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高中数学《微积分基本定理》教案3 新人教A版选修2-2

1.4.2 微积分基本定理
教学目标: 了解牛顿-莱布尼兹公式 教学重点: 牛顿-莱布尼兹公式 教学过程 一、复习: 定积分的概念及计算 二、引入新课 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂,所以不是求定积分的一般 方法。我们必须寻求计算定积分的新方法,也是比较一般的方法。 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体沿直线作变速运动, 在时刻 t 时物体所在位置为 S(t),速度为 v(t) ( v(t ) ? o ) , 则物体在时间间隔 [T1 , T2 ] 内经过的路程可用速度函数表示为

?

T2

T1

v(t )dt 。

另一方面,这段路程还可以通过位置函数 S(t)在 [T1 , T2 ] 上的增量 S (T1 ) ? S (T2 ) 来表 达,即

?

T2

T1

v(t )dt = S (T1 ) ? S (T2 )

且 S ?(t ) ? v(t ) 。 对于一般函数 f ( x) ,设 F ?( x) ? f ( x) ,是否也有

?

b

a

f ( x)dx ? F (b) ? F (a)

若上 式成立, 我们就找到了 用 f ( x) 的原函 数(即满足 F ?( x) ? f ( x) ) 的数值 差

F (b) ? F (a) 来计算 f ( x) 在 [a, b] 上的定积分的方法。
定理 如果函数 F ( x) 是 [a, b] 上的连续函数 f ( x) 的任意一个原函数,则

?

b

a

f ( x)dx ? F (b) ? F (a)

证明:因为 ?( x) =

?

x

a

f (t )dt 与 F ( x) 都是 f ( x) 的原函数,故

F ( x) - ?( x) =C( a ? x ? b )
其中 C 为某一常数。 令 x ? a 得 F (a) - ?(a) =C,且 ?(a) =

?

a

a

f (t )dt =0

用心

爱心

专心

1

即有 C= F (a) ,故 F ( x) = ?( x) + F (a)

? ?( x) = F ( x) - F (a) = ? f (t )dt
a

x

令 x ? b ,有

?

b

a

f ( x)dx ? F (b) ? F (a)
b

为了方便起见,还常用 F ( x) |a 表示 F (b) ? F (a) ,即

?

b

a

f ( x)dx ? F ( x) |b a ? F (b) ? F (a)

该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的 一般方法, 把求定积分的问题, 转化成求原函数的问题, 是微分学与积分学之间联系的桥梁。 例1. 计算 解:由于

? x dx
2 0

1

1 3 x 是 x 2 的一个原函数,所以根据牛顿—莱布尼兹公式有 3 1 1 3 1 1 3 1 3 1 2 ?0 x dx = 3 x |0 = 3 ?1 ? 3 ? 0 = 3
2

例2 求

?

x 1 ? x2
xdx 1 ? x2

0

dx
1 1 1 d ( x2 ) 2 d (1 ? x 2 ) 1 2 2 2 2 ? = ? 2(1 ? x ) ? C ? (1 ? x ) ?C ? ? 2 1 ? x2 2 1 ? x2 2

解 因为

?

?



(1 ? x 2 )
x 1 ? x2

1 2

2 0

x

? 5 ? 1 1 ? x2
1

有一个原函数为 (1 ? x ) 2 ,所以
2

1

?

2

0

dx = (1 ? x 2 ) 2 ? 5 ? 1
0

2

例 3 汽车以每小时 32 公里速度行驶,到某处需要减速停车。设汽车以等减速度 a =1.8 米/ 秒 刹车,问从开始刹车到停车,汽车走了多少距离? 解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。当 t=0 时,汽车速度 v0 =32 公里/小时
2

32 ? 1000 米/秒 ? 8.88 米/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为 v(t)=v0 ? at=8.88-1.8t 当 3600 8.88 汽车停住时,速度 v(t)=0 ,故从 v(t)=8.88-1.8t=0 解得 t= ? 4.93 秒 1.8
= 于是在这段时间内,汽车所走过的距离是
4.93

s??

4.93

0

v(t)dt ? ?

4.93

0

1 (8.88 ? 1.8t)dt = (8.88 ? 1.8 ? t 2 ) 2 0
用心 爱心 专心

? 21.90 米 , 即在刹车后 ,

2

汽车需走过 21.90 米才能停住. 小结:本节课学习了牛顿-莱布尼兹公式. 课堂练习:第 47 页练习 A、B 课后作业:第 48 页 A:3,4,

用心

爱心

专心

3


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