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北京市丰台区2016届高三下学期综合练习(一)数学(理)试卷


丰台区 2015—2016 学年度第二学期统一练习(一) 2016.3 高三数学(理科) 第一部分 (选择题 共 40 分) 一.选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要 求的一项. 1. 已 知 全 集 U ? R , 集 合 A ? ? x | x ? ?2或x ? 3? , B ? ? x | x ? ?1或x ? 4? , 那 么 集 合

(CU A) ? B 等于(
(A) x | ?2 ≤ x ? 4

) (B) ? x | ?2 ? x ? 3? (D) x | ?2 ? x ? ?1或3 ? x ? 4

?

?

(C) ? x | ?2 ? x ? ?1?

?

?

(0, +?) 2.在下列函数中,是偶函数,且在 内单调递增的是
(A) y ? 2
|x|

(B) y ?

1 x2

(C) y ?| lg x |

(D) y ? cos x
频率 组距 0.06 0.05 0.04

3.对高速公路某段上汽车行驶速度进行抽样调查, 画出如 下频率分布直方图.根据直方图估计在此路段上汽车行 驶速度的众数和行驶速度超过 80km/h 的概率 (A) 75,0.25 (C)77.5,0.25 (B)80,0.35 (D)77.5,0.35

0.02 0.01 O 60 65 70 75 80 85 90 车速(km/h)

4. 若数列 ?a n ? 满足 an+ 1 = 2an ( an 刮0, n

N* ) ,且 a2

与 a4 的等差中项是 5,则 a1 + a2 + ? + an 等于 (A) 2
n

(B) 2 - 1

n

(C) 2

n- 1

(D) 2

n- 1

- 1

5. 已知直线m,n和平面 ? ,若 n ⊥ ? ,则“ m ? (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件

? ”是“ n ⊥ m ”的

(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

6. 有三对师徒共 6 个人,站成一排照相,每对师徒相邻的站法共有 (A) 72 (B)54 (C) 48 (D) 8
O

7.如图, 已知三棱锥 P - ABC 的底面是等腰直角三角形, 且∠ACB=90 , 侧面 PAB⊥底面 ABC, AB=PA=PB=4.则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸 x,y,z 分别是
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(A) 2 3 ,2,2 (B)4,2, 2 2

P
x

z

主视图

侧视图

(C) 2 3 , 2 2 ,2 (D) 2 3 ,2, 2 2

A C B

y y
俯视图

8. 经济学家在研究供求关系时,一般用纵轴表示产品价格(自变量),而用横轴来表示产品数 量(因变量).某类产品的市场供求关系在不受外界因素(如政府限制最高价格等)的影响 下,市场会自发调解供求关系:当产品价格 P1 低于均衡价格 P0 时,需求量大于供应量, 价格会上升为 P2;当产品价格 P2 高于均衡价格 P0 时,供应量大于需求量,价格又会下降, 价格如此波动下去, 产品价格将会逐渐靠进均衡价格 P0.能正确表示上述供求关系的图形是

(A)
单价 供应曲线 需求曲线

(B)
单价 需求曲线 供应曲线

P2 P0 P1

P2 P0 P1
O 数量

O

数量

(C)

(D)

第二部分 (非选择题 共 110 分) 一、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

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x2 y 2 9.已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线为 y ? 3x ,那么双曲线的离心率为 a b
_________.

C
10. 如图,BC 为⊙O 的直径,且 BC=6,延长 CB 与⊙O 在 点 D 处的切线交于点 A,若 AD=4,则 AB=________.

O B

11. 在 ?ABC 中角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c , 若 3b sin A ? c cos A ? a cos C ,则 sin A ? ________.

A

D

12. 在梯形 ABCD 中, AB // CD , AB ? 2CD , E 为 BC 中点,若 x+y=_______.

??? ? ??? ? ???? AE ? x AB ? y AD , 则

? x ? 0, ? 13. 已知 x, y 满足 ? y ? x, (k 为常数) ,若 z ? x ? 2 y 最大值为 8,则 k =________. ? x ? y ? k. ?
14.已知函数 f ( x ) ? ?

