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黄冈中学2009年秋季高一上学期数学期中考试


湖北省黄冈中学 2009 年秋季高一数学期中考试试题
命题:董明秀 审稿:程金辉 校对:胡小琴

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.下列函数与 y ? x 有相同图象的一个函数是 ( )

A. y ?

x2

B. y ?
2

x2 x

C. y ? a

log a x

(a ? 0且a ? 1)

D. y ? log a a )

x

(a ? 0且a ? 1)

2.三个数 a ? 0.6 , b ? ln 0.6, c ? 2 A. a ? c ? b .

0.6

之间的大小关系是( C. b ? a ? c )
?2

B. a ? b ? c

D. b ? c ? a

3.下列函数中,在 (0,1) 上为单调递减的偶函数是(
A. y ? x
1 2

B. y ? x

4

C. y ? x

D. y ? ? x
2

1 3

2 4.已知集合 M ? { y | y ? x ? 1, x ? R} , N ? {x ? R | y ? 3 ? x } ,则 M ? N ? (



A. {(? 2 ,1), ( 2 ,1)}

B.

[?1, 3 ]

C.

[0, 3 ]

D. ? )

5.设集合 A ? R , 集合 B ? { y | y ? 0} , 下列对应关系中是从集合 A 到集合 B 的映射的是 ( A. x → y ?| x |

1 B. x → y ? ( x ? 1) 2

1 x C. x → y ? ( ) 2

?1? D. x → y ? ? ? ? 1 ?2?

x

6.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事:领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一觉, 当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了终点? 用 S1 , S 2 分别表示乌龟和兔子所行的路程, t 为时间,则与故事情节相吻合是(
S S1 S2 S2 O A
2



S S1

S S1 S2

S S1 S2

O B
1? x

O C

O D

7.若 f ( x) ? ? x ? 2ax 与 g ( x) ? (a ? 1) 取值范围是( )

(a ? ?1 且 a ? 0) 在区间 [1,2] 上都是减函数,则 a 的

第 1 页,共 6 页

A.

(?1,0)

B. (0,1]

C. (0,1)

D.

(?1,0) ? (0,1)

8.已知函数 f ( x) ? ( ) x ? log 2 x ,若实数 x0 是方程 f ( x) ? 0 的解,且 0 ? x1 ? x0 ,则 f ( x1 ) 的 值( A.等于 0 ) B.不大于 0 C. 恒为正值 D.恒为负值

1 3

9.定义:符号 [x] 表示不超过实数 x 的最大整数,如 [3.8] ? 3 ,[?2.3] ? ?3 ,[6] ? 6 等,设 函数 f ( x) ? x ? [ x] ,则下列结论中不正确的是 ( ... A. f (? ) ? ) C. f ( x ? 1) ? f ( x) D. 0 ? f ( x) ? 1

1 2

1 2

B. f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y)
x

10.已知函数 f ( x) ? log a (2 ? b ? 1)(a ? 0,a ? 1) 的图象如图所示,则 a,b 满足的关系是 ( )
?1

y

A. 0 ? a C. 0 ? b
?1

? b ?1

B. 0 ? b ? a D. 0 ? a
?1

?1

?1

O

x

? a ?1

? b?1 ? 1

?1

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

? e x ,??? x ? 0 1 11. 设 g ( x ) ? ? ,则 g[ g ( )] ? ____________; 2 ?lnx,?? x ? 0
12.若函数 f (x) 的定义域为 [0,1] ,则 F ( x) ? f ( x ? 1) ? f (2 x ? 1) 的定义域为 13.已知 f ( x) ? a ? a
x 2 ?x

_____;

(a ? 0且a ? 1) 且 f (1) ? 3 ,则 f (0) ? f (1) ? f (2) =



14.函数 f ( x) ? x ? px ? 3, 满足 f (?1 ? x) ? f (?1 ? x), 且在闭区间 [m, 0] 上的值域为 [2, 3] , 则 m 的取值范围为_______________; 15.下列说法:①若 f ( x) ? ax ? (2a ? b) x ? 2 (其中 x ?[2a ? 1, a ? 4] )是偶函数, 则实数 b ? 2 ;
2

② f ( x) ? 2009 ? x 2 ? x 2 ? 2009 既是奇函数又是偶函数;③已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 若当 x ? [0, ??) 时, f ( x) ? x(1 ? x) ,则当 x ? R 时, f ( x) ? x(1 ? x ) ; ④ 已 知 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 不 恒 为 零 的 函 数 , 且 对 任 意 的 x, y ? R 都 满 足

f ( x? y) ? x? f y y ? f ( x) , 则 f ( x) 是奇函数. ( ? )
其中所有正确说法的序号是 .... __.

