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福建省晋江市季延中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学试卷(理科)含答案

福建省晋江市季延中学 2014-2015 学年高二上学期期中考试数学试卷 (理科)

考试时间:120 分钟

满分:150 分

一,选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题所给的四个答案 中有且只有一个答案是正确的)
1.若命题 p:2 是偶数,命题 q:2 是 3 的约数,则下列结论中正确的是( A.“p∨ q”为假 C.“p∧ q”为真 B.“p∨ q”为真 D.以上都不对 ) D. ?
1 8

)

2.抛物线 y ? ax 2 的准线方程为 y ? 2 ? 0 ,则 a 的值是( A.8 B. ?8 C.
1 8

3、如图,在平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 M 为 AC 与 BD 的交点, 若 A1 B1 ) A1 D1 ? b, A1 A ? c, 则下列向量中与 B1 M 相等的是( 1 1 1 1 1 1 A. ? a ? b ? c B. a ? b ? c C. a ? b ? c 2 2 2 2 2 2

? a,

1 1 D. ? a ? b ? c 2 2
D M B C A

4、平面内有两定点 A、B 及动点 P,设命题甲: “|PA|+|PB|是定值” , 命题乙: “点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆” ,则甲是乙的( A.充分不必要条件 C.充要条件 5.下列有关选项正确的是( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) A1

D1 第3题 B1

C1

A.若 p ? q 为真命题,则 p ? q 为真命题 . B.“ x ? 5 ”是“ x ? 4 x ? 5 ? 0 ”的充分不必要条件.
2

C.命题“若 x ? ?1 ,则 x ? 2 x ? 3 ? 0 ”的否命题为:“若 x ? ?1 ,则 x ? 2 x ? 3 ? 0 ”.
2 2 2 2 D.已知命题 p : ?x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 .

6.设平面 ? 的法向量为(1,2,-2),平面 ? 的法向量为(-2,-4,k),若 ? ∥ ? ,则 k 的值为( A.3 ) B.4 C.5 D.6

7.若 A , B , C 不共线,对于空间任意一点 O 都有 OP ?

3 1 1 OA ? OB ? OC ,则 P , A , 4 8 8

-1-

B , C 四点(



A.不共面 B.共面 C.共线 D.不共线 8.在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,底面是边长为 1 的正方形,若∠A1AB=∠A1AD =60?,且 A1A=3,则 A1C 的长为( ) A. 5 B. 2 2 C. 14 D. 17 )

π → → 9.空间四边形 OABC 中,OB=OC,∠AOB=∠AOC= ,则 cos〈OA,BC〉等于( 3 1 A. 2 B. 2 2 1 C.- 2 D.0
2

10.已知直线 l1 :4x-3y+6=0 和直线 l 2 :x=-1,抛物线 y ? 4 x 上一动点 P 到直线 l1 和 直线 l 2 的距离之和的最小值是( A.2 B.3 ) 11 C. 5 D. 37 16

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分)
11. 命题:“若 x 2 ? 1 ,则 ?1 ? x ? 1 ”的逆否命题是
12.与双曲线

x2 y2 3 ? ? 1 有共同的焦点,且离心率 e ? 的双曲线方程为 6 10 2

13. 椭圆的两焦点 F1 (?4, 0), F2 (4, 0) ,点 P 在椭圆上,若 ?PF1 F2 的面积最大为 12,则椭圆 方程为 14.已知向量 p 在基底{ a, b, c }下的坐标为(2,1,-1),则 p 在基底 { a ? b, a ? b, c }下的坐标为

15. 设 F1 , F2 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 a 2 b2

A,B 两点,若△ ABF2 为锐角三角形,则该椭圆离心率 e 的取值范围是

三、解答题(12+12+12+12+13+14=75 分,写出必要的解题过程)
16,抛物线 y ? 8 x 的焦点是 F,倾斜角为 45°的直线 l 与抛物线相交于 A,B 两点,|AB|=
2

8 5,求直线 l 的方程.

17.推理判断命题“已知 a、x 为实数,如果关于 x 的不等式 x2+(2a+1)x+a2+2≤0 有解, 则 a≥1”的逆否命题的真假.

