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高三数学第一轮复习——数列(知识点很全)


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高三数学第一轮复习——数列 三数学第一轮复习——数列 ——
一、知识梳理
数列概念
1.数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每个数称为该数列的项. 2.通项公式:如果数列 通项公式,即 a n

{a n } 的第 n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的 {a n } 的第一项(或前几项) ,且任何一项 a n 与它的前一项 a n ?1 (或前几
= f ( a n ?1 ) 或 a n = f (a n ?1 , a n ?2 ) ,那么这个式子叫做数 = 2a n + 1 ,其中 a n = 2a n + 1 是数列 {a n } 的递推

= f (n ) .

3.递推公式:如果已知数列

项)间的关系可以用一个式子来表示,即 a n 列

{a n } 的递推公式. 如数列 {a n } 中, a1 = 1, an

公式. 4.数列的前 n 项和与通项的公式

① S n = a1 + a 2 + L + a n ; ② a n = ?

? S1 (n = 1) . ? S n ? S n ?1 (n ≥ 2)

5. 数列的表示方法:解析法、图像法、列举法、递推法. 6. 数列的分类:有穷数列,无穷数列;递增数列,递减数列,摆动数列,常数数列;有界数列,无界 数列. ①递增数列:对于任何 n ∈ N + ,均有 a n +1 ②递减数列:对于任何 n ∈ N + ,均有 a n +1 ③摆动数列:例如: ? 1,1,?1,1,?1, L . ④常数数列:例如:6,6,6,6,……. ⑤有界数列:存在正数 M 使

> an . < an .

an ≤ M , n ∈ N + . an > M
.

⑥无界数列:对于任何正数 M ,总有项 a n 使得

等差数列
1.等差数列的概念 这个数列叫做等差数列, 常数 d 如果一个数列从第二项起, 每一项与它前一项的差等于同一个常数 d , 称为等差数列的公差. 2.通项公式与前 n 项和公式 ⑴通项公式 a n

= a1 + ( n ? 1)d , a1 为首项, d 为公差.
= n ( a1 + a n ) 1 或 S n = na1 + n ( n ? 1) d . 2 2
A 叫做 a 与 b 的等差中项.

⑵前 n 项和公式 S n 3.等差中项

如果 a , A, b 成等差数列,那么 即:

A 是 a 与 b 的等差中项 ? 2 A = a + b ? a , A , b 成等差数列.
4.等差数列的判定方法 ⑴定义法: a n +1

? an = d

⑵中项法: 2 a n +1

= a n + a n + 2 ( n ∈ N + ) ? {a n } 是等差数列.

( n ∈ N + , d 是常数) ?

{a n } 是等差数列;

5.等差数列的常用性质 ⑴数列

{a n } 是等差数列,则数列 {a n + p}、 {pa n } ( p 是常数)都是等差数列; ⑵在等差数列 {a n } 中,等距离取出若干项也构成一个等差数列,即 a n , a n + k , a n + 2 k , a n + 3k , L 为等
= a m + ( n ? m )d ;a n = an + b ( a , b 是常数);S n = an 2 + bn ( a , b 是常数,a ≠ 0 )

差数列,公差为 kd . ⑶ an

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欢迎访问搏优教育网试题下载站:www.sxbyedu.net ⑷若 m + n

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= p + q(m, n, p, q ∈ N + ) ,则 a m + a n = a p + a q ;

⑸若等差数列

{a n } 的前 n 项和 S n ,则 ? S n ? 是等差数列; ? ?
?n?

⑹当项数为 2n( n ∈ N + ) ,则 S 偶

? S奇 = nd ,

S偶 a n +1 = S奇 an



当项数为 2n

? 1( n ∈ N + ) ,则 S奇 ? S 偶 = a n ,

S偶 n ? 1 = . S奇 n

等比数列
1.等比数列的概念 如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数 q ( q 列,常数 q 称为等比数列的公比. 2.通项公式与前 n 项和公式 ⑴通项公式: a n

≠ 0) ,这个数列叫做等比数

= a1q n ?1 , a1 为首项, q 为公比 .
= 1 时, S n = na1 ≠ 1 时, S n =

⑵前 n 项和公式:①当 q ②当 q 3.等比中项

a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q = . 1? q 1? q

如果 a , G , b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项. 即: G 是 a 与 b 的等差中项 ? 4.等比数列的判定方法 ⑴定义法:

a , A , b 成等差数列 ? G 2 = a ? b .

a n +1 = q ( n ∈ N + , q ≠ 0 是常数) ? {a n } 是等比数列; an
2

⑵中项法: a n +1

= an ? a n +2 ( n ∈ N + )且 a n ≠ 0 ? {a n } 是等比数列.

