当前位置:首页 >> 数学 >> 高中数学知识点整理(苏教版)

高中数学知识点整理(苏教版)


天材教育集团丹阳分校

1

第一讲
一、知识精点讲解





1.集合:某些指定的对象集在一起成为集合。 (1)集合中的对象称元素,若 a 是集合 A 的元素,记作 a ? A ;若 b 不是集合 A 的元素, 记作 b ? A ; (2)集合中的元素必须满足:确定性、互异性与无序性; 确定性:设 A 是一个给定的集合,x 是某一个具体对象,则或者是 A 的元素,或者 不是 A 的元素,两种情况必有一种且只有一种成立; 互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象) ,因 此,同一集合中不应重复出现同一元素; 无序性:集合中不同的元素之间没有地位差异,集合不同于元素的排列顺序无关; (3)表示一个集合可用列举法、描述法或图示法; 列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内; 描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{}内。 具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再 画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一 般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。 (4)常用数集及其记法: * 非负整数集(或自然数集) ,记作 N; 正整数集,记作 N 或 N+; 整数集,记作 Z; 有理数集,记作 Q; 实数集,记作 R。 2.集合的包含关系: (1)集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,则称 A 是 B 的子集(或 B 包含 A) , 记作 A ? B(或 A ? B ) ; 集合相等: 构成两个集合的元素完全一样。 A ? B 且 B ? A, 若 则称 A 等于 B, 记作 A=B; 若 A ? B 且 A≠B,则称 A 是 B 的真子集,记作 A B; (2)简单性质:1)A ? A;2) ? ? A;3)若 A ? B,B ? C,则 A ? C;4)若集合 A 是 n 个元素的集合,则集合 A 有 2n 个子集(其中 2n-1 个真子集) ; 3.全集与补集: (1)包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集,记作 U; (2)若 S 是一个集合,A ? S,则, C S = {x | x ? S且x ? A}称 S 中子集 A 的补集; 4.交集与并集: (1)一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做集合 A 与 B 的交 集。交集 A ? B ? {x | x ? A且x ? B} 。 (2)一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,称为集合 A 与 B 的并集。 并集A ? B ? {x | x ? A或x ? B} 。 注意:求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集 的关键是“且”与“或” ,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、 挖掘题设条件,结合 Venn 图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法。

天材教育集团丹阳分校

2

第二讲
一、知识精点讲解

函数概念与表示

1.函数的概念: 设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个 数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。记作:y=f(x),x∈A。其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域; 与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。 注意: “y=f(x)”是函数符号,可以用任意的字母表示,如“y=g(x)” (1) ; (2)函数符号“y=f(x)”中的 f(x)表示与 x 对应的函数值,一个数,而不是 f 乘 x。 2.构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 (1)解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域,函数的定义域包含三种形式: ①自然型: 指函数的解析式有意义的自变量 x 的取值范围 (如: 分式函数的分母不为零, 偶次根式函数的被开方数为非负数,对数函数的真数为正数,等等) ; ②限制型:指命题的条件或人为对自变量 x 的限制,这是函数学习中重点,往往也是难 点,因为有时这种限制比较隐蔽,容易犯错误; ③实际型:解决函数的综合问题与应用问题时,应认真考察自变量 x 的实际意义。 (2)求函数的值域是比较困难的数学问题,中学数学要求能用初等方法求一些简单函 数的值域问题。 ①配方法(将函数转化为二次函数) ;②判别式法(将函数转化为二次方程) ;③不等 式法(运用不等式的各种性质) ;④函数法(运用基本函数性质,或抓住函数的单调性、函 数图象等) 。 3.两个函数的相等: 函数的定义含有三个要素,即定义域 A、值域 C 和对应法则 f。当且仅当两个函数的定 义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一个函数。 4.区间:区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间; 5.映射的概念 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f:A ? B” 。 函数是建立在两个非空数集间的一种对应,若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意 两个非空集合” ,按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系,这种的对应就 叫映射。 注意: (1)这两个集合有先后顺序,A 到 B 的射与 B 到 A 的映射是截然不同的.其中 f 表示具体的对应法则,可以用汉字叙述。 (2) “都有唯一”什么意思? 包含两层意思:一是必有一个;二是只有一个,也就是说有且只有一个的意思。 6.常用的函数表示法: (1)解析法: (2)列表法: (3)图象法: 7.分段函数 若一个函数的定义域分成了若干个子区间, 而每个子区间的解析式不同, 这种函数又称 分段函数; 8.复合函数 若 y=f(u),u=g(x),x?(a,b),u?(m,n),那么 y=f[g(x)]称为复合函数,u 称为中间变量, 它的取值范围是 g(x)的值域。

天材教育集团丹阳分校

3

第三讲
一、要点精讲

函数的基本性质

1.奇偶性 (1)定义:如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(-x)=-f(x),则称 f(x)为奇函数; 如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(-x)=f(x),则称 f(x)为偶函数。 如果函数 f(x)不具有上述性质,则 f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质, 则 f(x)既是奇函数,又是偶函数。 注意: 1 ○ 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; 2 ○ 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任 意一个 x,则-x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称) 。 (2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤: 1 ○ 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; 2 ○ 确定 f(-x)与 f(x)的关系; 3 ○ 作出相应结论: 若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函数; 若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数。 (3)简单性质: ①图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函 数是偶函数的充要条件是它的图象关于 y 轴对称; ②设 f ( x ) , g ( x) 的定义域分别是 D1 , D2 ,那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=奇,奇 ? 奇=偶,偶+偶=偶,偶 ? 偶=偶,奇 ? 偶=奇 2.单调性 (1)定义:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2)(f(x1)>f(x2)) ,那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数(减函数) ; 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; 注意:○ 2 ○ 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2;当 x1<x2 时,总有 f(x1)<f(x2) (2)如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数 y=f(x)在这一区 间具有(严格的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间。 (3) 设复合函数 y= f[g(x)], 其中 u=g(x) , A 是 y= f[g(x)]定义域的某个区间, 是映射 g : B x→u=g(x) 的象集: ①若 u=g(x) 在 A 上是增(或减)函数,y= f(u)在 B 上也是增(或减)函数,则函数 y= f[g(x)]在 A 上是增函数; ②若 u=g(x)在 A 上是增 (或减) 函数, y= f(u)在 B 上是减 而 (或增) 函数, 则函数 y= f[g(x)] 在 A 上是减函数。 (4)判断函数单调性的方法步骤: 1 ○ 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; 2 ○ 作差 f(x1)-f(x2); 3 ○ 变形(通常是因式分解和配方) ; 4 ○ 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ; 5 ○ 下结论(即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) 。

天材教育集团丹阳分校

4

(5)简单性质 ①奇函数在其对称区间上的单调性相同; ②偶函数在其对称区间上的单调性相反; ③在公共定义域内: 增函数 f (x) ? 增函数 g (x) 是增函数; 减函数 f (x) ? 减函数 g (x) 是减函数; 增函数 f (x) ? 减函数 g (x) 是增函数; 减函数 f (x) ? 增函数 g (x) 是减函数。 3.最值 (1)定义: 最大值:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:①对于任意的 x ∈I,都有 f(x)≤M;②存在 x0∈I,使得 f(x0) = M。那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值。 最小值:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:①对于任意的 x ∈I,都有 f(x)≥M;②存在 x0∈I,使得 f(x0) = M。那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值。 注意: 1 ○ 函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在 x0∈I,使得 f(x0) = M; 2 ○ 函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的 x∈I,都有 f(x) ≤M(f(x)≥M) 。 (2)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法: 1 ○ 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值; 2 ○ 利用图象求函数的最大(小)值; 3 ○ 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b); 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b); 4.周期性 (1) 定义: 如果存在一个非零常数 T, 使得对于函数定义域内的任意 x, 都有 f(x+T)= f(x), 则称 f(x)为周期函数; (2)性质:①f(x+T)= f(x)常常写作 f ( x ?

T T ) ? f ( x ? ), 若 f(x)的周期中,存在一个最小 2 2

的正数,则称它为 f(x)的最小正周期;②若周期函数 f(x)的周期为 T,则 f(ω x)(ω ≠0)是 周期函数,且周期为

T |? |



天材教育集团丹阳分校

5

第四讲
一、要点精讲
1.指数与对数运算 (1)根式的概念:

基本初等函数

①定义:若一个数的 n 次方等于 a(n ? 1, 且n ? N ? ) ,则这个数称 a 的 n 次方根。即若

x n ? a ,则 x 称 a 的 n 次方根 n ? 1且n ? N ? ) ,
1)当 n 为奇数时, a的n 次方根记作 n a ; 2)当 n 为偶数时,负数 a 没有 n 次方根,而正数 a 有两个 n 次方根且互为相反数,记 作 ? n a (a ? 0) 。 ②性质:1) (n a ) n ? a ;2)当 n 为奇数时, n a n ? a ; 3)当 n 为偶数时, n a ?| a |? ? (2) .幂的有关概念 ①规定:1) a n ? a ? a ? ?? a(n ? N*;2) a 0 ? 1(a ? 0) ; n个 3) a
?p

?a(a ? 0) 。 ?? a(a ? 0)

?

1 ( p ?Q,4) a n ? n a m (a ? 0, m 、 n ?N* 且 n ? 1) 。 p a
r s r ?s

m

②性质:1) a ? a ? a
r s r ?s

; (a ? 0, r 、 s ?Q)

2) (a ) ? a (a ? 0, r 、 s ? Q) ; 3) (a ? b) ? a ? b (a ? 0, b ? 0, r ? Q) 。
r r r

(注)上述性质对 r、 s ?R 均适用。 (3) .对数的概念 ①定义:如果 a(a ? 0, 且a ? 1) 的 b 次幂等于 N,就是 a ? N ,那么数 b 称以 a 为底
b

N 的对数,记作 loga N ? b, 其中 a 称对数的底,N 称真数。 1)以 10 为底的对数称常用对数, log10 N 记作 lg N ;

? 2)以无理数 e(e ? 2.71828 ) 为底的对数称自然对数, loge N ,记作 ln N ;

天材教育集团丹阳分校

6

②基本性质: 1)真数 N 为正数(负数和零无对数) ; 3) loga a ? 1 ; 2) loga 1 ? 0 ;
loga N

4)对数恒等式: a

? N。

③运算性质:如果 a ? 0, a ? 0, M ? 0, N ? 0, 则 1) loga (MN ) ? loga M ? loga N ; 2) log a

M ? log a M ? log a N ; N

3) loga M n ? n loga M (n ?R) 。 ④换底公式: loga N ?

logm N (a ? 0, a ? 0, m ? 0, m ? 1, N ? 0), logm a
n

1) loga b ? logb a ? 1 ;2) log a m b ? 2.指数函数与对数函数

n log a b 。 m

(1)指数函数:①定义:函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 称指数函数, 1)函数的定义域为 R; 2)函数的值域为 (0,??) ;