第 2 页,共 6 页

答 题 卡
题号 答案 题号 答案 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 12 分) (1)化简 a b ? ab ( a ? 0, b ? 0)
3 2 ?4 2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

1

(2)计算 6.25 2 ? lg

1 ? ln e ? 21?log2 3 的值 100

17. (本小题满分 12 分)已知 A ? {x | x ? 2 x ? 8 ? 0} , B ? {x | log 2 ( x ? 5 x ? 8) ? 1} ,
2
2

C ? {x | x 2 ? ax ? a 2 ? 19 ? 0} ;若 A ? C ? ?, B ? C ? ? ,求 a 的值.

第 3 页,共 6 页

18. (本小题满分 12 分) 已知二次函数 f ( x) 满足条件 f (0) ? 1 ,及 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x . (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)求函数 f ( x) 在 ? a,a ? 1? (a ? R) 上的最小值 g (a ) 的表达式.

19.(本小题满分 12 分)已知 a ? 0 且 a ? 1 , f ( x) ? (1)判断函数 f ( x) 的奇偶性; (2) 判断函数 f ( x) 的单调性,并证明;

a (a x ? a ? x ) a ?1
2

(3)当函数 f ( x) 的定义域为 (?1,1) 时,求使 f (1 ? m) ? f (1 ? m ) ? 0 成立的实数 m 的取值范围.
2

第 4 页,共 6 页

20. (本小题满分 13 分)已知定义域为 [0,1] 的函数 f (x ) 同时满足: ① 对于任意的 x ? ?0,1? ,总有 f ( x) ? 0 ; ② f (1) ? 1 ; ③ 当 x1 ? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 ? 1 时有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) . (1)求 f (0) 的值; (2)求函数 f (x ) 的最大值;

1 1 1 (3)证明:当 x ? ( ,1] 时, f (x ) ? 2x ;当 x ? [0, ] 时, f (x ) ? f (2x ) . 2 2 2

第 5 页,共 6 页

21. (本小题满分 14 分)已知集合 M 是同时满足下列两个性质的函数 f ( x) 的全体: ①函数 f ( x) 在其定义域上是单调函数; ②在函数 f ( x) 的定义域内存在闭区间 [a, b] 使得 f ( x) 在 [a, b] 上的最小值是 请解答以下问题 (1) 判断函数 f ( x) ? x ?
3

a b , 且最大值是 2 2

2 ( x ? (0, ??)) 是否属于集合 M ?并说明理由; x

(2)判断函数 g ( x) ? ? x 是否属于集合 M ?并说明理由.若是,请找出满足②的闭区间 [a, b] ; (3)若函数 h( x) ?

x ? 1 ? t ? M ,求实数 t 的取值范围.

湖北省黄冈中学 2009 年秋季高一期中考试试题 数 学 参 考 答 案
1-5 DCCBC 11. 12. [ ? 13. 12 14. ?2 ? m ? ?1 解析:由 f (?1 ? x) ? f (?1 ? x) 知 f ( x) 的对称轴为 x ? ?1 ,所以
2 f ( x)? x ? 2 x? ,结合 f ( x) 的图象可分析得 3

6-10 BBCBA

1 2

解析: g ( g ( )) ? g (ln ) ? e

1 2

1 2

ln

1 2

?

1 2

1 , 0] 2

15.①②③④ 16.解: (1)原式= a b ? a b ?
?4 2 1 3 2 3

a b ?a b

11 8 ? 3 3

?

11 6

4 3

第 6 页,共 6 页

2 ?2 (2)原式= (2.5 ) 2 ? lg10 ? ln e 2 ? 2 ? 2

1

1

log 2 3

1 ? 2.5 ? 2 ? ? 2 ? 3 2 ? 11
17.解: A ? {2, ?4} , B ? {2,3} ,由 A ? C ? ?, 知 2 ? C, ?4 ? C , 又由 B ? C ? ?, 知 3 ? C ,?3 ? 3a ? a ? 19 ? 0 ,解得 a ? ?2 或 a ? 5
2 2

当 a ? ?2 时, C ? {3, ?5}, 满足 A ? C ? ?, 当 a ? 5 时, C ? {3, 2} , A ? C ? {2} ? ? 舍去,

? a ? ?2
18.解: (1)设 f ( x) ? ax ? bx ? 1 ,则 f ( x ? 1) ? f ( x) ? a( x ? 1) ? b( x ? 1) ? ax ? bx
2 2 2

,而 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x ,所以 2ax ? a ? b ? 2x ,所以 2a ? 2 , ? 2a x ? a ? b

a ? b ? 0 ,则 a ? 1, b ? ?1 ,所以 f ( x) ? x 2 ? x ? 1
2 (2) f ( x) ? x ? x ? 1 ? ( x ? ) ?
2

1 2

3 4

当 a ?1 ?

