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高三数学集合人教版知识精讲.doc


高三数学集合人教版
【同步教育信息】
一. 本周教学内容: 集合 二. 重点、难点: 1. 集合三要素:确定性、互异性、无序性 2. 运算

A? B ? B? A A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C ) ( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C ) CI ( A ? B) ? CI A ? CI B A ? CI A ? ? A? B ? B? A A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C ) ( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C ) CI ( A ? B) ? CI A ? CI B A ? CI A ? I
3. 子集的个数: A 中有 n 个元素 (1)子集 2
n n

(2)真子集 2 ? 1 (3)非空子集 2 ? 1
n

【典型例题】
[例 1] 判断下面集合是否相等 (1) A ? {x | x ?

B ? {x | x ?

2k? ? ? 7 7

2k? ? ? 7 7

k ? ?}

k ? ?} k ?3 ? k ? ?} 4

(2) A ? {x | x ? sin

B ? {x | x ? cos
答案: (1)A: x ? B: x ?

k ?3 ? 4

k ? ?}

?
7

? (2k ? 1)

k ??

k ?? ( 2k ? 1) 7 {x | x ? 2k ? 1 k ? ?} ? {x | x ? 2k ? 1 k ? ?} =奇数集

?

∴ A=B

(2) A ? {?1 , ?

2 2 ,0, , 1} ? B 2 2

用心

爱心

专心

[例 2] 全集 I ? {小于 9 的自然数} A ? I , B ? I , C I A ? C I B ? {1 , 2 , 3} ,

C I A ? B ? {4 , 5}, A ? B ? {6 , 7} ,求 A、B。
答案:

∴ A={0,6,7,8}

B={4,5,6,7}

[例 3] A ? {x | x ? 3k k ? ?} , B ? {x | x ? 6k A. C Z B ? A ? Z C. B ? CZ A ? ? 答案:

k ? ?} 下列叙述不正确的是( B. CZ A ? CZ B ? Z
D. CZ A ? CZ B ? CZ A



B错

CZ A ? CZ B ? CZ B
[例 4] 求满足条件的 A 的个数 (1){1,2} ? ? A ? {1,2,3,4,5,6,7,8} (2){5} ? A ? {1,2,3……9} 且任取 x ? A 有 (10 ? x) ? A

(3) M ? N 有 5 个元素, M 有 9 个元素,N 有 11 个元素 ① A 有三个元素 ② A ? (M ? N ) ③ A? M ? ? 答案: (1) 2 ? 1 ? 63
6

(2) 2 ? 16 (3)
4

1 2 2 1 3 3 3 C9 ? C6 ? C9 ? C6 ? C9 ? C15 ? C6 ? 435

A? I , B?I, [例 5] 全集 I ? {?4 , ? 3 , ? 2 , ? 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4}, A ? {?3 , a 2 , a ? 1} ,

B ? {a ? 3 , 2a ? 1 , a 2 ? 1} 若 A ? B ? {?3} ,求 CI ( A ? B)
答案: ∵ A ? B ? {?3}
用心 爱心 专心

(1) a ? 3 ? ?3 ∴ a?0 此时 A ? {?3 , 0 , 1} B ? {?3 , ? 1 , 1} (舍) (2) 2a ? 1 ? ?3 ∴ a ? ?1 此时 A ? {?3 , 1 , 0} B ? {?4 , ? 3 , 2} ∴ A ? B ? {?4 , ? 3 , 0 , 1 , 2} ∴ C I ( A ? B) ? {?2 , ? 1 , 3 , 4}

[例 6] A ? {x | 2x 2 ? 5x ? 3 ? 0} , B ? {x | kx ? 1 ? 0} ,若 B ? A ,求 k 的取值范围。 答案:

1 , 3} 2 (1) B ? ? ? k ? 0 1 (2) B ? {? } ? k ? ?2 2 1 (3) B ? {3} ? k ? 3 1 (4) B ? {? , 3} 无解 2 1 ∴ k ? {?2 , , 0} 3 A ? {?
[例 7] A ? {x | x ? ax ? a ? 19 ? 0} , B ? {x | log2 ( x ? 5x ? 8) ? 1} , C ? {x | x ? 2 x
2 2 2 2

? 8 ? 0} 若 A ? C ? ? ? A ? B ,求 a ?
答案: B={2,3}

C={2, ? 4 } A?C ?? ∴ 2? A ,? 4? A

A? B ? ?
2

∴ 2? A 或3? A

∴ 3? A 2 ? A ? 4 ? A

∴ 9 ? 3a ? a ? 19 ? 0

a ? 5 (舍)

a ? ?2

[例 8] A ? {x | x 2 ? 2x ? 8 ? 0} , B ? {x | x 2 ? 2x ? 3 ? 0} , C ? {x | x 2 ? 3ax ? 2a 2 ? 0} 求满足条件的 a 。 (1)使 C ? A ? B (2)使 C ? ? A? B 答案: (3)使 C R A ? C R B ? C

A ? (?2 , 4) , B ? (?? , ? 3) ? (1 , ? ?) C ? {x | ( x ? a)(x ? 2a) ? 0} (1) A ? B ? (1,4) ① a ? 0 C ?? 成立 C ? (2a , a) 舍 ② a?0 C ? ( a , 2a ) ③ a?0 ?a ? 1 ?1? a ? 2 ∴ ? ∴ a ? {0} ? [1 , 2] ?2a ? 4
用心 爱心 专心

(2)在(1)的条件下去掉 C ? (1,4) ∴ a ? {0} ? [1 , 2] (3) C R A ? C R B ? [?3 , ? 2] ① a ? 0 (舍) ② a?0

即?

