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09高考辽宁省第一学期期末模拟试题分类汇编第3部分:数列


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辽宁省期末模拟试题分类汇编
部分: 第 3 部分:数列
一、选择题 1.(沈阳市回民中学 2008-2009 学年度上学期高三第二次阶段测试文科) 学年度上学期高三第二次阶段测试文科) ( 在等差数列 {a n } 中,有 a 6 + a 7 + a8 = 12 ,则此数列的前 13 项之和为( A.24 答案: 答案:C. B.39 C.52 D.104 )

2.(沈阳市回民中学 2008-2009 学年度上学期高三第二次阶段测试文科) ( 学年度上学期高三第二次阶段测试文科) 已知数列 {a n } 为等差数列,若 大值为( A.11 答案: 答案:B. 3.(辽宁省沈阳二中 2008—2009 学年上学期高三期中考试) ( — 学年上学期高三期中考试) 数 列 {a n }满足a1 = 1, a n+1 ) B.19 C.20 D.21

a11 < 1, 且它们的前 n 项和 Sn 有最大值,则使得 S n > 0 的 n 的最 a10

1 m 2 2 + 4 = 1, 记S n = a12 + a 2 +L + a n , 若 S 2 n+1 S n ≤ 对任意 2 30 an
C.8 ( ) D.7

n ∈ N * 恒成立,则正整数 m 的最小值
A.10 答案: 答案:A. B.9

4.(抚顺一中 2009 届高三第一次模拟) ( 届高三第一次模拟) 数列{an}满足 a1+ 3a2+ 3 a3+…+ 3 an= A
2 n-1

n 3n

B

1 2n

n ,则 an= 2 1 C 2 3 n 1

D

1 3 2 n 1

答案: 答案:C. 5.(抚州一中 2009 届高三第四次同步考试) ( 届高三第四次同步考试) 已知数列{an}满足 an+1=an–an–1(n≥2) 1=a,a2=b,记 Sn=a1+a2+a3+…+an,则下列结论正确的是 ,a A.a2008= – a,S2008=2b – a C.a2008= – b,S2008=b – a 答案: 答案:A. B.a2008= – b,S2008=2b – a D.a2008= – a,S2008=b – a

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6.(辽宁省部分重点中学协作体 2008 年高考模拟) ( 年高考模拟) 设等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 若S 4 = 8, S 8 = 20, 则a11 + a12 + a13 + a14 = ( A.18 答案: 答案:C. B.17 C.16 D.15 )

7.(辽宁省部分重点中学协作体 2008 年高考模拟) ( 年高考模拟) 等比数列 {a n } 的首项为 3,公比为 2,其前 n 项和记为 Sn;等比数列 {bn } 的首项为 2,公比为 3, 其前 n 项和记为 Tn,则 lim =
n →∞

a n + bn = S n + Tn
C.





A.

1 2

B.1

2 3

D.2

答案: 答案:C.

8.(2008 年东北三省三校高三第一次联合模拟) ( 年东北三省三校高三第一次联合模拟) 数列 {a n } 的前 n 项和 Sn,且 a n = 2n + 1 ,则数列 { A. 45 答案: 答案:D. B. 50 C. 55

Sn } 的前 11 项和为 n
D. 66

二、填空题 1.(沈阳市回民中学 2008-2009 学年度上学期高三第二次阶段测试) 学年度上学期高三第二次阶段测试) ( 在实数等比数列 {a n } 中,有 a 2 + a 6 = 34, a 3 a 5 = 64, 则a 4 = 答案: 答案:8. 2.(辽宁省沈阳二中 2008—2009 学年上学期高三期中考试) ( 年上学期高三期中考试) — 数列 1,2,4,7,11,16,……的一个通项公式为 a n = 。

答案: 答案:

n2 n + 2 2

3.(辽宁省抚顺一中 2009 届高三数学上学期第一次月考) ( 届高三数学上学期第一次月考 已 知 方 程 x 2 mx + 2 |m-n|= 答案: 答案:

