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简单逻辑


[知识点]
一、逻辑联结词:
1、定义:“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词 简单命题:不含有逻辑联结词的命题叫做简单命题 复合命题:由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题 2.逻辑符号: “或”的符号是“∨”,例如“p 或 q”可以记作“p∨q”; “且”的符号是“∧”,例如,“p 且 q”可以记作“p∧q”; “非”的符号是“┑”,例如,“非 p”可以记作“┑p”.
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

二、复合命题的构成形式的表示:
如果用 p, q, r, s……表示命题,则复合命题的形式接触过的有以下三种: p或q : p且q : 非p : 即:p 或 q 记作 p?q; p 且 q 记作 p?q; 非 p(命题的否定)记作 ?p 其实,有些概念前面已遇到过 如:或:不等式 x 2 ?x?6>0 的解集 { x | x<?2 或 x>3 } 2 且:不等式 x ?x?6<0 的解集 { x | ?2< x<3 } 即 { x | x>?2 且 x<3 } 释义:“p 或 q”是指 p,q 中的任何一个或两者.例如,“x ? A 或 x ? B”,是指 x 可能 属于 A 但不属于 B(这里的“但”等价于“且”) ,x 也可能不属于 A 但属于 B,x ? 还可能既属于 A 又属于 B(即 x A ? B) ;又如在“p 或 q 真”中,可能只有 p 真, 也可能只有 q 真,还可能 p,q 都为真. “p 且 q”是指 p,q 中的两者.例如,“x ? A 且 x ? B”,是指 x 属于 A,同时 x 也 属于 B(即 x ? A ? B). “非 p”是指 p 的否定,即不是 p. 例如,p 是“x ? A”,则“非 p”表示 x 不是集 合 A 的元素(即 x ? CU A ). 又如(1) x ? 3或x ? ?2 (2) x ? 5且x ? 4 (3) x ? 4

三、真值表
① “非 p”形式复合命题的真假可以用下表表示: p 非p 真 假 ②“p 且 q”、 “p 或 q”形式复合命题的真假可以用下表表示: P q p且q P或q 真 真 真 假 假 真 假 假

四、全称量词及表示:
1、 表示全体的量词称为全称量词。 表示行式为“任意 x……”, “每一个 x……”,“所 有 x……”等。通常用符号“ ? x”表示,读作“对任意 X”。 2、存在量词及表示法,表示部分的量称为存在量词。表示形式为“有 x……”,“存 在 x……”等。通常用符号“ ? x”表示,读作“存在 x”。 注: (1)全称量词的含义及意义形式。 (2)注意全称量词存在的前提。
1

3、全称命题、存在性命题及表示形式 含有全称量词的命题称为全称命题,表示为: ? x ? M,P(x) 含有存在量词的命题称为存在性命题,表示为: ? x ? M,P(x) 其中,M 为给定的集合,P(x)是一个关于 x 的命题。

五、充分、必要条件:
(一)充分条件、必要条件和充要条件 1.充分条件:如果 A 成立那么 B 成立,则条件 A 是 B 成立的充分条件。 2.必要条件:如果 A 成立那么 B 成立,这时 B 是 A 的必然结果,则条件 B 是 A 成立的必要条件。 A ? B 3.充要条件:如果 A 既是 B 成立的充分条件,又是 B 成立的必要条件,则 A 是 B 成立的充要条件;同时 B 也是 A 成立的充要条件。 (二)充要条件的判断 1 若 A ? B 成立则 A 是 B 成立的充分条件,B 是 A 成立的必要条件。 2.若 A ? B 且 B A,则 A 是 B 成立的充分且不必要条件,B 是 A 成立必要且 非充分条件。 3.若 A ? B 成立则 A、B 互为充要条件。 证明 A 是 B 的充要条件,分两步: (1)充分性:把 A 当作已知条件,结合命题的前提条件推出 B; (2)必要性:把 B 当作已知条件,结合命题的前提条件推出 A。 (三)给定两个命题,p、q, 可以考虑集合 A={x︱x 满足 p},B={x︱x 满足 q}, 则有 1.若 A ? B,则 p 是 q 的充分条件。 2.若 A ? B,则 p 是 q 的必要条件。 3.若 A=B,则 p 是 q 的充要条件。 记住:小范围能推出大范围,大范围不能推出小范围。 (四)主要方法: 1.判断充要关系的关键是分清条件和结论; 2.判断 p ? q 是否正确的本质是判断命题“若 p ,则 q ”的真假; 3.判断充要条件关系的三种方法: ①定义法;②利用原命题和逆否命题的等价性;③用数形结合法(或图解法) . 4.说明不充分或不必要时,常构造反例.

2

题组一

命题的关系及真假的判断

1.原命题:“设 a、b、c ∈ R,若 ac2>bc2,则 a>b”的逆命题、否命题、逆否命 题中真命题共有
A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 ( )

解析:由题意可知,原命题正确,逆命题错误,所以否命题错误,而逆否命题正确. 答案:B

2.(2009· 重庆高考)命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是
( A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数” B.“若一个数的平方是正数,则它是负数” C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数” D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数” 解析:结论与条件互换位置选 B. 答案:B )

3.下列命题是真命题的为
1 1 A.若x=y ,则 x=y C.若 x=y,则 x= y B.若 x2=1,则 x=1 D.若 x<y,则 x2<y2





1 1 解析: = ,等式两边都乘以 xy,得 x=y. x y 答案:A

4.有下列四个命题,其中真命题有: ①“若 x+y=0,则 x、y 互为相反数”的逆命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题; ③“若 q≤1,则 x2+2x+q=0 有实根”的逆命题; ④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题. 其中真命题的序号为 A.① ② B.②③ C.① ③ D.③④
( )

解析:命题①的逆命题:“若 x、y 互为相反数,则 x+y=0”是真命题;命题②可 考虑其逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”是假命题,因此命题②的否命题 是假命题;命题③的逆命题:“若 x2+2x+q=0 有实根,则 q≤1”是真命题;命题 ④是假命题. 答案:C
3

5.(高考)给定下列命题: ①若 k>0,则方程 x2+2x-k=0 有实数根; ②“若 a>b,则 a+c>b+c”的否命题; ③“矩形的对角线相等”的逆命题; ④“若 xy=0,则 x、y 中至少有一个为 0”的否命题. 其中真命题的序号是 .