?2a ? 4 ?a ? 1

a 无解

C ? (2a , a)

?2a ? ?3 3 ? a ? (?2 ,? ) ? 2 ?a ? ?2

[例 9] A ? {x | x 2 ? x ? 6 ? 0} , B ? {x | 2 x 2 ? (2k ? 7) x ? 7k ? 0} , C ? {x | sin x ? ? ? 0} ,若 A ? B ? C ? {?3} ,求 k 的取值范围。 答案:

A ? (?? , ? 2) ? (3 , ? ?) C ? ? B ? {x | (2 x ? 7)(x ? k ) ? 0} 7 7 (1) ? k ? ? ∴ B ? (?k , ? ) 2 2 7 7 (2) ? ? ?k ∴ B ? (? , ? k ) 2 2 ∴ k ? [?4 , 3)

? 3? B

∴ 不成立

∴ ? 3 ? ?k ? 4

C ? {( x , y) | y ? kx ? b} ,B ? {( x , y) | 4x 2 ? 2 x [例 10] A ? {( x , y) | y 2 ? x ? 1 ? 0} , ? 2 y ? 5 ? 0} 是否存在,正整数 k 、 b 使 ( A ? B) ? C ? ? 。
答案:

( A ? C) ? (B ? C) ? ? ? A ? C ? B ? C ? ?

(1) ?

?y2 ? x ?1 ? 0 ? k 2 x 2 ? (2bk ? 1) x ? (b 2 ? 1) ? 0 ? y ? kx ? b

?1 ? (2bk ? 1) 2 ? 4k 2 (b 2 ? 1) ? 4k 2 ? 4bk ? 1 ? 0
(2) ?

?4 x 2 ? 2 x ? 2 y ? 5 ? 0 ? 4 x 2 ? (2 ? 2k ) x ? (5 ? 2b) ? 0 ? y ? kx ? b

? 0 ? k 2 ? 2k ? 8b ? 19 ? 0 1 ?1 ? b ? k ? ?1 4k ? (k ? 1) 2 ? 20 ?2 ? b ? ? 2.5 8
[例 11] A ? {1 ,

∴ b ? 2 ? k ?1

1 1 1 , ? n ?1 } 集合 A 的含有 3 个元素的子集的所有元素之和为 S n ,求 2 4 2

lim
n??

Sn 。 n2
答案:
3 3 A 中共 n 个元素,含 3 个元素子集 C n 个,共有 3Cn 个元素,A 中 n 个元素出现等可能

用心

爱心

专心

3 3C n 每个 次 n 3 3C n 1 1 ? (1 ? ? ? ? n?1 ) n 2 2 3 S 3C 1 1 ? lim 3n ? lim(2 ? n ?1 ) ? ? 2 ? 1 ∴ lim n 2 n ?? n n ?? n n ?? 2 2

∴ Sn ?

【模拟试题】 1. A ? {x | x 2 ? ( p ? 2) x ? 1 ? 0} ,若 A ? (0 , ? ?) ? ? ,求 p 的范围。 1 2 5 0 ? a ? 3} 2. A ? {x | x 2 ? (a 2 ? a ? 1) x ? a(a 2 ? 1) ? 0} , B ? {x | x ? a ? a ? 2 2 若 A ? B ? ? ,求 a 的范围。 x x 2 3. A ? {x | x ? 2 x ? x} , B ? {x | ? } , C ? {x | ax2 ? x ? b ? 0} ,若 1? x 1? x b ( A ? B) ? C ? ? ,求 a 、 。 4. A ? {( x , y) | y ? ax ? 2} ,B ? {( x , y) | y ? 12x} ,若 A ? B 中有且仅有一个元素,
求 a 的取值范围。

用心

爱心

专心

试题答案
1. 解: (1) A ? ? ? ? ? ( p ? 2) 2 ? 4 ? 0 (2) A ? ? ? ? 2. 解: A: x ? (?? , a) ? (a 2 ? 1 , ? ?) ∴ ? B: x ? [2 , 4]

? ? ? ( p ? 2) 2 ? 4 ? 0 ? ? ( p ? 2) ? 0

∴ p ? ?4

?a ? 2
2 ?a ? 1 ? 4

a ? (?? , ? 3] ? [ 3 , 2]

3. 解: ∴ A ? B ? [0,3] A ? {0} ? [1 , 3] B ? [0,1) 由已知: C ? CR ( A ? B) ? (??,0) ? (3,??) ?a ? 0 1 ? ? 1 ? ?a ? ? ∴ ?? ? 3 ? ? 3 ? a ? ?b ? 0 ? ?b ? 0 4. 解:

如图,A 为过(0,2)的直线 B 为折线 ∴ a ? [??,?2) ? [2,??)

用心

爱心

专心


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