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2019高三一轮复习创新设计文科数学第四章 第4节


第4节

函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

最新考纲 1.了解函数 y=Asin(ωx+φ)的物理意义;能画出 y=Asin(ωx+φ)的图 象,了解参数 A,ω,φ 对函数图象变化的影响;2.会用三角函数解决一些简单实 际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.

知 识 梳 理 1.“五点法”作函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的简图 “五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与 x 轴相交的三个点, 作图时的一般步骤为: (1)定点:如下表所示. x ωx+φ y=Asin(ωx+φ) φ -ω 0 0 π 2-φ ω π 2 A π-φ ω π 0 3π 2 -φ ω 3π 2 -A 2π-φ ω 2π 0

(2)作图:在坐标系中描出这五个关键点,用平滑的曲线顺次连接得到 y=Asin(ωx +φ)在一个周期内的图象. (3)扩展:将所得图象,按周期向两侧扩展可得 y=Asin(ωx+φ)在 R 上的图象. 2.函数 y=Asin(ωx+φ)中各量的物理意义 当函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞)表示简谐振动时,几个相关的 概念如下表: 简谐振动 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0), x∈[0,+∞) 振幅 A 周期 2π T= ω 频率 1 f=T 相位 ωx+φ 初相 φ

3.函数 y=sin x 的图象经变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象的两种途径

[常用结论与微点提醒] φ 1.由 y=sin ωx 到 y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的变换:向左平移ω个单位长度而非 φ 个单位长度. π 2.函数 y=Asin(ωx+φ)的对称轴由 ωx+φ=kπ+2,k∈Z 确定;对称中心由 ωx+φ =kπ,k∈Z 确定其横坐标. 诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) π (1) 将函数 y = 3sin 2x 的图象左移 4 个单位长度后所得图象的解析式是 y = π? ? 3sin?2x+4?.( ) ? ? (2)利用图象变换作图时 “先平移,后伸缩”与 “先伸缩,后平移”中平移的长度一 致.( )

(3)函数 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为 T,那么函数图象的两个相邻对称中心之 T 间的距离为2.( )

(4)由图象求解析式时, 振幅 A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点 的值确定的.( ) π 解析 (1)将函数 y=3sin 2x 的图象向左平移4个单位长度后所得图象的解析式是 y =3cos 2x. (2)“先平移,后伸缩”的平移单位长度为|φ|,而“先伸缩,后平移”的平移单位长度 ?φ? 为?ω?.故当 ω≠1 时平移的长度不相等. ? ? 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ ) ?1 π? 2.(必修 4P56T3 改编)y=2sin?2x-3?的振幅、频率和初相分别为( ? ?

π A.2,4π,3 1 π C.2,4π,-3

1 π B.2,4π,3 π D.2,4π,-3

1 ω 1 π 解析 由题意知 A=2,f=T=2π=4π,初相为-3. 答案 C π? 1 ? 3.(2016· 全国Ⅰ卷)若将函数 y=2sin?2x+6?的图象向右平移4个周期后,所得图象 ? ? 对应的函数为( π? ? A.y=2sin?2x+4? ? ? π? ? C.y=2sin?2x-4? ? ? ) π? ? B.y=2sin?2x+3? ? ? π? ? D.y=2sin?2x-3? ? ? π? π? 1 ? ? 解析 函数 y=2sin?2x+6?的周期为 π, 将函数 y=2sin?2x+6?的图象向右平移4个 ? ? ? ? π? π ? ? π? π? x-4?+ ?=2sin? ?2x-3?,故选 D. 周期即4个单位,所得函数为 y=2sin?2? 6 ? ? ? ? ? ? 答案 D 4.(2018· 长沙模拟改编 )y= cos(x+1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是 ________. 解析 相邻最高点与最低点的纵坐标之差为 2,横坐标之差恰为半个周期 π,故 它们之间的距离为 π2+4. 答案 π2+4

5.(2018· 沈阳质检)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0, 0<φ<π)的部分图象如图所示, ?π? 则 f ?4?的值为________. ? ?