5.等比数列的常用性质 ⑴数列

{a n } 是等比数列,则数列 {pan } 、 {pa n } ( q ≠ 0 是常数)都是等比数列; ⑵在等比数列 {a n } 中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即 a n , a n + k , a n + 2 k , a n + 3k , L 为等
k

比数列,公比为 q . ⑶ an

= a m ? q n ?m ( n, m ∈ N + )

⑷若 m + n

= p + q(m, n, p, q ∈ N + ) ,则 a m ? a n = a p ? a q ;

⑸若等比数列

{a n } 的前 n 项和 S n ,则 S k 、 S 2 k ? S k 、 S3k ? S 2 k 、 S 4 k ? S 3k 是等比数列.

二、典型例题 A、求值类的计算题(多关于等差等比数列) 、求值类的计算题(多关于等差等比数列)
1)根据基本量求解(方程的思想) 1、已知 S n 为等差数列 {a n } 的前 n 项和, a 4 = 9, a 9 = ?6, S n = 63 ,求 n ; 2、等差数列 {an } 中, a4 = 10 且 a3,a6,a10 成等比数列,求数列 {an } 前 20 项的和 S 20 . 3、设 {a n } 是公比为正数的等比数列,若 a1 = 1, a5 = 16 ,求数列 {a n } 前 7 项的和.
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4、已知四个实数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,首末两数之和为 37 ,中间 两数之和为 36 ,求这四个数.

2)根据数列的性质求解(整体思想) 1、已知 S n 为等差数列 {a n } 的前 n 项和, a 6 = 100 ,则 S11 = 2、设 S n 、 Tn 分别是等差数列 {a n } 、 {a n } 的前 n 项和, 3、设 Sn 是等差数列 {a n } 的前 n 项和,若 ; .

S n 7n + 2 a ,则 5 = = Tn n+3 b5

a5 5 S = ,则 9 = ( ) a3 9 S5 S a 2n ,则 n =( ) 4、等差数列 {an } , {bn } 的前 n 项和分别为 Sn , Tn ,若 n = Tn 3n + 1 bn 5、已知 S n 为等差数列 {a n } 的前 n 项和, S n = m, S m = n ( n ≠ m ) ,则 S m + n =
6、在正项等比数列 {a n } 中, a1a5 + 2a3 a5 + a3 a7 = 25 ,则 a3 + a5 = _____ __。 7、已知数列 {an } 是等差数列,若

.

a4 + a7 + a10 = 17 , a4 + a5 + a6 + L + a12 + a13 + a14 = 77 且 ak = 13 ,则 k = _________。
8、已知 S n 为等比数列 {a n } 前 n 项和, S n = 54 , S 2 n = 60 ,则 S 3n = 9、在等差数列 {a n } 中,若 S 4 = 1, S 8 = 4 ,则 a17 + a18 + a19 + a 20 的值为( 10、在等比数列中,已知 a9 + a10 = a ( a ≠ 0) , a19 + a20 = b ,则 a99 + a100 = 11、已知 {a n } 为等差数列, a15 = 8, a60 = 20 ,则 a75 = 12、等差数列 {an } 中,已知 .

) .

S S4 1 = ,求 8 . S8 3 S16

B、求数列通项公式 、求数列通项
1) 给出前几项,求通项公式

1,0,1,0,……

1,3,6,10,15,21, L , 33,333, 3333,33333…… 3,-33,333,-3333,33333
2)给出前 n 项和求通项公式 1、⑴ S n = 2n 2 + 3n ; ⑵ S n = 3n + 1 . 2、设数列 {an } 满足 a1 + 3a2 + 3 a3 + …+3
2 n-1