1 1 ,即 a ? ? 时,函数 f ( x) 在 ? a,a ? 1? 上是单调减函数, 2 2
2

则 g (a) ? f (a ? 1) ? a ? a ? 1

1 1 1 1 3 ? a ? 1 ,即 ? ? a ? 时,则 g (a) ? f ( ) ? 2 2 2 2 4 1 2 当 a ? 时,函数 f ( x) 在 ? a,a ? 1? 上是单调增函数,则 g (a) ? f (a) ? a ? a ? 1 2
当a ?

?a 2 ? a ? 1 ? ?3 综上: g (a ) ? ? ?4 ?a 2 ? a ? 1 ?
19. 解: (1)函数 f ( x) 的定义域是 R ,关于原点对称 又? f (? x) ?

a a (a ? x ? a x ) ? ? 2 (a x ? a ? x ) ? ? f ( x) ,? f ( x) 为奇函数 a ?1 a ?1
2

(2)函数 f ( x) 在 R 上为增函数 设 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 ,

第 7 页,共 6 页

则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

a a 1 [(a x ? a ? x ) ? (a x ? a ? x )] ? 2 (a x ? a x )(1 ? x x ) a ?1 a ?1 a a
1 1 2 2 1 2

2

1

2

当 a ? 1 时, a2 ? 1 ? 0 , a ? a ? 0 ,? f ( x1 ) ? f ( x2 )
x1 x2

当 0 ? a ? 1时, a 2 ? 1 ? 0 , a ? a ? 0 ,? f ( x1 ) ? f ( x2 )
x1 x2

?当 a ? 0 且 a ? 1 时, f ( x) 在 R 上是增函数
(3)由 f (1 ? m) ? f (1 ? m ) ? 0 得 f (1 ? m) ? ? f (1 ? m ) ,
2 2

? ?1 ? 1 ? m ? 1 ? ? f (1 ? m) ? f (m2 ? 1) ,? ? ?1 ? 1 ? m 2 ? 1 ?1 ? m ? m 2 ? 1 ?
又 f ?0? ? 0,? f ?0? ? 0

解得

1? m ? 2

20.(1)令 x1 ? 1, x2 ? 0 ,则 f (1 ? 0) ? f (1) ? f (0),? f (0) ? 0 (2)任取 0 ? x 1 ? x 2 ? 1, 可知 x2 ? x1 ? (0,1] ,则 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? 0, 故 f (x 2 ) ? f (x 1 ), 于是当 0 ? x ? 1 时,有 f (x ) ? f (1) ? 1 ,故当 x ? 1时, f (x ) 有最大值 1.
1 (3)证明:当 x ? ( ,1] 时, f (x ) ? 1 ? 2x 2 1 1 当 x ? [0, ] 时, f (2x ) ? f (x ) ? f (x ) ? 2f (x ) ,∴ f (x ) ? f (2x ) 2 2

21.解: (1)当 x ? 0时,f ( x) ? x ?

2 在 (0, 2] 上单调递减,在 ( 2, + x
3 3 2 2

) 上单调递增,

所以,函数在定义域上不是单调递增或单调递减函数,从而该函数不是闭函数 (2)设 x1 ? x2 , 则 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? ? x1 ? x2 ? ( x2 ? x1 )( x2 ? x1 x2 ? x1 )

1 3 ? ( x2 ? x1 )[( x2 ? x1 )2 ? x12 ] ? 0 2 4
所以 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ,故 g ( x) 是 R 上的减函数。

? 3 b ??a ? 2 ? 设函数 g ( x) ? M ,则 ? ? ?b 3 ? a ? ? 2
又 a ? b ,? a ? ?

? 2 ? 2 ?a ? ? ?a ? ? ? 2 2 ?? 或? , 2 2 ?b ? ?b ? ? ? ? ? 2 ? 2

2 2 2 2 , ] ,b ? ,? g ( x) ? M ,满足条件②的闭区间为 [ ? 2 2 2 2

第 8 页,共 6 页

(3)设 1 ? x1 ? x2 ,则 h( x1 ) ? h( x2 ) ?

x1 ? 1 ? x2 ? 1 ?

x1 ? x2 ?0 x1 ? 1 ? x2 ? 1

? h( x) 在 [1, ??) 上是增函数,

? h( x)min ? h(a) ? a ? 1 ? t ?

a b , h( x) max ? h(b) ? b ? 1 ? t ? 2 2

? a ?t ? 2 ? a ? 1 x ? ,则 a, b(a, b ? 1) 是方程 t ? ? x ? 1 的两个不相等的实数根 ?? 2 ?t ? b ? b ? 1 ? 2 ?


x ? 1 ? m ,则 t ?

m2 ? 1 ? m ( ? 0) ,即方程 m2 ? 2m ? 1 ? 2t ? 0 在 [0, ??) 有两个不同的 m 2
,? t ? (0, ]

? ? ? (?2) 2 ? 4(1 ? 2t ) ? 0 实数解,? ? ?1 ? 2t ? 0

1 2

第 9 页,共 6 页


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