3 11π π 3π 解析 由图象可知 A=2,4T= 12 -6= 4 ,∴T=π,∴ω=2. π ∵当 x=6时,函数 f(x)取得最大值, π π π ∴2× + φ = + 2 k π( k ∈ Z ) , ∴ φ = 6 2 6+2kπ(k∈Z),

π? π ? ∵0<φ<π,∴φ=6,∴f(x)=2sin?2x+6?, ? ? π ?π? ?π π? 则 f ?4?=2sin?2+6?=2cos 6= 3. ? ? ? ? 答案 3

考点一 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及变换 π? ? 【例 1】 某同学用“五点法”画函数 f(x)=Asin(ωx+φ) ?ω>0,|φ|<2?在某一个周期 ? ? 内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表: ωx+φ x Asin(ωx+φ) 0 0 π 2 π 3 5 π 3π 2 5π 6 -5 2π

0

(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数 f(x)的解析式; (2)将 y=f(x)图象上所有点向左平行移动 θ(θ>0)个单位长度,得到 y=g(x)的图象. ?5π ? 若 y=g(x)图象的一个对称中心为?12,0?,求 θ 的最小值. ? ? π 解 (1)根据表中已知数据,解得 A=5,ω=2,φ=-6.数据补全如下表: π 3π 0 π 2π ωx+φ 2 2 π π 7π 5π 13 x 12 3 12 6 12π Asin(ωx+φ) 0 5 0 -5 0 π? ? 且函数解析式为 f(x)=5sin?2x-6?. ? ? π? ? (2)由(1)知 f(x)=5sin?2x-6?, ? ? π? ? 得 g(x)=5sin?2x+2θ-6?. ? ? 因为函数 y=sin x 图象的对称中心为(kπ,0),k∈Z. π kπ π 令 2x+2θ-6=kπ,解得 x= 2 +12-θ,k∈Z. kπ π 5π ?5π ? 由于函数 y=g(x)的图象关于点?12,0?成中心对称,所以令 2 +12-θ=12,解得 ? ? kπ π θ= 2 -3,k∈Z.

π 由 θ>0 可知,当 k=1 时,θ 取得最小值6. 规律方法 作函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象常用如下两种方法: (1)五点法作图,用“五点法”作 y=Asin(ωx+φ)的简图,主要是通过变量代换,设 π 3 z=ωx+φ,由 z 取 0,2,π,2π,2π 来求出相应的 x,通过列表,计算得出五点 坐标,描点后得出图象; (2)图象的变换法,由函数 y=sin x 的图象通过变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象有 两种途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”. 2π? ? 【训练 1】 (2017· 全国Ⅰ卷)已知曲线 C1:y=cos x,C2:y=sin?2x+ 3 ?,则下面 ? ? 结论正确的是( )

A.把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平 π 移6个单位长度,得到曲线 C2 B.把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平 π 移12个单位长度,得到曲线 C2 1 C.把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平 π 移6个单位长度,得到曲线 C2 1 D.把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平 π 移12个单位长度,得到曲线 C2 ? π? 解析 易知 C1:y=cos x=sin?x+2?,把曲线 C1 上的各点的横坐标缩短到原来的 ? ? π? 1 ? ?2x+2?的图象,再把所得函数的图象向左平 倍,纵坐标不变,得到函数 y = sin 2 ? ? π ? π? 2π? π ? ? ? 移 个单位长度, 可得函数 y=sin?2?x+12?+2?=sin?2x+ 3 ?的图象, 即曲线 C2, 12 ? ? ? ? ? ? 因此 D 项正确. 答案 D 考点二 求函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式 【例 2】 (1)(一题多解)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如 图所示,则函数 f(x)的解析式为________.