an =

n (n ∈ N * ) ,求数列 {an } 的通项公式 3

3)给出递推公式求通项公式 可利用迭加法或迭代法; a、⑴已知关系式 a n +1 = a n + f ( n ) ,可利用迭加法或迭代法; 已知关系式

a n = ( a n ? a n ?1 ) + ( a n ?1 ? a n ? 2 ) + ( a n ?2 ? a n ?3 ) + L + (a 2 ? a1 ) + a1
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例:已知数列 {a n } 中, a1 = 2, a n = a n ?1 + 2n ? 1( n ≥ 2) ,求数列 {a n } 的通项公式; 可利用迭乘法. b、已知关系式 a n +1 = a n ? f ( n ) ,可利用迭乘法 a n = 例、已知数列 {an } 满足:

an n ?1 = (n ≥ 2), a1 = 2 ,求求数列 {a n } 的通项公式; an ?1 n + 1

a n a n ?1 a n ?2 a a ? ? ? L ? 3 ? 2 ? a1 a n ?1 a n ?2 a n ?3 a 2 a1

c、构造新数列 1°递推关系形如“ a n +1 = pa n + q ” ,利用待定系数法求解

例、已知数列 {a n } 中, a1 = 1, a n +1 = 2a n + 3 ,求数列 {a n } 的通项公式.

2°递推关系形如“,两边同除 p n +1 或待定系数法求解 例、

a1 = 1, a n +1 = 2a n + 3n ,求数列 {a n } 的通项公式.

例、已知数列 {a n } 中, a1 = 1, a 2 = 2, a n + 2 = 3a n +1 ? 2a n ,求数列 {a n } 的通项公式. 4°递推关系形如" an ? pan ?1 = qan an ?1 (p,q ≠ 0),两边同除以 an an ?1

3°递推已知数列 {a n } 中,关系形如“ a n + 2 = p ? a n +1 + q ? a n ” ,利用待定系数法求解

例 1、已知数列 {a n } 中, an ? an ?1 = 2an an ?1 ≥ 2),a1 = 2 ,求数列 {a n } 的通项公式. (n 例 2、数列 {a n }中, a1 = 2, a n +1 =

2a n ( n ∈ N + ) ,求数列 {a n }的通项公式. 4 + an

求数列 {bn }的通项公式.

例 1、 设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 = a , a n +1 = S n + 3n ( n ∈ N + ) , bn = S n ? 3n , 设

d、给出关于 Sn 和 am 的关系 、

2 例 2、设 S n 是数列 {a n }的前 n 项和, a1 = 1 , S n = a n ? S n ?

⑴求 {a n }的通项; ⑵设 bn =

? ?

1? ?( n ≥ 2 ) . 2?

Sn ,求数列 {bn }的前 n 项和 Tn . 2n + 1

C、证明数列是等差或等比数列 、
1)证明数列等差 例 1、 已知 S n 为等差数列 {a n } 的前 n 项和,bn =

Sn 数列 {bn }是等差数列. ( n ∈ N + ) .求证: n
1 . 2

例 2、已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+2Sn·Sn-1=0(n≥2) 1= ,a 求证:{

1 }是等差数列; Sn

2)证明数列等比

?1? 例 1、设{an}是等差数列,bn= ? ? ,求证:数列{bn}是等比数列; ?2?
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an

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例 2、数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{bn}中,若 an+Sn=n.设 cn=an-1,求证:数列{cn}是等 比数列; 例 3、已知 S n 为数列 {a n } 的前 n 项和, a1 = 1 , S n = 4a n + 2 . ⑵设数列 {cn }中, c n =

⑴设数列 {bn }中, bn = a n +1 ? 2a n ,求证: {bn }是等比数列;

an ,求证: {c n }是等差数列;⑶求数列 {a n } 的通项公式及前 2n
n

例 4、设 S n 为数列 {a n } 的前 n 项和,已知 ban ? 2 = ( b ? 1) Sn ⑴证明:当 b = 2 时, an ? n ? 2n ?1 是等比数列; 例 5、已知数列 {an } 满足 a1 = 1, a2 = 3, an + 2 = 3an +1 ? 2an ( n ∈ N * ). ⑵求数列 {an } 的通项公式; ⑶若数列 {bn } 满足 4 1 4
b ?1 b2 ?1

n 项和.

⑵求 {an } 的通项公式

{

}

⑴证明:数列 {an +1 ? an } 是等比数列;

...4bn ?1 = ( an + 1)bn ( n ∈ N * ), 证明 {bn } 是等差数列.