解析:①∵Δ=4-4(-k)=4+4k>0, ∴①是真命题. ②否命题:“若 a≤b,则 a+c≤b+c”是真命题. ③逆命题:“对角线相等的四边形是矩形”是假命题. ④否命题:“若 xy≠0,则 x、y 都不为零”是真命题. 答案:① ② ④

6. (高考)对于四面体 ABCD,下列命题正确的是
① 相对棱 AB 与 CD 所在的直线是异面直线;

(写出所有正确命题的编号).

② 由顶点 A 作四面体的高,其垂足是△ BCD 三条高线的交点; ③ 若分别作△ ABC 和△ ABD 的边 AB 上的高,则这两条高的垂足重合; ④ 任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积; ⑤ 分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点. 解析:①正确,∵A、B、C、D 四点不共面,∴AB 与 CD 异面; ②不正确,如图,

若 A 在底面 BCD 的射影 O 是△BCD 的三条高线交点,那么延长 BO 交 CD 于 M,则 BM⊥CD,可证 CD⊥面 ABM. 那么 CD⊥AB,即四面体相对棱异面垂直,而一般四面体 ABCD 相对棱不一定垂直, ∴②不正确; ③不正确,如图,

作 DM⊥AB 于 M,连结 CM, 假设 CM⊥AB,那么 AB⊥面 CMD.

4

又 CD?面 CMD,∴AB⊥CD. 而 CD 与 AB 不一定垂直,∴③不正确; ④显然成立; ⑤如图,取各棱中点 M、N、P、Q、S、T,

∴?MNPQ 的对角线 MP 与 NQ 交于一点 O. 同理?MSPT 的对角线 MP 与 ST 也交于点 O, ∴三条线 MP、NQ、ST 交于一点 O. 答案:① ④ ⑤

题组二

充分条件必要条件的判定
( )

7.(高考)“a+c>b+d”是“a>b 且 c>d”的 A.必要不充分条件 C.充分必要条件 B.充分不必要条件

D.既不充分也不必要条件

解析: “a+c>b+d” ? “a>b 且 c>d”, ∴充分性不成立; “a>b 且 c>d”?“a +c>b+d”,∴必要性成立. 答案:A

1 1 8.“sinα= ”是“cos2α= ”的 2 2 A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件





1 1 解析:充分性:如果 sinα= ,则 cos2α=1-2sin2α= ,成立;必要性:如果 cos2α 2 2 1 1 = ,则 sinα=± ,不成立,可知是充分而不必要条件. 2 2 答案:A

9.(高考)“m>n>0”是“方程 mx2+ny2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的
( )

A.充分而不必要条件 C.充要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

x2 y2 1 1 解析:把椭圆方程化成 + =1.若 m>n>0,则n>m>0.所以椭圆的焦点在 y 轴上. 1 1 m n 1 1 反之,若椭圆的焦点在 y 轴上,则n>m>0 即有 m>n>0.
5

答案:C

10.下列选项中,p 是 q 的必要不充分条件的是 A.p:ac2≥bc2, B.p:a>1,b>1, q:f(x)=ax-b(a>0,且 a≠1)的图象不过第二象限 C.p:x=1, D.p:a>1, q:f(x)=logax(a>0,且 a≠1)在(0,+∞)上为增函数
解析:a>b?ac2≥bc2,但 ac2≥bc2 ? a>b. 答案:A





q:a>b

q:x2=x

题组三

充分条件与必要条件的应用

1 11.(模拟)已知集合 A={x∈ R| <2x<8},B={x∈R|-1<x<m+1},若 x ∈B 成 2 立的一个充分不必要的条件是 x∈A,则实数 m 的取值范围是 ( A.m≥2 B.m≤2 C.m>2 D.-2<m<2


1 解析:A={x∈R| <2x<8}={x|-1<x<3} 2 ∵x∈B 成立的一个充分不必要条件是 x∈A ∴A ?B ∴m+1>3,即 m>2. 答案:C

12.e1、e2 是不共线的两个向量,a=e1+ke2,b=ke1+e2,则 a∥b 的充要条件是 实数 k= .

解析:a=λb, ? 答案:± 1

?1 ? k ? ?k2=1?k=± 1. k ? ? ?

13.设命题 p:(4x-3)2≤1;命题 q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若 ? p 是 ? q 的必 要不充分条件,求实数 a 的取值范围.
解:设 A={x|(4x-3)2≤1}, B={x|x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0},
6

1 易知 A={x| ≤x≤1}, 2 B={x|a≤x≤a+1}.

? p 是 ? q 的必要不充分条件,从而 p 是 q 的充分不必要条件,即 A B, 由

1 1 ? ? ?a ≤ ?a < , 2 或? 2 ? ? ? a ? 1 > 1 . a ? 1 ≥ ?1 ? ?
1 故所求实数 a 的取值范围是[0,2].

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