3)当 0 ? a ? 1 时函数为减函数,当 a ? 1 时函数为增函数。 ②函数图像: a>1
4.5

0<a<1
4.5
4

图 象

4

3.5

3.5

3

3

2.5

2.5

2

2

1.5

1.5

1

y=1
1 0.5

y=1

0.5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

-4
-0.5

-3

-2

-1

1

2

3

4

-0.5

-1

-1

(1)定义域:R 性 质 (2)值域: (0,+∞) (3)过定点(0,1) ,即 x=0 时,y=1 (4)x>0 时, y>1;x<0 时, 0<y<1 (5)在 R 上是增函数 (4)x>0 时,0<y<1;x<0 时,y>1. (5)在 R 上是减函数

天材教育集团丹阳分校

7

(2)对数函数:①定义:函数 y ? loga x(a ? 0, 且a ? 1) 称对数函数,

a>1

0<a<1

y

y=logax

a>1


O x


x=1 a<1

(1)定义域: (0,+∞)

(2)值域:R

(3)过点(1,0) ,即当 x=1 时,y=0



( 4 )

x ? (0,1)



x ? (0,1) 时 y ? 0



y?0

x ? (1,??) 时 y ? 0


x ? (1,??)
y>0

(5)在(0,+∞)上是增函 数

在(0,+∞)上是减函数

天材教育集团丹阳分校

8

第五讲
一、知识精点讲解

函数图象及数字特征

1.函数图象 (1)作图方法:以解析式表示的函数作图象的方法有两种,即列表描点法和图象变换法。 作函数图象的步骤:①确定函数的定义域;②化简函数的解析式;③讨论函数的性质即 单调性、奇偶性、周期性、最值(甚至变化趋势) ;④描点连线,画出函数的图象。 用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换,以及确定怎样的 变换。 (2)三种图象变换:平移变换、对称变换和伸缩变换等等; ①平移变换: Ⅰ、水平平移:函数 y ? f ( x ? a) 的图像可以把函数 y ? f ( x) 的图像沿 x 轴方向向左

(a ? 0) 或向右 (a ? 0) 平移 | a | 个单位即可得到;
1)y=f(x) ? y=f(x+h);
左移 h

2)y=f(x) ? y=f(x?h);

右移 h

Ⅱ、竖直平移:函数 y ? f ( x) ? a 的图像可以把函数 y ? f ( x) 的图像沿 x 轴方向向上

(a ? 0) 或向下 (a ? 0) 平移 | a | 个单位即可得到;
1)y=f(x) ? y=f(x)+h; ②对称变换: Ⅰ、函数 y ? f (? x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于 y 轴对称即可得到; y=f(x) ? y=f(?x) Ⅱ、函数 y ? ? f ( x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于 x 轴对称即可得到 y=f(x) ? y= ?f(x) Ⅲ、函数 y ? ? f (? x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于原点对称即可得到 y=f(x) ? y= ?f(?x) Ⅳ、函数 x ? f ( y ) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 y ? x 对称得到
直线 y ? x
原点 x轴 上移 h

2)y=f(x) ? y=f(x)?h 。
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

下移 h

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

y轴

y=f(x)

? x=f(y)

Ⅴ、 函数 y ? f (2a ? x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? a 对称即可得
直线 x? a

y=f(x)

? y=f(2a?x)。

天材教育集团丹阳分校

9

③翻折变换: Ⅰ、函数 y ?| f ( x) | 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像的 x 轴下方部分沿 x 轴翻折到

x 轴上方,去掉原 x 轴下方部分,并保留 y ? f ( x) 的 x 轴上方部分即可得到;
y

y=f(x)

y

y=|f(x)|

a

o

b

c

x

a

o

b

c

x

Ⅱ、函数 y ? f (| x |) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像右边沿 y 轴翻折到 y 轴左边替 代原 y 轴左边部分并保留 y ? f ( x) 在 y 轴右边部分即可得到
y
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

y=f(x)

y

y=f(|x|)

a

o

b

c

x

a

o

b

c

x

④伸缩变换: Ⅰ、函数 y ? af ( x) (a ? 0) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像中的每一点横坐标不变 纵坐标伸长 (a ? 1) 或压缩( 0 ? a ? 1 )为原来的 a 倍得到; y=f(x) ? y=af(x) Ⅱ、函数 y ? f (ax) (a ? 0) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像中的每一点纵坐标不变 横坐标伸长 (a ? 1) 或压缩( 0 ? a ? 1 )为原来的
y? a

1 倍得到。 a

f(x) y=f(x) ? y=f( ax )
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

x? a

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

(3)识图:分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面。

天材教育集团丹阳分校

10

2.幂函数

y ? x ? (? ? 0,1) 在第一象限的图象,可分为如图中的三类:

? ?1

0?? ?1

? ?0

图 在考查学生对幂函数性的掌握和运用函数的性质解决问题时,所涉及的幂函数 y ? x ? 中 ? 限于在集合 ??2 , ? 1, ?

? ?

1 1 1 ? , , ,1,2 ,3? 中取值。 2 3 2 ?

幂函数有如下性质: ⑴它的图象都过(1,1)点,都不过第四象限,且除原点外与坐标轴都不相交;

⑵定义域为 R 或 幂函数都不具有奇偶性;

的幂函数都具有奇偶性,定义域为 R 或 0, ? ? 的

?

?

?

⑶幂函数 y ? x ? (? ? 0) 都是无界函数; 在第一象限中, ? ? 0 时为减函数, ? ? 0 当 当 时为增函数; ⑷任意两个幂函数的图象至少有一个公共点(1,1) ,至多有三个公共点;

天材教育集团丹阳分校

11

第六讲
一、知识精点讲解
1.方程的根与函数的零点

函数与方程

(1)函数零点概念:对于函数 y ? f ( x)(x ? D) ,把使 f ( x) ? 0 成立的实数 x 叫做函 数 y ? f ( x)(x ? D) 的零点。 函数零点的意义: 函数 y ? f (x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数根, 亦即函数 y ? f (x) 的图象与 x 轴交点的横坐标。即:方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f (x) 的图象与 x 轴 有交点 ? 函数 y ? f (x) 有零点。 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的零点: 1)△>0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两不等实根,二次函数的图象与 x 轴有两个交点,
2

二次函数有两个零点; 2)△=0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两相等实根(二重根) ,二次函数的图象与 x 轴
2

有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点; 3)△<0,方程 ax ? bx ? c ? 0 无实根,二次函数的图象与 x 轴无交点,二次函数
2

无零点。 零点存在性定理: 如果函数 y ? f (x) 在区间 [ a, b] 上的图象是连续不断的一条曲线, 并 且有 f (a) f (b) ? 0 ,那么函数 y ? f (x) 在区间 ( a, b) 内有零点。既存在 c ? (a, b) ,使得

f (c) ? 0 ,这个 c 也就是方程的根。
2.二分法 二分法及步骤: 对于在区间 [a , b] 上连续不断,且满足 f (a ) · f (b) ? 0 的函数 y ? f (x) ,通过不断 地把函数 f (x) 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零 点近似值的方法叫做二分法. 给定精度 ? ,用二分法求函数 f (x) 的零点近似值的步骤如下: (1)确定区间 [a , b] ,验证 f (a ) · f (b) ? 0 ,给定精度 ? ; (2)求区间 (a , b) 的中点 x1 ;

天材教育集团丹阳分校

12

(3)计算 f ( x1 ) : ①若 f ( x1 ) = 0 ,则 x1 就是函数的零点; ②若 f (a ) · f ( x1 ) < 0 ,则令 b = x1 (此时零点 x0 ? (a, x1 ) ) ; ③若 f ( x1 ) · f (b) < 0 ,则令 a = x1 (此时零点 x0 ? ( x1 , b) ) ; 注:用二分法求函数的变号零点:二分法的条件 f (a ) · f (b) ? 0 表明用二分法求函数 的近似零点都是指变号零点。 3.二次函数的基本性质 (1)二次函数的三种表示法:y=ax2+bx+c;y=a(x-x1)(x-x2);y=a(x-x0)2+n。 (2)当 a>0,f(x)在区间[p,q]上的最大值 M,最小值 m,令 x0=

1 (p+q)。 2

b <p,则 f(p)=m,f(q)=M; 2a b b 若 p≤- <x0,则 f(- )=m,f(q)=M; 2a 2a b b 若 x0≤- <q,则 f(p)=M,f(- )=m; 2a 2a b 若- ≥q,则 f(p)=M,f(q)=m。 2a
若- (3)二次方程 f(x)=ax2+bx+c=0 的实根分布及条件。 ①方程 f(x)=0 的两根中一根比 r 大,另一根比 r 小 ? a·f(r)<0;

?? ? b 2 ? 4ac ? 0, ? ? b ②二次方程 f(x)=0 的两根都大于 r ? ?? ? r, 2a ? ?a ? f ( r ) ? 0 ?
?? ? b 2 ? 4ac ? 0, ? ? p ? ? b ? q, ? ③二次方程 f(x)=0 在区间(p,q)内有两根 ? ? 2a ?a ? f ( q ) ? 0, ? ?a ? f ( p ) ? 0; ?
④二次方程 f(x)=0 在区间(p,q)内只有一根 ? f(p)·f(q)<0,或 f(p)=0(检验)或 f(q)=0(检 验)检验另一根若在(p,q)内成立。

天材教育集团丹阳分校

13

第七讲
一、知识精点讲解

空间几何体

1.柱、锥、台、球的结构特征 (1)柱 棱柱:一般的,有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公 共边都互相平行, 由这些面所围成的几何体叫做棱柱; 棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的 底面,简称为底;其余各面叫做棱柱的侧面;相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱;侧面与底 面的公共顶点叫做棱柱的顶点。 底面是三角形、四边形、五边形??的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱?? 圆柱: 以矩形的一边所在的直线为旋转轴, 其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做 圆柱;旋转轴叫做圆柱的轴;垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;无论旋转到什 么位置,不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。 棱柱与圆柱统称为柱体; (2)锥 棱锥:一般的有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所 围成的几何体叫做棱锥; 这个多边形面叫做棱锥的底面或底; 有公共顶点的各个三角形面叫 做棱锥的侧面;各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点;相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。 底面是三角锥、四边锥、五边锥??的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥?? 圆锥: 以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴, 其余两边旋转形成的曲面所围 成的几何体叫做圆锥;旋转轴为圆锥的轴;垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面;斜 边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。 棱锥与圆锥统称为锥体。 (3)台 棱台:用一个平行于底面的平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫做棱台;原棱锥的 底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面;棱台也有侧面、侧棱、顶点。 圆台:用一个平行于底面的平面去截圆锥,底面和截面之间的部分叫做圆台;原圆锥的 底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面;圆台也有侧面、母线、轴。 圆台和棱台统称为台体。 (4)球 以半圆的直径所在的直线为旋转轴, 半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体, 简称为球; 半圆的圆心叫做球的球心,半圆的半径叫做球的半径,半圆的直径叫做球的直径。 (5)组合体 由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。 2.空间几何体的三视图 三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体,画出的空间几何体的图形。 他具体包括: (1)正视图:物体前后方向投影所得到的投影图; 它能反映物体的高度和长度; (2)侧视图:物体左右方向投影所得到的投影图; 它能反映物体的高度和宽度; (3)俯视图:物体上下方向投影所得到的投影图; 它能反映物体的长度和宽度;