(

)( x

2

nx + 2 ) = 0 的 四 个 根 组 成 一 个 首 项 为

1 的等比数列,则 2



3 . 2

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三、解答题 1.(沈阳市回民中学 2008-2009 学年度上学期高三第二次阶段测试) ( 学年度上学期高三第二次阶段测试) 已知数列 {a n } 是等差数列,且 a1 = 1, S12 = 186. (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)若数列 {bn } 满足 bn = ( ) n ,记数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn,试证明:
a

1 2

Tn <

16 对n ∈ N * 恒成立。 7

答案: (1)设等差数列 {a n }的公差为d , 则S 12 = 12a 1 + 答案:解:

12 × 11 2

d ……………2 分

Q a1 = 1, S12 = 186.
∴186 = 12 + 66d ,
所以 d=3…………………………4 分 所以数列 {a n } 的通项公式 a n = 1 + ( n 1) × 3 = 3n 4 ………………6 分 (2) bn = ( ) 当 n≥2 时,

1 2

an

1 = ( ) 3n 4 ……………………8 分 2

bn 1 1 =( )= bn 1 2 8
1 2
1

∴数列 {bn } 是等比数列,首项 b1 = ( )

= 2, 公比q =

1 ………………10 分 8

1 2[1 ( ) n ] 16 1 16 8 ∴ Tn = = × [1 ( ) n ] < 对n ∈ N * 恒成立………………12 分 1 7 18 7 1 8
2.(沈阳市回民中学 2008-2009 学年度上学期高三第二次阶段测试) ( 学年度上学期高三第二次阶段测试) 已知数列 {a n } 中, a1 = 8, a 4 = 2且满足a n + 2 2a n +1 + a n = 0(n ∈ N *) (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)设 S n =| a1 | + | a 2 | + L + | a n |, 求S n (3)设 bn =

1 , Tn = b1 + b2 + L + bn (n ∈ N *). 是否存在最大的整数 m,使得对任意 n(12 a n )
m 成立?若存在,求出 m,若不存在,请说明理由。 32

n ∈ N * ,均有 Tn >

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答案: (1) a n = 2n + 10 ……………………5 分 答案:解: (2) S n =

2 n + 9 n 1 ≤ n ≤ 5 ……………………10 分 2 n≥6 n 9n + 40 1 1 1 1 = ( ) 2n(n + 1) 2 n n + 1

(3)由(1)可得 bn = 则 T n = b1 + b2 + L + bn

1 1 1 1 1 1 = [(1 ) + ( ) + L + ( )] 2 2 2 3 n n +1 1 1 = (1 ) ……………………12 分 2 n +1
由 Tn 为关于 n 的增函数, 故 (Tn ) min = T1 = 则

1 m ,于是欲使 Tn > 对n ∈ N * 恒成立 4 32

m 1 < 则m < 8 32 4

∴存在最大的整数 m=7 满足题意…………………………14 分 3.(沈阳二中 2009 届高三期末数学试题) ( 届高三期末数学试题)

1 a + n, n为奇数 ,且 bn = a2 n 2 , n ∈ N * 已知数列 {an } 满足: a1 = 1, an +1 = 2 n an 2n, n为偶数 (Ⅰ)求 a2 , a3 , a4 ; (Ⅱ)求证数列 {bn } 为等比数列并求其通项公式; (Ⅲ) 理)求和 S2n+1= a1 + a 2 + L + a 2 n + a 2 n +1 . ( (文)求和 Tn = a2 + a4 + a6 L + a2 n
答案: (Ⅰ) a2 = 答案:

3 5 7 , a3 = , a4 = ………2 分 2 2 4

1 a2 n 1 + (2n 1) 2 2 1 1 1 = [a2 n 2 2(2n 2)] + (2n 1) 2 = [a2( n 1) 2] = bn 1 2 2 2 1 ∴ 又b1 = a2 2 = 2