π π? ? (2)(2018· 西安质检)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)?ω>0,-2≤φ≤2?的图象上的一个 ? ? 1? ? 最高点和它相邻的一个最低点的距离为 2 2 ,且过点?2,-2? ,则函数 f(x) = ? ? ________. 解析 (1)由题图可知 A= 2, 法一 T 7π π π 4=12-3=4,

所以 T=π,故 ω=2, 因此 f(x)= 2sin(2x+φ), ?π ? 又?3,0?对应五点法作图中的第三个点, ? ? π? π π ? ?2x+3?. 因此 2× + φ = π ,所以 φ = ,故 f ( x ) = 2sin 3 3 ? ? ?π ? ?7π ? 法二 以?3,0?为第二个“零点”,?12,- 2?为最小值点, ? ? ? ? π ω=2, ? ? ?ω· 3+φ=π, ? 列方程组? 解得? π 7π 3π φ=3, ? ? ?ω· ? 12+φ= 2 , π? ? 故 f(x)= 2sin?2x+3?. ? ? (2)依题意得 π π ? π ?2 ?π ? 22+?ω? =2 2,则ω=2,即 ω=2,所以 f(x)=sin?2x+φ?,由于 ? ? ? ?

1? 1 1 π π ? 该函数图象过点?2,-2?,因此 sin(π+φ)=- ,即 sin φ= ,而- ≤φ≤ ,故 φ 2 2 2 2 ? ? π ?π π? =6,所以 f(x)=sin?2x+6?. ? ? π? ? ?π π? 答案 (1)f(x)= 2sin?2x+3? (2)sin?2x+6? ? ? ? ? 规律方法 已知 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象求其解析式时,A 比 较容易看图得出,困难的是求待定系数 ω 和 φ,常用如下两种方法:

2π (1)五点法,由 ω= T 即可求出 ω;确定 φ 时,若能求出离原点最近的右侧图象上 升(或下降)的“零点”横坐标 x0,则令 ωx0+φ=0(或 ωx0+φ=π),即可求出 φ; (2)代入法,利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式,再结合 图形解出 ω 和 φ,若对 A,ω 的符号或对 φ 的范围有要求,则可用诱导公式变换 使其符合要求. π? ? 【训练 2】 (2018· 茂名一模)如图所示,函数 f(x)=Asin(2x+φ)?A>0,|φ|<2?的图象 ? ? 过点(0, 3),则 f(x)的图象的一个对称中心是( )

? π ? A.?-3,0? ? ? ?π ? C.?6,0? ? ? 解析 由题中函数图象可知:A=2, 由于函数图象过点(0, 3),

? π ? B.?-6,0? ? ? ?π ? D.?4,0? ? ?

3 所以 2sin φ= 3,即 sin φ = 2 , π π 由于|φ|<2,所以 φ=3, π? ? 则有 f(x)=2sin?2x+3?. ? ? π kπ π 由 2x+3=kπ,k∈Z 可解得 x= 2 -6,k∈Z, ?kπ π ? 故 f(x)的图象的对称中心是 ? 2 -6,0?,k∈Z,则 f(x)的图象的一个对称中心是 ? ? ? π ? ?-6,0?,故选 B. ? ? 答案 B 考点三 三角函数模型及其应用 【例 3】 如图,某大风车的半径为 2 m,每 12 s 旋转一周,它的最低点 O 离地面 0.5 m.风车圆周上一点 A 从最低点 O 开始,运动 t(s)后与地面的距离为 h(m).

(1)求函数 h=f(t)的关系式; (2)画出函数 h=f(t)(0≤t≤12)的大致图象. 解 (1)如图,以 O 为原点,过点 O 的圆的切线为 x 轴,建立直角坐标系.

设点 A 的坐标为(x,y),则 h=y+0.5. 2-y 设∠OO1A=θ,则 cos θ= 2 , y=-2cos θ+2. 2π π 又 θ=12× t,即 θ=6t, π 所以 y=-2cos6t+2, π h=f(t)=-2cos6t+2.5(t≥0). π (2)函数 h=-2cos6t+2.5(0≤t≤12)的大致图象如下.