天材教育集团丹阳分校

14

第八讲
一、知识精点讲解

空间几何体的表面积和体积

1.多面体的面积和体积公式 名称 棱 柱 棱柱 直棱柱 棱锥 正棱锥 棱台 棱 台 正棱台 侧面积(S 侧) 直截面周长×l 全面积(S 全) 体 积(V)

S 底·h=S 直截面·h S 侧+2S 底 S 底·h S 侧+S 底 S 侧+S 上底+S 下


ch 各侧面积之和

棱 锥

1 ch′ 2
各侧面面积之和

1 S 底·h 3

1 (c+c′)h′ 2

1 h(S 上底+S 下底 3

+ S下底 ? S下底 )

表中 S 表示面积,c′、c 分别表示上、下底面周长,h 表斜高,h′表示斜高,l 表示侧 棱长。 2.旋转体的面积和体积公式 名称 圆柱 2π rl 2π r(l+r) π r2h(即π r2l) 圆锥 π rl π r(l+r) 圆台 π (r1+r2)l π (r1+r2)l+π (r21+r22) 4π R2 球

S侧 S全
V

1 2 πrh 3

1 π h(r21+r1r2+r22) 3

4 π R3 3

表中 l、 分别表示母线、 r 表示圆柱、 h 高, 圆锥与球冠的底半径, 1、 2 分别表示圆台 上、 r r 下底面半径,R 表示半径。

天材教育集团丹阳分校

15

第九讲
一、复习目标要求
1.平面的基本性质与推论

空间中的平行关系

借助长方体模型,在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上,抽象出空间 线、面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理: ◆公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内; ◆公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面; ◆公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直 线; ◆公理 4:平行于同一条直线的两条直线平行; ◆定理:空间中如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。 2.空间中的平行关系 以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,通过直观感知、操作确认、思辨论证, 认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。通过直观感知、操作确认,归纳 出以下判定定理:

◆ 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;

◆ 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行;

通过直观感知、操作确认,归纳出以下性质定理,并加以证明:

◆ 一条直线与一个平面平行,则过该直线的任一个平面与此平面交线与该直线平行;

◆ 两个平面平行,则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行;

◆ 垂直于同一个平面的两条直线平行

能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。

二、要点精讲
1.平面概述 (1)平面的两个特征:① 无限延展 ② 平的(没有厚度) (2)平面的画法:通常画平行四边形来表示平面 (3)平面的表示:用一个小写的希腊字母 ? 、 ? 、 ? 等表示,如平面 ? 、平面 ? ;用 表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示,如平面 AC。

天材教育集团丹阳分校

16

2.三公理三推论: 公理 1:若一条直线上有两个点在一个平面内,则该直线上所有的点都在这个平面内: A ? l ,B ? l ,A ?? ,B ?? ? l ? ? 公理 2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的 集合是一条过这个公共点的直线。 公理 3:经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面。 推论一:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。 推论二:经过两条相交直线,有且只有一个平面。 推论三:经过两条平行直线,有且只有一个平面。 3.空间直线: (1)空间两条直线的位置关系: 相交直线——有且仅有一个公共点; 平行直线——在同一平面内,没有公共点; 异面直线——不同在任何一个平面内, 没有公共点。 相交直线和平行直线也称为共面直 线。 异面直线的画法常用的有下列三种:
b ? b a ? a ? ? a b

(2)平行直线: 在平面几何中,平行于同一条直线的两条直线互相平行,这个结论在空间也是成立的。 即公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 (3)异面直线定理:连结平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直 线是异面直线。推理模式: A ?? , B ?? , a ? ? , B ? a ? AB 与 a 是异面直线。 4.直线和平面的位置关系 (1)直线在平面内(无数个公共点) ; (2)直线和平面相交(有且只有一个公共点) ; (3)直线和平面平行(没有公共点)——用两分法进行两次分类。 它们的图形分别可表示为如下,符号分别可表示为 a ? ? , a ? ? ? A , a // ? 。
a
a

a
?

?

A
?

线面平行的判定定理:如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那 么这条直线和这个平面平行。推理模式: a

a ? ? , b ? ? , a // b ? a // ? .
?

a b P ? b P

天材教育集团丹阳分校

17

线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相 交,那么这条直线和交线平行。推理模式: a // ? , a ? ? , ? ? ? ? b ? a // b .
?

a b

?

5.两个平面的位置关系有两种:两平面相交(有一条公共直线) 、两平面平行(没有公 共点) (1)两个平面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面, 那么这两个平面平行。 a?? ? ? b 定理的模式: b ? ? ? ? a ? a ? b ? P ? ? ? // ? a // ? ? ? c ? b // ? ? ? 推论: 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线, 那么 这两个平面互相平行。 推论模式: a ? b ? P, a ? ? , b ? ? , a? ? b? ? P?, a? ? ? , b? ? ? , a // a?, b // b? ? ? // ? (2)两个平面平行的性质(1)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于 另一个平面; (2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。

天材教育集团丹阳分校

18

第十讲
一、知识精点讲解

空间中的垂直关系

1.线线垂直 判断线线垂直的方法:所成的角是直角,两直线垂直;垂直于平行线中的一条,必垂直 于另一条。 三垂线定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的 P 射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。 三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条 O 斜线垂直,那麽它也和这条斜线的射影垂直。

PO ? ? , O ? ? ? ? 推理模式: PA ? ? ? A ? ? a ? AO 。 a ? ? , a ? AP ? ?
王新敞
奎屯 新疆

A

?

a

注意:⑴三垂线指 PA,PO,AO 都垂直 α 内的直线 a 其实质是:斜线和平面内一条直 线垂直的判定和性质定理 ⑵要考虑 a 的位置,并注意两定理交替使用。 2.线面垂直 定义:如果一条直线 l 和一个平面α 相交,并且和平面α 内的任意一条直 线都垂直,我们就说直线 l 和平面α 互相垂直 其中直线 l 叫做平面的垂线,平 面α 叫做直线 l 的垂面,直线与平面的交点叫做垂足。 直线 l 与平面α 垂直记作: l⊥ α。 直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直 线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面。 直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。 3.面面垂直 两个平面垂直的定义:相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。 两平面垂直的判定定理: (线面垂直 ? 面面垂直)
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。 两平面垂直的性质定理: (面面垂直 ? 线面垂直)若两个平面互相垂直,那么在一个平 面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。

天材教育集团丹阳分校

19

第十一讲
一、知识精点讲解

直线、圆的方程

1.倾斜角:一条直线 L 向上的方向与 X 轴的正方向所成的最小正角,叫做直线的倾斜 角,范围为 ?0, ? ? 。 2.斜率:当直线的倾斜角不是 900 时,则称其正切值为该直线的斜率,即 k=tan ? ; 当直线的倾斜角等于 900 时,直线的斜率不存在。 过两点 p1(x1,y1),p2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式:k=tan ? ?

y2 ? y1 (若 x1=x2,则直 x2 ? x1

线 p1p2 的斜率不存在,此时直线的倾斜角为 900) 。 4.直线方程的五种形式确定直线方程需要有两个互相独立的条件。确定直线方程的形 式很多,但必须注意各种形式的直线方程的适用范围。 名称 斜截式 点斜式 方程 y=kx+b y-y0=k(x-x0) 说明 k——斜率 b——纵截距 (x0,y0)——直线上 已知点,k——斜率 (x1,y1),(x2,y2)是直线上 两个已知点 a——直线的横截距 b——直线的纵截距 适用条件 倾斜角为 90°的直线不 能用此式 倾斜角为 90°的直线不 能用此式 与两坐标轴平行的直线 不能用此式 过(0,0)及与两坐标轴 平行的直线不能用此式

两点式

y ? y1 x ? x1 = y 2 ? y1 x2 ? x1
x y + =1 a b
Ax+By+C=0

截距式

一般式

?

A C C ,? ,? 分别为 B A B

斜率、横截距和纵截距 5.圆的方程

A、B 不能同时为零

圆心为 C ( a, b) ,半径为 r 的圆的标准方程为: ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 (r ? 0) 。特殊 地,当 a ? b ? 0 时,圆心在原点的圆的方程为: x 2 ? y 2 ? r 2 。
2 2 圆 的 一 般 方 程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 , 圆 心 为 点 ( ?

D E ,? ) , 半 径 2 2

r?

D 2 ? E 2 ? 4F 2 2 ,其中 D ? E ? 4F ? 0 。 2
二元二次方程 Ax ? Bxy ? Cy ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,表示圆的方程的充要条件是:
2 2

2 2 ①、 x 项 y 项的系数相同且不为 0,即 A ? C ? 0 ;

②、没有 xy 项,即 B=0;③、 D ? E ? 4 AF ? 0 。
2 2

天材教育集团丹阳分校

20

第十二讲
一、知识精点讲解

直线、圆的位置关系

1.直线 l1 与直线 l2 的的平行与垂直 (1)若 l1,l2 均存在斜率且不重合: ①l1//l2 ? k1=k2;②l1 ? l2 ? k1k2=-1。 (2)若 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0, 若 A1、A2、B1、B2 都不为零。 ①l1//l2 ?

l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0

A1 B1 C1 ; ? ? A2 B2 C2

②l1 ? l2 ? A1A2+B1B2=0; ③l1 与 l2 相交 ?

A1 B1 ; ? A2 B2 A1 B1 C1 ; ? ? A2 B2 C 2

④l1 与 l2 重合 ?

注意:若 A2 或 B2 中含有字母,应注意讨论字母=0 与 ? 0 的情况。两条直线的交点:两 条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数。 2. 距离 (1)两点间距离:若 A(x1 , y1 ), B(x 2 , y 2 ) ,则 AB ?

( x2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2

特别地: AB // x 轴,则 AB ? | x1 ? x2 | 、 AB // y 轴,则 AB ? | y1 ? y2 | 。 ( 2 ) 平 行 线 间 距 离 : 若 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0, l 2 : Ax ? By ? C2 ? 0 , 则: d ?

C1 ? C 2 A 2 ? B2

。注意点:x,y 对应项系数应相等。

(3)点到直线的距离: P(x ? , y ? ), l : Ax ? By ? C ? 0 ,则 P 到 l 的距离为:

d?

Ax? ? By ? ? C A 2 ? B2

2 2 2 3.直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的位置关系有三种

(1)若 d ?

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

, d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ;

(2) d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; (3) d ? r ? 相交 ? ? ? 0 。

天材教育集团丹阳分校

21

还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组 ?

