每堆硬币的类型及假币的质量。 假 (

5. 令是所有二维整数格的集合,是否存在一个双射: → 满足:

(1 , 2 , ? , ) , 满 足 集 合 1 + 1, 2 + 2, ? , + 和 1 ? 1, 2 ?

定每堆硬币有无限多个。 )


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