? ? x ? 1( x ? 1), 若 f ( x ) ? f ( x ? 1) ,则 x 的取值范围是______. ? ? x ( x ? 1).

二、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) = cos x (cos x ? 3 sin x ) . (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)当 x ? [0, ] 时,求函数 f ( x) 的单调递减区间.

π 2

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16.(本小题共 13 分) 从某病毒爆发的疫区返回本市若干人,为了迅速甄别是否有人感染病毒,对这些人抽血, 并将血样分成 4 组,每组血样混合在一起进行化验. (Ⅰ)若这些人中有 1 人感染了病毒. ①求恰好化验 2 次时,能够查出含有病毒血样组的概率; ②设确定出含有病毒血样组的化验次数为 X,求 E(X). (Ⅱ)如果这些人中有 2 人携带病毒,设确定出全部含有病毒血样组的次数 Y 的均值 E(Y), 请指出(Ⅰ)②中 E(X)与 E(Y)的大小关系.(只写结论,不需说明理由)

17.(本小题共 13 分) 如图,在五面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 为菱形,且 ? BAD=60°,对角线 AC 与 BD 相交 于 O;OF⊥平面 ABCD,BC=CE=DE=2EF=2. (Ⅰ)求证: EF//BC; (Ⅱ)求直线 DE 与平面 BCFE 所成角的正弦值.
F E

D O A B

C

18.(本小题共 14 分) 已知函数 f ( x ) ? x ln x . (Ⅰ)求曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求证: f ( x ) ? x ? 1 ; (Ⅲ)若 f ( x ) ? ax 2 ?

2 ( a ? 0) 在区间 (0, ??) 上恒成立,求 a 的最小值. a

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19.(本小题共 14 分) 已知椭圆 G:

x2 y2 3 ,短半轴长为 1. ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b 2

(Ⅰ)求椭圆 G 的方程; (Ⅱ)设椭圆 G 的短轴端点分别为 A, B ,点 P 是椭圆 G 上异于点 A, B 的一动 点,直线 PA, PB 分别与直线 x ? 4 于 M , N 两点,以线段 MN 为直径作圆 C . ① 当点 P 在 y 轴左侧时,求圆 C 半径的最小值; ② 问:是否存在一个圆心在 x 轴上的定圆与圆 C 相切?若存在,指出该定圆的圆心 和半径,并证明你的结论;若不存在,说明理由.

20.(本小题共 13 分)
? an ?a ? 已知数列 {an } 是无穷数列, a1 =a, a2 ? b ( a, b 是正整数) , an ?1 = ? n ?1 ? an ?1 ? ? an ( an ? 1) , an ?1

a ( n ? 1) an ?1

.

(Ⅰ)若 a1 ? 2, a2 =1 ,写出 a4 , a5 的值; (Ⅱ)已知数列 {an } 中 ak ? ( 1 k ? N * ) ,求证:数列 {an } 中有无穷项为 1; (Ⅲ) 已知数列 {an } 中任何一项都不等于 1, 记 bn =max{a2 n ?1, a2 n}( n ? 1,2,3, ?; max{m, n}

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为 m, n 较大者).求证:数列 {bn } 是单调递减数列.

丰台区 2016 年高三年级第二学期数学统一练习(一) 数
题号 答案 1 2 3

学(理科)参考答案
4 5 6 7 8

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.

C

A

D

B

A

C

A

D

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.

2

10.

2

11.

1 3

12.

5 4

13.

16 3

14. (0,1]

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 解:(Ⅰ) f ( x) = 3 sin x cos x ? cos 2 x

f ( x) =

3 1 ? cos 2 x sin 2 x ? 2 2
3 1 ? cos 2 x sin 2 x ? ) 2 2

f ( x) =(

f ( x) = sin(2 x ?

?
6

)?

1 2

T?