规律方法 三角函数模型的应用体现在两方面: 一是已知函数模型求解数学问题, 二是把实际问题抽象转化成数学问题,建立数学模型,再利用三角函数的有关知 识解决问题.

【训练 3】 某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数 y=a ?π ? +Acos?6(x-6)?(x=1,2,3,…,12)来表示,已知 6 月份的月平均气温最高 ? ? 为 28 ℃, 12 月份的月平均气温最低为 18 ℃, 则 10 月份的平均气温为________℃. 解析 因为当 x=6 时,y=a+A=28; 当 x=12 时,y=a-A=18,所以 a=23,A=5, ?π ? 所以 y=f(x)=23+5cos?6(x-6)?, ? ? ?π ? 4? 所以当 x=10 时,f(10)=23+5cos?6× ? ? 1 =23-5× 2=20.5. 答案 20.5 考点四 y=Asin(ωx+φ)图象与性质的综合应用 π? ? 【例 4】 (2018· 昆明诊断)已知函数 f(x)=4cos ωx· sin?ωx+6?+a(ω>0)图象上最高 ? ? 点的纵坐标为 2,且图象上相邻两个最高点的距离为 π. (1)求 a 和 ω 的值; (2)求函数 f(x)在[0,π]上的单调递减区间. π? ? 解 (1)f(x)=4cos ωx·sin?ωx+6?+a ? ? ? 3 ? 1 ? sin ωx+ cos ωx?+a =4cos ωx· 2 ?2 ? =2 3sin ωxcos ωx+2cos2ωx-1+1+a = 3sin 2ωx+cos 2ωx+1+a π? ? =2sin?2ωx+6?+1+a. ? ? π? ? 当 sin?2ωx+6?=1 时,f(x)取得最大值 2+1+a=3+a. ? ? 又 f(x)最高点的纵坐标为 2,∴3+a=2,即 a=-1. 又 f(x)图象上相邻两个最高点的距离为 π, ∴f(x)的最小正周期为 T=π, 2π ∴2ω= T =2,ω=1. π? ? (2)由(1)得 f(x)=2sin?2x+6?, ? ?

π π 3π 由2+2kπ≤2x+6≤ 2 +2kπ,k∈Z, π 2π 得6+kπ≤x≤ 3 +kπ,k∈Z. π 2π 令 k=0,得6≤x≤ 3 . ?π 2π? ∴函数 f(x)在[0,π]上的单调递减区间为?6, 3 ?. ? ? 规律方法 函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间和对称性的确定,基本 思想是把 ωx+φ 看做一个整体.(1)在单调性应用方面,比较大小是一类常见的题 目,依据是同一区间内函数的单调性.(2)对称性是三角函数图象的一个重要性质, 因此要抓住其轴对称、 中心对称的本质, 同时还要会综合利用这些性质解决问题, 解题时可利用数形结合思想. π 【训练 4 】 (2018· 桂林调研 ) 已知 x = 12 是函数 f(x) = 3sin(2x + φ) + cos(2x + 3π φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴,将函数 f(x)的图象向右平移 4 个单位长度后得到函 ? π π? 数 g(x)的图象,则函数 g(x)在?-4,6?上的最小值为( ? ? A.-2 C.- 2 B.-1 D.- 3 )

π π π π ? ? 解析 ∵x=12是 f(x)=2sin?2x+6+φ?图象的一条对称轴, ∴3+φ=kπ+2(k∈Z), ? ? π 即 φ=kπ+6(k∈Z). π? π ? ∵0<φ<π,∴φ=6,则 f(x)=2sin?2x+3?, ? ? π? ? π π? ? ?π? ∴g(x)=-2sin?2x-6?在?-4,6?上的最小值为 g?6?=-1. ? ? ? ? ? ? 答案 B

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 π? ? 1.(2018· 华中师大高考联盟质检)要得到函数 y=sin?2x+4?的图象,只需将函数 y ? ? =sin 2x 的图象( )