D、求数列的前 n 项和 、
基本方法: 1)公式法, 2)拆解求和法. 例 1、求数列 {2n + 2n ? 3} 的前 n 项和 S n . 例 2、求数列 1 , , , , + 2 3 L (n

1 2

1 4

1 8

1 ), 的前 n 项和 S n . L 2n 1 1 1 1 = ( ? ) ; n (n + k ) k n n + k

例 3、求和:2×5+3×6+4×7+…+n(n+3) 2 ) 裂 项 相 消 法 , 数 列 的 常 见 拆 项 有 :

1
n + n +1

= n +1 ? n ;

1 1 1 + +L+ 1+ 2 1+ 2 + 3 1+ 2 + 3 +L+ n 1 1 1 1 例 2、求和: + + +L+ . 2 +1 3+ 2 4+ 3 n +1 + n
例 1、求和:S=1+ 3)倒序相加法,

x2 例、设 f ( x ) = ,求: 1 + x2 ⑴ f ( 1 ) + f ( 1 ) + f ( 1 ) + f ( 2) + f (3) + f ( 4) ; 4 3 2
1 1 ⑵ f ( 2010 ) + f ( 2009 ) + L + f ( 1 ) + f ( 1 ) + f ( 2) + L + f ( 2009) + f ( 2010). 3 2

4)错位相减法, 例、若数列 {a n }的通项 a n = ( 2n ? 1) ? 3n ,求此数列的前 n 项和 S n .
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5)对于数列等差和等比混合数列分组求和 2 例、已知数列{an}的前 n 项和 Sn=12n-n ,求数列{|an|}的前 n 项和 Tn.

E、数列单调性最值问题 、

例 1、数列 {a n } 中, a n = 2n ? 49 ,当数列 {a n } 的前 n 项和 S n 取得最小值时, n =

.

例 2、已知 S n 为等差数列 {a n } 的前 n 项和, a1 = 25, a4 = 16. 当 n 为何值时, S n 取得最大 值; 例 3、数列 {a n } 中, a n = 3n ? 28n + 1 ,求 a n 取最小值时 n 的值.
2

例 4、数列 {a n } 中, a n = n ?

n 2 + 2 ,求数列 {a n } 的最大项和最小项.
n
*

例 5、设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .已知 a1 = a , an +1 = S n + 3 , n ∈ N . (Ⅰ)设 bn = S n ? 3 ,求数列 {bn } 的通项公式;
n
*

(Ⅱ)若 an +1 ≥ an , n ∈ N ,求 a 的取值范围. 例 6、已知 S n 为数列 {a n } 的前 n 项和, a1 = 3 , S n S n ?1 = 2a n ( n ≥ 2) .

⑵数列 {a n } 中是否存在正整数 k ,使得不等式 a k > a k +1 对任意不小于 k 的正整数都成立? 若存在,求最小的正整数 k ,若不存在,说明理由. 例 7、非等比数列 {an } 中,前 n 项和 Sn = ? (an ? 1)2 , (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn =

⑴求数列 {a n } 的通项公式;

1 4

1 (n ∈ N *) ,Tn = b1 + b2 + L + bn ,是否存在最大的整数 m,使得对任意 n(3 ? an ) m 总成立?若存在,求出 m;若不存在,请说明理由。 的 n 均有 Tn > 32

F、有关数列的实际问题
例 1、用砖砌墙,第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块,第二层用去了剩下的一半多一 块,… 依次类推,每一层都用去了上次剩下的砖块的一半多一块,到第十层恰好把砖块用完, 问共用 了多少块? 例 2、2002 年底某县的绿化面积占全县总面积的 40 %,从 2003 年开始,计划每年将非绿化 面积的 8%绿化,由于修路和盖房等用地,原有绿化面积的 2%被非绿化. ⑴设该县的总面积为 1,2002 年底绿化面积为 a1 =

4 ,经过 n 年后绿化的面积为 a n +1 ,试用 10

a n 表示
⑵求数列 {a n }的第 n + 1 项 a n +1 ;

a n +1 ;

⑶至少需要多少年的努力,才能使绿化率超过 60%(参考数据: lg 2 = 0.3010, lg 3 = 0.4771 )
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