? Ax ? By ? C ? 0
2 2 ? x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0

求解, 通过解

的个数来判断: (1)当方程组有 2 个公共解时(直线与圆有 2 个交点) ,直线与圆相交; (2)当方程组有且只有 1 个公共解时(直线与圆只有 1 个交点) ,直线与圆相切; (3)当方程组没有公共解时(直线与圆没有交点) ,直线与圆相离; 即:将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程,设它的判别式为Δ ,圆心 C 到直线 l 的距离为 d,则直线与圆的位置关系满足以下关系: 相切 ? d=r ? Δ =0; 相交 ? d<r ? Δ >0; 相离 ? d>r ? Δ <0。 4.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O1O2 ? d 。

d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线; d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线;

r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线; d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线; 0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线;

外离

外切

相交 内切 内含 判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公共解的个数来解决。

天材教育集团丹阳分校

22

第十三讲
一、知识精点讲解

任意角的三角函数及诱导公式

1.任意角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。 一条射 线由原来的位置 OA ,绕着它的端点 O 按逆时针方向旋转到终止位置 OB ,就形成角 ? 。旋 转开始时的射线 OA 叫做角的始边, OB 叫终边,射线的端点 O 叫做叫 ? 的顶点。 为了区别起见, 我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形 成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。 2.终边相同的角、区间角与象限角 角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合。那么,角的终边(除端点外) 在第几象限, 我们就说这个角是第几象限角。 要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为 这个角不属于任何一个象限,称为非象限角。 终边相同的角是指与某个角α 具有同终边的所有角, 它们彼此相差 2kπ (k∈Z), 即β ∈ {β |β =2kπ +α ,k∈Z},根据三角函数的定义,终边相同的角的各种三角函数值都相等。 区间角是介于两个角之间的所有角,如α ∈{α | 3.弧度制 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度角,记作 1 rad ,或 1 弧度,或 1(单 位可以省略不写)。 角有正负零角之分,它的弧度数也应该有正负零之分,如-π ,-2π 等等,一般地, 正 角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是 0,角的正负主要由角 的旋转方向来决定。 角 ? 的弧度数的绝对值是: ? ?

5? ? ? 5? ≤α ≤ }=[ , ]。 6 6 6 6

l ,其中,l 是圆心角所对的弧长, r 是半径。 r
?

角度制与弧度制的换算主要抓住 180 ? ? rad 。 弧度与角度互换公式:1rad= 180 °≈57.30°=57°18ˊ、1°= ? ≈0.01745(rad) 。
?
180

弧长公式: l ?| ? | r ( ? 是圆心角的弧度数) , 扇形面积公式: S ? 4.三角函数定义 在 ? 的终边上任取一点 P (a, b) ,它与原点的距离 r ? a2 ? b2 ? 0 .过 P 作 x 轴的垂线, 垂 足 为 M , 则 线 段 OM 的 长 度 为 a , 线 段 MP 的 长 度 为 b . 则 sin ? ?

1 1 l r ? | ? | r 2。 2 2

MP b ? ; OP r

cos ? ?

OM a MP b ? ; tan ? ? ? 。 OP r OM a

天材教育集团丹阳分校

23

利用单位圆定义任意角的三角函数,设 ? 是一个 任意角,它的终边与单位圆交于点 P ( x, y ) ,那么: (1) y 叫做 ? 的正弦,记做 sin ? ,即 sin ? ? y ; (2) x 叫做 ? 的余弦,记做 cos ? ,即 cos? ? x ;

y

a的终边
P(x,y )) O x

y (3) 叫 做 ? 的 正 切 , 记 做 tan ? , 即 x y tan ? ? ( x ? 0) 。 x
5.三角函数线 三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函 数值的一种图示方法。利用三角函数线在解决比较三角函数值 大小、解三角方程及三角不等式等问题时,十分方便。 以坐标原点为圆心,以单位长度 1 为半径画一个圆,这个 圆就叫做单位圆(注意:这个单位长度不一定就是 1 厘米或 1 米) 。当角 ? 为第一象限角时,则其终边与单位圆必有一个交点 y a角的终 边 P T

P( x, y ) ,过点 P 作 PM ? x 轴交 x 轴于点 M ,根据三角函数
的定义: | MP |?| y |?| sin ? | ; | OM |?| x |?| cos ? | 。

O

M A

x

我们知道,指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角 ? 的终边不在坐标轴时, 以 O 为始点、 M 为终点,规定: 当线段 OM 与 x 轴同向时, OM 的方向为正向,且有正值 x ;当线段 OM 与 x 轴反向 时, OM 的方向为负向,且有负值 x ;其中 x 为 P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有

OM ? x ? cos ? 同理,当角 ? 的终边不在 x 轴上时,以 M 为始点、 P 为终点,
规定: 当线段 MP 与 y 轴同向时,MP 的方向为正向, 且有正值 y ; 当线段 MP 与 y 轴 反向时, MP 的方向为负向,且有负值 y ;其中 y 为 P 点的横坐标。 这样,无论那种情况都有 MP ? y ? sin ? 。像 MP、OM 这种被看作带有方向的线段, 叫做有向线段。 如上图,过点 A(1,0) 作单位圆的切线,这条切线必然平行于 y 轴,设它与 ? 的终边交于 点 T ,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段 OA、AT ,我们有

y x 我们把这三条与单位圆有关的有向线段 MP、OM 、AT ,分别叫做角 ? 的正弦线、余 tan ? ? AT ?
弦线、正切线,统称为三角函数线。

天材教育集团丹阳分校

24

6.同角三角函数关系式 使用这组公式进行变形时,经常把“切”“割”用“弦”表示,即化弦法,这是三角 、 变换非常重要的方法。 几个常用关系式:sinα +cosα ,sinα -cosα ,sinα ·cosα ;(三式之间可以互相表示)

同理可以由 sinα -cosα 或 sinα ·cosα 推出其余两式。

?? ? ② 1 ? sin ? ? ?1 ? sin ? . 2? ?
2

③当 x ? ? 0,

? ?

??

? 时,有 sin x ? x ? tan x 。 2?

7.诱导公式 可用十个字概括为“奇变偶不变,符号看象限” 。 诱导公式一: sin(? ? 2k? ) ? sin ? , cos(? ? 2k? ) ? cos ? ,其中 k ? Z 诱导公式二: sin(180? ? ? ) ? ? sin ? ; 诱导公式三: sin(?? ) ? ? sin ? ;
?
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

c o s ( 1 ?8? ? ? )?c o s 0 ?
cos(?? ) ? cos ?
?
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

诱导公式四: sin(180 ? ? ) ? sin ? ; cos(180 ? ? ) ? ? cos ? 诱导公式五: sin(360 ? ? ) ? ? sin ? ; cos(360 ? ? ) ? cos ?
? ?

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

-? sin cos -sin ? cos ?

? ??
sin ? -cos ?
?

? ??
-sin ? -cos ?

2? ? ?
-sin ? cos ?

2k? ? ? ?k ? Z ?
sin ? cos ?

?
2

??

cos ? sin ?

(1)要化的角的形式为 k ?180 ? ? ( k 为常整数) ; (2)记忆方法: “函数名不变,符号看象限” ; (3)sin(kπ +α )=(-1)ksinα ;cos(kπ +α )=(-1)kcosα (k∈Z); (4) sin ? x ?

? ?

??

?? ?? ?? ? ? ? ?? ? ? ? cos ? ? x ? ? cos ? x ? ? ; cos ? x ? ? ? sin ? ? x ? 。 4? 4? 4? ?4 ? ? ? ?4 ?

天材教育集团丹阳分校

25

第十四讲

三角函数的图象与性质

一、知识精点讲解 1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

y=sinx
-5? 2 -4? -7? -3? 2 -2? -3? -? 2 -

y
? 2

1 o -1 y
? 2 ?

3? 2 2? 5? 2 3?

7? 2 4?

x

y=cosx
-3? -4? -7? 2 -5? 2 -2? -3? 2 -? -

? 2

1 o -1
? 2

?

3? 2 2? 5? 2

3?

7? 2 4?

x

y

y=tanx

-

3? 2

-?

-

? 2

o

? 2

?

3? 2

x

2.三角函数的单调区间:

? ?? ? y ? sin x 的递增区间是 ?2k? ? ,k? ? ? (k ? Z ) , 2 2 2? ?
递减区间是 ?2k? ?

? ?

?
2

,k? ? 2

3? ? (k ? Z ) ; 2? ?

y ? cos x 的递增区间是 ?2k? ? ?,k? ? (k ? Z ) , 2

2k 递减区间是 ?2k?, ? ? ? ? (k ? Z ) ,

? ?? ? y ? tan x 的递增区间是 ? k? ? ,k? ? ? (k ? Z ) , 2 2? ?
(其中A ? 0,? ? 0) 3.函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? B

天材教育集团丹阳分校

26

最大值是 A ? B , 最小值是 B ? A , 周期是 T ? 初相是 ? ;其图象的对称轴是直线 ?x ? ? ? k? ?

2?

?
2

?

, 频率是 f ?

? , 相位是 ?x ? ? , 2?

(k ? Z ) ,凡是该图象与直线 y ? B 的

交点都是该图象的对称中心。 4.由 y=sinx 的图象变换出 y=sin(ω x+ ? )的图象一般有两个途径,只有区别开这 两个途径,才能灵活进行图象变换。 利用图象的变换作图象时,提倡先平移后伸缩,但先伸缩后平移也经常出现 无论哪种 变形,请切记每一个变换总是对字母 x 而言,即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是 “角变化”多少。 途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将 y=sinx 的图象向左( ? >0)或向右( ? <0=平移| ? |个单位,再将图象上各点
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

的横坐标变为原来的

1

?

倍(ω >0),便得 y=sin(ω x+ ? )的图象。

途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将 y=sinx 的图象上各点的横坐标变为原来的 或向右( ? <0=平移

1

|? |

?

倍(ω >0),再沿 x 轴向左( ? >0)

5.由 y=Asin(ω x+ ? )的图象求其函数式: ? 给出图象确定解析式 y=Asin(ω x+ ? )的题型,有时从寻找“五点”中的第一零点(-

?

个单位,便得 y=sin(ω x+ ? )的图象。

? ,0)作为突破口,要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。 .. ?
? 6.对称轴与对称中心: ? y ? sin x 的对称轴为 x ? k? ? ? ,对称中心为 (k? ,0) 2
?

k ?Z ;

? 对于 y ? A sin(? x ? ? ) 和 y ? A cos(? x ? ? ) 来说,对称中心与零点相联系,对称轴 与最值点联系。 ? 7.求三角函数的单调区间:一般先将函数式化为基本三角函数的标准式,要特别注 意 A、 ? 的正负 利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间; ? 8.求三角函数的周期的常用方法: ? 经过恒等变形化成“ y ? A sin(? x ? ? ) 、 y ? A cos(? x ? ? ) ”的形式,在利用周期 公式,另外还有图像法和定义法。 9.五点法作 y=Asin(ω x+ ? )的简图: π 3π 五点取法是设 x=ω x+ ? ,由 x 取 0、 、π 、 、2π 来求相应的 x 值及对应的 y 值, 2 2
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

? y ? cos x 的对称轴为 x ? k? ,对称中心为 (k? ? 2 ,0) ;

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

再描点作图。

天材教育集团丹阳分校

27

第十五讲
一、目标要求

三角恒等变形及应用

1. 经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程, 进一步体会向量方法的作用; 2.能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、 余弦、正切公式,了解它们的内在联系; 3.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括引导导出积化和差、和差化积、半角公 式,但不要求记忆) 。

二、知识精点讲解
1.两角和与差的三角函数

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ;

tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 。 1 ? tan ? tan ?