π A.向左平移8个单位 π C.向左平移4个单位

π B.向右平移4个单位 π D.向右平移8个单位

π? π ? 解析 由 y=sin 2x 的图象得到 y=sin?2x+4?的图象只需向左平移8个单位,故选 ? ? A. 答案 A 2.(2016· 全国Ⅱ卷)函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则 ( ) π? ? A.y=2sin?2x-6? ? ? π? ? B.y=2sin?2x-3? ? ? ? π? C.y=2sin?x+6? ? ? ? π? D.y=2sin?x+3? ? ? π ?π ? π?? - ?? 解析 由题图可知, A=2, T=2?3-? 所以 ω=2, 由五点作图法可知 2× ? 6??=π, 3 ? π? π π ? +φ=2,所以 φ=-6,所以函数的解析式为 y=2sin?2x-6?,故选 A. ? ? 答案 A π? ? 3.(2017· 合肥二模)函数 f(x)=cos?ωx+6?(ω>0)的最小正周期是 π, 则其图象向右平 ? ? π 移3个单位后对应函数的单调递减区间是( ) π ? π ? A.?-4+kπ,4+kπ?(k∈Z) ? ? 3π ?π ? B.?4+kπ, 4 +kπ?(k∈Z) ? ? 7π ?π ? C.?12+kπ,12+kπ?(k∈Z) ? ? π ? 5π ? D.?-12+kπ,12+kπ?(k∈Z) ? ? π? 2π ? 解析 由函数 f(x)=cos?ωx+6?(ω>0)的最小正周期是 π,得 ω =π,解得 ω=2, ? ? π? ? 则 f(x)=cos?2x+6?. ? ? π ? ? π? π? x- ?+ ? = 将 其 图 象 向右平移 3 个单位后,对应函数的 解析式为 y = cos ?2? ? ? 3? 6?

π? ? cos?2x-2?=sin 2x, ? ? π 3π 由2+2kπ≤2x≤ 2 +2kπ(k∈Z), 3π ?π ? 解得所求单调递减区间为?4+kπ, 4 +kπ?(k∈Z). ? ? 答案 B π? π ? 4.(2018· 西安质检)将函数 f(x)=sin(2x+φ)?|φ|<2? 的图象向左平移6个单位长度后 ? ? π? ? 关于原点对称,则函数 f(x)在?0,2?上的最小值为( ) ? ? 3 1 1 3 A.- 2 B.-2 C.2 D. 2 π π ? ? 解析 依题设,平移后得 y=sin?2x+3+φ?的图象,又该图象关于原点对称,则3 ? ? π? π? π π ? ? +φ=kπ,k∈Z,由|φ|<2,得 φ=-3,所以 f(x)=sin?2x-3?.当 x∈?0,2?时,2x ? ? ? ? π ? π 2π? π π 3 -3∈?-3, 3 ?,所以当 2x-3=-3时,f(x)取最小值- 2 . ? ? 答案 A 5.(2017· 呼和浩特调研)如图是函数 f(x)=sin 2x 和函数 g(x)的部分图象,则 g(x)的 图象可能是由 f(x)的图象( )

2π A.向右平移 3 个单位得到的 π B.向右平移3个单位得到的 7π C.向右平移12个单位得到的 π D.向右平移 个单位得到的 6 解析 由函数 f(x)=sin 2x 和函数 g(x)的部分图象,可设 g(x)的图象位于 y 轴右侧 17π π π 7π 的第一个最高点的横坐标为 m,则有 24 -m=4-8,解得 m=12,故把函数 f(x) 7π π π =sin 2x 的图象向右平移12-4=3个单位,即可得到函数 g(x)的图象,故选 B. 答案 B 二、填空题

6.(必修 4P60 例 1 改编)如图,某地一天,从 6~14 时的温度变化曲线近似满足函 数 y = Asin(ωx + φ) + b(A > 0 , ω > 0 , 0 < φ < π) ,则这段曲线的函数解析式为 ________.