(Ⅱ)当 n ≥ 2时, bn = a2 n 2 = a(2 n 1)+1 2 =

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1 1 1 ∴ bn = ( ) n 1 = ( ) n 2 2 2

………………6 分

(理) (Ⅲ)∵

a2 n = bn + 2 a2 n +1 = a2 n 4n = bn + 2 4n

∴ S 2 n +1 = a1 + a 2 + L + a 2 n + a 2 n +1 = (a 2 + a 4 + L + a 2 n ) + (a1 + a3 + a 5 + L + a 2 n +1 ) (b1 + b2 + L + bn + 2n) + [a1 + (b1 4 × 1) + (b2 4 × 2) + L + (bn 4 × n) + 2(n + 1)] = a1 + 2(b1 + b2 + L + bn ) 4 × (1 + 2 + L + n) + (2n + 1)2 1 1 [1 ( )n ] 2 4 × n(n + 1) + (2n + 1)2 = ( 1 )n 1 2n 2 + 2n 1. ……12 分 = 1 2× 2 1 2 2 1 2 (文) (Ⅲ)∵ a2 n = bn + 2 ∴ Tn = a2 + a4 L + a2 n = (b1 + b2 + L + bn + 2n) 1 1 [1 ( )n ] 2 + 2n = ( 1 ) n + 2n 1. …………12 分 = 2 1 2 1 2
4.(辽宁省沈阳二中 2008—2009 学年上学期高三期中考试) ( 学年上学期高三期中考试) — 已知各项均为正数的数列 {a n }的前n项和为S n ,

1 S n 是 与( a n + 1) 2 的等比中项。 4
(1)求证:数列 {a n } 是等差数列; (2)若 bn =

an , 数列{bn } 的前 n 项和为 Tn,求 Tn。 2n

答案: (1)由题意, S n = 答案:

1 ( a n + 1) 2 , 当n = 1时, a1 = 1 4 1 2 2 当 n ≥ 2时, a n = S n S n 1 = ( a n a n 1 + 2a n 2a n 1 ), 4

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即 (a n + a n +1 )( a n a n 1 2) = 0

Q an > 0 ∴ a n a n 1 2 = 0,
即∴ a n a n 1 = 2,

∴ 数列{a n } 是等差数列
2n 1 2n 1 3 5 2n 1 Tn = + 2 + 3 + L + ① 2 2 2 2n 1 1 3 5 2n 1 Tn = 2 + 3 + 4 L + n +1 ② 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2n 1 ①—②得 Tn = + 2 + 3 + L + n n +1 2 2 2 2 2 2 2n + 3 ∴ Tn = 3 2n
(2) a n = 2n 1, 则bn = 5.(辽宁省抚顺一中 2009 届高三数学上学期第一次月考) (辽宁省抚顺一中 届高三数学上学期第一次月考 {an}为等差数列,且 a1 + a2 n 1 = 2n , Sn 为数列{ (1)比较 f(n)与 f(n+1)的大小; (2)若 g ( x) = log 2 x 12 f ( n ) < 0 ,在 x∈[a,b]且对任意 n>1,n∈N 恒成立,求实数 a、b
*

1 }的前 n 项和,设 f ( n ) = S 2n S n an

满足的条件。 答案: (1)an=n,f(n+1)- f(n)=S2(n+1)- Sn+1-[ S2n- Sn]= S2(n+1)- S2n- (Sn+1-Sn) 答案: = a2n+2+ a2n+1-an+1 = ---------------------------------------------------------3 分

1 1 1 1 + = >0 2n + 2 2n + 1 n + 1 (2n + 1)(2n + 2)
----------------------------------------------------6 分

∴f(n+1)> f(n)

(2)由上知:{ f(n)}为递增数列,只须 log2x<12 f(2)成立,--------------8 分 f(2)= S4-S2= ∴log2x<7, ∴0<x<128,

7 12

----------------------------------------10 分

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∴0<a<b<128 -----------------------------------------------------12 分