2.二倍角公式

sin 2? ? 2 sin ? cos ? ;

cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? ;
tan 2? ? 2 tan ? 。 1 ? tan 2 ?

3.三角函数式的化简 常用方法:①直接应用公式进行降次、消项;②切割化弦,异名化同名,异角化同角; ③ 三角公式的逆用等。 (2)化简要求:①能求出值的应求出值;②使三角函数种数尽量少; ③使项数尽量少;④尽量使分母不含三角函数;⑤尽量使被开方数不含三角函数。 (1)降幂公式

sin ? cos ? ?

1 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 2 sin 2? ; sin 2 ? ? ; cos ? ? 。 2 2 2

(2)辅助角公式

a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 ? sin ? x ? ? ? , 其中sin ? ?

b a ?b
2 2

, ?? cos

a a ? b2
2



4.三角函数的求值类型有三类 (1)给角求值:一般所给出的角都是非特殊角,要观察所给角与特殊角间的关系,利 用三角变换消去非特殊角,转化为求特殊角的三角函数值问题; (2)给值求值:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题的 关键在于“变角” ,如 ? ? ( ? ? ? ) ? ? , 2? ? ( ? ? ? ) ? ( ? ? ? ) 等,把所求角用含已知角 的式子表示,求解时要注意角的范围的讨论; (3)给值求角:实质上转化为“给值求值”问题,由所得的所求角的函数值结合所求 角的范围及函数的单调性求得角。

天材教育集团丹阳分校

28

5.三角等式的证明 三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征,通过三角恒等变换,应用化繁为简、左 右同一等方法,使等式两端化“异”为“同” ;

第十六讲
一、知识精点讲解
1.向量的概念 ①向量

平面向量的概念及运算

既有大小又有方向的量。 向量一般用 a, b , c ??来表示, 或用有向线段的起点与终点的 大写字母表示,如: AB 几何表示法 AB , a ;坐标表示法 a ? xi ? y j ? ( x, y) 。向量的大
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

? ? ?
?

??? ?

??? ?

?

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

小即向量的模(长度) ,记作| AB | 即向量的大小,记作| a |。
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

??? ?

?

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小。 ②零向量 长度为 0 的向量, 记为 0 , 其方向是任意的,0 与任意向量平行 零向量 a = 0 ? | a |
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

?

?

?

?

?

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

=0。由于 0 的方向是任意的,且规定 0 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线)的问 题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。 (注意与 0 的区别) ③单位向量 模为 1 个单位长度的向量,向量 a0 为单位向量 ? | a0 |=1。 ④平行向量(共线向量) 方向相同或相反的非零向量。 任意一组平行向量都可以移到同一直线上, 方向相同或相 反的向量,称为平行向量,记作 a ∥ b 。由于向量可以进行任意的平移(即自由向量),平行 向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量。 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必 须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线” 、的含义,要理解好平行向量中的“平 行”与几何中的“平行”是不一样的。 ⑤相等向量 长度相等且方向相同的向量 相等向量经过平移后总可以重合,记为 a ? b 。大小相等,
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

?

?

?

?

?

?

?

?

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

方向相同? ( x1 , y1 ) ? ( x2 , y 2 ) ? ?

? x1 ? x 2 。 ? y1 ? y 2

2.向量的运算 (1)向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法。 设 AB ? a, BC ? b ,则 a + b = AB ? BC = AC 。

??? ?

? ? ???

?

? ? ? ? ??? ??? ????

天材教育集团丹阳分校

29

规定: (1) 0 ? a ? a ? 0 ? a ; (2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则” (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的 始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量。 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接” ,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终 点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法 则。 向 量 加 法 的 三 角 形 法 则 可 推 广 至 多 个 向 量 相 加 :

?

?

? ?

?

??? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? 。 AB ? BC ? CD ? ?? PQ ? QR ? AR ,但这时必须“首尾相连”
(2)向量的减法 ? ? ①相反向量:与 a 长度相等、方向相反的向量,叫做 a 的相反向量。 记作 ? a ,零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有:

?

(i) ? (?a ) = a ; (ii)

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a +( ? a )=( ? a )+ a = 0 ;(iii)若 a 、 b 是互为相反向量,则 a = ? b , b = ? a , a + b = 0 。
②向量减法 向量 a 加上 b 的相反向量叫做 a 与 b 的差, 记作: a ? b ? a ? (?b ) 求两个向量差的运算,叫做向量的减法。
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

?

?

?

?

?

?

?

?

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

③作图法: a ? b 可以表示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量( a 、 b 有共同起点) 。 (3)实数与向量的积 ? ? ①实数λ 与向量 a 的积是一个向量,记作λ a ,它的长度与方向规定如下: (Ⅰ) ?a ? ? ? a ; (Ⅱ)当 ? ? 0 时,λ a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时,λ a 的方向与 a 的方向相 反;当 ? ? 0 时, ?a ? 0 ,方向是任意的。 ②数乘向量满足交换律、结合律与分配律。 3.两个向量共线定理: 向量 b 与非零向量 a 共线 ? 有且只有一个实数 ? ,使得 b = ?a 。 4.平面向量的基本定理 如果 e1 , e2 是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量 a ,有且只 有一对实数 ?1 , ? 2 使: a ? ?1e1 ? ?2 e2 其中不共线的向量 e1 , e2 叫做表示这一平面内所有向 量的一组基底。

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

?

?

? ?

天材教育集团丹阳分校

30

5.平面向量的坐标表示 (1)平面向量的坐标表示:在直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单 位向量 i , j 作为基底 由平面向量的基本定理知,该平面内的任一向量 a 可表示成
新疆 源头学子小屋
http w ww.xjktyg m/w xc/ :// .co

? ?

?

特级教师 王新敞
w xck@12 6.co m t

新疆 源头学子小屋
http w ww.xjktyg m/w xc/ :// .co

特级教师 王新敞
w xck@12 6.co m t

? ? ? ? ? ? 由于 因此把(x,y)叫做向量 a 的坐标, 记作 a =(x,y), a ? xi ? yj, a 与数对(x,y)是一一对应的, ? 其中 x 叫作 a 在 x 轴上的坐标,y 叫做在 y 轴上的坐标。
规定: (1)相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量; (2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对 位置有关系。 (2)平面向量的坐标运算: ①若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? ; ②若 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? ,则 AB ? ? x2 ? x1 , y2 ? y1 ? ; ③若 a =(x,y),则 ? a =( ? x, ? y); ④若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a // b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 。

?

?

? ?

??? ?

?

?

?

?

? ?

第十七讲
一、知识精点讲解
1.向量的数量积 (1)两个非零向量的夹角

平面向量的数量积及应用

已知非零向量 A 与 A,作 OA = a , OB = b ,则∠ OA=Θ(0≤Θ≤Π)叫 a 与 b 的夹 A 角; 说明: (1)当 Θ=0时, a 与 b 同向; (2)当 Θ=Π 时, a 与 b 反向; (3)当 Θ=

? 时, a 与 b 垂直,记 a ⊥b ; 2

(4)注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的,范围 0?≤?≤180?。

天材教育集团丹阳分校

31

C

(2)数量积的概念 已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角为 ? ,则 a · =︱ a ︱· b ︱COS ? 叫做 a 与 b ︱ b 的数量积(或内积) 。规定 0 ? a ? 0 ; (3)向量数量积的性质 ①向量的模与平方的关系: a ? a ? a 2 ?| a |2 。 ②乘法公式成立

?

?

? ?

?

?

?

?

? ?

? ?

?

?

? ? ? ? ?a ? b ? ? ?a ? b ? ? a ? b ? a ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? ? a ? 2a ? b ? b ? a
2 2 2 2

?

?

?2

2

?2 ?b ; ? ? ?2 ? 2a ? b ? b ;

2

③平面向量数量积的运算律 交换律成立: a ? b ? b ? a ;

? ?

? ?

? ? ?? ? R? ; ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 分配律成立: ? a ? b ? ? c ? a ? c ? b ? c ? c ? ? a ? b ? 。
对实数的结合律成立: ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ?b

?

?

?? ?

?

?

?

? ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? ? a ?b ④向量的夹角:COS ? = cos ? a , b ?? ? ? = 。 2 2 2 2 a?b x1 ? y1 ? x 2 ? y 2
当且仅当两个非零向量 a 与 b 同方向时,Θ =00,当且仅当 a 与 b 反方向时Θ =1800,同 时 0 与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。 (5)两个向量的数量积的坐标运算

?

?

?

?

?

b 已知两个向量 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,则 a · = x1 x2 ? y1 y2 。
(6)垂直:如果 a 与 b 的夹角为 900 则称 a 与 b 垂直,记作 a ⊥ b 。 两个非零向量垂直的充要条件: a ⊥ b ? a · b =O ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 ,平面向量 数量积的性质。 (7)平面内两点间的距离公式

?

?

? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

天材教育集团丹阳分校

32

设 a ? ( x, y) ,则 | a | 2 ? x 2 ? y 2 或 | a |?

x2 ? y2 。

如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y 2 ) ,那么

| a |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 (平面内两点间的距离公式)。

向量中的结论:
1. a 与 b 的数量积(或内积) a·b=|a||b|cosθ . 问 a·b 的几何意义? 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ 的乘积. 2.线段的定比分公式

设 P ( x1 , y1 ) , P ( x2 , y2 ) , P ( x, y ) 是线段 PP 的分点, ? 是实数,且 PP ? ? PP ,则 1 2 1 2 1 2

??? ?

????

? ?x ? ? ? ?y ? ? ?

x1 ? ? x2 ???? ???? ??? OP ? ? OP ? ??? ??? ? ? ???? 1 1? ? 2 ). ? OP ? 1 ? OP ? tOP ? (1? t )OP ( t ? 1 2 y1 ? ? y2 1? ? 1? ? 1? ?

3.三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为 A(x1 ,y1 )、 B(x2 ,y2 )、 C(x3 ,y3 ),则△ABC 的重心的坐 标是 G (

x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 , ). 3 3

4.点的平移公式

???? ??? ???? ? ? x' ? x ? h ? x ? x' ? h ? ? ?? ? OP' ? OP ? PP' . ? ' ' ?y ? y ? k ?y ? y ? k ? ?
'

注:图形 F 上的任意一点 P(x,y)在平移后图形 F 上的对应点为 P ( x , y ) ,且 PP 的 坐标为 ( h, k ) . 5.“按向量平移”的几个结论 (1)点 P ( x, y ) 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到点 P ( x ? h, y ? k ) .
'

'

'

'

????
'

(2) 函数 y ? f ( x) 的图象 C 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到图象 C ,则 C 的函数解析式
' '

为 y ? f ( x ? h) ? k . (3) 图象 C 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到图象 C ,若 C 的解析式 y ? f ( x) ,则 C 的函数
' '

解析式为 y ? f ( x ? h) ? k .
' ' (4) 曲 线 C : f ( x, y) ? 0 按 向 量 a= ( h, k ) 平 移 后 得 到 图 象 C , 则 C 的 方 程 为

f ( x ? h, y ? k ) ? 0 . (5) 向量 m= ( x, y ) 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到的向量仍然为 m= ( x, y ) .
6 . 三角形五“心”向量形式的充要条件 设 O 为 ?ABC 所在平面上一点,角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c ,则

??? 2 ??? 2 ??? 2 ? ? ? (1) O 为 ?ABC 的外心 ? OA ? OB ? OC . ??? ??? ??? ? ? ? ? (2) O 为 ?ABC 的重心 ? OA ? OB ? OC ? 0 . ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? (3) O 为 ?ABC 的垂心 ? OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA .

天材教育集团丹阳分校

33

??? ? ??? ? ??? ? ? (4) O 为 ?ABC 的内心 ? aOA ? bOB ? cOC ? 0 . ??? ? ??? ? ??? ? (5) O 为 ?ABC 的 ? A 的旁心 ? aOA ? bOB ? cOC .

第十八讲
一、知识精点讲解

正、余弦定理及应用

1.直角三角形中各元素间的关系: 如图,在△ABC 中,C=90°,AB=c,AC=b,BC=a。 (1)三边之间的关系:a2+b2=c2。 (勾股定理) (2)锐角之间的关系:A+B=90°; (3)边角之间的关系: (锐角三角函数定义) sinA=cosB=

a b a ,cosA=sinB= ,tanA= 。 c c b

2.斜三角形中各元素间的关系: 如图 6-29,在△ABC 中,A、B、C 为其内角,a、b、c 分 别表示 A、B、C 的对边。 (1)三角形内角和:A+B+C=π 。 (2)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等。

a b c ? ? ? 2R 。 sin A sin B sin C
(R 为外接圆半径) (3) 余弦定理: 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的 余弦的积的两倍。 a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2cacosB;c2=a2+b2-2abcosC。 3.三角形的面积公式:

1 1 1 aha= bhb= chc(ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 上的高) ; 2 2 2 1 1 1 (2)△= absinC= bcsinA= acsinB; 2 2 2
(1)△= 4.解三角形:由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少 有一个是边)求其他未知元素的问题叫做解三角形. 解斜三角形的主要依据是: 设△ABC 的三边为 a、b、c,对应的三个角为 A、B、C。 (1)角与角关系:A+B+C = π; (2)边与边关系:a + b > c,b + c > a,c + a > b,a-b < c,b-c < a,c-a > b; (3)边与角关系: 正弦定理 余弦定理

a b c ; ? ? ? 2R (R 为外接圆半径) sin sin sin A B C
c2 = a2+b2-2bccosC,b2 = a2+c2-2accosB,a2 = b2+c2-2bccosA;

它们的变形形式有:a = 2R sinA, 5.三角形中的三角变换

b2 ? c2 ? a2 sin A a 。 ? , cos A ? 2bc sin B b

天材教育集团丹阳分校

34

(1)角的变换 因为在△ABC 中,A+B+C=π ,所以 sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=- tanC。 sin

A? B C A? B C ? cos , cos ? sin ; 2 2 2 2

(2)三角形边、角关系定理及面积公式,正弦定理,余弦定理。 (3)在△ABC 中,熟记并会证明:∠ A,∠B,∠C 成等差数列的充分必要条件是∠ B=60°;△ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A,∠B,∠C 成等差数列且 a,b,c 成等 比数列。 6.面积定理

1 1 1 aha ? bhb ? chc ( ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 边上的高). 2 2 2 1 1 1 (2) S ? ab sin C ? bc sin A ? ca sin B . 2 2 2 ??? ??? 2 ??? ??? 2 ? ? ? ? 1 (| OA | ? | OB |) ? (OA ? OB ) . (3) S ?OAB ? 2
(1) S ?

第十九讲
一、知识精点讲解

数列概念及等差数列

1.数列的概念 (1)数列定义:按一定次序排列的一列数叫做数列; 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作 an ,在数列第一个位置的项叫第 1 项(或首 项) ,在第二个位置的叫第 2 项,??,序号为 n 的项叫第 n 项(也叫通项)记作 an ; 数列的一般形式: a1 , a2 , a3 ,??, an ,??,简记作 那么这个公式就叫这个数列的通项公式。 例如,数列①的通项公式是 an = n ( n ? 7, n ? N ? ) ,数列②的通项公式是 an = ( n ? N? ) 。

?an ? 。

(2)通项公式的定义:如果数列 {an } 的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示,

1 n

说明:① ?an ? 表示数列, an 表示数列中的第 n 项, an = f ? n ? 表示数列的通项公式;
n

② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。 例如,an = (?1) = ?

??1, n ? 2k ? 1 (k ? Z ) ; ??1, n ? 2k



不是每个数列都有通项公式。例如,1,1.4,1.41,1.414,?? (3)数列的函数特征与图象表示: 序号:1 2 3 4 5 6 项 :4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。 从函 数观点看,数列实质上是定义域为正整数集 N ?(或它的有限子集) 的函数 f ( n) 当自变量 n 从 1 开始依次取值时对应的一系列函数值 f (1), f (2), f (3), ??, f ( n) ,??.通常用 an 来代替 f ? n ? ,其图象是一群孤立点。 (4)数列分类:①按数列项数是有限还是无限分:有穷数列和无穷数列;②按数列项 与项之间的大小关系分:单调数列(递增数列、递减数列) 、常数列和摆动数列。

天材教育集团丹阳分校

35

(5)递推公式定义:如果已知数列 ?an ? 的第 1 项(或前几项) ,且任一项 an 与它的前 一 项 an ?1 ( 或 前 几 项 ) 间 的关 系 可 以 用 一 个 公 式 来表 示 , 那 么 这 个 公 式 就叫 做 这 个 数列的递推公式。 2.等差数列 (1)等差数列定义:一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等 于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字 母 d 表示。用递推公式表示为 an ? an?1 ? d (n ? 2) 或 an?1 ? an ? d (n ? 1) 。 (2)等差数列的通项公式: an ? a1 ? (n ?1)d ; 说明:等差数列(通常可称为 A P 数列)的单调性: d ? 0 为递增数列, d ? 0 为常数 列, d ? 0 为递减数列。 (3)等差中项的概念: 定义:如果 a , A , b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项。其中 A ?

a , A , b 成等差数列 ? A ?

a?b 。 2

a?b 2

(4)等差数列的前 n 和的求和公式: S n ? 39.数列的同项公式与前 n 项的和的关系

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d。 2 2

n ?1 ?s1 , ( 数列 {an } 的前 n 项的和为 sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ). an ? ? ?sn ? sn?1 , n ? 2
4.等差数列的通项公式

an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N * ) ;
其前 n 项和公式为

sn ?

n(a1 ? an ) d 1 n(n ? 1) ? na1 ? d ? n 2 ? (a1 ? d ) n . 2 2 2 2

5.等比数列的通项公式

an ? a1q n ?1 ?

a1 n ? q (n ? N * ) ; q

其前 n 项的和公式为

? a1 (1 ? q n ) ? a1 ? an q ,q ?1 ,q ?1 ? ? sn ? ? 1 ? q 或 sn ? ? 1 ? q . ? na , q ? 1 ?na , q ? 1 ? 1 ? 1 6.等比、差数列 ?an ? : an?1 ? qan ? d , a1 ? b(q ? 0) 的通项公式为 ?b ? (n ? 1)d , q ? 1 ? an ? ? bq n ? (d ? b)q n ?1 ? d ; ,q ?1 ? q ?1 ?
其前 n 项和公式为

?nb ? n(n ? 1)d , (q ? 1) ? sn ? ? . d 1 ? qn d (b ? ) ? n, (q ? 1) ? 1 ? q q ?1 1 ? q ?

天材教育集团丹阳分校

36

7.分期付款(按揭贷款) 每次还款 x ?

ab(1 ? b) n 元(贷款 a 元, n 次还清,每期利率为 b ). (1 ? b) n ? 1

第二十讲
一、知识精点讲解

等比数列

个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母 q 表示 (q ? 0) ,

1.等比数列定义 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这 .... ..

即: an ?1 : an ? q(q ? 0) 数列对于数列(1) (3)都是等比数列,它们的公比依次是 2, (2) 5, ?

1 。 (注意: “从第二项起”“常数” q 、等比数列的公比和项都不为零) 、 2

2.等比数列通项公式为: an ? a1 ? q n?1 (a1 ? q ? 0) 。 说明: (1)由等比数列的通项公式可以知道:当公比 d ? 1 时该数列既是等比数列也是 等差数列; (2)等比数列的通项公式知:若 {an } 为等比数列,则

am ? q m?n 。 an

3.等比中项 如果在 a与b 中间插入一个数 G , a, G, b 成等比数列, 使 那么 G 叫做 a与b 的等比中项 (两个符号相同的非零实数,都有两个等比中项) 。 4.等比数列前 n 项和公式 一般地,设等比数列 a1 , a2 , a3 ,?, an ,?的前 n 项和是 S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ,当

q ? 1 时, S n ?

a1 (1 ? q n ) a ? an q 或 Sn ? 1 ;当 q=1 时, S n ? na1 (错位相减法) 。 1? q 1? q n 说明: a1 , q, n, S n 和 a1 , an , q, S n 各已知三个可求第四个; 注意求和公式中是 q , (1) (2)
n?1

通项公式中是 q

不要混淆; (3)应用求和公式时 q ? 1 ,必要时应讨论 q ? 1 的情况。

天材教育集团丹阳分校

37

数列求和
一、知识精点讲解
1.数列求通项与和 (1)数列前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系式:an= ?

?s n ? s n ?1 ?s1

n?2 。 n ?1

(2)求通项常用方法 ①构造新数列法。作等差数列与等比数列; ②累差叠加法。最基本的形式是:an=(an-an-1)+(an-1+an-2)+?+(a2-a1)+a1; ③归纳、猜想法。 (3)数列前 n 项和 ①重要公式:1+2+?+n= 12+22+?+n2=

1 n(n+1); 2

1 n(n+1)(2n+1); 6 1 13+23+?+n3=(1+2+?+n)2= n2(n+1)2; 4
②等差数列中,Sm+n=Sm+Sn+mnd; ③等比数列中,Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn; ④裂项求和 将数列的通项分成两个式子的代数和,即 an=f(n+1)-f(n),然后累加抵消掉中间的许多 项,这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。用裂项法求和,需要掌握一些常见的裂项,如:

an ?

1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? )、 = - ( An ? B)( An ? C ) C ? B An ? B An ? C n(n ? 1) n n ? 1

-等。

⑤错项相消法 对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前 n 项和,常用错项相消法。

an ? bn ? cn ,

其 中

?bn ?

是 等 差 数 列 ,

?cn ?