1 解析 从图中可以看出,从 6~14 时是函数 y=Asin(ωx+φ)+b 的半个周期,又2 2π ×ω =14-6, π 1 所以 ω=8.由图可得 A=2(30-10)=10, 1 π 3π b=2(30+10)=20.又8× 10+φ=2π,解得 φ= 4 , ?π 3π? ∴y=10sin?8x+ 4 ?+20,x∈[6,14]. ? ? ?π 3π? 答案 y=10sin?8x+ 4 ?+20,x∈[6,14] ? ? 7.(2018· 大连双基测试)函数 f(x)=sin x+cos x 的图象向右平移 t(t>0)个单位长度后 所得函数为偶函数,则 t 的最小值为________. ? π? 解析 函数 f(x)=sin x+cos x= 2sin?x+4?,其图象向右平移 t(t>0)个单位长度后 ? ? π? π π π ? 所得函数 y= 2sin?x-t+4?为偶函数,则-t+4=2+kπ(k∈Z),即 t=-4-kπ(k ? ? 3π ∈Z),又 t>0,∴当 k=-1 时,tmin= 4 . 3π 答案 4 π? ? ?π? ?π? ?π π? 8.已知 f(x)=sin?ωx+3?(ω>0),f?6?=f?3?,且 f(x)在区间?6,3?上有最小值,无最 ? ? ? ? ? ? ? ? 大值,则 ω=________. π π 6+3 π 解析 依题意,x= 2 =4时,y 有最小值, π? π π 3π ?π ω+3?=-1,∴ ω+ =2kπ+ ∴sin?4· 4 3 2 (k∈Z). ? ? 14 π π π ?π π? ∴ω=8k+ 3 (k∈Z), 因为 f(x)在区间?6,3?上有最小值, 无最大值, 所以3-4≤ω, ? ? 即 ω≤12,令 k=0,

14 得 ω= 3 . 答案 14 3

三、解答题 π 3 ? ? ?π? 9.设函数 f(x)=cos(ωx+φ)?ω>0,-2<φ<0?的最小正周期为 π,且 f ?4?= 2 . ? ? ? ?

(1)求 ω 和 φ 的值; (2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0,π]上的图象. 2π 解 (1)∵T= ω =π,ω=2, 3 3 ?π? ? π ? +φ?= ,∴sin φ=- , 又 f ?4?=cos?2× 4 2 ? ? ? ? 2 π π 又-2<φ<0,∴φ=-3. π? ? (2)由(1)得 f(x)=cos?2x-3?,列表: ? ? π π π 0 2x-3 -3 2 π 5 x 0 π 6 12 1 f(x) 1 0 2 描点画出图象(如图).

π 2 π 3 -1

3 2π 11 π 12 0

5 3π π 1 2

π π? π ? 10.已知函数 f(x)= 3sin(ωx+φ)?ω>0,-2≤φ<2?的图象关于直线 x=3对称, 且 ? ? 图象上相邻最高点的距离为 π. ?π? (1)求 f ?4?的值; ? ?