2? 2? ? ?? |? | 2
----------------------------------7 分

f ( x) 的最小正周期为 ? .
(Ⅱ)当 2k? ?

3? 单调递减, , k ? Z 时,函数 f ( x) 2 6 2 ? 2? 即 f ( x) 的递减区间为: [k? ? , k? ? ], k ? Z , 6 3 ? ? 2? ? ? 由 [0, ] ? [k? ? , k? ? ] =[ , ? ] , k ? Z 2 6 3 6 2 ? 2x ? ? 2k? ?
所以 f ( x) 的递减区间为: [

?

?

? ?

, ]. 6 2

------------------------------------13 分

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16. 解: (Ⅰ)①恰好化验 2 次时,就能够查出含有病毒血样的组为事件 A.

P( A) ?

1 4 1 .-----4 分 4

恰好化验 2 次时,就能够查出含有病毒血样的组的概率为

②确定出含有病毒血样组的次数为 X,则 X 的可能取值为 1,2,3.

P( X ? 1) ?

1 1 1 , P ( X ? 2) ? , P ( X ? 3) ? . 4 4 2

则 X 的分布列为:

X P
所以:E(X)= 1 ?

1

2

3
1 2

1 4

1 4

1 1 1 9 ? 2 ? ? 3 ? ? --------------------------------------------11 分 4 4 2 4

(Ⅱ) E ( X ) ? E (Y ) ------------------------------------------------------------------13 分 17. 解:(Ⅰ)因为四边形 ABCD 为菱形 所以 AD ∥ BC ,且 BC ? 面 ADEF , AD ? 面 ADEF 所以 BC ∥面 ADEF 且面 ADEF ? 面 BCEF ? EF 所以 EF ∥ BC . ----------------------------------------------------------6 分 (Ⅱ)因为 FO ? 面 ABCD 所以 FO ? AO , FO ? OB 又因为 OB ? AO 以 O 为坐标原点,OA ,OB , OF 分别为 x 轴, y 轴, z 轴,建立空间直角坐标系, 取 CD 的中点 M ,连 OM , EM . 易证 EM⊥平面 ABCD. 又因为 BC ? CE ? DE ? 2 EF ? 2 ,得出以下各点坐标:

B(0,1,0), C ( ? 3,0,0), D(0, ?1,0), F (0,0, 3), E ( ? ????

3 1 , ? , 3) 2 2

向量 DE ? ( ?

??? ? ??? ? 3 1 , , 3) ,向量 BC ? ( ? 3, ?1,0) ,向量 BF ? (0, ?1, 3) 2 2

设面 BCFE 的法向量为: n0 ? ( x0 , y0 , z0 )

?? ?

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??? ? ? ? n ? BC ?0 ? 0 ? ? 3x0 ? y0 ? 0 , 得到 ? ? ? ??? ? ? ?n0 ? BF ? 0 ? ? y 0 ? 3 z0 ? 0 ?? ? 令 y0 ? 3 时 n0 ? ( ?1, 3,1)
设 DF 与 n0 所成角为 ? ,直线 DE 与面 BCEF 所成角为 ? .

????

?? ?

?? ? ???? | n0 ? DE | ? ???? = sin ? = | cos ? | = ?? | n0 | ? | DE |

3 1 ) ? ( ?1) ? ? 3 ? 3 ? 1 | 15 2 2 = 5 ? 3 2 1 2 ( ?1) 2 ? ( 3) 2 ? (1) 2 ? ( ) ? ( ) ? ( 3) 2 2 2 | (?
15 .----------------------------------------13 分 5

直线 EF 与平面 BCEF 所成角的正弦值为 18.设函数 f ( x ) ? x ln x .