-2-

18.如图,四面体 ABCD 中,AB、BC、BD 两两垂直,AB=BC=BD=4,E、F 分别为棱 BC、AD 的中点. (1)求异面直线 AB 与 EF 所成角的余弦值; (2)求 E 到平面 ACD 的距离; (3)求 EF 与平面 ACD 所成角的正弦值.
F
A

E

B

D

C

x2 19. 已知 P 为椭圆 ? y 2 ? 1 上的任意一点, O 为坐标原点 , M 在线段 OP 上,且 4

1 OM ? OP 3
(Ⅰ)求点 M 的轨迹方程; (Ⅱ)已知直线 3 x ? 6 y ? 2 ? 0 与 M 的轨迹相交于 A, B 两点,求 ?OAB 的面积

20. 如图, 已知三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱垂直底面,AA1 ? AB ? AC ? 1 ,AB ? AC ,

M、N 分别是 CC1 、BC 的中点,点 P 在直线 A1 B1 上,且 A1 P ? ? A1 B1 (1)证明:无论 ? 取何值,总有 AM ? PN (2)当 ? 取何值时,直线 PN 与平面 ABC 所成的角 ? 最大,并求该角取最大值时的正切值。 (3)是否存在点 P,使得平面 PMN 与平面 ABC 所成的二面角为 30 ? ,若存在,试确定点 P
的位置,若不存在,请说明理由。
A1

P
B1 C1

A B

M C

21、已知定点 F(0,1)和直线 l1 :y=-1,过定点 F 与直

N

-3-

线 l1 相切的动圆圆心为点 C. (1)求动点 C 的轨迹方程; (2)过点 F 的直线 l2 交动点 C 的轨迹于两点 P、Q,交直线 l1 于点 R,求 RP · RQ 的最小值; (3)过点 F 且与 l2 垂直的直线 l3 交动点 C 的轨迹于两点 R、T,问四边形 PRQT 的面积是否存在 最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.

-4-

季延中学 2014 年秋高二年期中考试数学(理)参考答案 一:BCDBB BBADA

2 二:11, 若x ? ?1或x ? 1, 则x ? 1

9x 2 9 y 2 ? ?1 12, 64 80

x2 y2 ? ?1 13, 25 9

3 1 14, ( , ,-1) 2 2 三:

15,

2 ?1 ? e ? 1

16,[解析] 设 AB 方程为 y=x+b????1 分
?y=x+b, 由? 2 ?y =8x. 消去 y 得:x2+(2b-8)x+b2=0.
????3 分

设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=8-2b,x1·x2=b2. ????6 分 ∴|AB|= 1+k2·|x1-x2| = 2× (x1+x2)2-4x1·x2 = 2[(8-2b)2-4b2]=8 5,????8 分 解得:b=-3. ????11 分 ∴直线方程为 y=x-3.即:x-y-3=0????12 分

17,解
解.

方法一 (直接法) 逆否命题:已知 a、x 为实数,如果 a<1,则关于 x 的不等式 x2+(2a+1)x+a2+2≤0 无 ????4 分

判断如下: 二次函数 y=x2+(2a+1)x+a2+2 图象的开口向上, 判别式 Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7. ∵a<1,∴4a-7<0. ????10 分 即二次函数 y=x2+(2a+1)x+a2+2 与 x 轴无交点, ∴关于 x 的不等式 x2+(2a+1)x+a2+2≤0 的解集为空集,故逆否命题为真.??12 分 方法二 (先判断原命题的真假) ∵a、x 为实数,且关于 x 的不等式 x2+(2a+1)x+a2+2≤0 有解, ∴Δ=(2a+1)2-4(a2+2)≥0, 7 即 4a-7≥0,解得 a≥ , 4 7 ∵a≥ >1,∴原命题为真. 4 又∵原命题与其逆否命题等价,∴逆否命题为真. 方法三 (利用集合的包含关系求解) 命题 p:关于 x 的不等式 x2+(2a+1)x+a2+2≤0 有非空解集.

-5-

命题 q:a≥1. ∴p:A={a|关于 x 的不等式 x2+(2a+1)x+a2+2≤0 有实数解}={a|(2a+1)2-4(a2 7? ? +2)≥0}=?a|a≥4?, ? ? q:B={a|a≥1}. ∵A?B,∴“若 p,则 q”为真, 18,解 如图,分别以直线 BC、BD、BA 为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系,

则各相关点的坐标为 A(0,0,4)、C(4,0,0)、D(0,4,0),E(2,0,0)、F(0,2,2). → → (1)∵AB=(0,0,-4),EF=(-2,2,2), → → ? -8 ∴|cos〈AB,EF〉|=? ?4×2 ? 3 ?= , 3? 3