π (2)将函数 y=f(x)的图象向右平移12个单位后,得到 y=g(x)的图象,求 g(x)的单调 递减区间. 解 (1)因为 f(x)的图象上相邻最高点的距离为 π,所以 f(x)的最小正周期 T=π, 2π 从而 ω= T =2. π 又 f(x)的图象关于直线 x=3对称, π π 所以 2× 3+φ=kπ+2(k∈Z), π π 因为- ≤φ< ,所以 k=0, 2 2 π? π 2π π ? 所以 φ=2- 3 =-6,所以 f(x)= 3sin?2x-6?, ? ? π 3 ?π? ? π π? - ?= 3sin = . 则 f ?4?= 3sin?2× 3 2 ? ? ? 4 6? π (2)将 f(x)的图象向右平移12个单位后,得到 π? ? f ?x-12?的图象, ? ? π ? π? π? ? ? ? x-12?- ? 所以 g(x)=f ?x-12?= 3sin?2? ? 6? ? ? ? ? π? ? = 3sin?2x-3?. ? ? π π 3π 当 2kπ+2≤2x-3≤2kπ+ 2 (k∈Z), 5π 11π 即 kπ+12≤x≤kπ+ 12 (k∈Z)时,g(x)单调递减. 5π 11π? ? 因此 g(x)的单调递减区间为?kπ+12,kπ+ 12 ?(k∈Z). ? ? 能力提升题组 (建议用时:20 分钟) π 11.(2018· 惠州调研)已知函数 f(x)=sin x+λcos x(λ∈R)的图象关于直线 x=- 对 4 称,把函数 f(x)的图象上每个点的横坐标扩大到原来的 2 倍,纵坐标不变,再向 π 右平移3个单位长度,得到函数 g(x)的图象,则函数 g(x)图象的一条对称轴方程为 ( ) π B.x=4 π C.x=3 11π D.x= 6 π A.x=6

? π? ? π? 解析 由 f(0)=f ?-2?,可得 λ=-1,所以 f(x)=sin x-cos x= 2sin?x-4?,横坐 ? ? ? ? π 标扩大到原来的 2 倍,纵坐标不变,再向右平移3个单位长度,得到函数 g(x)的图 1 5π? 1 5π π ?1? π? π? x-3?- ?= 2sin? x - ? ? 象,g(x)= 2· sin?2? ,令 x - = k π + ? 4? 2 12 2(k∈Z),得 x= ?2 12? ? ? 11π 11π 2kπ+ 6 ,k∈Z.当 k=0 时,对称轴的方程为 x= 6 ,故选 D. 答案 D π 12.(2018· 湖北七市联考)将函数 f(x)=sin 2x 的图象向左平移6个单位,再向上平移 2 个单位,得到 g(x)的图象,若 g(x1)· g(x2)=9,且 x1,x2∈[-2π,2π],则|x1-x2| 的最大值为________. π? ? π? ? 解析 由题意, 得 g(x)=f ?x+6?+2=sin?2x+3?+2, 所以 g(x)max=3.又 g(x1)· g(x2) ? ? ? ? π? π π π ? =9,所以 g(x1)=g(x2)=3,即 sin?2x+3?=1,所以 2x+3=2+2kπ(k∈Z)?x=12 ? ? π π π π +kπ(k∈Z).又因为 x1,x2∈[-2π,2π],所以 x1,2=12+π,12,12-π,12-2π, ?π ? ?π ? 从而|x1-x2|max=?12+π?-?12-2π?=3π. ? ? ? ? 答案 3π 13.某实验室一天的温度(单位: ℃)随时间 t(单位: h)的变化近似满足函数关系: f(t) π π =10- 3cos12t-sin12t,t∈[0,24). (1)求实验室这一天的最大温差; (2)若要求实验室温度不高于 11 ℃,则在哪段时间实验室需要降温? ? 3 π 1 π ? 解 (1)因为 f(t)=10-2? cos t+ sin t? 2 12 2 12 ? ? π? ?π =10-2sin?12t+3?, ? ? π π π 7π 又 0≤t<24,所以3≤12t+3< 3 , π? ?π 当 t=2 时,sin?12t+3?=1; ? ? π? ?π 当 t=14 时,sin?12t+3?=-1. ? ? 于是 f(t)在[0,24)上取得最大值 12,取得最小值 8. 故实验室这一天最高温度为 12 ℃,最低温度为 8 ℃,最大温差为 4 ℃.

(2)依题意,当 f(t)>11 时实验室需要降温, π? ?π 由(1)得 f(t)=10-2sin?12t+3?, ? ? π? π? 1 ?π ?π 故有 10-2sin?12t+3?>11,即 sin?12t+3?<-2. ? ? ? ? 7π π π 11π 又 0≤t<24,因此 6 <12t+3< 6 ,即 10<t<18. 在 10 时至 18 时实验室需要降温.


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