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2015-2016学年人教A版选修2-2 1.3.1 函数的单调性与导数 作业

选修 2-2
一、选择题

1.3.1 函数的单调性与导数

1.设 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0),则 f(x)为 R 上增函数的充要条件是( A.b2-4ac>0 C.b=0,c>0 [答案] D [解析] ∵a>0,f(x)为增函数, ∴f′(x)=3ax2+2bx+c>0 恒成立, ∴Δ=(2b)2-4×3a×c=4b2-12ac<0,∴b2-3ac<0. 2.(2009· 广东文,8)函数 f(x)=(x-3)ex 的单调递增区间是( A.(-∞,2) C.(1,4) [答案] D [解析] 考查导数的简单应用. f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)ex, 令 f′(x)>0,解得 x>2,故选 D. B.(0,3) D.(2,+∞) ) B.b>0,c>0 D.b2-3ac<0

)

3.已知函数 y=f(x)(x∈R)上任一点(x0,f(x0))处的切线斜率 k=(x0-2)(x0+1)2,则该函 数的单调递减区间为( A.[-1,+∞) C.(-∞,-1)和(1,2) [答案] B [解析] 令 k≤0 得 x0≤2,由导数的几何意义可知,函数的单调减区间为(-∞,2]. 4.已知函数 y=xf′(x)的图象如图(1)所示(其中 f′(x)是函数 f(x)的导函数),下面四个 图象中,y=f(x)的图象大致是( ) ) B.(-∞,2] D.[2,+∞)

[答案] C [解析] 当 0<x<1 时 xf′(x)<0 ∴f′(x)<0,故 y=f(x)在(0,1)上为减函数 当 x>1 时 xf′(x)>0,∴f′(x)>0,故 y=f(x)在(1,+∞)上为增函数,因此否定 A、B、 D 故选 C. 5.函数 y=xsinx+cosx,x∈(-π,π)的单调增区间是( π? ? π? A.? ?-π,-2?和?0,2? π ? ? π? B.? ?-2,0?和?0,2? π? ?π ? C.? ?-π,-2?和?2,π? π ? ?π ? D.? ?-2,0?和?2,π? [答案] A π [解析] y′=xcosx,当-π<x<- 时, 2 cosx<0,∴y′=xcosx>0, π 当 0<x< 时,cosx>0,∴y′=xcosx>0. 2 6.下列命题成立的是( ) )

A.若 f(x)在(a,b)内是增函数,则对任何 x∈(a,b),都有 f′(x)>0 B.若在(a,b)内对任何 x 都有 f′(x)>0,则 f(x)在(a,b)上是增函数 C.若 f(x)在(a,b)内是单调函数,则 f′(x)必存在 D.若 f′(x)在(a,b)上都存在,则 f(x)必为单调函数 [答案] B

[解析] 若 f(x)在(a,b)内是增函数,则 f′(x)≥0,故 A 错;f(x)在(a,b)内是单调函数 与 f′(x)是否存在无必然联系,故 C 错;f(x)=2 在(a,b)上的导数为 f′(x)=0 存在,但 f(x) 无单调性,故 D 错. 7.(2007· 福建理,11)已知对任意实数 x,有 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且 x>0 时, f′(x)>0,g′(x)>0,则 x<0 时( A.f′(x)>0,g′(x)>0 C.f′(x)<0,g′(x)>0 [答案] B [解析] f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性 ) B.f′(x)>0,g′(x)<0 D.f′(x)<0,g′(x)<0

相同(反),∴x<0 时,f′(x)>0,g′(x)<0. 8.f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足 xf′(x)+f(x)≤0,对任意正数 a、 b,若 a<b,则必有( A.af(a)≤f(b) C.af(b)≤bf(a) [答案] C [解析] ∵xf′(x)+f(x)≤0,且 x>0,f(x)≥0, f(x) ∴f′(x)≤- ,即 f(x)在(0,+∞)上是减函数, x 又 0<a<b,∴af(b)≤bf(a). 9.对于 R 上可导的任意函数 f(x),若满足(x-1)f′(x)≥0,则必有( A.f(0)+f(2)<2f(1) C.f(0)+f(2)≥2f(1) [答案] C [解析] 由(x-1)f′(x)≥0 得 f(x)在[1,+∞)上单调递增,在(-∞,1]上单调递减或 f(x) 恒为常数, 故 f(0)+f(2)≥2f(1).故应选 C. 10. (2010· 江西理, 12)如图, 一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面, 记 t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为 S(t)(S(0)=0),则导函数 y=S′(t)的图像大致为 ( ) B.f(0)+f(2)≤2f(1) D.f(0)+f(2)>2f(1) ) ) B.bf(b)≤f(a) D.bf(a)≤af(b)