(Ⅰ)求曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求证: f ( x ) ? x ? 1 ;

2 ( a ? 0) 在区间 (0, ??) 上恒成立,求 a 的最小值. a 解: (Ⅰ)设切线的斜率为 k
(Ⅲ)若 f ( x ) ? ax 2 ?

f ?( x ) ? ln x ? 1 k ? f ?(1) ? ln1 ? 1 ? 1
因为 f (1) ? 1 ? ln1 ? 0 ,切点为 (1,0) . 切线方程为 y ? 0 ? 1 ? ( x ? 1) ,化简得: y ? x ? 1 .----------------------------4分 (Ⅱ)要证: f ( x ) ? x ? 1 只需证明: g ( x ) ? x ln x ? x ? 1 ? 0 在 (0, ??) 恒成立,

g ?( x ) ? ln x ? 1 ? 1 ? ln x
当 x ? (0,1) 时 f ?( x ) ? 0 , f ( x ) 在 (0,1) 上单调递减; 当 x ? (1, ??) 时 f ?( x ) ? 0 , f ( x ) 在 (1, ??) 上单调递增;

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当 x ? 1 时 g ( x ) min ? g (1) ? 1 ? ln1 ? 1 ? 1 ? 0

g ( x ) ? x ln x ? x ? 1 ? 0 在 (0, ??) 恒成立
所以 f ( x ) ? x ? 1 .--------------------------------------------------------------------------10分
2 (Ⅲ)要使: x ln x ? ax ?

2 在区间在 (0, ??) 恒成立, a 2 等价于: ln x ? ax ? 在 (0, ??) 恒成立, ax 2 ? 0 在 (0, ??) 恒成立 等价于: h ( x ) ? ln x ? ax ? ax
因为 h?( x ) ?

1 2 1 2 ? a 2 x 2 ? ax ? 2 ? a 2 ( x ? )( x ? ) ?a? 2 = = a a x ax ax 2 ax 2 2 ①当 a ? 0 时, h (1) ? ln1 ? a ? ? 0 , a ? 0 不满足题意 a 1 2 ②当 a ? 0 时,令 h '( x ) ? 0 ,则 x ? ? 或 x ? (舍). a a 1 1 所以 x ? (0, ? ) 时 h?( x ) ? 0 , h ( x ) 在 (0, ? ) 上单调递减; a a 1 1 x ? ( ? , ??) 时 h?( x ) ? 0 , h( x ) 在 ( ? , ??) 上单调递增; a a 1 1 1 当 x ? ? 时 h ( x ) min ? h ( ? ) ? ln( ? ) ? 1 ? 2 a a a 1 当 ln( ? ) ? 3 ? 0 时,满足题意 a
所以 ? e3 ? a ? 0 ,得到 a 的最小值为 ? e3 -----------------------------------14分 19. 解: (Ⅰ)因为

x2 y2 3 ,短半轴长为 1. ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b 2

?b ? 1 ?a ? 2 ? 3 ? ?c , 得到 ?b ? 1 , 所以 ? ? 2 ?a ? 2 2 2 ?c ? 3 ? a ? b ? c ?

x2 所以椭圆的方程为 + y 2 = 1 .-----------------------------------------------------------3 分 4
(Ⅱ)① 设 P ( x0 , y0 ) , A(0,1), B(0, ?1)

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所以直线 PA 的方程为: y ? 1 ?

y0 ? 1 x x0

令 x ? 4 ,得到 y M ?

4( y0 ? 1) 4( y0 ? 1) 8 ? 1 同理得到 y N ? ? 1 ,得到 | MN |?| 2 ? | x0 x0 x0 4 | ( ?2 ? x0 ? 0) x0

所以,圆 C 半径 r ?|1 ?

当 x0 ? ?2 时,圆 C 半径的最小值为 3. --------------------------------------9 分

② 当 P 在左端点时,圆 C 的方程为: ( x - 4) 2 + y 2 = 9 当 P 在右端点时,设 P (2,0) , A(0,1), B(0, ?1) 所以直线 PA 的方程为: y ? 1 ?

?1 x 2

令 x ? 4 ,得到 y M ? ?1 同理得到 y N ? 1 , 圆 C 的方程为: ( x - 4) 2 + y 2 = 1 , 易知与定圆 ( x - 2) 2 + y 2 = 1 相切, 半径 R = 1

4 ? 1 ? , ?2 ? x0 ? 0 4 ? ? x0 |? ? 由前一问知圆 C 的半径 r ?|1 ? x0 ? 4 ? 1,0 ? x0 ? 2 ? ? x0
因为 y M ?