6.(辽宁省抚顺一中 2009 届高三数学上学期第一次月考 (辽宁省抚顺一中 届高三数学上学期第一次月考) 若公比为 c 的等比数列{an}的首项 a1=1,且满足 an= (1)求 c 的值; (2)设 bn=nan 求数列{bn}的前项和 Sn . 答案: (1)2a3 =a2+a1,c=1,c=答案: (2) ①当 c=1 时,an=1,bn=nan=n,

an 1 + an 2 ,n=3,4,5,… 2

1 ,----------------------------------------------(3 分) 2

n(n + 1) --------------------------------------------------------------(6 分) 2 1 1 n-1 ②当 c=- 时,an=(- ) , 2 2 1 n-1 bn=nan=n(- ) ,-----------------------------------------------------(8 分) 2 1 1-1 1 2-1 1 3-1 1 n-1 Sn= 1 (- ) +2 (- ) +3 (- ) +…+n (- ) 2 2 2 2 1 1 2-1 1 3-1 1 n-1 1 n - S n= 1 (- ) +2 (- ) +…+(n-1)(- ) + n (- ) 2 2 2 2 2 4 4 2n 1 n 相减得;Sn= -( + )(- ) --------------------------------------(12 分) 9 9 3 2
S n= 7.(抚州一中 2009 届高三第四次同步考试) ( 届高三第四次同步考试)

n2 + n 2 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n 且 S n = 2 + (n ∈ N *) . 2 (Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn = ( a n n)(3n 1) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ; 1 1 1 33 n 1 (Ⅲ)设 c n = a n 2 ,证明: 2 + 2 + L + 2 < . 20 c1 c2 cn
n

n2 + n 2 答案: (Ⅰ) S n = 2 + (1) 答案: 2
n n

S n+1 = 2

n +1

(n + 1) 2 + (n + 1) 2 + 2
n 1

(2)

(2)-(1)得: a n +1 = 2 + n + 1 ,所以 a n = 2
n 1

+n

(3 分)

(Ⅱ) bn = (3n 1) 2

Tn = 2 × 2 0 + 5 × 21 + L + (3n 1) 2 n 1

(3)

2Tn = 2 × 21 + 5 × 2 2 + L + (3n 4) 2 n 1 + (3n 1) 2 n (4)

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(3)-(4)得: Tn = 2 + 3 × 2 + 3 × 2 + L + 3 × 2
1 2 n 1

(3n 1) 2 n

= 2 + 3 × 2 n 6 (3n 1) 2 n

8.(辽宁省部分重点中学协作体 2008 年高考模拟) (辽宁省部分重点中学协作体 年高考模拟) 已知数列 {a n } 满足 a1 = 0且a n +1 = 2a n + n( n ∈ N *) (1)求 a 2 , a 3 , 并证明 : a n + 2 a n +1 = 2( a n +1 a n ) + 1; (2)设 bn = a n +1 a n ( n ∈ N *), 求数列{bn } 的通项公式; (3)求数列 {a n }( n ∈ N *) 的通项公式。 答案: (1) a 2 = 2a1 + 1 = 1, a3 = 2a 2 + 2 = 4 ………………2 分 答案: 证明:Q

a n + 2 = 2a n +1 + n + 1 a n +1 = 2a n + n

∴ a n + 2 a n +1 = 2(a n+1 a n ) + 1 ………………4 分
(2)Q bn +1 = 2bn + 1

∴ bn+1 + 1 = 2(bn + 1) ……………………6 分 ∴ bn + 1 = 2 n 1 (b1 + 1) ∴ bn = 2 n 1 (a 2 a1 + 1) 1 = 2 n 1 ………………8 分

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(3)当 n ≥ 2 时,有 a n a n 1 = 2
n 1

1, a n 1 a n 2 = 2 m 2 1, L , a 2 a1 = 21 1

∴ a n a 2 = (2 n 1 + 2 n 2 + L + 21 ) (n 1) …………10 分 ∴当n ≥ 2时a n = 2 n n 1
而 a1 = 0