3 ∴异面直线 AB 与 EF 所成角的余弦值为 3 .????4 分 (2)设平面 ACD 的一个法向量为 n=(x,y,1), → ? ?n· AC=0, 则? → ? ?n· CD=0, → → ∵AC=(4,0,-4),CD=(-4,4,0),

?4x-4=0, ∴? ?-4x+4y=0, ∴x=y=1,∴n=(1,1,1,). → ∵F∈平面 ACD,EF=(-2,2,2), → |n· EF| 2 2 3 ∴E 到平面 ACD 的距离为 d= |n| = = 3 .????9 分 3
→ (3)EF 与平面 ACD 所成角的正弦值为|cos〈n,EF〉|= 19、解: (1)设 M(x,y), P ( x 0 , y 0 ) ???? 1 分 1 = ??12 分 3×2 3 3 2

1 x0 ? 3x OM ? OP 得 ?x, y ? ? 1 ?x0 , y 0 ? ? ? 由 ? 3 3 ? y0 ? 3 y
因为 P ( x 0 , y 0 ) 在椭圆上,?

???? 4 分

9x 2 ? 9y2 ? 1 4

-6-

? M的轨迹方程为

9x 2 ? 9 y 2 ? 1 ????6 分 4

?3 x ? 6 y ? 2 ? 0 ? (2)据已知 ? 9 x 2 ? 3 x 2 ? 2 x ? 0 ????8 分 2 ? 9y ? 1 ? ? 4

2 或x ? 0 3 ????10 分 ? 2 ? ? 1? ? A? ,0 ?, B? 0, ? ? 3 ? ? 3? ?x ?
? S ?OAB 1 2 1 1 ? ? ? ? ????12 分 2 3 3 9
P B1

Z A1 C1

20,解:以 A 为原点,分别以直线 AB、AC、 AA1 为 x、y、z 轴建立 如图空间直角坐标系,设 P (a,0,1) ???? 1 分 (1)

1 1 1 ? A(0,0,0), M (0,1, ), N ( , ,0) 2 2 2 1 1 1 ? AM ? (0,1, ), PN ? ( ? a, ,?1) 2 2 2 1 1 ? AM ? PN ? 0 ? ? ? 0 2 2 ? AM ? PN
无论取何值,都有 AM ? PN ???? 4 分 (2)取平面 ABC 的法向量为 n ? (0,0,1)

M A

x

B N

C

y

sin ? ? cos PN , n ?

PN ? n PN n

?

1 1 ?1 ? ? ? a? ? ?1 4 ?2 ?
2

1 ?sin ? ?max ? 2 5 当a ? 时, 2 5 ? ? ?? ? 0 ? ? ? , 且 sin ?在?0, ?上为增函数 2 ? 2? ??此时也取最大值, cos ? ? tan ? ? 2
???? 8 分 (3)设存在满足条件的 P (a,0,1) ,平面 PMN 的法向量为 n1 ? ( x, y, z )
-7-

5 5

1 1 ?1 x? y? z ?0 ? ? 3 1 ? 2a ?n1 ? MN ? 0 ? 2 2 2 取 z ? 2 ,则 x ? ?? ,y ? ? 1? a 1? a ? ?( 1 ? a ) x ? 1 y ? z ? 0 ?n1 ? PN ? 0 ? 2 ? 2
? n1 ? ( 3 1 ? 2a , ,2) ???? 11 分 1? a 1? a

cos 30 ? ? cos n1 , n2 ?

2 3 2 1 ? 2a 2 ( ) ?( ) ?4 1? a 1? a

??? 12 分

整理得: 4a 2 ? 10a ? 13 ? 0

? ? 100 ? 16 ? 13 ? 0 ,方程无解 ? 不存在满足条件的 P 点??? 13 分

21,

21.第(1)问 4 分,第(2)问 5 分,第(3)问 5 分)

-8-

? y ? kx ? 1 由? 2 ? y 2 ? (4k 2 ? 2) y ? 1 ? 0 ?x ? 4 y ? PQ ? y1 ? y2 ? 2 ? 4k 2 ? 4 1 设l3:y ? ? x ? 1 k (3) 2 代入x ? 4 y 同理可得:RT ? 4 ? S PRQT ? 1 ?4 k2

1 1 1 PQ RT ? 8(k 2 ? 1)( 2 ? 1) ? 8(k 2 ? 2 ? 2) ? 32 2 k k

即S PRQT 最小值为32

-9-


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