4( y0 ? 1) 4( y0 ? 1) 4y ? 1 , yN ? ? 1 ,圆 C 的圆心坐标为 (4, 0 ) x0 x0 x0

? 4 2 x ? ? x , ?2 ? x0 ? 0 0 4 y 4 ? 0 16(1 ? ) 2 0 2 ) = ?? = 圆心距 d ? (4 ? 2) ? ( 4 4? | x0 | ? 4 x0 ,0 ? x0 ? 2 x0 2 ? ? x0
当 - 2 ? x0

0 时, d = r - R = (1 -

4 4 )- 1= ,此时定圆与圆 C 内切; x0 x0

当 0 < x0 ? 2 时, d = r + R = (

4 4 - 1) + 1 = ,此时定圆与圆 C 外切; x0 x0

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存在一个圆心在 x 轴上的定圆与圆 C 相切,该定圆的圆心为 (2,0) 和半径 R ? 1 . (注: 存在另一个圆心在 x 轴上的定圆与圆 C 相切,该定圆的圆心为 (6,0) 和半径 R ? 1 . 得分相同) ------------------------------------------------------------------------------------14 分 20..解: (Ⅰ) a4 ? 2, a5 ? 1 ;-----------------------------------------------------2 分

1 k ? N * ) ,假设 ak ?1 ? m (Ⅱ) ak ? (
①当 m ? 1 时,依题意有 ak ? 2 ? ak ?3 ? ?????? ? 1 ②当 m ? 1 时,依题意有 ak ? 2 ? m , ak ?3 ? 1 ③当 m ? 1 时,依题意有 ak ? 2 ? 由以上过程可知:若 以此类推,数列

1 1 1 1 , ak ? 3 ? 2 , ak ? 4 ? , ak ? 5 ? , ak ? 6 ? 1 m m m m

ak ? ( 1 k ? N * ) ,在无穷数列 {an } 中,第 k 项后总存在数值为 1 的项,

{an } 中有无穷项为 1. --------------------------------------------------6 分

(Ⅲ)证明:由条件可知 an ? 1(n ? 1, 2,3,?) , 因为 {an } 中任何一项不等于 1,所以 an ? an +1 (n ? 1, 2,3,?) . ①若 a2 n ?1 ? a2 n ,则 bn ? a2 n ?1 . 因为 a2 n +1 = 若 若
a2 n ?1 ,所以 a2 n ?1 ? a2 n +1 . a2 n

a2 n ?1 a ? 1 ,则 a2 n +2 ? 2 n ?21 ? a2 n ?1 ,于是 a2 n -1 ? a2 n +2 ; a2 n 2 a2 n a2 n ?1 a2 n a2 n 2 a ? 1 ,则 a ? ? ? 2 n ? a2 n ? a2 n ? a2 n ?1 ,于是 a2 n -1 ? a2 n +2 ; 2 n +2 2 a a2 n a2 n ?1 a 2 n ?1 2 n ?1 a2 n a2 n ?1 ? 1 ,则 a2 n +2 ? 1 ,于题意不符; a2 n 2



所以 a2 n ?1 ? max{a2 n +1 , a2 n +2 } ,即 bn ? bn ?1 . ②若 a2 n ?1 ? a2 n ,则 bn ? a2 n . 因为 a2 n +1 = 因为 a2 n +2 =
a2 n ,所以 a2 n ? a2 n +1 ; a2 n -1 a2 n ,所以 a2 n ? a2 n +2 ; a2 n +1

所以 a2 n ? max{a2 n +1 , a2 n +2 } ,即 bn ? bn ?1 . 综上所述,对于一切正整数 n ,总有 bn ? bn ?1 ,所以数列 {bn } 是单调递减数列.
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-------------------------------------------------------------------------------13 分

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