∴ a n = 2 n n 1(n ∈ N *) ………………12 分
9.(辽宁省部分重点中学协作体 2008 年高考模拟) ( 年高考模拟) 设 a>2,给定数列 {x n }, 其中x1 = a, x n +1 = (1) x n > 2 ,且 x n +1 < x n ( n ∈ N *); (2)如果 2 < a ≤ 3, 那么x n ≤ 2 +
2 xn (n ∈ N *) 求证: 2( x n 1)

1 2 n 1

(n ∈ N *) 。

答案: (1)使用数学归纳法证明 x n > 2 答案:证明: 当 n=1 时, x1 = a > 2命题成立; 假设当 n = k ( k ∈ N *) 时命题成立,即 x n > 2.

x 4 x n + 4 ( x n 2) 2 = >0 当 n = k + 1时, x n +1 2 = n 2( x n 1) 2( x n 1)
2

即 x n +1 > 2. 综上对一切 n ∈ N *, 有x n > 2. ……………………4 分 当 x n >2 时,

x n +1 xn = = xn 2( x n 1)

1 1 2(1 ) xn

<

1 1 2(1 ) 2

=1

∴ x n +1 < x n (n ∈ N *) ………………6 分
(2)因为 x n >2,所以

xn 2 1 = 1 ∈ (0,1). xn 1 xn 1

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故 x n +1 2 =

x 2 1 ( x n 2) 2 1 = ( x n 2) n x 1 < 2 ( x n 2)(n ∈ N *) …………10 分 2( x n 1) 2 n

由此可得 x n 2 ≤

1 1 1 1 ( x n 1 2) ≤ 2 ( x n 2 2) ≤ L ≤ ( x1 2) n 1 = (a 2) n 1 , 2 2 2 2 a2 1 x n ≤ 2 + n 1 , 所以当a ≤ 3时, x n ≤ 2 + n 1 (n ∈ N *) …………12 分 2 2

10.(2008 年东北三省三校高三第一次联合模拟) ( 年东北三省三校高三第一次联合模拟) 已 知 数 列 {a n } 的 前 n 项 和 为 S n , 点 ( a n + 2, S n +1 ) 在 直 线 y = 4 x 5 上 , 其 中 n ∈ N . 令
*

bn = a n +1 2a n ,且 a1 = 1 , (1)求数列 {bn } 的通项公式; (2)求数列 {nbn } 的前 n 项和 Tn
答案(1)∵ S n +1 = 4( a n + 2) 5 ,∴ S n +1 = 4a n + 3 . 答案 ∴ S n = 4a n 1 + 3 ( n ≥ 2 ). ∴ a n +1 = 4a n 4a n 1 ( n ≥ 2 ). ∴ a n +1 2a n = 2( a n 2a n 1 ) ( n ≥ 2 ). ∴

bn a 2a n = n +1 = 2 ( n ≥ 2 ). bn 1 a n 2a n 1

…3 分

∴ 数列 {bn } 等比,公比 q = 2 ,首项 b1 = a 2 2a1 , 而 a1 + a 2 = 4a1 + 3 ,且 a1 = 1 ,∴ a 2 = 6 . ∴ b1 = 6 2 = 4 . ∴ bn = 4 × 2
n 1

= 2 n +1 .

…6 分

(2)Q Tn = b1 + 2b2 + 3b3 + L + nbn .

= 2 2 + 2 2 3 + 3 2 4 + L + n 2 n +1 ,
∴2 Tn = 2 + 2 2 + 3 2 + L + n 2
3 4 5
n+2

① . ②

①-②得 - Tn = 2 + 2 + 2 + L + 2
2 3 4

n +1

n 2 n+2 ,

=

4(1 2 n ) n 2 n+ 2 1 2

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= 4(1 2 n ) n 2 n + 2 ,
∴ Tn = 4 + ( n 1) 2 n + 2 . …9 分 …12 分


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