[答案] A [解析] 由图象知,五角星露出水面的面积的变化率是增→减→增→减,其中恰露出一 个角时变化不连续,故选 A. 二、填空题 1 11.已知 y= x3+bx2+(b+2)x+3 在 R 上不是单调增函数,则 b 的范围为________. 3 [答案] b<-1 或 b>2 [解析] 若 y′=x2+2bx+b+2≥0 恒成立,则 Δ=4b2-4(b+2)≤0,∴-1≤b≤2, 由题意 b<-1 或 b>2. 12.已知函数 f(x)=ax-lnx,若 f(x)>1 在区间(1,+∞)内恒成立,实数 a 的取值范围 为________. [答案] a≥1 1+lnx [解析] 由已知 a> 在区间(1,+∞)内恒成立. x 1+lnx lnx 设 g(x)= ,则 g′(x)=- 2 <0 x x (x>1),

1+lnx ∴g(x)= 在区间(1,+∞)内单调递减, x ∴g(x)<g(1), ∵g(1)=1, ∴ 1+lnx <1 在区间(1,+∞)内恒成立, x

∴a≥1. 13.函数 y=ln(x2-x-2)的单调递减区间为__________. [答案] (-∞,-1) [解析] 函数 y=ln(x2-x-2)的定义域为(2,+∞)∪(-∞,-1), 1 令 f(x)=x2-x-2,f′(x)=2x-1<0,得 x< , 2 ∴函数 y=ln(x2-x-2)的单调减区间为(-∞,-1). 14.若函数 y=x3-ax2+4 在(0,2)内单调递减,则实数 a 的取值范围是____________. [答案] [3,+∞) [解析] y′=3x2-2ax,由题意知 3x2-2ax<0 在区间(0,2)内恒成立, 3 即 a> x 在区间(0,2)上恒成立,∴a≥3. 2

三、解答题 15.设函数 f(x)=x3-3ax2+3bx 的图象与直线 12x+y-1=0 相切于点(1,-11). (1)求 a、b 的值; (2)讨论函数 f(x)的单调性. [解析] (1)求导得 f′(x)=3x2-6ax+3b. 由于 f(x)的图象与直线 12x+y-1=0 相切于点(1,-11),所以 f(1)=-11,f′(1)=- 12,
? ?1-3a+3b=-11 即? , ?3-6a+3b=-12 ?

解得 a=1,b=-3. (2)由 a=1,b=-3 得 f′(x)=3x2-6ax+3b=3(x2-2x-3) =3(x+1)(x-3). 令 f′(x)>0,解得 x<-1 或 x>3;又令 f′(x)<0,解得-1<x<3. 所以当 x∈(-∞,-1)时,f(x)是增函数; 当 x∈(3,+∞)时,f(x)也是增函数; 当 x∈(-1,3)时,f(x)是减函数. 1 16.求证:方程 x- sinx=0 只有一个根 x=0. 2 1 [证明] 设 f(x)=x- sinx,x∈(-∞,+∞), 2 1 则 f′(x)=1- cosx>0, 2 ∴f(x)在(-∞,+∞)上是单调递增函数. 而当 x=0 时,f(x)=0, 1 ∴方程 x- sinx=0 有唯一的根 x=0. 2 b 17.已知函数 y=ax 与 y=- 在(0,+∞)上都是减函数,试确定函数 y=ax3+bx2+5 x 的单调区间. b [分析] 可先由函数 y=ax 与 y=- 的单调性确定 a、b 的取值范围,再根据 a、b 的取 x 值范围去确定 y=ax3+bx2+5 的单调区间. b [解析] ∵函数 y=ax 与 y=- 在(0,+∞)上都是减函数,∴a<0,b<0. x 由 y=ax3+bx2+5 得 y′=3ax2+2bx.

2b 令 y′>0,得 3ax2+2bx>0,∴- <x<0. 3a 2b ? ∴当 x∈? ?-3a,0?时,函数为增函数. 令 y′<0,即 3ax2+2bx<0, 2b ∴x<- ,或 x>0. 3a 2b? ∴在? ?-∞,-3a?,(0,+∞)上时,函数为减函数. 18.(2010· 新课标全国文,21)设函数 f(x)=x(ex-1)-ax2. 1 (1)若 a= ,求 f(x)的单调区间; 2 (2)若当 x≥0 时 f(x)≥0,求 a 的取值范围. 1 1 [解析] (1)a= 时,f(x)=x(ex-1)- x2, 2 2 f′(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1). 当 x∈(-∞,-1)时,f′(x)>0;当 x∈(-1,0)时,f′(x)<0;当 x∈(0,+∞)时,f′(x)>0. 故 f(x)在(-∞,-1],[0,+∞)上单调递增,在[-1,0]上单调递减. (2)f(x)=x(ex-1-ax). 令 g(x)=ex-1-ax,则 g′(x)=ex-a. 若 a≤1,则当 x∈(0,+∞)时,g′(x)>0,g(x)为增函数,而 g(0)=0,从而当 x≥0 时 g(x)≥0,即 f(x)≥0. 当 a>1,则当 x∈(0,lna)时,g′(x)<0,g(x)为减函数,而 g(0)=0,从而当 x∈(0,lna) 时 g(x)<0,即 f(x)<0. 综合得 a 的取值范围为(-∞,1].


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