是 等 比 数 列 , 记

S n ? b1c1 ? b2 c2 ? ? ? bn?1cn?1 ? bn cn ,则 qSn ? b1c2 ???? bn?1cn ? bncn?1 ,?
⑥并项求和 把数列的某些项放在一起先求和,然后再求 Sn。 数列求通项及和的方法多种多样,要视具体情形选用合适方法。 ⑦通项分解法: an ? bn ? cn

天材教育集团丹阳分校

38

第二十一讲
一、知识精点讲解

圆锥曲线方程及性质

1.椭圆 (1)椭圆概念 平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离的和等于常数(大于 | F1F2 | )的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫椭圆的焦距。若 M 为椭圆上任意一点,则有 | MF1 | ? | MF2 |? 2a 。 椭圆的标准方程为:

(a ? b ? 0) (焦点在 y 轴上) 。

x2 y 2 y2 x2 ? 2 ?1( a ? b ? 0 ) (焦点在 x 轴上)或 2 ? 2 ? 1 a2 b a b
2 2 2

注:①以上方程中 a , b 的大小 a ? b ? 0 ,其中 c ? a ? b ;

x2 y 2 y 2 x2 ? 2 ? 1 和 2 ? 2 ? 1 两个方程中都有 a ? b ? 0 的条件,要分清焦点的位置, a2 b a b x2 y 2 2 2 ? ? 1 ( m ? 0 , n ? 0 , m ? n )当 m ? n 只要看 x 和 y 的分母的大小。例如椭圆 m n 时表示焦点在 x 轴上的椭圆;当 m ? n 时表示焦点在 y 轴上的椭圆。
②在 (2)椭圆的性质 ①范围:由标准方程

y ? ?b 所围成的矩形里;

x2 y 2 ? ? 1 知 | x |? a , | y |? b ,说明椭圆位于直线 x ? ? a , a 2 b2

②对称性:在曲线方程里,若以 ? y 代替 y 方程不变,所以若点 ( x, y ) 在曲线上时,点

( x, ? y ) 也在曲线上,所以曲线关于 x 轴对称,同理,以 ?x 代替 x 方程不变,则曲线关于 y 轴对称。若同时以 ?x 代替 x , ? y 代替 y 方程也不变,则曲线关于原点对称。 所以,椭圆关于 x 轴、 y 轴和原点对称。这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是对称中
心,椭圆的对称中心叫椭圆的中心; ③顶点:确定曲线在坐标系中的位置,常需要求出曲线与 x 轴、 y 轴的交点坐标。在椭 圆的标准方程中,令 x ? 0 ,得 y ? ?b ,则 B1 (0, ?b) , B2 (0, b) 是椭圆与 y 轴的两个交点。 同理令 y ? 0 得 x ? ? a ,即 A1 (?a, 0) , A2 (a,0) 是椭圆与 x 轴的两个交点。 所以,椭圆与坐标轴的交点有四个,这四个交点叫做椭圆的顶点。 同时,线段 A1 A2 、 B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为 2a 和 2b , a 和

b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
由椭圆的对称性知:椭圆的短轴端点到焦点的距离为 a ;在 Rt ?OB2 F2 中,| OB2 |? b ,

| OF2 |? c , | B2 F2 |? a ,且 | OF2 |2 ?| B2 F2 |2 ? | OB2 |2 ,即 c2 ? a 2 ? c 2 ; c ④离心率:椭圆的焦距与长轴的比 e ? 叫椭圆的离心率。∵ a ? c ? 0 ,∴ 0 ? e ? 1 , a 且 e 越接近 1 , c 就越接近 a ,从而 b 就越小,对应的椭圆越扁;反之, e 越接近于 0 , c 就

天材教育集团丹阳分校

39

越接近于 0 ,从而 b 越接近于 a ,这时椭圆越接近于圆。当且仅当 a ? b 时, c ? 0 ,两焦 点重合,图形变为圆,方程为 x2 ? y 2 ? a2 。 2.双曲线 (1)双曲线的概念 平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线 ( || PF1 | ? | PF2 ||? 2a ) 。 注意:①(*)式中是差的绝对值,在 0 ? 2a ?| F F2 | 条件下; | PF | ? | PF2 |? 2a 时 1 1 为双曲线的一支(含 F2 的一支) | PF2 | ? | PF |? 2a 时为双曲线的另一支(含 F 的一支) ; ; 1 1 ② 当 2a ?| F F2 | 时 , || PF1 | ? | PF2 ||? 2a 表 示 两 条 射 线 ; ③ 当 2a ?| F F2 | 时 , 1 1 ④两定点 F1 , F2 叫做双曲线的焦点, F1F2 | 叫做焦距。 || PF1 | ? | PF2 ||? 2a 不表示任何图形; |

椭圆和双曲线比较: 椭 定义 圆 双 曲 线

| PF1 | ? | PF2 |? 2a(2a ?| F1F2 |)
x2 y 2 ? ?1 a 2 b2 x2 y 2 ? ?1 b2 a 2

|| PF1 | ? | PF2 ||? 2a(2a ?| F1F2 |)
x2 y 2 ? ?1 a 2 b2 y 2 x2 ? ?1 a 2 b2

方程

焦点

F (?c, 0)

F (0, ?c)

F (?c, 0)

F (0, ?c)

注意:如何有方程确定焦点的位置!

(2)双曲线的性质

x2 y2 ? ? 1 ,看出曲线在坐标系中的范围:双曲线在两条直线 a2 b2 x ? ? a 的外侧。即 x 2 ? a 2 , x ? a 即双曲线在两条直线 x ? ? a 的外侧。
①范围:从标准方程

x2 y2 ②对称性:双曲线 2 ? 2 ? 1 关于每个坐标轴和原点都是对称的,这时,坐标轴是双 a b x2 y2 曲线的对称轴,原点是双曲线 2 ? 2 ? 1 的对称中心,双曲线的对称中心叫做双曲线的中 a b
心。

x2 y2 ③顶点:双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线 2 ? 2 ? 1 的方程里, a b 对 称 轴 是 x, y 轴 , 所 以 令 y ? 0 得 x ? ? a , 因 此 双 曲 线 和 x 轴 有 两 个 交 点

A (?a,0) A2 (a,0) ,他们是双曲线

令 x ? 0 ,没有实根,因此双曲线和 y 轴没有交点。 1)注意:双曲线的顶点只有两个,这是与椭圆不同的(椭圆有四个顶点) ,双曲线的顶 点分别是实轴的两个端点。

x2 y2 ? ? 1 的顶点。 a2 b2

天材教育集团丹阳分校

40

2)实轴:线段 A A2 叫做双曲线的实轴,它的长等于 2a, a 叫做双曲线的实半轴长。虚 轴:线段 B B2 叫做双曲线的虚轴,它的长等于 2b, b 叫做双曲线的虚半轴长。 ④渐近线:注意到开课之初所画的矩形,矩形确定了两条对角线,这两条直线即称为

x2 y2 双曲线的渐近线。从图上看,双曲线 2 ? 2 ? 1 的各支向外延伸时,与这两条直线逐渐接 a b
近。 ⑤等轴双曲线: 1)定义:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式: a ? b ; 2)等轴双曲线的性质: (1)渐近线方程为: y ? ? x ; (2)渐近线互相垂直。 注意以上几个性质与定义式彼此等价。 亦即若题目中出现上述其一, 即可推知双曲线为 等轴双曲线,同时其他几个亦成立。 3)注意到等轴双曲线的特征 a ? b ,则等轴双曲线可以设为: x 2 ? y 2 ? ? (? ? 0) , 当 ? ? 0 时交点在 x 轴,当 ? ? 0 时焦点在 y 轴上。 ⑥注意

x2 y2 y 2 x2 ? ? 1 与 ? ? 1 的区别:三个量 a, b, c 中 a , b 不同(互换) c 相同, 16 9 9 16

还有焦点所在的坐标轴也变了。 3.抛物线 (1)抛物线的概念 平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直 线 l 上)。定点 F 叫做抛物线的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线。 (2)抛物线的性质 一条抛物线,由于它在坐标系的位置不同,方程也不同,有四种不同的情况,所以抛物 线的标准方程还有其他几种形式: y ? ?2 px , x ? 2 py , x ? ?2 py .这四种抛物线的
2 2 2

图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表:

标准方 程

y 2 ? 2 px ( p ? 0)
l
y

y 2 ? ?2 px ( p ? 0)
y

x2 ? 2 py ( p ? 0)
y

x 2 ? ?2 py ( p ? 0)

o
图形

l

l

F

F

x

F o

o

x

x

焦点坐 标 准线方 程 范围 对称性

p ( , 0) 2 x?? p 2

(?

p , 0) 2

p (0, ) 2
y?? p 2

p (0, ? ) 2

x?

p 2

y?

p 2

x?0

x?0

y?0
y轴

y?0
y轴

x轴

x轴

天材教育集团丹阳分校

41

顶点 离心率

(0, 0) e ?1

(0, 0) e ?1

(0, 0) e ?1

(0, 0) e ?1

说明: (1)通径:过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径; (2)抛物线的几何性 质的特点:有一个顶点,一个焦点,一条准线,一条对称轴,无对称中心,没有渐近线; (3) 注意强调 p 的几何意义:是焦点到准线的距离。

平面解析几何结论扩充:
1.四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程:经过定点 P ( x0 , y0 ) 的直线系方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) (除直线 0

x ? x0 ), 其 中 k 是 待 定 的 系 数 ; 经 过 定 点 P ( x0 , y0 ) 的 直 线 系 方 程 为 0 A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? 0 ,其中 A, B 是待定的系数. (2)共点直线系方程: 经过两直线 l1 : A x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 的交点 1 的直线系方程为 ( A x ? B1 y ? C1 ) ? ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 (除 l2 ),其中λ 是待定的系数. 1 (3)平行直线系方程:直线 y ? kx ? b 中当斜率 k 一定而 b 变动时,表示平行直线 系方程.与直线 Ax ? By ? C ? 0 平行的直线系方程是 Ax ? By ? ? ? 0 ( ? ? 0 ),λ 是
参变量. (4)垂直直线系方程:与直线 Ax ? By ? C ? 0 (A≠0,B≠0)垂直的直线系方程是

Bx ? Ay ? ? ? 0 ,λ 是参变量.
2. 点到直线的距离 (点 P( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ). A2 ? B 2 3. Ax ? By ? C ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域 设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,则 Ax ? By ? C ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域是: 若 B ? 0 , B 与 Ax ? By ? C 同号时, 当 表示直线 l 的上方的区域; B 与 Ax ? By ? C 当 异号时,表示直线 l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下. 若 B ? 0 , A 与 Ax ? By ? C 同号时, 当 表示直线 l 的右方的区域; A 与 Ax ? By ? C 当 异号时,表示直线 l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左. 4. ( A x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域 1 设曲线 C : ( A x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 ( A A2 B1B2 ? 0 ) ,则 1 1

d?

| Ax0 ? By0 ? C |

( A1x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域是: ( A1x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 所表示的平面区域上下两部分; ( A1x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 所表示的平面区域上下两部分.
5. 圆的四种方程 (1)圆的标准方程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r .
2 2 2 2 2 (2)圆的一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D ? E ? 4 F >0).
2 2

? x ? a ? r cos? . ? y ? b ? r sin ? ( 4 ) 圆 的 直 径 式 方 程 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0 ( 圆 的 直 径 的 端 点 是 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ).
(3)圆的参数方程 ?

天材教育集团丹阳分校

42

6. 圆系方程 (1)过点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 的圆系方程是

( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? ?[( x ? x1 )( y1 ? y2 ) ? ( y ? y1 )( x1 ? x2 )] ? 0 ? ? ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? ?(ax ? by ? c) ? 0 , 其 中 a x? b y c 0 是 直 线
AB 的方程,λ 是待定的系数. (2)过直线 l : Ax ? By ? C ? 0 与圆 C : x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的交点的圆系方程
是 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? ? ( Ax ? By ? C ) ? 0 ,λ 是待定的系数. (3) 过圆 C1 : x2 ? y2 ? D1x ? E1 y ? F ? 0 与圆 C2 : x2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 的交 1 点的圆系方程是 x2 ? y2 ? D1x ? E1 y ? F ? ? ( x2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ) ? 0 ,λ 是待定的 1 系数. 7.圆的切线方程 (1)已知圆 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 . ①若已知切点 ( x0 , y0 ) 在圆上,则切线只有一条,其方程是

D( x0 ? x) E ( y0 ? y ) ? ? F ? 0. 2 2 D( x0 ? x) E ( y0 ? y ) ? ? F ? 0 表示过两个切点 当 ( x0 , y0 ) 圆外时, x0 x ? y0 y ? 2 2 x0 x ? y0 y ?
的切点弦方程. ②过圆外一点的切线方程可设为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,再利用相切条件求 k,这时必 有两条切线,注意不要漏掉平行于 y 轴的切线. ③斜率为 k 的切线方程可设为 y ? kx ? b ,再利用相切条件求 b,必有两条切线. (2)已知圆 x2 ? y 2 ? r 2 . ①过圆上的 P ( x0 , y0 ) 点的切线方程为 x0 x ? y0 y ? r 2 ; 0 ②斜率为 k 的圆的切线方程为 y ? kx ? r 1 ? k 2 . 8.椭圆 9.椭圆

? x ? a cos? x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程是 ? . 2 a b ? y ? b sin ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 焦半径公式 a 2 b2 a2 a2 PF1 ? e( x ? ) , PF2 ? e( ? x) . c c
2 2 x0 y0 ? 2 ?1. a2 b 2 2 x0 y0 ? 2 ?1. a2 b

10.椭圆的的内外部

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的内部 ? a 2 b2 x2 y 2 (2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的外部 ? a b
(1)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 *11. 椭圆的切线方程 (1)椭圆

xx y y x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . 2 a b a b 2 2 x y (2)过椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 a b

天材教育集团丹阳分校

43

x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b
( 3 ) 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 与 直 线 Ax ? By ? C ? 0 相 切 的 条 件 是 a 2 b2

A2 a 2 ? B2b2 ? c2 .

12.双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦半径公式 a 2 b2 a2 a2 PF1 ?| e( x ? ) | , PF2 ?| e( ? x) | . c c
2 2 x0 y0 ? 2 ?1. a2 b 2 2 x0 y0 ? 2 ?1 . a2 b

13.双曲线的内外部

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的内部 ? a 2 b2 x2 y 2 (2)点 P( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的外部 ? a b
(1)点 P( x0 , y0 ) 在双曲线 98.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1)若双曲线方程为

x2 y2 x2 y 2 b ? 2 ? 1 ? 渐近线方程: 2 ? 2 ? 0 ? y ? ? x . 2 a b a a b 2 2 x y x y b (2)若渐近线方程为 y ? ? x ? ? ? 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 ? ? . a b a a b 2 2 2 2 x y x y (3)若双曲线与 2 ? 2 ? 1 有公共渐近线,可设为 2 ? 2 ? ? ( ? ? 0 ,焦点在 x a b a b 轴上, ? ? 0 ,焦点在 y 轴上).
*14. 双曲线的切线方程

xx y y x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . 2 a b a b 2 2 x y (2)过双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 a b x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b x2 y 2 ? ? ( 3 ) 双 曲 线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 与 直 线 A x? B y C0 相 切 的 条 件 是 a b A2 a 2 ? B2b2 ? c2 . 2 15. 抛物线 y ? 2 px 的焦半径公式 p 2 抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 焦半径 CF ? x0 ? . 2 p p 过焦点弦长 CD ? x1 ? ? x 2 ? ? x1 ? x 2 ? p . 2 2 2 y 2 2 16. 抛 物 线 y ? 2 px 上 的 动 点 可 设 为 P ( ? , y? ) 或 P(2 pt ,2 pt)或 P ( x? , y? ) , 其中 2p 2 y? ? 2 px? .
(1)双曲线

天材教育集团丹阳分校

44

b 2 4ac ? b2 ) ? (1)顶点坐 (a ? 0) 的图象是抛物线: 2a 4a b 4ac ? b 2 b 4ac ? b 2 ? 1 , ); 2 ) 焦 点 的 坐 标 为 (? , ) ; 3)准线方程是 标 为 (? ( ( 2a 4a 2a 4a 4ac ? b 2 ? 1 y? . 4a
*17.二次函数 y ? ax ? bx ? c ? a( x ?
2

17.抛物线的内外部

18. 抛物线的切线方程 (1)抛物线 y ? 2 px 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 y0 y ? p( x ? x0 ) .
2

(2) 过抛物线 y 2 ? 2 px 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 y0 y ? p( x ? x0 ) . (3)抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 pB ? 2 AC . 19.两个常见的曲线系方程 (1)过曲线 f1 ( x, y) ? 0 , f 2 ( x, y) ? 0 交点的曲线系方程是 f1 ( x, y) ? ? f 2 ( x, y) ? 0 ( ? 为
2 2

参数).

x2 y2 ? 2 ? 1 , 其 中 k ? max{a2 , b2 } . 当 a2 ? k b ? k k ? min{a2 , b2} 时,表示椭圆; 当 min{a2 , b2} ? k ? max{a2 , b2} 时,表示双曲线.
(2) 共 焦 点 的 有 心 圆 锥 曲 线 系 方 程 20..直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB ?

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 或

AB ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2 ?| x1 ? x2 | 1 ? tan 2 ? ?| y1 ? y2 | 1 ? co t 2 ? ( 弦 端 点
A ( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , 由方程 ?

?y ? kx ? b 2 消去 y 得到 ax ? bx ? c ? 0 ,? ? 0 , ? 为直线 ?F( x, y) ? 0

AB 的倾斜角, k 为直线的斜率). 21.圆锥曲线的两类对称问题 (1)曲线 F ( x, y) ? 0 关于点 P( x0 , y0 ) 成中心对称的曲线是 F (2 x0 -x, 2 y0 ? y) ? 0 .
(2)曲线 F ( x, y) ? 0 关于直线 Ax ? By ? C ? 0 成轴对称的曲线是

天材教育集团丹阳分校

45

F (x ?

2 A( Ax ? By ? C ) 2 B( Ax ? By ? C ) ,y? ) ?0. 2 2 A ?B A2 ? B 2
2

22.“四线”一方程 对于一般的二次曲线 Ax2 ? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 , x0 x 代 x , y0 y 代 y 2 , 用 用 用

x0 y ? xy0 x ?x y ?y 代 xy ,用 0 代 x ,用 0 代 y 即得方程 2 2 2 x y ? xy0 x ?x y ?y Ax0 x ? B ? 0 ? Cy0 y ? D ? 0 ?E? 0 ? F ? 0 ,曲线的切线,切点弦,中点 2 2 2

弦,弦中点方程均是此方程得到.


更多相关文档:

苏教版高中数学知识点整理.doc

苏教版高中数学知识点整理 - 第一讲 一、知识精点讲解 集 合 1.集合:某些指

高中数学知识点整理(苏教版).doc

高中数学知识点整理(苏教版) - 天材教育集团丹阳分校 1 第一讲 一、知识精点

高中数学知识点整理(苏教版).doc

高中数学知识点整理(苏教版) - 超级好的资料,保证是精品文档... 高中数学知识点整理(苏教版)_语文_初中教育_教育专区。超级好的资料,保证是精品文档 ...

高中数学知识点整理(苏教版).doc

高中数学知识点整理(苏教版) - 教案 1 第一讲 一、知识精点讲解 集 合 1

苏教版高中数学知识点必修1集合、函数.doc

苏教版高中数学知识点必修1集合、函数 - 高中数学 必修 1 知识点 第一章 集

苏教版高中数学必修知识点总结.doc

苏教版高中数学必修知识点总结 - 苏教版 高三数学学习资料 高一数学必修 1 各章知识点总结 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合...

高中数学知识总结(苏教版)].doc

高中数学知识总结(苏教版)] - 必修一 第一章 集合与函数概念 1.用字母表示

高中数学必修+选修全部知识点精华归纳总结(苏教版).pdf

高中数学必修+选修全部知识点精华归纳总结(苏教版) - 专题一:推理与证明 知识结构 合情推理 推理 推理与证明 证明 间接证明 数学归纳法 1、归纳推理 把从个别...

高中数学必修+选修全部知识点精华归纳总结(苏教版).doc

高中数学必修+选修全部知识点精华归纳总结(苏教版) - 专题一:推理与证明 知识结构 合情推理 推理 推理与证明 证明 间接证明 数学归纳法 1、归纳推理 把从个别...

苏教版高中数学必修+选修知识点归纳总结.doc

苏教版高中数学必修+选修知识点归纳总结 - 高中数学必修+选修知识点归纳 有恒则

苏教版高中数学必修加选修知识点归纳总结精编.doc

苏教版高中数学必修加选修知识点归纳总结精编 - 高中数学必修选修知识点归纳 引言

高中数学必修+选修全部知识点精华归纳(苏教版)讲义.doc

高中数学必修+选修全部知识点精华归纳(苏教版)讲义 - 专题一:推理与证明 知识结构 合情推理 推理 推理与证明 证明 间接证明 数学归纳法 1、归纳推理 把从个别...

苏教版高二数学知识点重难点.doc

苏教版高二数学知识点重难点_高二数学_数学_高中教育_教育专区。必修二 第一章...iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法. 第 20 页共 39 页 1 m v. 递推法...

苏教版高中数学必修一第一章 集合知识点整理.doc

苏教版高中数学必修一第一章 集合知识点整理 - 第一章 集合 §1.1 集合 基

新苏教版二年级下册数学知识点整理.doc

苏教版二年级下册数学知识点整理 - 二年级下册数学知识点整理 一、有余数的除法

苏教版三年级数学知识点整理+对应练习.doc

苏教版三年级数学知识点整理+对应练习 - 两、三位数乘一位数 1、整十数整百数乘

高中数学必修3知识点总结.doc

高中数学必修3知识点总结_社会学_人文社科_专业资料。高中数学必修三 高中数学必修 3 知识点 第一章 算法初步 1.1.1 算法的概念 1、算法概念: 在数学上, ...

苏教版三年级上册数学知识点整理.doc

苏教版三年级上册数学知识点整理 - 苏教版三年级上册数学知识点整理 班级 第一单

数学知识点苏教版必修5高中数学2.1《数列》word教学设....doc

数学知识点苏教版必修5高中数学2.1《数列》word教学设计2-总结 - 初中数

(苏教版)小学数学一年级上册知识点整理.pdf

(苏教版)小学数学一年级上册知识点整理 - 2018 小学数学一年级上册知识点整理(苏教版) 第一单位《数一数》;; 1、 有顺序的数一数,从上往下,从左往右数,...

更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com